Pradinis lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019 m.)

Kam reikalingi laipsniai? Kur jums tai naudinga? Kodėl reikia skirti laiko jų studijoms?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kodėl jie reikalingi, kaip panaudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, žinodami laipsnius, priartėsite prie sėkmingo egzamino ar egzamino išlaikymo ir įstojimo į savo svajonių universitetą.

Paleisk ... (eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote abrakadabrą, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL + F5 („Windows“) arba „Cmd + R“ („Mac“).

PRADINIS LYGIS

Padidinti galią yra tokia pati matematinė operacija kaip sudėti, atimti, padauginti ar padalyti.

Dabar paaiškinsiu viską žmonių kalba naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Būkite dėmesingi. Pavyzdžiai yra elementarūs, tačiau paaiškinantys svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Čia nėra ką paaiškinti. Jūs jau žinote viską: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek viso kolos? Dešinėje - 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tas pats pavyzdys su kola gali būti parašytas kitu būdu:. Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos „suskaičiuoti“ greičiau. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo vienodą skaičių kolos butelių ir sugalvojo metodą, vadinamą daugyba. Sutikite, jis laikomas lengvesniu ir greitesniu.

  Taigi, norint skaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, jums tereikia atsiminti daugybos lentelė. Žinoma, viską galite padaryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet ...

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite tai.

Ir dar vienas, gražesnis:

O kokias kitas sudėtingas skaičiavimo technikas sugalvojo tingūs matematikai? Dešinė - ekspansija.

Galios kėlimas į valdžią

Jei jums reikia padauginti skaičių iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad reikia padidinti šį skaičių iki penktosios galios. Pavyzdžiui,. Matematikai prisimena, kad tai yra du – penktasis laipsniai. Ir jie išsprendžia tokias mintis - greičiau, lengviau ir be klaidų.

Norėdami tai padaryti, tiesiog atsiminkite, kas paryškinta skaičių laipsnių lentelėje. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratu   skaičiai, o trečiasis - kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratus, ir kubus.

Gyvenimo pavyzdys Nr. 1

Pradėkime nuo kvadrato arba antros skaičiaus galios.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra vienas metras. Baseinas yra jūsų sodyboje. Šiluma ir tikrai norisi plaukti. Bet ... baseinas yra be dugno! Būtina baseino dugną uždengti plytelėmis. Kiek jums reikia plytelių? Norėdami tai nustatyti, turite sužinoti apatinį baseino plotą.

Galite tiesiog suskaičiuoti, kišdami pirštu, kad baseino dugnas susideda iš kubinių metrų metrui. Jei turite plyteles po metrą, jums reikės gabalų. Tai lengva ... Bet kur jūs matėte tokią plytelę? Plytelės bus labiau matomos per cm, o tada jus kankins „pirštu suskaičiuoti“. Tada jūs turite padauginti. Taigi, vienoje baseino dugno pusėje mes pritvirtinsime plyteles (gabalus), o kitoje - taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių mes padauginome savaime? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius yra dauginamas, galime naudoti „eksponavimo“ metodą. (Be abejo, kai turite tik du skaičius, tai yra tas pats, kad padaugintumėte juos arba padidintumėte iki galios. Bet jei jų turite daug, tada pakelti į galią yra daug lengviau ir skaičiavimuose yra mažiau klaidų. NAUDOJIMUI tai labai svarbu).
  Taigi trisdešimt antrame laipsnyje bus (). Arba galite pasakyti, kad trisdešimt bus kvadratas. Kitaip tariant, antroji skaičiaus galia visada gali būti pavaizduota kaip kvadratas. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra kažkokio skaičiaus antrasis laipsnis. Kvadratas yra skaičiaus antros galios vaizdas.

Gyvenimo pavyzdys Nr. 2

Štai jums užduotis apskaičiuoti, kiek kvadratų yra šachmatų lentoje, naudojant skaičiaus kvadratą ... Vienoje langelio pusėje, kitoje - taip pat. Norėdami apskaičiuoti jų skaičių, jums reikia aštuonių kartų aštuonių arba ... Jei pastebėsite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su šonu, galite kvadratą padaryti aštuonis. Tai pasirodys ląstelės. () Taigi?

