Уроки математики: умножение на ноль – главное правило. Почему нельзя делить на ноль? Наглядный пример Сколько получится если умножить на 0
Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.
Вконтакте
Кто в итоге прав
Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.
Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:
У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!
Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу - оно нелогично, хоть и имеет обратную цель - призвать к логике.
Что такое умножение
Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение - это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
Из этого уравнения следует вывод, что умножение - это упрощённое сложение .
Что такое ноль
Любой человек с самого детства знает: ноль - это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе - они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения - это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.
Можно ли умножать на пустоту
Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же - ноль.
Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:
- Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
- Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
- Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Ведь съесть яблоко 0 раз - это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути - выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль - это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай - всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.
Деление
Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:
На ноль делить нельзя!
Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.
Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание - неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.
Расскажу тебе позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1 как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
МКОУ Сарыбалыкская СОШ
Учитель начальных классов: Маковеева Марина Валентиновна
Урок математики в 4 классе. (учебник для специальных (коррекционных)образовательных учреждений VIII вида, автор М. Н. Перова)
Тема: «Умножение числа нуль и на нуль. Деление нуля».
Цель: познакомить с правилом умножения числа 0 и на 0, деления 0;закреплять знание таблицы умножения, умение решать задачи изученных видов; учить рассуждать и делать выводы.
Планируемые результаты: учащиеся научатся выполнять умножение 0 на число, число на 0, делить 0; пользоваться таблицей умножения и деления; решать задачи изученных видов; оценивать правильность выполнения действий.
Оборудование: карточки для игры “Почтальон”; таблица с геометрическими фигурами, раздаточный материал, персональный компьютер , медиа-проектор, учебник «Математика» М. Н. Перова (4 класс ).
Тип урока: новая тема.
Вид урока: урок-игра .
Ход урока
I . Орг. момент:
Проверка домашнего задания.
II . Устный счет.
Учитель : вспоминаем табличное умножение и деление. Сейчас мы поиграем в игру “Почтальоны”. Света, ты будешь почтальоном. На доске домики с номерами. Твоя задача - взять пример-письмо, правильно его решить и определить в какой дом нам нужно отнести письмо.
3х4 2х2 9х2 3х1 3х8 25:5
6х2 16:4 3х6 9:3 6х4 5:1
4:1 3:1
Учитель : вставьте пропущенный знак действия.
4…0=4 1…3=4 5…1=6
4…4=0 1…3=3 5…1=5
3…3=0 1…0=1 9…0=0
III . Знакомство с новым материалом
ПРО НОЛЬ
Напрасно думают, что ноль
Играет маленькую роль,
Когда-то многие считали
Что ноль не значит ничего
И, как ни странно полагали
Что он совсем не есть число.
Но о его особых свойствах
Мы поведем теперь рассказ
Коль ноль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число
Попав как множитель средь чисел
Он мигом сводит все на нет
И потому в произведенье
Один за всех несет ответ
А относительно деленья
Нам твердо помнить нужно то,
Что уж давно в научно мире
Делить на ноль запрещено
И впрямь: какое из известных
Число за частное нам взять
Когда с нулем в произведенье
Все числа ноль лишь могут дать
Учитель : Давай проверим, все ли в стихотворении правильно:
7+0=7 7-0=7 7·0=0 7:0
Учитель : применим переместительное свойство умножения и заменим умножение сложением: 7·0=0·7=0+0+0+0+0+0+0=0
Что получилось?
Учитель : мы знаем, что деление проверяется умножением: тогда частное умножим на 0 - должно получиться 7, но это не возможно! Какое бы число мы не умножали на 0, всегда в произведении будет 0.
IV . Физминутка
V . Закрепление изученного материала
1.Решение задачи (с.143 № 7)
Учитель : о чем говорится в задаче?
Ученик: о ремонте, фундаменте, кирпичах.
Учитель : что нужно узнать?
Ученик: сколько кирпичей осталось уложить.
Учитель : сможем ли мы сразу ответить на этот вопрос?
Ученик: нет.
Учитель : почему?
Ученик: потому что мы не знаем, сколько кирпичей рабочий использовал.
