Klasické metody neomezené optimalizace. Metody nepodmíněné a podmíněné optimalizace Podstata metod operačního výzkumu

5. Vícerozměrná optimalizace

Lineární programování

Optimalizace je cílevědomá činnost směřující k dosažení nejlepších výsledků za vhodných podmínek.

Kvantitativní hodnocení kvality, která se optimalizuje, se nazývá kritérium optimality nebo cílová funkce .Může být zapsán ve tvaru:

(5.1)

kde x 1, x 2, …, x n– některé parametry objektu optimalizace.

Existují dva typy optimalizačních problémů – nepodmíněné a podmíněné.

Bezpodmínečný úkol optimalizace spočívá v nalezení maxima nebo minima reálné funkce (5.1).nreálné proměnné a určení odpovídajících hodnot argumentů.

Problémy podmíněné optimalizace , nebo problémy s omezeními, jsou ty, při jejichž formulaci jsou na hodnoty argumentů uvalena omezení ve formě rovnosti nebo nerovností.

Řešení optimalizačních úloh, ve kterých je kritériem optimality lineární funkce nezávislých proměnných (tj. obsahuje tyto proměnné do prvního stupně) s lineárními omezeními na ně je předmětem lineární programování.

Slovo „programování“ zde odráží konečný cíl studia – stanovení optimálního plánu nebo optimálního programu, podle kterého se z mnoha možné možnosti ze studovaného procesu je na základě určitého kritéria vybrána nejlepší, optimální varianta.

Příklad takový úkol je problém optimální distribuce surovin mezi různými průmyslovými odvětvími při maximálních výrobních nákladech.

Ze dvou druhů surovin nechejte vyrobit dva druhy výrobků.

Označme: x 1 , x 2 – počet jednotek výrobků prvního a druhého typu; c 1, c 2 – jednotková cena výrobků prvního a druhého druhu. Pak budou celkové náklady na všechny produkty:

(5.2)

V důsledku výroby je žádoucí, aby celkové náklady na výrobu byly maximalizovány.R (x 1, x 2 ) je objektivní funkce v tomto problému.

b 1, b 2 – množství dostupných surovin prvního a druhého typu;a ij- počet jednotek i -tý typ suroviny potřebné k výrobě jednotkyj-tý typ produktu.

Vzhledem k tomu, že spotřeba daného zdroje nemůže překročit jeho celkové množství, zapíšeme omezující podmínky pro zdroje:

(5.3)

Ohledně proměnných x 1, x 2 můžeme také říci, že jsou nezáporné a nekonečné:

(5.4)

Mezi mnoha řešeními soustavy nerovnic (5.3) a (5.4) je třeba takové řešení najít ( x 1, x 2 ), pro které je funkceRdosáhne své největší hodnoty.

Obdobnou formou jsou formulovány tzv. dopravní problémy (úkoly optimálně organizovat dodávky zboží, surovin či výrobků z různých skladů do více destinací s minimem přepravních nákladů) a řada dalších.

Grafická metoda řešení úloh lineárního programování.

Ať je požadováno najít x 1 a x 2 , uspokojující systém nerovností:

(5.5)

a podmínky nezápornost:

(5.6)

Pro jehož funkce

(5. 7 )

dosáhne svého maxima.

Řešení.

Sestrojme v systému pravoúhlých souřadnic x 1 x 2 oblast proveditelných řešení problému (obr. 11). Za tímto účelem sestrojíme nahrazením každé z nerovností (5.5) rovností odpovídající jeho hraniční čára:

(i = 1, 2, … , r)

Rýže. jedenáct

Tato přímka rozděluje celou rovinu na dvě poloroviny. Pro souřadnice x 1, x 2 jakýkoli bod A v jedné polorovině platí následující nerovnost:

a pro souřadnice libovolného bodu V další polorovina – opačná nerovnost:

Souřadnice libovolného bodu na hraniční čáře splňují rovnici:

K určení, na které straně hraniční čáry se nachází polorovina odpovídající dané nerovnosti, stačí „otestovat“ jeden bod (nejjednodušší je bod O(0;0)). Je-li při dosazení jejích souřadnic do levé strany nerovnosti splněna, pootočí se polorovina směrem ke zkoušenému bodu; není-li nerovnost splněna, pootočí se příslušná polorovina opačným směrem. . Směr poloroviny je na výkrese znázorněn šrafováním. Nerovnosti:

odpovídají polorovinám umístěným vpravo od svislé osy a nad osou úsečky.

Na obrázku sestrojíme hraniční přímky a poloroviny odpovídající všem nerovnostem.

Společná část (průsečík) všech těchto polorovin bude představovat oblast proveditelných řešení tohoto problému.

Při konstrukci oblasti proveditelných řešení může v závislosti na konkrétním typu systému omezení (nerovností) na proměnné nastat jeden z následujících čtyř případů:

Rýže. 12. Oblast proveditelných řešení je prázdná, což odpovídá nejednotnosti systému nerovností; žádné řešení

Rýže. 13. Oblast možných řešení představuje jeden bod A, který odpovídá jedinému řešení soustavy

Rýže. 14. Oblast možných řešení je omezená a je znázorněna jako konvexní mnohoúhelník. Existuje nekonečné množství proveditelných řešení

Rýže. 15. Oblast možných řešení je neomezená, ve formě konvexní polygonální oblasti. Existuje nekonečné množství proveditelných řešení

Grafické znázornění účelové funkce

na pevné hodnotěRdefinuje přímku a při změněR- rodina rovnoběžných čar s parametremR. Pro všechny body ležící na jedné z přímek funkce R nabývá jedné konkrétní hodnoty, proto se nazývají naznačené přímky úrovňové čáry pro funkci R.

Přechodový vektor:

kolmýk liniím úrovně, ukazuje směr nárůstuR.

Problém nalezení optimálního řešení soustavy nerovnic (5.5), pro kterou je účelová funkceR(5.7) dosáhne maxima, geometricky redukuje na určení v oblasti přípustných řešení bod, kterým bude procházet úrovňová čára odpovídající největší hodnotě parametruR

Rýže. 16

Je-li oblastí proveditelných řešení konvexní mnohoúhelník, pak extrém funkceR je dosaženo alespoň v jednom z vrcholů tohoto mnohoúhelníku.

Pokud extrémní hodnotaRje dosaženo ve dvou vrcholech, pak je stejné extrémní hodnoty dosaženo v libovolném bodě segmentu spojujícího tyto dva vrcholy. V tomto případě se říká, že úkol má alternativní optimum .