3 gyvenimo pavyzdys

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus galia. Tas pats baseinas. Bet dabar jūs turite sužinoti, kiek vandens reikės išpilti į šį baseiną. Turite apskaičiuoti garsumą. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Netikėtai, tiesa?) Nubrėžkite baseiną: dugnas yra metro dydžio ir metro gylis ir pabandykite apskaičiuoti, kiek bendro kubinių metrų metre pateks į jūsų baseiną.

Nukreipkite tiesiai ir suskaičiuokite! Vienas, du, trys, keturi ... dvidešimt du, dvidešimt trys ... Kiek tai veikė? Nepametė Ar sunku suskaičiuoti pirštą? Tai viskas! Paimkite pavyzdį iš matematikų. Jie tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams ... Ar lengviau lengviau?

Dabar įsivaizduokite, kokie matematikai yra tingūs ir gudrūs, jei jie tai taip pat supaprastino. Jie viską sumažino iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra vienodi ir kad tą patį skaičių padauginsi pats ... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką jūs kadaise laikėte pirštu, jie atlieka vieną veiksmą: trys kubo lygyje. Jis parašytas taip:.

Lieka tik prisimink laipsnių lentelę. Jei jūs, žinoma, esate tokie pat tingūs ir gudrūs kaip matematikai. Jei jums patinka sunkiai dirbti ir klysti, galite toliau skaičiuoti pirštu.

Na, kad galutinai įtikintum, kad laipsnius išrado mokiniai ir gudrybės, kaip išspręsti jų gyvenimo problemas, o ne siekiant sukurti tau problemų, pateikiame dar keletą pavyzdžių iš gyvenimo.

Gyvenimo pavyzdys Nr. 4

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje jūs uždirbate dar vieną milijoną iš kiekvieno milijono. Tai yra, kiekvienas iš jūsų milijono padvigubėja kiekvienų metų pradžioje. Kiek pinigų turėsi per metus? Jei dabar sėdite ir „skaičiuojate kaip ant piršto“, tada esate labai darbštus žmogus ir ... kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per kelias sekundes, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du kartus du ... antraisiais metais - kas atsitiko, dar dvejais, trečiais metais ... Stop! Jūs pastebėjote, kad skaičius vieną kartą padaugėja. Taigi, du iki penkto laipsnio - milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tie, kurie jį greičiau laimės, gaus tuos milijonus ... Verta prisiminti skaičių laipsnius, kaip jūs manote?

Gyvenimo pavyzdys Nr. 5

Jūs turite milijoną. Kiekvienų metų pradžioje jūs uždirbate dar du už kiekvieną milijoną. Puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas trigubai. Kiek pinigų turėsi per metus? Skaičiuokime. Pirmieji metai - padaugink iš, tada rezultatas iš kitų ... Jau nuobodu, nes jau viską supranti: tris kartus padaugini pats. Taigi ketvirtuoju laipsniu yra lygus milijonui. Jums tiesiog reikia atsiminti, kad trys ketvirtame laipsnyje yra arba.

Dabar jūs žinote, kad pakėlę galią į valdžią, jūs palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką turite žinoti apie juos.

Sąvokos ir sąvokos ... nereikia supainioti

Taigi, pradedantiesiems, apibrėžkime sąvokas. Ar tu galvoji? kas yra eksponentas? Tai labai paprasta - tai skaičius, kuris yra „viršuje“ nuo skaičiaus galios. Ne moksliškai, bet suprantama ir lengvai įsimenama ...

Na, tuo pačiu ir tai toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, esantis apačioje, apačioje.

Čia yra ištikimybės piešinys.

Na, bendrai tariant, norint apibendrinti ir geriau atsiminti ... Laipsnis su baze "" ir rodiklis "" skaitomi kaip "laipsnis" ir rašomas taip:

Skaičiaus laipsnis su natūraliu indikatoriumi

Tikriausiai jau spėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Pradinis! Natūralūs skaičiai yra tie skaičiai, kurie sąskaitoje naudojami perduodant daiktus: vienas, du, trys ... Bet kai mes vertiname daiktus, mes nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis taško penkis taškus dešimt“. Tai nėra natūralūs skaičiai. O kokius skaičius jūs manote?

Skaičiai, tokie kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“, reiškia sveikieji skaičiai.   Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūralius skaičius, skaičius, priešingus natūraliesiems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu), ir skaičių. Nesunku suprasti nulį - tai yra tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Bet jie buvo sugalvoti pirmiausia norint nurodyti skolas: jei telefone yra rublių, tai reiškia, kad skolingi operatoriaus rubliams.