Учитель : сможем ли мы это узнать?
Ученик: да.
Учитель : каким действием?
Ученик: делением.
Учитель : сможем ли мы теперь ответить на вопрос задачи?
Ученик: да.
Учитель : каким действием?
Ученик: вычитанием.
Учитель : сколько же кирпичей осталось уложить рабочему?
Ученик: (40:5=8, 40-8=32) 32 кирпича.
2.Самостоятельная работа (с. 144 № 18)
7*0 7:1 3*0 8:1
7*1 0*7 0*3 0:8
1*6 0*1 3*1 0*8
0*6 0:1 1*3 0*1
3. Работа у доски (с. 144 № 11)
7*0 0*8 0:5 1*3 5+0
7+1 0:8 6*0 1+3 5*0
7-1 8+0 8-0 4-1 5-1
VI . Повторение
1.Круговые примеры
Учитель: Мы будем лесниками. Нам надо определить высоту некоторых деревьев, для этого необходимо решить круговые примеры.
2. Арифметический диктант
Учитель : А сейчас будем стенографистами. Я диктую, а ты записываешь - стенографируешь с помощью карточек.
Сумму чисел 45 и18 (45+18=63)
Произведение чисел 8 и 3 (8*3=24)
Разность чисел 35 и 7 (35-7=22)
Частное чисел 20 и 4 (20:4=5)
3.Геометрический материал.
Учитель : последнее задание. Какие геометрические фигуры вы видите?
Посчитайте и скажите, сколько раз встречается каждая фигура.
(Круг - 12, квадрат - 6, треугольник - 6, прямоугольник - 5.)
VII . Рефлексия
Самостоятельное выполнение с. 144 № 17 (1,2 ст.). Ответы записаны на доске:0,0,0;5,5,5.
Оцени свою работу на уроке смайликом.
VIII. Домашнее задание
С. 144 № 12.
Рассмотрим пример умножения на ноль целого числа. Сколько будет, если 2 (два) умножить на 0 (ноль)? Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. И не важно, известно нам это число, или не известно.
Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.
Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых. Пять умножить на ноль — равняется нулю 5 х 0 = 0 Правило умножения на ноль смотрите выше по тексту. Чатыри умножить на ноль бесплатно — бесплатно отвечаю, что будет ноль. В нагрузку бесплатная справка — слово «четыре» пишется чуть-чуть иначе, чем пишите вы в своем поисковом запросе.
https://youtu.be/EGpr23Tc8iY
Там, где в математике встречается ноль, логика бессильна
Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами. Оно появилось в комментариях и чем-то меня зацепило. Вопрос Студента: А теперь, уважаемый автор, умножьте, пожалуйста, ноль на ноль и скажите, сколько получится в результате?
Я в своей статье «Что есть ноль» уже объяснил где её можно применять. Нужно просто брать те ответы, которые пишут в учебниках: ноль, умноженный на ноль, равняется нулю; на ноль делить запрещено. Из всех обозримых вариантов умножения и деления на ноль ученые неучи выбрали самый приемлемый и удобоваримый вариант.
С делением на ноль у меня лично никаких проблем нет. Про связь между формулой Герона и 0/0=1 слышу впервые. Однако есть что-то нечистое в математике. Проблемы с возведением нуля в нулевую и отрицательную степень. Но с таким же успехом можно сказать, что 0^2 тоже не имеет смысла, потому как 0^2=0^5/0^3=0/0, а на ноль делить нельзя.
Ноль в нулевой степени — выражение, не имеющее смысла. Ноль в нулевой степени равняется единице — так показывают формулы. Это количество чего угодно, каких-то реальных, материальных вещей, можно умножить на число. При этом количество чего-то выражается только нулем или положительным числом.
Все в единицах и в математике на данном уровне в порядке. Это условность, градусы не могут быть выражены количеством, поэтому умножить их на число нельзя. Где-то на этом сайте есть Дурнев со своими вопросами по школьной программе, в том числе и по математике. Может, его придумали точно так же, как и ноль? Чтобы наложить определенные правила и подчинить им всех остальных людей. Чего только человек не сделает ради себя, любимого.