V případě neohraničené oblasti extrém funkceRbuď neexistuje, nebo je dosaženo v jednom z vrcholů oblasti, nebo má alternativní optimum.

Příklad.

Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnoty x 1 a x 2 , splňující systém nerovností:

a podmínky nezápornost:

Pro jehož funkce je:

dosáhne svého maxima.

Řešení.

Nahradíme každou z nerovností rovností a sestrojíme hraniční čáry:

Rýže. 17

Stanovme poloroviny odpovídající těmto nerovnicím „testováním“ bodu (0;0). S přihlédnutím nezápornost x 1 a x 2 získáme oblast možných řešení tohoto problému ve formě konvexního mnohoúhelníku OAVDE.

V oblasti proveditelných řešení najdeme optimální řešení konstrukcí gradientového vektoru

ukazovatsměr nárůstuR.

Optimální řešení odpovídá bodu V, jehož souřadnice lze určit buď graficky, nebo řešením soustavy dvou rovnic odpovídajících hraničním přímkám AB a VD:

Odpovědět: x 1 = 2; x 2 = 6; Rmax = 22.

Úkoly. Najděte polohu extrémního bodu a extrémní hodnotu účelové funkce

za daných omezení.

Tabulka 9
Možnost č.	Extrémní	Omezení
	M sekera	; ; ; ;
	Max	; ; ; ;
		; ;
		; ; ; ;
		; ; ; ;
		; ;

Úkol 1. Nalézt

Problém 1 se týká řešení soustavy rovnic:

a studujte hodnotu druhého diferenciálu:

v bodech řešení rovnic (8.3).

Je-li kvadratická forma (8.4) v bodě záporně definitní, pak dosahuje své maximální hodnoty, a je-li kladně definitní, dosahuje minimální hodnoty.

Příklad:

Systém rovnic má řešení:

Bod (– 1/3,0) je maximální bod a bod (1/3,2) je minimální bod.

Úkol 2. Nalézt

za podmínek:

Problém 2 je řešen metodou Lagrangeova multiplikátoru. Chcete-li to provést, najděte řešení systému (t + p) rovnice:

Příklad. Najděte strany obdélníku o maximální ploše vepsaného do kruhu: . Plochu A obdélníku lze zapsat jako: A = 4hu, Pak

Úkol 3. Nalézt:

za podmínek:

Tato úloha pokrývá širokou škálu úloh definovaných funkcemi F A  .

Pokud jsou lineární, pak je problémem problém lineárního programování.

Úkol3 A.

za podmínek

Řeší se simplexovou metodou, která pomocí aparátu lineární algebry provádí cílené vyhledávání vrcholů mnohostěnu definovaného (8.13).

Simplexní metoda (skládá se ze dvou fází):

Fáze 1. Nalezení referenčního řešení x (0).

Referenčním řešením je jeden z bodů mnohostěnu (8.13).

Fáze 2. Nalezení optimálního řešení.

Optimální řešení se najde postupným výčtem vrcholů mnohostěnu (8.13), ve kterém hodnota účelové funkce z v každém kroku neklesá, tj.

Speciálním případem problému lineárního programování je tzv. transportní problém.

Problém s dopravou. Nechť jsou na místech sklady, ve kterých je zboží skladováno v odpovídajícím množství. V místech jsou spotřebitelé, kteří potřebují dodávat toto zboží v odpovídajícím množství. Označme C ij náklady na přepravu jednotky nákladu mezi body

Studujeme provoz přepravy zboží spotřebiteli v množství dostatečném k uspokojení potřeb spotřebitelů. Označme množstvím přepravovaného zboží z místa A i ukazovat b j .

Aby byly uspokojeny požadavky spotřebitelů, je nutné, aby hodnoty X ij splnil podmínky:

Současně ze skladu a; Nemůžete vyvézt více potravin, než je tam k dispozici. To znamená, že požadovaná množství musí splňovat systém nerovností:

Existuje nespočet způsobů, jak splnit podmínky (8.14), (8.15), tedy vytvořit plán přepravy splňující požadavky spotřebitelů. Aby operační výzkumník vybral určité řešení, tedy zadal určité X ij, musí být formulováno nějaké pravidlo výběru, určené pomocí kritéria, které odráží naši subjektivní představu o cíli.

Problém kritéria je řešen nezávisle na studii provozu - kritérium musí stanovit provozovatel. V tomto problému bude jedním z možných kritérií cena dopravy. Je definován následovně:

Poté je dopravní problém formulován jako problém lineárního programování: určete veličiny splňující omezení (8.14), (8.15) a poskytující minimální hodnotu funkci (8.16). Omezení (8.15) je podmínka rovnováhy; podmínku (8.14) lze nazvat cílem operace, protože smyslem operace je uspokojování potřeb spotřebitelů.

Tyto dvě podmínky v podstatě tvoří model fungování. Realizace operace bude záviset na kritériu, podle kterého bude cíle operace dosaženo. Kritérium se může objevit v různých rolích. Může fungovat jak jako způsob formalizace cíle, tak jako princip pro výběr akcí z těch, které jsou přípustné, tedy těch, které splňují omezení.

Jednou ze známých metod řešení transportního problému je metoda potenciálů.

V první fázi řešení problému je vypracován prvotní dopravní plán, který vyhovuje

omezení (8.14), (8.15). Pokud (tj. celkové potřeby se neshodují s celkovými zásobami výrobků na skladech), pak se v úvahu zavádí fiktivní místo spotřeby nebo fiktivní sklad s náklady na dopravu rovnými nule. U nového úkolu se celkový počet zboží ve skladech shoduje s jeho celkovou poptávkou. Pak se nějakou metodou (jako je nejmenší prvek nebo severozápadní roh) najde původní plán. V dalším kroku postupu výsledného plánu je konstruován systém speciálních charakteristik - potenciálů. Nezbytnou a postačující podmínkou pro optimální plán je jeho potenciál. Postup pro upřesnění plánu se provádí, dokud se nestane potenciálním (optimálním).

Problém 3b. V obecném případě se problém (8.10 – 8.11) nazývá problém nelineárního programování. Podívejme se na to v přijatelnější podobě:

za podmínek

K řešení tohoto problému se používají tzv. relaxační metody. Proces konstrukce posloupnosti bodů se nazývá relaxace, pokud:

Sestupové metody (obecné schéma). Všechny metody sestupu pro řešení neomezené optimalizační úlohy (8.17) se liší buď volbou směru sestupu, nebo způsobem pohybu po směru sestupu. Sestupové metody se skládají z následujícího sekvenčního konstrukčního postupu { X k }.

