Hodiny matematiky: násobení nulou je hlavní pravidlo. Proč nemůžete dělit nulou? Názorný příklad: Kolik dostanete, když vynásobíte 0?

Už ve škole se nám učitelé snažili vtlouct do hlavy to nejjednodušší pravidlo: "Jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule!", - ale přesto kolem něj neustále vzniká spousta kontroverzí. Někteří lidé si prostě pamatují pravidlo a nezatěžují se otázkou „proč? "Nemůžeš a hotovo, protože to říkali ve škole, pravidlo je pravidlo!" Někdo může naplnit půl sešitu vzorci, dokazujícími toto pravidlo nebo naopak jeho nelogičnost.

Kdo má nakonec pravdu?

Během těchto sporů se na sebe oba lidé s opačnými názory dívají jako na berana a ze všech sil dokazují, že mají pravdu. I když, když se na ně podíváte ze strany, neuvidíte jednoho, ale dva berany, kteří o sebe opírají rohy. Jediný rozdíl mezi nimi je, že jeden je o něco méně vzdělaný než druhý.

Nejčastěji se ti, kdo považují toto pravidlo za nesprávné, snaží apelovat na logiku tímto způsobem:

Mám na stole dvě jablka, pokud na ně dám nula jablek, to znamená, že nepoložím ani jedno, moje dvě jablka nezmizí! Pravidlo je nelogické!

Jablka sice nikam nezmizí, ale ne proto, že by to pravidlo bylo nelogické, ale proto, že je zde použita trochu jiná rovnice: 2 + 0 = 2. Tento závěr tedy rovnou zahoďme – je nelogický, ačkoliv má opačný účel - volat k logice.

Co je násobení

Původně pravidlo násobení byla definována pouze pro přirozená čísla: násobení je číslo přidané samo k sobě určitou částku krát, což implikuje přirozenost čísla. Jakékoli číslo s násobením lze tedy zredukovat na tuto rovnici:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Z této rovnice vyplývá, že že násobení je zjednodušené sčítání.

Co je nula

Každý člověk ví od dětství: nula je prázdnota Navzdory tomu, že tato prázdnota má označení, nenese vůbec nic. Starověcí východní vědci uvažovali jinak – k problematice přistoupili filozoficky a nakreslili nějaké paralely mezi prázdnotou a nekonečnem a viděli v tomto čísle hluboký smysl. Koneckonců nula, která má význam prázdnoty, stojící vedle jakékoli přirozené číslo, znásobí to desetinásobně. Odtud všechny spory o násobení - toto číslo v sobě nese tolik nesrovnalostí, že je těžké se nenechat zmást. Kromě toho se nula neustále používá k definování prázdných číslic v desetinných zlomcích, a to jak před, tak za desetinnou čárkou.

Je možné množit se prázdnotou?

Můžete násobit nulou, ale je to k ničemu, protože, ať si někdo říká, co chce, i když násobíte záporná čísla, stejně dostanete nulu. Stačí si zapamatovat toto jednoduché pravidlo a už se na tuto otázku nikdy neptat. Ve skutečnosti je vše jednodušší, než se na první pohled zdá. Nejsou žádné skryté významy a tajemství, jak věřili starověcí vědci. Níže uvedeme nejlogičtější vysvětlení, že toto násobení je zbytečné, protože když jím vynásobíte číslo, dostanete stále to samé – nulu.

Vrátíme-li se úplně na začátek, k argumentu o dvou jablkách, 2 krát 0 vypadá takto:

Pokud sníte dvě jablka pětkrát, pak sníte 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jablek
Pokud sníte dvě z nich třikrát, pak sníte 2×3 = 2+2+2 = 6 jablek
Pokud sníte dvě jablka nulakrát, nic se nesní - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Koneckonců, jíst jablko 0x znamená nesníst ani jedno. Bude to jasné i vám k malému dítěti. Ať si člověk řekne cokoli, výsledek bude 0, dvě nebo tři lze nahradit naprosto libovolným číslem a výsledek bude naprosto stejný. A zjednodušeně řečeno nula je nic, a kdy máte není nic, pak bez ohledu na to, jak moc násobíte, je to stále stejné bude nula. Neexistuje žádná magie a nic nevytvoří jablko, ani když se vynásobí 0 milionem. Toto je nejjednodušší, nejsrozumitelnější a nejlogičtější vysvětlení pravidla násobení nulou. Člověku, který má daleko ke všem vzorcům a matematice, bude takové vysvětlení stačit, aby se disonance v hlavě vyřešila a vše do sebe zapadlo.

Divize

Ze všeho výše uvedeného vyplývá další důležité pravidlo:

Nemůžeš dělit nulou!

Toto pravidlo nám také od dětství vytrvale vrtalo v hlavě. Jen víme, že není možné dělat všechno, aniž bychom si zaplnili hlavu zbytečnými informacemi. Pokud se vás nečekaně zeptá otázka, proč je zakázáno dělit nulou, pak bude většina zmatená a nebude schopna srozumitelně odpovědět na nejjednodušší otázku ze školního kurikula, protože kolem tohoto pravidla není tolik sporů a rozporů.