Visos trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūraliųjų skaičių, kad būtų galima išmatuoti ilgį, svorį, plotą ir kt. Ir jie sugalvojo racionalieji skaičiai... Įdomu, tiesa?

Taip pat yra neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, begalinis dešimtainis. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetras padalijamas iš jo skersmens, gaunamas neracionalus skaičius.

Santrauka:

Mes apibrėžiame laipsnio sąvoką, kurios eksponentas yra natūralusis skaičius (t. Y. Sveikasis ir teigiamasis).

1. Bet kuris pirmojo laipsnio skaičius yra lygus sau:
2. Skaičiuoti skaičių reiškia padauginti jį iš savęs:
3. Pakelti skaičių į kubą reiškia jį padauginti iš trijų kartų:

Apibrėžimas   Jei norite padidinti skaičių iki natūralios galios, skaičių reikia padauginti iš savęs vieną kartą:
.

Laipsnio savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau dabar parodysiu.

Pažiūrėkime: kas yra   ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek iš viso yra veiksnių?

Labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnių, taigi ir gavome veiksnius.

Bet iš esmės tai yra skaičiaus laipsnis su rodikliu, tai yra: būtent tai ir reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys:   Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:   Svarbu pažymėti, kad tai yra mūsų taisyklė būtinai   turi būti tas pats pagrindas!
  Todėl mes deriname laipsnius su baze, tačiau išlieka atskiras faktorius:

tik laipsnių sandaugai!

Jokiu būdu negalima to parašyti.

2. tai yra skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, mes kreipiamės į laipsnio apibrėžimą:

Pasirodo, kad išraiška padaugėja iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra i-oji skaičiaus galia:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus išleidimu iš skliaustų“. Bet niekada to negalima padaryti iš viso:

Prisiminkite sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų mes norėjome parašyti?

Bet tai galų gale nėra tiesa.

Neigiamas bazinis laipsnis

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet koks turėtų būti pagrindas?

Laipsniais su fizinis indikatorius   bazė gali būti bet koks skaičius. Iš tikrųjų bet kurį skaičių galime dauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie būtų teigiami, ir neigiami, ar net.

Pagalvokime, kokie ženklai („“ ar „“) turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnį?

Pvz., Ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? Kas? ? Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiamų skaičių padauginsime vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Bet su negatyvu šiek tiek įdomiau. Prisimename paprastą 6 klasės taisyklę: „nuo minus iki minus duoda pliuso“. Tai yra, arba. Bet jei padauginsime iš, tai pasiteisins.

Nuspręskite, kokį simbolį turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar tu tai padarei?

Čia yra atsakymai: Tikiuosi, kad pirmaisiais keturiais pavyzdžiais viskas aišku? Pakanka pažvelgti į pagrindą ir eksponentą ir pritaikyti tinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, koks pagrindas - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, išskyrus atvejus, kai bazė lygi nuliui. Argi pamatas nėra lygus? Aišku ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nėra taip paprasta!

6 mokymo pavyzdžiai

Apibendrinimas 6 pavyzdžiai

Jei nekreipiate dėmesio į aštuntą laipsnį, ką mes čia matome? Prisimename 7 klasės programą. Taigi, atsimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos, būtent kvadratų skirtumo, formulė! Mes gauname:

Atidžiai pažvelkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Ne ta tvarka. Jei juos pakeisite, galėtumėte pritaikyti taisyklę.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, labai lengva: lygus vardiklio laipsnis mums čia padeda.

Terminai buvo stebuklingai pakeisti. Šis „reiškinys“ bet kuria išraiška yra taikomas tolygiai: mes galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.

Bet svarbu atsiminti: visi požymiai keičiasi tuo pačiu metu!

Grįžti į pavyzdį:

Ir vėl formulė:

Visas   mes vadiname natūraliaisiais skaičiais, esančiais priešais juos (tai yra, paimtu ženklu "") ir numeriu.

teigiamas sveikasis skaičius, ir jis niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo tiksliai taip, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet kuris skaičius nuliniame laipsnyje yra lygus vienetui:

Kaip visada, mes savęs klausiame: kodėl taip yra?