Jako počáteční aproximace je vybrán libovolný bod X 0 . Postupné aproximace jsou konstruovány podle následujícího schématu:

Směřovat X k je zvolen směr sestupu - s k ;

Najděte aproximaci (k + 1) – e pomocí vzorce:

kde kvantita je zvolena jako libovolné číslo, které splňuje nerovnost

kde číslo je libovolné číslo, kdy

Ve většině sestupových metod se volí hodnota  k rovna jednotce. Pro stanovení  k je tedy nutné vyřešit problém jednorozměrné minimalizace.

Gradientní sestupová metoda. Protože antigradient udává směr nejrychlejšího poklesu funkce F(X), pak je přirozené přejít od bodu X k v tomto směru. Metoda sestupu, která se nazývá metoda gradientního sestupu. Pokud, pak se relaxační proces nazývá metoda nejstrmějšího sestupu.

Metoda konjugovaných směrů. V lineární algebře je tato metoda známá jako metoda konjugovaného gradientu pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. AX=b, a tedy jako metoda pro minimalizaci kvadratické funkce

Schéma metody:

Je-li = 0, pak se tento okruh změní na okruh metodou nejstrmějšího sestupu. Vhodný výběr hodnoty t k zaručuje konvergenci metody konjugovaného směru rychlostí stejného řádu jako u metod gradientního sestupu a zajišťuje, že počet iterací v kvadratickém sestupu je konečný (např.).

Souřadnicový sestup. Při každé iteraci, jako směr sestupu - s k je zvolen směr podél jedné ze souřadnicových os. Metoda má míru konvergence procesu minimalizace řádově 0 (1/m). Navíc výrazně závisí na rozměru prostoru.

Schéma metody:

kde je souřadnicový vektor

Pokud v bodě X k jsou zde informace o chování funkčního gradientu F(X), Například:

pak jako směr sestupu s k můžete vzít souřadnicový vektor E j . V tomto případě je rychlost konvergence metody nkrát menší než u gradientního klesání.

Na počáteční fáze minimalizační proces, můžete použít metodu cyklického souřadnicového sestupu, kdy se sestup nejprve provede ve směru E 1 , pak podél e 2 atd. až E P , poté se celý cyklus znovu opakuje. Slibnější než předchozí je sestup po souřadnicích, ve kterém jsou směry sestupu voleny náhodně. S tímto přístupem k výběru směru existují a priori odhady, které zaručují funkci F(X) S pravděpodobnost inklinující k jednotě v , proces konverguje rychlostí řádově 0 (1/m).

Schéma metody:

V každém kroku procesu je náhodně vybráno číslo z n čísel (1, 2, ..., n) j(k) a jako s k je vybrán jednotkový souřadnicový vektor E j ( k ) , po kterém následuje sestup:

Metoda náhodného sestupu.s k, s rovnoměrným rozložením na této kouli, a pak podle prvku vypočteného v k-tém kroku procesu X Na definované:

Rychlost konvergence metody náhodného sestupu je nkrát nižší než u metody gradientního sestupu, ale nkrát vyšší než u metody náhodného sestupu souřadnic. Uvažované metody sestupu jsou také použitelné pro funkce, které nemusí být nutně konvexní a zaručují jejich konvergenci při velmi malých omezeních (jako je absence lokálních minim).

Relaxační metody matematického programování. Vraťme se k problému 36 ((8.17) – (8.18)):

za podmínek

Při optimalizačních problémech s omezeními zahrnuje volba směru sestupu nutnost neustále kontrolovat, zda je nová hodnota X k +1 by měla být stejná jako ta předchozí X k splnit systém omezení X.

Metoda podmíněného gradientu. V této metodě je myšlenka výběru směru sestupu následující: v bodě X Na linearizovat funkci F(X), sestavení lineární funkce a následná minimalizace F(X) na sadě X, najít bod y k . Poté předpokládají a sestupují tímto směrem, takže

Pro nalezení směru – s k je tedy nutné vyřešit problém minimalizace lineární funkce na množině X. Li X je dáno lineárními omezeními, pak se stává problémem lineárního programování.

Metoda možných směrů. Myšlenka metody: mezi všemi možnými směry v bodě X Na vyberte ten, podél kterého funkce F(X) klesá nejrychleji a poté klesá tímto směrem.

Směr - s na místě X X se nazývá možný, pokud existuje takové číslo, že pro všechny. Pro nalezení možného směru je nutné vyřešit úlohu lineárního programování, nebo nejjednodušší úlohu kvadratického programování:

Za podmínek:

Nechť je řešením tohoto problému. Podmínka (8.25) zaručuje, že směr je možný. Podmínka (8.26) zajišťuje maximální hodnotu (tedy ze všech možných směrů – s, směr – poskytuje nejrychlejší pokles funkce F(X). Podmínka (8.27) eliminuje neohraničenost řešení úlohy. Metoda možných směrů je odolná vůči možným chybám ve výpočtu. Míru jeho konvergence je však v obecném případě obtížné odhadnout a tento problém zůstává nevyřešen.

Metoda náhodného vyhledávání. Implementace výše uvedených minimalizačních metod je obecně velmi pracná, kromě nejjednodušších případů, kdy má množina omezení jednoduchou geometrickou strukturu (jedná se například o vícerozměrný rovnoběžnostěn). Obecně může být metoda náhodného vyhledávání, kdy je směr sestupu zvolen náhodně, velmi slibná. V tomto případě výrazně ztratíme v rychlosti konvergence, ale jednoduchost volby směru může tyto ztráty kompenzovat z hlediska celkových mzdových nákladů na řešení minimalizačního problému.

Schéma metody:

Na n-rozměrné jednotkové kouli se středem v počátku je vybrán náhodný bod r k, který se řídí rovnoměrným rozložením na této kouli, a pak je směr sestupu s k z podmínek,

Jako počáteční aproximace je zvolena . Na základě bodu vypočítaného při každé iteraci X k ve výstavbě ( k+ 1) bod X k +1 :

Jakékoli číslo z =, které vyhovuje nerovnosti, je vybráno jako kvalita:

Konvergence této metody je prokázána při velmi volném omezení funkce F (konvexnost) a mnoho omezení X (konvexnost a uzavření).

Problém 1. Nalézt

kde x = (x 1 .. x p) E E p

Tento problém se týká řešení soustavy rovnic

a studovat hodnotu druhého diferenciálu

v bodech (a-|, (*2, a n) řešení rovnic (7.3).

Je-li kvadratická forma (7.4) v bodě záporně definitní, pak dosahuje své maximální hodnoty, a je-li kladně definitní, dosahuje minimální hodnoty.