Достаточно того, что в учебниках часто пишут «принадлежит множеству натуральных чисел» даже тогда, когда это выполняется для всех чисел, за исключением комплексных. Бесконечное число нулей в нуле — это выдумки шаманов для пещерных людей:) Если закрыть глаза, то всё, на что мы смотрим, будет выглядеть одинаково черным. Умножение на ноль нужно начинать рассматривать совсем с другого конца. Что такое умножение?
Достаточно понять, что такое умножение, тогда вопрос с результатом умножения на ноль сам собою решится. 2 яблока, и пытаясь умножить их на 0 яблок, в результате мы теряет свои 2 яблока. Судя по всему, те, кто это спрашивает, потеряли как минимум по одной цифре в начале каждого числа. 10 и 11 — здесь уместно говорить о процентах.
И интересно как при делении 0 на любое число вы это число сможете вычитать вообще (пусть даже и ноль раз)..
Не может так просто от умножения стать ноль! Значит математика это не точная наука? Кто то когда то придумал это «правило» не известно для чего. Ваша математика ошибается. На практике, вся эта математическая тема с умножением на 0, не может быть!!! Как 10 чего-нибудь желая приумножить, пусть даже на 0 — получится 0?? Если конечно 0 не является черная дыра, или 0 как проиграшь, в никуда, ноль — как пустота, ничто, но такого быть не может….
Если не можете что то разделить (те же 5 яблок на 0 воображаемых корзин) то записывается результат целого числа и остаток при таком делении… 0 можно умножать многократно (типа ходил в лес 15 раз и не нашел грибов…
Например, делим 5 яблок на ноль человек; вычисляем,во сколько раз 5 градусов Цельсия больше нуля градусов Цельсия. Из этого всего скорее нельзя умножать на 0 (так как по определению умножения это НЕЛЬЗЯ записать с помощью операции сложения) и делить сам 0 на что то… так как ответ не может быть определен…
Подмена понятий происходит при самом умножении на ноль… Запомните любое число или операция с числами умноженное на ноль АННИГИЛИРУЕТСЯ… Иными словами не происходит самой операции при умножении на ноль и ее можно просто «не учитывать»… Так, вы украли мою идею!))) Впервые встречаю более-менее четкое понимание умножения и деления на ноль. Будем мы это считать математическими операциями, или не будем — математике глубоко плевать.
Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.
При каких значениях икса верно равенство: ноль умноженное на икс равняется ноль? — данное равенство верно при любых значениях икс. Говорят, что это равенство имеет бесконечное множество решений. С математикой было несколько проще. Самым естественным образом на мою природную безграмотность накладываются банальные опечатки при наборе текста.
Я противник тех проповедей, которые читают нам математики и на которые мы все))) ссылаемся. С этим уравнением была совсем друга история. Может такое быть или не может? Немного подумав, я «провел мысленный эксперимент»))) и представил эту ситуацию. Где-то в черновиках валяются все выкладки по этому поводу. Вы лукавите То что не принято в широких кругах, не обязательно является не правдой.
Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Кто сказал, что ноль — это число? Математики? 0 + 5/0… ноль и пять (нулевых) в остатке … и тогда все сходится и все довольны… Да на самом деле сложностей не так много. Проблема в том как воспринимать Ноль (как число или как нечто пустое) и что подразумевать под умножением…
Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.
Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.
В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.
В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.
Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.
В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.
Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.
Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.
В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.
В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.
Суть действия
Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.
Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.
При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.
Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.
Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.
Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.
Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.
Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.
В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.
Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.
Целесообразность попыток
Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.
По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.
Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.
В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.
Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.
Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль - яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.
История нуля
Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.
Математические действия с нулем
Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.
Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).
Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).
Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).
Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.
Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).
Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).
При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.
Парадоксы математики
О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.
Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.
Сложение и умножение
Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность - это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.
Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.
Примеры на деление на 0
Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.
Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».
Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.
Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление - это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?
Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.
Высшая математика
Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:
- бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
- бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
- единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
- бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
- некоторые другие.
Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.
Раскрытие неопределенности
В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:
Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.
При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.
Метод Лопиталя
В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь - французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.