Apsvarstykite tam tikrą laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, mes padauginome skaičių iš, ir gavome tokį patį, koks buvo. O iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Dešinėje. Tai reiškia.

Tą patį galime padaryti ir su savavališku skaičiumi:

Pakartokite taisyklę:

Bet kuris skaičius nuliniame laipsnyje yra lygus vienetui.

Tačiau daugeliui taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turėtų būti lygus bet kuriam laipsniui - nesvarbu, kiek kartų padauginsi nulį iš savęs, vis tiek gausi nulį, tai yra aišku. Bet, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniame laipsnyje, jis turėtų būti lygus. Taigi kokia to tiesa? Matematikai nusprendė nedalyvauti ir atsisakė pakelti nulį iki nulio. T. y., Dabar mes galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulio.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima neigiamus skaičius. Norėdami suprasti, kas yra neigiamas laipsnis, mes tai darysime paskutinį kartą: kai kurį normalųjį skaičių padauginsime iš to paties neigiamame laipsnyje:

Čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar gautą taisyklę pratęsiame savavališkai:

Taigi mes suformuluojame taisyklę:

Skaičius yra neigiamas atvirkščiai, tuo pačiu skaičiumi teigiamu laipsniu. Bet tuo pat metu bazė negali būti niekinė:   (nes neįmanoma padalyti).

Apibendrinant:

I. Išraiška byloje nėra apibrėžta. Jei tada.

II. Bet kuris nulio laipsnio skaičius lygus vienetui:.

III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui, yra neigiamas atvirkščiai tam pačiam skaičiui teigiamu laipsniu:.

Savarankiško sprendimo uždaviniai:

Na, ir, kaip įprasta, savarankiško sprendimo pavyzdžiai:

Savarankiško sprendimo užduočių analizė:

Aš žinau, žinau, skaičiai yra baisūs, tačiau per egzaminą turite būti pasiruošę viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko to išspręsti, ir per egzaminą sužinosite, kaip lengvai su jais susidoroti!

Mes ir toliau plečiame skaičių ratą, „tinkantį“ kaip eksponentą.

Dabar apsvarstykite racionalieji skaičiai.   Kokie skaičiai vadinami racionaliaisiais?

Atsakymas: viskas, kas gali būti pavaizduota kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai, be to.

Norėdami suprasti, kas yra Trupmeninis laipsnis, atsižvelkite į trupmeną:

Padidinkite abi lygties puses iki galios:

Dabar atsiminkite apie "Laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti, kad gautum?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite man jums priminti: skaičiaus n-osios galios šaknis () yra skaičius, kuris, padidinus galią, yra lygus.

Tai yra, n-ojo laipsnio šaknis yra atvirkštinė operacija, kelianti laipsnį:.

Pasirodo, kad. Akivaizdu, kad šį konkretų atvejį galima išplėsti:.

Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai? Atsakymas lengvai gaunamas naudojant taisyklę „laipsnis laipsnis“:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.

Nieko!

Primename taisyklę: bet kuris skaičius, padidintas iki lygios galios, yra teigiamas skaičius. T. y., Neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lygių šaknų!

Ir tai reiškia, kad tokie skaičiai negali būti pakelti iki trupmeninės galios, naudojant net vardiklį, ty išraiška neturi prasmės.

O kaip išraiška?

Tačiau yra problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, pavyzdžiui, mažinamos trupmenos, arba.

Ir paaiškėja, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada jūs galite jį užrašyti. Bet jei rodiklį rašome kitaip ir vėl gauname nepatogumų: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Norėdami išvengti tokių paradoksų, mes manome tik teigiamas laipsnis su trupmeniniu eksponentu.

Taigi jei:

• - natūralusis skaičius;
• Yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai, turintys racionalųjį eksponentą, yra labai naudingi, norint transformuoti išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 mokymo pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, o dabar - sunkiausia. Dabar mes analizuosime laipsnis su neracionaliu rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra visiškai tokios pačios kaip laipsnių su racionaliu rodikliu, išskyrus

Iš tikrųjų iracionalieji skaičiai iš tikrųjų yra skaičiai, kurių negalima pateikti kaip trupmenų, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalūs skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, neatsiejamu ir racionaliu rodikliu, mes kiekvieną kartą sudarydavome savotišką „įvaizdį“, „analogiją“ arba aprašymą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliu rodikliu yra skaičius, kelis kartus padaugintas iš savęs;

...skaičius iki nulio   - tai yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio tuščias“, būtent skaičius;

...neigiamas sveikasis skaičius   - tarsi įvyktų tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, kad skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtiniu rodikliu, tai yra, rodiklis nėra net tikras skaičius.