Příklad:

Systém rovnic má řešení:

Bod (-1; 3.0) je maximální bod a bod (1; 3.2) je minimální bod.

Úkol 2. Najděte

za podmínek:

Tento problém 2 je řešen metodou Lagrangeova multiplikátoru, pro kterou je nalezeno řešení systému (t + p) rovnice:

Příklad 2 Najděte strany obdélníku s maximální plochou vepsanou do kruhu Oblast L obdélníku

lze napsat jako: A= 4xy tedy

kde

Úkol 3. Najděte za podmínek:

Tento problém se týká široké škály nastavení určených funkcemi F a St Pokud jsou lineární, pak je problémem problém lineárního programování.

Úkol pro.

za podmínek

Řeší se simplexovou metodou, která pomocí aparátu lineární algebry provádí cílené hledání vrcholů mnohostěnu definovaného (7.13).

Simplexní metoda se skládá ze dvou etap.

Fáze 1. Nalezení referenčního řešení x^ 0). Referenčním řešením je jeden z bodů mnohostěnu (7.13).

Fáze 2. Nalezení optimálního řešení. Zjistí se postupným výčtem vrcholů mnohostěnu (7.13), ve kterém hodnota účelové funkce z v každém kroku neklesá, tj.

Speciálním případem problému lineárního programování je tzv. transportní problém.

Problém s dopravou. Nechť v bodech a-1, a 2, .... a l jsou sklady, ve kterých je skladováno zboží v množství x 1, x 2, ..., x l, resp. V bodech b-|, b 2,..., b t jsou spotřebitelé, kteří potřebují toto zboží dodat v množství y- y 2, y t respektive. Označme Cjj náklady na přepravu jednotky nákladu mezi body a-| a podle.

Prověřujeme provoz přepravy zboží spotřebiteli v množství dostatečném k uspokojení potřeb klientely. Označme podle Hu množství zboží přepraveného z bodu a do bodu by.

Pro uspokojení potřeb spotřebitelů je nutné, aby hodnoty x, y splňovaly podmínky:

Zároveň nelze ze skladu vyvézt více produktů, než je tam k dispozici. To znamená, že požadovaná množství musí splňovat systém nerovností:

Splnit podmínky (7,14), (7,15), tzn. Existuje nespočet způsobů, jak vytvořit plán přepravy, který splňuje potřeby spotřebitelů. Aby operační výzkumník vybral určité optimální řešení, tzn. přiřadit určité xjj, musí být formulováno nějaké pravidlo výběru, určené pomocí kritéria, které odráží naši subjektivní představu o cíli.

Problém kritéria je řešen nezávisle na studii provozu - kritérium musí stanovit provozovatel. V uvažovaném problému bude jedním z možných kritérií cena dopravy. To činí

Poté je dopravní problém formulován jako problém lineárního programování: určete hodnoty x,y > O, které splňují omezení (7.14), (7.15) a poskytněte minimální hodnotu funkci (7.16). Omezení (7.15) je podmínka rovnováhy; podmínku (7.14) lze nazvat cílem operace, protože smyslem operace je uspokojování potřeb spotřebitelů.

Specifikace dvou podmínek v podstatě tvoří model operace. Realizace operace bude záviset na kritériu, podle kterého bude cíle operace dosaženo. Kritérium se může objevit v různých rolích. Může působit jednak jako způsob formalizace cíle, jednak jako princip pro výběr akcí z těch, které jsou přípustné, tzn. uspokojování omezení.

Jednou ze známých metod řešení dopravního problému je metoda potenciální, jejíž schéma je následující.

V první fázi řešení problému je vypracován prvotní dopravní plán, který vyhovuje omezením (7.14), (7.15). Li

(tj. celkové potřeby se neshodují s celkovými zásobami výrobků ve skladech), pak se zavádí v úvahu fiktivní místo spotřeby nebo fiktivní sklad

s náklady na dopravu rovnými nule. U nového úkolu se celkový počet zboží ve skladech shoduje s jeho celkovou poptávkou. Pak se nějakou metodou (například nejmenší prvek nebo severozápadní roh) najde původní plán. V dalším kroku postupy výsledného plánu budují systém speciálních charakteristik - potenciálů. Nezbytnou a postačující podmínkou pro optimální plán je jeho potenciál. Postup upřesňování plánu se opakuje, dokud se plán nestane potenciálním (optimálním).

Úkol 36. V obecném případě se problém (7.10-7.11) nazývá problém nelineárního programování. Zvažme to ve formě

za podmínek

K řešení tohoto problému se používají tzv. relaxační metody. Proces konstrukce posloupnosti bodů se nazývá relaxace, pokud:

Sestupové metody (obecné schéma). Všechny metody sestupu při řešení neomezené optimalizační úlohy (7.17) se liší buď volbou směru sestupu, nebo způsobem pohybu po směru sestupu. Sestupové metody se skládají z následujícího sekvenčního konstrukčního postupu (x k).

Jako počáteční aproximace je zvolen libovolný bod Xq. Postupné aproximace jsou konstruovány podle následujícího schématu:

směřovat x k je zvolen směr sestupu - S k;
nalézt (Na+ 1) aproximace podle vzorce

kde jako množství $ k vyberte libovolné číslo, které odpovídá nerovnosti

kde je číslo X k - libovolné číslo takové, že 0 X k min f(x k - $ Sk).

Ve většině sestupových metod je hodnota X k se volí rovno jedné. K určení (3^ je tedy nutné vyřešit problém jednorozměrné minimalizace.

Gradientní sestupová metoda. Vzhledem k tomu, anti-gradient je G(x k) udává směr nejrychlejšího poklesu funkce f(x), pak je přirozené přejít od bodu x podle tímto směrem. Způsob sestupu při kterém S k = f" (x k) nazývá se metoda gradientního sestupu. Li X k= 1, pak se relaxační proces nazývá metoda nejstrmějšího sestupu.

Metoda konjugovaných směrů. V V lineární algebře je tato metoda známá jako metoda konjugovaného gradientu pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. ACH= b, a tedy jako metoda pro minimalizaci kvadratické funkce f(x) =((Dx - b)) 2.

Schéma metody:

Li f k = 0, pak se tento okruh změní na okruh metodou nejstrmějšího sestupu. Vhodný výběr hodnoty tk zaručuje konvergenci metody konjugovaného směru rychlostí stejného řádu jako u metod gradientního sestupu a zajišťuje, že počet iterací v kvadratickém sestupu je konečný (např.

Souřadnicový sestup. Při každé iteraci jako směr sestupu S k je vybrán směr podél jedné ze souřadnicových os. Metoda má míru konvergence procesu minimalizace řádově 0 (1 //77) a výrazně závisí na rozměru prostoru.