Tačiau mokykloje negalvojame apie tokius sunkumus, kad suprastumėte šias naujas idėjas, turėsite galimybę institute.

Kur tikri, kad einate! (jei išmoksite išspręsti tokius pavyzdžius :))

Pvz .:

Nuspręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo įprastos laipsnių pakėlimo į laipsnius taisyklės:

Dabar pažvelk į indikatorių. Ar jis tau ką nors primena? Primename kvadratų skirtumų sutrumpinto daugybos formulę:

Tokiu atveju

Pasirodo, kad:

Atsakymas yra: .

2. Davome eksponentų trupmenas į tą pačią formą: tiek dešimtaines, tiek abi paprastąsias. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, pritaikykite įprastas laipsnių savybes:

IŠANKSTINIS LYGIS

Laipsnio nustatymas

Laipsnis yra formos išraiška:, kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliu indikatoriumi (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Pakelti skaičių iki natūralios galios n reiškia padauginti skaičių iš savęs vieną kartą:

Laipas su sveikojo skaičiaus eksponentu (0, ± 1, ± 2, ...)

Jei eksponentas yra visas teigiamas   skaičius:

Erekcija iki nulio laipsnio:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, tai bet kokiu laipsniu tai yra, kita vertus, bet kuris skaičius iki n-ojo laipsnio yra toks.

Jei eksponentas yra visas neigiamas   skaičius:

(nes neįmanoma padalyti).

Dar kartą apie nulius: išraiška šiuo atveju nėra apibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Laipsnis su racionaliu rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• Yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnio savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Mes jiems įrodome.

Pažiūrėkime: kas yra ir kas?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios frazės pusėje mes gauname šį produktą:

Bet iš esmės tai yra skaičiaus laipsnis su rodikliu, tai yra:

Kuris turėjo būti įrodytas.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklė būtinaituri būti tas pats pagrindas. Todėl mes deriname laipsnius su baze, tačiau išlieka atskiras faktorius:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė yra - tik laipsnių sandaugai!

Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, mes kreipiamės į laipsnio apibrėžimą:

Mes pertvarkome šį produktą taip:

Pasirodo, kad išraiška padaugėja iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra i-oji skaičiaus galia:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus išleidimu iš skliaustų“. Bet niekada to negalima padaryti iš viso:!

Prisiminkite sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų mes norėjome parašyti? Bet tai galų gale nėra tiesa.

Laipsnis su neigiama baze.

Iki tos akimirkos svarstėme tik tai, kas turėtų būti indikatorius   laipsnių. Bet koks turėtų būti pagrindas? Laipsniais su natūralus indikatorius   bazė gali būti bet koks skaičius .

Iš tikrųjų bet kurį skaičių galime dauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie būtų teigiami, ir neigiami, ar net. Pagalvokime, kokie ženklai („“ ar „“) turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnį?

Pvz., Ar skaičius yra teigiamas ar neigiamas? Kas? ?

Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiamų skaičių padauginsime vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.

Bet su negatyvu šiek tiek įdomiau. Prisimename paprastą 6 klasės taisyklę: „nuo minus iki minus duoda pliuso“. Tai yra, arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.

Ir taip iki begalybės: su kiekvienu paskesniu dauginimu ženklas pasikeis. Galite suformuluoti tokias paprastas taisykles:

1. net   laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius padidintas keista   laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kuriuo laipsniu yra lygus nuliui.

Nuspręskite, kokį simbolį turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar tu tai padarei? Čia yra atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Tikiuosi, kad pirmaisiais keturiais pavyzdžiais viskas aišku? Pakanka pažvelgti į pagrindą ir eksponentą ir pritaikyti tinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, koks pagrindas - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, išskyrus atvejus, kai bazė lygi nuliui. Argi pamatas nėra lygus? Aišku ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kuris yra mažesnis: ar? Jei tai atsimenate, paaiškėja, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, mes taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl mes naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - surašome laipsnių apibrėžimą ir, padaliję juos vienas į kitą, padaliname į porą ir gauname:

Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręsime keletą pavyzdžių.

Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:

Sprendimai :

Jei nekreipiate dėmesio į aštuntą laipsnį, ką mes čia matome? Prisimename 7 klasės programą. Taigi, atsimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos, būtent kvadratų skirtumo, formulė!

Mes gauname:

Atidžiai pažvelkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Ne ta tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę, bet kaip tai padaryti? Pasirodo, labai lengva: lygus vardiklio laipsnis mums čia padeda.

Padauginus iš jo, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar paaiškėja taip:

Terminai buvo stebuklingai pakeisti. Šis „reiškinys“ bet kuria išraiška yra taikomas tolygiai: mes galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Bet svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi tuo pačiu metu!Negalite pakeisti, pakeisdami tik vieną neigiamą mums nepriimtiną dalyką!

Grįžti į pavyzdį:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: atskleisime laipsnio sąvoką ir supaprastinsime:

Na, dabar atidarysime skliaustus. Kiek laiškų gauni? kartus pagal veiksnius - kuo tai primena? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas. daugybos: visi buvo daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą yra skaičiaus laipsnis su rodikliu:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliu indikatoriumi

Be informacijos apie vidurinį lygį, mes analizuosime laipsnį neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra visiškai tokios pačios kaip laipsnio su racionaliu rodikliu, išskyrus - iracionalieji skaičiai pagal apibrėžimą yra skaičiai, kurių negalima pateikti kaip trupmenų, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalūs skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalųjį).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, neatsiejamu ir racionaliu rodikliu, mes kiekvieną kartą sudarydavome savotišką „įvaizdį“, „analogiją“ arba aprašymą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, laipsnis su natūraliu rodikliu yra skaičius, kelis kartus padaugintas iš savęs; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nebuvo pradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė, todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio tuščias“, būtent skaičius; laipsnis su visu neigiamu eksponentu yra tarsi įvykęs tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.

Nepaprastai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu indikatoriumi (lygiai taip pat sunku įsivaizduoti 4 matmenų erdvę). Atvirkščiai, tai yra visiškai matematinis objektas, kurį sukūrė matematikai, kad laipsnio samprata būtų išplėsta visoje skaičių erdvėje.

Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su sudėtiniu rodikliu, tai yra, rodiklis nėra net tikras skaičius. Tačiau mokykloje negalvojame apie tokius sunkumus, kad suprastumėte šias naujas idėjas, turėsite galimybę institute.

Taigi ką daryti, jei pamatome neracionalų eksponentą? Stengiamės jos atsikratyti iš visų jėgų! :)

Pvz .:

Nuspręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Primename kvadratų skirtumo formulę. Atsakymas:.
2. Dalis trupmenomis sumažiname iki tos pačios formos: tiek dešimtainės, tiek abi. Mes gauname, pavyzdžiui:.
3. Nieko ypatingo, pritaikykite įprastas laipsnių savybes:

SKIRSNIO SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Laipsnis   Formos išraiška vadinama:, kur:

Laipsnis su sveikojo skaičiaus indikatoriumi

galia, kurios eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius (t. y. sveikasis ir teigiamasis).

Laipsnis su racionaliu rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiamas ir trupmeninis skaičius.

Laipsnis su neracionaliu indikatoriumi

galia, kurios eksponentas yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnio savybės

Laipsnių ypatybės.

• Neigiamas skaičius padidintas net   laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas keista   laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
• Nulis lygus bet kuriam laipsniui.
• Bet kuris skaičius nuliniame laipsnyje yra lygus.

DABAR ŽODIS ...

Kaip tau patinka straipsnis? Žemiau komentaruose rašykite, patinka tai ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį naudojant laipsnio savybes.

Gal turite kokių klausimų. Arba pasiūlymai.

Rašykite komentaruose.

Ir sėkmės su egzaminais!

Paskutiniame vaizdo įrašo vadove mes sužinojome, kad kažkokio pamato laipsnis vadinamas išraiška, kuri yra paties produkto produktas, imamas lygus laipsnio rodikliui. Dabar mes tiriame keletą svarbiausių laipsnių savybių ir operacijų.