Schéma metody:

Kde souřadnicový vektor,

Pokud v bodě x k jsou zde informace o chování funkčního gradientu f(x), Například,

pak jako směr sestupu S k můžeme vzít souřadnicový vektor ey. V tomto případě je míra konvergence metody P krát méně než u gradientního klesání.

V počáteční fázi procesu minimalizace můžete použít metodu cyklického sestupu po souřadnicích, kdy se nejprve sestup provádí ve směru e-|, poté ve směru b2 atd. až do e p, poté se celý cyklus opakuje. Slibnější než ten popsaný je sestup po souřadnicích, ve kterém jsou směry sestupu voleny náhodně. S tímto přístupem k výběru směru existují a priori odhady, které zaručují funkci f(x) s pravděpodobností inklinující k jednotě, když proces konverguje rychlostí řádově 0(1 1t).

Schéma metody:

V každém kroku procesu Pčísla (1, 2, ..., P) je náhodně vybráno číslo j(k) a jako s k je vybrán jednotkový souřadnicový vektor vsch, po kterém následuje sestup:

Metoda náhodného sestupu. Na n-rozměrné jednotkové kouli se středem v počátku je vybrán náhodný bod s k , dodržovat rovnoměrné rozložení na této kouli a poté podle výpočtu na / krok procesní prvek x k odhodlaný x k+] :

Míra konvergence metody náhodného sestupu v P krát méně než metoda gradientního klesání, ale P krát větší než u metody náhodného sestupu souřadnic. Uvažované metody sestupu jsou také použitelné pro funkce, které nemusí být nutně konvexní a zaručují jejich konvergenci při velmi malých omezeních (jako je absence lokálních minim).

Relaxační metody matematického programování. Vraťme se k problému 36 ((7.17) - (7.18)):

za podmínek

Při optimalizačních problémech s omezeními zahrnuje volba směru sestupu nutnost neustále kontrolovat, zda je nová hodnota x k +" by měla být stejná jako ta předchozí x k, splnit systém omezení X.

Metoda podmíněného gradientu. V V této metodě je myšlenka výběru směru sestupu následující: v bodě x k linearizovat funkci

f(x), konstrukce lineární funkce f(x) = f(x k) + (y"(x k), x-x k), a poté minimalizace f(x) na sadě X, najít bod u k. Poté věří S k = y k - x k a poté sestup tímto směrem Xk+ 1= x k - $ k (x k -y k), takže g X.

Tedy najít směr S k měl by být vyřešen problém minimalizace lineární funkce na množině X. Pokud je X naopak specifikováno lineárními omezeními, stane se z toho problém lineárního programování.

Metoda možných směrů. Myšlenka metody: ze všech možných směrů v bodě xk vyberte ten, podél kterého funkce f(x) klesá nejrychleji a poté klesá tímto směrem.

Směr s na místě X E X se nazývá možný_pokud takové číslo existuje (3 > O, že X- (3s e X pro všechny (3 g. Pro nalezení možného směru je nutné vyřešit úlohu lineárního programování nebo nejjednodušší úlohu kvadratického programování: co?=>min za podmínek

Nechat d k A s k- řešení tohoto problému. Podmínka (7.25) zaručuje, že směr s k možný. Podmínka (7.26) zajišťuje maximální hodnotu (/"( x k), s), těch. mezi všemi možnými směry s, směr s k poskytuje funkci nejrychlejšího snižování f(x). Podmínka (7.27) eliminuje neohraničenost řešení úlohy. Metoda možných směrů je odolná vůči možným chybám ve výpočtu. Míru jeho konvergence je však v obecném případě obtížné odhadnout a tento problém zůstává nevyřešen.

Metoda náhodného vyhledávání. Implementace dříve popsaných minimalizačních metod je obecně velmi pracná, kromě nejjednodušších případů, kdy má množina omezení jednoduchou geometrickou strukturu (jedná se například o vícerozměrný rovnoběžnostěn). Obecně může být metoda náhodného vyhledávání, kdy je směr sestupu zvolen náhodně, velmi slibná. V tomto případě dojde k výrazné ztrátě rychlosti konvergence, ale jednoduchost volby směru může tyto ztráty kompenzovat z hlediska celkových mzdových nákladů na řešení problému minimalizace.

Schéma metody:

na n-rozměrné jednotkové kouli se středem v počátku je vybrán náhodný bod gu podléhající rovnoměrnému rozložení na této kouli a poté směru sestupu - s^ z podmínek

Jako počáteční přiblížení volíme xc e X. Na základě bodu vypočteného při každé iteraci X? ve výstavbě (k + 1) bod x^+ y:

Jakékoli číslo od uspokojující nerovnost

Konvergence této metody je prokázána za velmi nerigidních omezení funkce / (konvexita) a množiny omezení X(konvexnost a uzavření).

Mezi optimalizační metody nulový řád V CAD se používají metody Rosenbrock, konfigurace, deformovatelný mnohostěn a náhodné vyhledávání. Metody využívající deriváty zahrnují metody s nejstrmějším klesáním, sdruženým gradientem a proměnnou metrickou metodou.

Rosenbrockova metoda je vylepšená verze souřadnicového sestupu.

Metoda souřadnicového sestupu je charakterizována volbou směrů hledání střídavě podél všech souřadnicových os, krok je vypočítán na základě jednorozměrné optimalizace, kritériem pro ukončení hledání je , kde je zadaná přesnost určení lokálního extrému, je rozměr prostor řízených parametrů. Souřadnicová sestupná trajektorie pro příklad dvourozměrného prostoru řízených parametrů je na Obr. 1, kde jsou body na trajektorii hledání a jsou řízené parametry. Účelová funkce je reprezentována svými řádky stejných úrovní a vedle každého řádku je zapsána odpovídající hodnota. Je zřejmé, že existuje minimální bod.

Rýže. 1. Trajektorie klesání souřadnic

Při použití metody souřadnicového sestupu je vysoká pravděpodobnost, že hledání uvízne na dně rokle daleko od extrémního bodu. Na Obr. 2 ukazuje, že po zasažení bodu nacházejícího se na dně strže jsou možné další kroky pouze ve směrech nebo , ale vedou ke zhoršení účelové funkce. Hledání se proto zastaví v bodě .

Poznámka 1

Rokle je část prostoru řízených parametrů, ve které jsou v některých směrech pozorovány slabé změny v derivacích účelové funkce a v některých směrech výrazné změny se změnou znaménka. Znaménko derivace se mění v bodech patřících ke dnu rokle.

Rýže. 3. Trajektorie klesání souřadnic s příznivou orientací souřadnicových os

Rosenbrockova metoda spočívá v rotaci souřadnicových os tak, aby jedna z nich byla kvaziparalelní se dnem rokle. Tato rotace se provádí na základě dat získaných po sérii kroků souřadnicového klesání. Polohu nových os lze získat lineární transformací předchozích os: osa se shoduje ve směru s vektorem; zbývající osy jsou vybrány z podmínky ortogonality k sobě a k sobě navzájem.

Další úspěšnou modifikací souřadnicového klesání je konfigurační metoda(Hook-Jeeves). V souladu s touto metodou se nejprve provede obvyklá série kroků souřadnicového sestupu, poté se provede další krok ve směru vektoru, jak je znázorněno na Obr. 4, kde je proveden další krok ve směru vektoru, který vede k bodu .

Rýže. 4. Ilustrace způsobu konfigurace

Hledejte extrém metoda deformovatelného mnohostěnu(Nelder-Mead) je založena na konstrukci mnohostěnu s vrcholy v každém kroku vyhledávání, kde je dimenze prostoru kontrolovaných parametrů. Na začátku vyhledávání jsou tyto vrcholy vybrány náhodně, v dalších krocích výběr podléhá pravidlům metody.

Tato pravidla jsou vysvětlena na Obr. 5 na příkladu úlohy dvourozměrné optimalizace. Vyberou se vrcholy původního trojúhelníku: , , . Nový vrchol se nachází na paprsku nakresleném z nejhoršího vrcholu (z vrcholu s nejvyšší hodnotu objektivní funkce) přes těžiště mnohostěnu a doporučuje se volit ve vzdálenosti od rovné . Nový vrchol nahradí nejhorší vrchol. Pokud se ukáže, že ano nejlepší hodnota objektivní funkce mezi vrcholy mnohostěnu, pak se vzdálenost zvětší. Na obrázku je přesně tato situace, která nastává a zvýšení dává pointu. V novém mnohostěnu s vrcholy , , je nejhorší vertex , podobně se dostane vertex , pak vertex atd. Pokud nový vrchol dopadne hůře, pak je třeba v mnohostěnu zachovat nejlepší vrchol a zmenšit délky všech hran např. na polovinu (stažení mnohostěnu na nejlepší vrchol). Vyhledávání se zastaví, když je splněna podmínka zmenšení velikosti mnohostěnu na určitou mez.

optimální krok je vybrán pomocí jednorozměrné optimalizace.

Při použití metody nejstrmějšího sestupu, stejně jako u většiny ostatních metod, je účinnost vyhledávání v situacích v roklích výrazně snížena. Trajektorie hledání nabývá klikatého tvaru s pomalým pohybem po dně rokle směrem k extrému. Ke zvýšení účinnosti gradientních metod se používá několik technik.

Jedna z technik používaných v metoda konjugovaného gradientu(také nazývaná metoda Fletcher-Reeves), je založena na konceptu konjugace vektorů. Vektory a se nazývají -konjugovat, jestliže , kde je kladně definitní čtvercová matice stejného řádu jako velikost vektorů a (zvláštním případem konjugace je ortogonalita vektorů, kdy je matice identity řádu ), je řádek vektor, je sloupcový vektor.

Zvláštnost sdružených směrů pro , kde je Hessova matice, v problémech s kvadratickou objektivní funkcí je následující: jednorozměrná minimalizace postupně podél sdružených směrů umožňuje najít extrémní bod pouze v krocích.

Poznámka 2

Hessova matice je matice druhých parciálních derivací účelové funkce s ohledem na řízené parametry.

Důvod pro použití -conjugate search je ten pro funkce () obecný pohled Lze použít kvadratickou aproximaci, která v praxi vede k provádění vyhledávání ve více než krocích.

Hledání extrému se provádí podle vzorce

kde je koeficient. Kromě toho se bere v úvahu podmínka konjugace

Protože je krok vypočítán na základě podmínky jednorozměrné optimalizace, pak za prvé platí následující vztah:

Algoritmus vyhledávání se redukuje na použití vzorce (3), dokud není splněna podmínka pro dokončení výpočtů

Pro určení koeficientu vyřešte soustavu rovnic (2)-(7) tak, že do (4) dosadíte hodnoty z (3) a z (2):

nebo

kde

a s ohledem na (6) a (7)

Výraz (10) je soustava lineárních algebraických rovnic. Jeho kořen je dalším přiblížením k řešení

Pokud proces konverguje, pak je řešení dosaženo v malém počtu iterací, jejichž koncem je splnění podmínky
Kde

Proto

Lze ukázat, že inklinuje k , - to when , kde je rozměr prostoru řízených parametrů. Po krocích musíte začít znovu od .

Za optimální je považována nejpřijatelnější varianta rozhodnutí, která je učiněna na manažerské úrovni ohledně jakékoli záležitosti, a proces jejího hledání je považován za optimalizaci.

Vzájemná provázanost a složitost organizačních, socioekonomických, technických a dalších aspektů řízení výroby v současné době spočívá v rozhodování managementu, které ovlivňuje velký počet různé druhy faktorů, které jsou spolu úzce propojeny, v důsledku čehož je nemožné analyzovat každý zvlášť pomocí tradičních analytických metod.

Většina faktorů je v rozhodovacím procesu rozhodující a nelze je (ze své podstaty) kvantifikovat. Jsou i takové, které se prakticky nemění. V tomto ohledu bylo potřeba vyvinout speciální metody, které by mohly zajistit výběr důležitých manažerská rozhodnutí v rámci komplexních organizačních, ekonomických, technických problémů (odborné posudky, operační výzkum a optimalizační metody atd.).

Metodami zaměřenými na operační výzkum se nalézají optimální řešení v oblastech řízení, jako je organizace výrobních a přepravních procesů, plánování velkovýroby, materiálové a technické zásobování.

Metody pro optimalizaci řešení zahrnují výzkum porovnáním numerických odhadů řady faktorů, jejichž analýza tradiční metody nemožné realizovat. Optimální řešení je nejlepší z možných variant ekonomického systému a nejpřijatelnější ve vztahu k jednotlivým prvkům systému je suboptimální.

Podstata metod operačního výzkumu

Jak již bylo zmíněno dříve, tvoří metody pro optimalizaci manažerských rozhodnutí. Jejich základem jsou matematické (deterministické), pravděpodobnostní modely reprezentující zkoumaný proces, typ činnosti nebo systému. Tento druh modely poskytují kvantitativní popis odpovídajícího problému. Slouží jako základ pro přijímání důležitých manažerských rozhodnutí v procesu hledání optimální varianty.