Pavyzdžiui, tą pačią bazę padauginame iš dviejų skirtingų laipsnių:

Mes pristatome visą šį darbą:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Apskaičiavę šios išraiškos reikšmę, gauname skaičių 32. Kita vertus, kaip matyti iš to paties pavyzdžio, 32 gali būti pavaizduotas kaip tos pačios bazės (dviejų) produktas, paimtas 5 kartus. Ir tikrai, jei skaičiuosi, tada:

Taigi galime drąsiai daryti išvadą, kad:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Panaši taisyklė sėkmingai veikia dėl bet kokių rodiklių ir bet kokių priežasčių. Ši laipsnio daugybos savybė išplaukia iš saviraiškos vertės išsaugojimo per virsmą kūrinyje taisyklės. Bet kurios bazės a atveju dviejų išraiškų (a) x ir (a) y sandauga yra lygi a (x + y). Kitaip tariant, kuriant bet kurias išraiškas su ta pačia baze, gautos monomijos bendrasis laipsnis yra suformuotas pridedant pirmosios ir antrosios išraiškos laipsnius.

Pateikta taisyklė taip pat puikiai tinka dauginant daugybę išraiškų. Pagrindinė sąlyga yra ta, kad visų bazės yra vienodos. Pvz .:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Neįmanoma pridėti laipsnių, o iš tikrųjų atlikti bet kokius galios įstatymų bendrus veiksmus su dviem išraiškos elementais, jei jų pagrindai skiriasi.
  Kaip parodyta mūsų vaizdo įraše, dėl daugybos ir padalijimo procesų panašumo, laipsnių pridėjimo gaminyje taisyklės puikiai pritaikomos padalijimo procedūrai. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Mes atliekame išraiškos pavertimą žodžiu į pilną formą terminu „žodžiu“ ir sumažiname tuos pačius elementus dividende ir daliklyje:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Galutinis šio pavyzdžio rezultatas nėra toks įdomus, nes jau priimant sprendimą aišku, kad išraiškos reikšmė lygi dviejų kvadratui. Ir būtent deuce gaunama atimant antrosios išraiškos laipsnį iš pirmosios laipsnio.

Norint nustatyti koeficiento laipsnį, reikia iš dalybos laipsnio atimti daliklio laipsnį. Taisyklė veikia tuo pačiu pagrindu visoms savo vertybėms ir visiems natūraliems laipsniams. Abstrakcijos forma mes turime:

(a) x / (a) y \u003d (a) x - y

Taisyklė, kuria dalijamos vienodos bazės su laipsniais, reiškia nulinio laipsnio apibrėžimą. Akivaizdu, kad ši išraiška turi tokią formą:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Kita vertus, jei skirstymą atliksime vizualiau, gausime:

(a) 2 / (a) 2 \u003d (a) (a) / (a) (a) \u003d 1

Sumažinus visus matomus frakcijos elementus, visada gaunama išraiška 1/1, tai yra viena. Todėl visuotinai pripažįstama, kad bet koks pagrindas, pakeltas iki nulio, yra lygus vienybei:

Nepriklausomai nuo a vertės.

Tačiau būtų absurdiška, jei 0 (bet kokiam dauginimui davėjas vis tiek lygus 0) kažkaip bus lygus vienybei, todėl formos (0) 0 (nuo nulio iki nulio laipsnio) išraiška tiesiog neturi prasmės, o į formulę (a) 0 \u003d 1 pridėkite sąlygą: „jei a nėra lygus 0“.

Išspręskime pratimą. Raskite išraiškos vertę:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kadangi bazė visur yra vienoda ir lygi 34, galutinė vertė bus ta pati su laipsniu (pagal aukščiau pateiktas taisykles):

Kitaip tariant:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Atsakymas: išraiška lygi vienai.

Akivaizdu, kad skaičiai su laipsniais gali būti sudėti kaip kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su savo ženklais.

Taigi, 3 ir b 2 suma yra 3 + b 2.
  3 - b n ir h 5 - d 4 suma yra 3 - b n + h 5 - d 4.

Šansai vienodi laipsniai identiškų kintamųjų   galima sudėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, arba tris kvadratus a, arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai įvairūs kintamieji   ir įvairiais laipsniais vienodi kintamieji, turi būti sudarytas iš jų ženklų papildymo.

Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + a 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas nėra lygūs dvigubai a kvadratui, bet dvigubai a.