Seznam problémů, které hrají významnou roli pro přímé výrobní manažery a které se řeší při používání uvažovaných metod:

stupeň platnosti zvolených možností rozhodnutí;
o kolik jsou lepší než alternativy;
míra zohlednění určujících faktorů;
jaké je kritérium optimálnosti zvolených řešení.

Tyto metody optimalizace rozhodování (manažerské) jsou zaměřeny na nalezení optimálních řešení pro co nejvíce firem, společností nebo jejich divizí. Vycházejí z dosavadních výsledků ve statistických, matematických a ekonomických disciplínách (teorie her, řazení do fronty, grafika, optimální programování, matematická statistika).

Metody odborného posouzení

Tyto metody pro optimalizaci manažerských rozhodnutí se používají tehdy, když problém částečně nebo zcela nepodléhá formalizaci a jeho řešení nelze nalézt pomocí matematických metod.

Odbornost je studium komplexních speciálních problémů ve fázi vývoje konkrétního manažerského rozhodnutí příslušnými osobami, které mají speciální znalostní základnu a působivé zkušenosti, aby bylo možné získat závěry, doporučení, názory a hodnocení. V procesu expertního výzkumu využívají nejnovější úspěchy a věda a technika v rámci odborné specializace.

Uvažované metody pro optimalizaci řady manažerských rozhodnutí (odborných posudků) jsou účinné při řešení následujících úkolů řízení v oblasti výroby:

Studium složitých procesů, jevů, situací, systémů, které se vyznačují neformálními, kvalitativními charakteristikami.
Pořadí a určení podle daného kritéria významných faktorů, které jsou rozhodující pro fungování a rozvoj produkčního systému.
Uvažované optimalizační metody jsou zvláště účinné při predikci trendů ve vývoji výrobního systému a také jeho interakce s vnějším prostředím.
Zvýšení spolehlivosti odborného posouzení především cílových funkcí, které mají kvantitativní a kvalitativní charakter, zprůměrováním názorů kvalifikovaných specialistů.

A to jsou jen některé metody pro optimalizaci řady manažerských rozhodnutí (odborné posouzení).

Klasifikace uvažovaných metod

Metody řešení optimalizačních problémů na základě počtu parametrů lze rozdělit na:

Jednorozměrné optimalizační metody.
Vícerozměrné optimalizační metody.

Říká se jim také „numerické optimalizační metody“. Abych byl přesný, jedná se o algoritmy pro jeho vyhledávání.

V rámci použití derivátů jsou tyto metody:

metody přímé optimalizace (nultého řádu);
gradientní metody (1. řádu);
Metody 2. řádu atd.

Většina metod vícerozměrné optimalizace má blízko k problému druhé skupiny metod (jednorozměrná optimalizace).

Jednorozměrné optimalizační metody

Jakékoli numerické optimalizační metody jsou založeny na přibližném nebo přesném výpočtu takových charakteristik, jako jsou hodnoty účelové funkce a funkce, které definují přípustnou množinu a jejich derivace. Pro každý jednotlivý úkol tak může být otázka týkající se volby charakteristik pro výpočet vyřešena v závislosti na existujících vlastnostech uvažované funkce, dostupných možnostech a omezeních při ukládání a zpracování informací.

Existují následující metody řešení optimalizačních problémů (jednorozměrné):

Fibonacciho metoda;
dichotomie;
Zlatý řez;
zdvojnásobení kroku.

Fibonacciho metoda

Nejprve je třeba nastavit souřadnice bodu x na intervalu jako číslo rovné poměru rozdílu (x - a) k rozdílu (b - a). Proto má a souřadnici 0 vzhledem k intervalu a b má souřadnici 1 a střed je ½.

Pokud předpokládáme, že F0 a F1 jsou si navzájem rovny a vezmeme hodnotu 1, F2 se bude rovnat 2, F3 - 3, ..., pak Fn = Fn-1 + Fn-2. Fn jsou tedy Fibonacciho čísla a Fibonacciho hledání je optimální strategie pro tzv. sekvenční hledání maxima, protože s nimi docela úzce souvisí.

V rámci optimální strategie je zvykem volit xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Pro kterýkoli ze dvou intervalů (nebo), z nichž každý může fungovat jako zúžený interval nejistoty, bude mít bod (zděděný) vzhledem k novému intervalu buď souřadnice , nebo . Dále se jako xn - 2 bere bod, který má jednu z prezentovaných souřadnic vzhledem k novému intervalu. Pokud použijete F(xn - 2), funkční hodnotu, která je zděděna z předchozího intervalu, bude možné snížit interval nejistoty a zdědit jednu funkční hodnotu.

V posledním kroku bude možné přejít na interval nejistoty, jako je , zatímco střední bod je zděděn z předchozího kroku. Jako x1 je nastaven bod, který má relativní souřadnici ½+ε a konečný interval nejistoty bude nebo [½, 1] vzhledem k .

V 1. kroku byla délka tohoto intervalu zkrácena na Fn-1: Fn (z jedné). V dokončovacích krocích je zmenšení délek odpovídajících intervalů reprezentováno čísly Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Délka takového intervalu jako finální verze tedy nabude hodnoty (1 + 2ε) : Fn.

Pokud zanedbáme ε, pak asymptoticky 1: Fn se bude rovnat rn, s n→∞, a r = (√5 - 1) : 2, což je přibližně rovno 0,6180.

Stojí za zmínku, že asymptoticky pro významné n každý následující krok Fibonacciho hledání významně zužuje uvažovaný interval o výše uvedený koeficient. Tento výsledek je třeba porovnat s 0,5 (koeficient zúžení intervalu nejistoty v rámci metody půlení pro nalezení nuly funkce).

Metoda dichotomie

Pokud si představíte určitou účelovou funkci, musíte nejprve najít její extrém na intervalu (a; b). K tomu je osa úsečky rozdělena na čtyři ekvivalentní části, poté je nutné určit hodnotu příslušné funkce v 5 bodech. Dále je vybráno minimum z nich. Extrém funkce musí ležet v intervalu (a"; b"), který sousedí s minimálním bodem. Hranice hledání se zúží 2krát. A pokud se minimum nachází v bodě a nebo b, pak se zužuje všemi čtyřmi časy. Nový interval je také rozdělen na čtyři stejné segmenty. Vzhledem k tomu, že hodnoty této funkce ve třech bodech byly určeny v předchozí fázi, je pak nutné vypočítat účelovou funkci ve dvou bodech.