3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra 3 b n + 3a 5 b 6.

Atėmimas   laipsniai atliekami taip pat kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti keičiami išskaitymo požymiai.

Arba:
  2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
  3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
  5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

Laipsnių dauginimas

Skaičius su laipsniais, kaip ir kitus dydžius, galima padauginti, rašant juos vieną po kito, dauginant iš jų arba be jų.

Taigi, dauginant 3 iš b 2, gauname 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
  x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
  3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
  a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Paskutiniame pavyzdyje pateiktą rezultatą galima užsisakyti pridedant tuos pačius kintamuosius.
  Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, matome, kad padauginus bet kurį iš dviejų, rezultatas yra skaičius (kintamasis), kurio laipsnis lygus suma   laipsnių terminai.

Taigi, 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų laipsnių suma.

Taigi, n .a m \u003d a m + n.

Jei n n, a faktorius laikomas tiek kartų, kiek n galia;

Ir m yra imamas kaip faktorius tiek kartų, kiek yra m galia;

Todėl laipsnius su tais pačiais pagrindais galima padauginti pridedant laipsnių eksponentus.

Taigi, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Ir x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Arba:
  4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
  b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
  (b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
  Atsakymas: x 4 - y 4.
  Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.

1. Taigi, -2 .a -3 \u003d a -5. Tai galima parašyti taip (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2. y-n .y -m \u003d y -n-m.

3. a-n .a m \u003d a m-n.

Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus lygus 2 - b 2: t.y.

Padauginus dviejų skaičių sumą ar skirtumą, rezultatas lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.

Jei dviejų skaičių, iškeltų į. Ir suma, skirtumas kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta   laipsnių.

Taigi, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
  (a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
  (a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.

Laipsnių padalijimas

Skaičiai su laipsniais, kaip ir kiti skaičiai, gali būti padalyti, atimant iš dalijamojo daliklio arba įdedant juos trupmenos pavidalu.

Taigi 3 b 2, padalytas iš b 2, yra lygus 3.

Arba:
  $ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
  $ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
  $ \\ frac (d \\ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) \u003d d $

Pažymėjimas 5, padalytas iš 3, atrodo kaip $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Bet tai lygu 2. Daugybėje skaičių
  a +4, +3, a +2, a +1, a 0, -1, -2, -3, a -4.
  bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o eksponentas bus lygus skirtumas   dalijamųjų skaičių rodikliai.

Skirstant laipsnius tuo pačiu pagrindu, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Tai yra, $ \\ frac (yyy) (yy) \u003d y $.

Ir a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Tai yra, $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.

Arba:
  y 2m: y m \u003d y m
  8a n + m: 4a m \u003d 2a n
  12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Ši taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas   laipsnių reikšmės.
  Rezultatas, padalijus a -5 iš -3, yra -2.
  Taip pat $ \\ frac (1) (aaaaa): \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) USD.

h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 arba $ h ^ 2: \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $

Būtina labai gerai įsisavinti laipsnių daugybą ir padalijimą, nes tokios operacijos yra labai plačiai naudojamos algebra.

Pavyzdžių sprendimo būdai su trupmenomis, kuriose yra skaičiai su galia

1. Sumažinkite eksponentų skaičių $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Atsakymas: $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Sumažinkite eksponentų skaičių $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Atsakymas: $ \\ frac (2x) (1) $ arba 2x.

3. Sumažinkite eksponentus a / a 3 ir -3 / a -4 ir sukurkite bendrą vardiklį.
  a 2 .a -4 yra -2 pirmasis skaitiklis.
  a 3 .a -3 yra 0 \u003d 1, antrasis skaitiklis.
  3 .a -4 yra -1, bendrasis skaitiklis.
  Po supaprastinimo: -2 / a -1 ir 1 / a -1.

4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 / 5a 3 ir 2 / a 4 ir sukurkite bendrą vardiklį.
  Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5 / 5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b) / b 4 iš (a - b) / 3.

6. Padauginkite (a 5 + 1) / x 2 iš (b 2 - 1) / (x + a).

7. Padauginkite b 4 / a -2 iš h -3 / x ir n / y -3.

8. Padalinkite 4 / y 3 iš 3 / y 2. Atsakymas: a / y.

9. Padalinkite (h 3 - 1) / d 4 iš (d n + 1) / h.