Metoda zlatého poměru

Pro významné hodnoty n jsou souřadnice bodů jako xn a xn-1 blízké 1 - r, rovnající se 0,3820 a r ≈ 0,6180. Posun z těchto hodnot je velmi blízký požadované optimální strategii.

Pokud předpokládáme, že F(0,3820) > F(0,6180), pak je interval nastíněn. Avšak vzhledem k tomu, že 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, pak F je v tomto bodě již známá. V důsledku toho je v každé fázi, počínaje 2., nutný pouze jeden výpočet účelové funkce a každý krok zkracuje délku uvažovaného intervalu faktorem 0,6180.

Na rozdíl od Fibonacciho vyhledávání, in tato metoda není třeba před zahájením vyhledávání opravovat číslo n.

„Zlatý řez“ úseku (a; b) je úsek, u kterého je poměr jeho délky r k větší části (a; c) shodný s poměrem větší části r k menší, tzn. (a; c) až (c; b). Není těžké uhodnout, že r je určeno výše uvedeným vzorcem. V důsledku toho pro významné n přechází Fibonacciho metoda do tohoto.

Metoda krokového zdvojení

Podstatou je hledat směr poklesu účelové funkce, nastěhovat se v tomto směru v případě úspěšného hledání s postupně se zvyšujícím krokem.

Nejprve určíme počáteční souřadnici M0 funkce F(M), minimální hodnotu kroku h0 a směr hledání. Poté definujeme funkci v bodě M0. Dále uděláme krok a zjistíme hodnotu této funkce v tomto bodě.

Pokud je funkce menší než hodnota, která byla v předchozím kroku, další krok by měl být proveden ve stejném směru, přičemž by se měl nejprve 2krát zvýšit. Pokud je jeho hodnota větší než předchozí, budete muset změnit směr hledání a poté se začít pohybovat vybraným směrem s kroky h0. Prezentovaný algoritmus lze upravit.

Vícerozměrné optimalizační metody

Výše zmíněná metoda nultého řádu nebere v úvahu derivace minimalizované funkce, proto může být jejich použití efektivní, pokud se vyskytnou nějaké potíže při výpočtu derivací.

Skupina metod 1. řádu se také nazývá gradientní metody, protože pro stanovení směru hledání se používá gradient dané funkce - vektor, jehož složkami jsou parciální derivace minimalizované funkce vzhledem k odpovídajícím optimalizovaným parametrům. .

Ve skupině metod 2. řádu jsou použity 2 derivace (jejich použití je značně omezené z důvodu obtíží při jejich výpočtu).

Seznam neomezených optimalizačních metod

Při použití vícerozměrného vyhledávání bez použití derivátů jsou neomezené metody optimalizace následující:

Hook and Jeeves (provádějící 2 typy vyhledávání - na základě vzoru a průzkumné);
minimalizace správným simplexem (hledání minimálního bodu odpovídající funkce porovnáním jejích hodnot ve vrcholech simplexu při každé jednotlivé iteraci);
cyklický souřadnicový sestup (použití souřadnicových vektorů jako referenčních bodů);
Rosenbrock (založený na použití jednorozměrné minimalizace);
minimalizace pomocí deformovaného simplexu (úprava minimalizační metody pomocí běžného simplexu: přidání procedury stlačení a natažení).

V situaci použití derivací v procesu vícerozměrného vyhledávání se rozlišuje metoda nejstrmějšího sestupu (nejzásadnější postup pro minimalizaci diferencovatelné funkce s více proměnnými).

Existují také další metody, které používají konjugované směry (Davidon-Fletcher-Powell metoda). Jeho podstatou je znázornění směrů hledání jako Dj*grad(f(y)).

Klasifikace matematických optimalizačních metod

Konvenčně, na základě dimenze funkcí (cíl), jsou to:

s 1 proměnnou;
multidimenzionální.

V závislosti na funkci (lineární nebo nelineární) existuje velké množství matematických metod zaměřených na nalezení extrému k řešení problému.

Na základě kritéria pro použití derivací se matematické optimalizační metody dělí na:

metody pro výpočet 1 derivace účelové funkce;
multidimenzionální (1. derivace-vektorová veličina-gradient).

Na základě účinnosti výpočtu existují:

metody pro rychlý výpočet extrému;
zjednodušený výpočet.

Toto je podmíněná klasifikace uvažovaných metod.

Optimalizace obchodních procesů

Zde lze použít různé metody v závislosti na řešených problémech. Pro optimalizaci obchodních procesů je obvyklé rozlišovat následující metody:

výjimky (snížení úrovní stávajícího procesu, odstranění příčin rušení a příchozí kontroly, snížení přepravních cest);
zjednodušení (usnadněné zpracování objednávek, snížení složitosti struktury produktu, rozložení práce);
standardizace (použití speciální programy, metody, technologie atd.);
akcelerace (paralelní inženýrství, stimulace, provozní návrh prototypů, automatizace);
změna (změny surovin, technologie, pracovních metod, personálního obsazení, pracovních systémů, objemu zakázek, postupů zpracování);
zajištění interakce (ve vztahu k organizačním jednotkám, personálu, systému práce);
výběr a zařazení (ve vztahu k nezbytným procesům, komponentám).

Daňová optimalizace: metody

Ruská legislativa poskytuje daňovému poplatníkovi velmi bohaté možnosti snížení daní, proto je zvykem takové metody směřující k jejich minimalizaci rozlišovat na obecné (klasické) a speciální.

Obecné metody daňové optimalizace jsou následující:

vývoj účetních politik společnosti s maximem možná aplikace pokud Ruská legislativa možnosti (postup při odepisování IBP, volba způsobu výpočtu tržeb z prodeje zboží atd.);
optimalizace prostřednictvím smlouvy (uzavření preferenčních transakcí, jasné a kompetentní použití formulací atd.);
uplatnění různých druhů výhod a osvobození od daně.

Druhou skupinu metod mohou také používat všechny společnosti, ale stále mají spíše úzký rozsah použití. Speciální metody daňové optimalizace jsou následující:

nahrazení vztahů (operace, která zahrnuje zatěžující zdanění, je nahrazena jinou, což umožňuje dosáhnout podobného cíle, ale zároveň využít zvýhodněné daňové zacházení).
rozdělení vztahů (nahrazení pouze části obchodní transakce);
odklad platby daně (odložení okamžiku vzniku zdanitelného předmětu na jiné kalendářní období);
přímé snížení předmětu zdanění (zbavení se mnoha zdanitelných plnění nebo majetku, aniž by to mělo negativní dopad na hlavní ekonomická aktivita společnosti).