Každý si prostě zapamatoval pravidlo a nedělil nulou, aniž by tušil, že odpověď je skrytá na povrchu. Sčítání, násobení, dělení a odčítání jsou nestejné, platí pouze násobení a sčítání a z nich jsou postaveny všechny další manipulace s čísly. To znamená, že zápis 10 : 2 je zkratkou rovnice 2 * x = 10. To znamená, že zápis 10 : 0 je stejná zkratka pro 0 * x = 10. Ukazuje se, že dělení nulou je úkolem najděte číslo, vynásobte 0, dostanete 10 A už jsme přišli na to, že takové číslo neexistuje, což znamená, že tato rovnice nemá řešení a bude a priori nesprávná.

řeknu ti,

Aby nedošlo k dělení 0!

Rozřízněte 1, jak chcete, podélně,

Jen nedělte 0!

Střední škola MKOU Sarybalyk

Učitelka na základní škole: Makoveeva Marina Valentinovna

Hodina matematiky ve 4. třídě. (učebnice pro speciální (nápravné) výchovné ústavyVIIIdruh, autor M. N. Perova)

Téma: „Násobení čísla nulou a nulou. Dělit nulu."

Cíl: zavést pravidlo násobení čísla 0 a 0, dělení 0, upevnit znalost násobilky, schopnost řešit problémy studovaných typů; naučit se uvažovat a vyvozovat závěry.

Plánované výsledky: Studenti se naučí násobit 0 číslem, číslo 0 a dělit 0; používat tabulky násobení a dělení; řešit problémy studovaného typu; hodnotit správnost jednání.

Zařízení: karty pro hru „Pošťák“; stůl s geometrickými tvary, letáky,osobní počítač, mediální projektor, učebnice „Matematika“ od M. N. Perova(4. třída).

Typ lekce: nové téma.

Typ lekce: lekce-hra.

Postup lekce

já . Org. okamžik:

Kontrola domácích úkolů.

II . Ústní počítání.

Učitel: zapamatovat si násobení a dělení tabulky. Nyní si zahrajeme hru „Pošťáci“. Sveto, budeš pošťák. Na tabuli jsou domy s čísly. Vaším úkolem je vzít vzorový dopis, správně jej vyřešit a určit, do kterého domu máme dopis odnést.

3x4 2x2 9x2 3x1 3x8 25:5

6x2 16:4 3x6 9:3 6x4 5:1

4:1 3:1

Učitel: Vložte chybějící znak akce.

4…0=4 1…3=4 5…1=6

4…4=0 1…3=3 5…1=5

3…3=0 1…0=1 9…0=0

III . Seznámení s novým materiálem

O NULE

Marně si myslí, že je to nula

Hraje malou roli

Mnoho lidí si kdysi myslelo

Ta nula nic neznamená

A kupodivu si mysleli

Že on vůbec není číslo.

Ale o jeho speciálních vlastnostech

Nyní budeme vyprávět příběh

Když k číslu přidáte nulu

Nebo mu to vezmeš

Jako odpověď obdržíte okamžitě

Znovu stejné číslo

Hledání sebe sama jako násobitele mezi čísly

Všechno v mžiku přivede vniveč

A tedy v práci

Jedna za všechny nese odpověď

A ohledně rozdělení

Musíme si to pevně zapamatovat

Co už je dávno ve vědeckém světě

Dělení nulou je zakázáno

Vskutku: který ze slavných

Číslo bereme jako podíl

Když je v produktu nula

Všechna čísla mohou dát pouze nulu

Učitel: Pojďme zkontrolovat, zda je vše v básni správné:

7+0=7 7-0=7 70=0 7:0

Učitel: Aplikujme komutativní vlastnost násobení a nahradíme násobení sčítáním: 7·0=0·7=0+0+0+0+0+0+0=0

Co se stalo?

Učitel: víme, že dělení se kontroluje násobením: pak vynásobíme podíl 0 - měli bychom dostat 7, ale to není možné! Ať vynásobíme 0 jakékoli číslo, v součinu bude vždy nula.

IV . Fízminutka

PROTI . Posílení naučeného materiálu

1. Řešení problému (str. 143 č. 7)

Učitel: Co říká problém?

Student: o opravách, základech, cihlách.

Učitel: co potřebuješ vědět?

Student: Kolik cihel zbývá položit?

Učitel: Můžeme na tuto otázku odpovědět hned?

Student: ne.

UčitelProč?

Žák: Protože nevíme, kolik cihel ten dělník použil.

Učitel: podaří se nám to zjistit?

Student: Ano.

Učitel: jakou akci?

Student: divize.

Učitel: Můžeme nyní odpovědět na otázku problému?

Student: Ano.

Učitel: jakou akci?

Student: odečítáním.

Učitel: Kolik cihel zbývá dělníkovi položit?

Žák: (40:5=8, 40-8=32) 32 cihel.

2. Samostatná práce (str. 144 č. 18)

7*0 7:1 3*0 8:1

7*1 0*7 0*3 0:8

1*6 0*1 3*1 0*8

0*6 0:1 1*3 0*1

3. Práce u tabule (str. 144 č. 11)

7*0 0*8 0:5 1*3 5+0

7+1 0:8 6*0 1+3 5*0

7-1 8+0 8-0 4-1 5-1

VI. Opakování

1.Kruhové příklady

Učitel: Budeme lesníci. Potřebujeme určit výšku některých stromů, k tomu musíme vyřešit kruhové příklady.

2. Aritmetický diktát

Učitel: A teď budeme stenografové. Já diktuji, a ty si zapisuj - bereš těsnopis pomocí karet.

Součet čísel 45 a 18 (45+18=63)

Součin čísel 8 a 3 (8*3=24)

Rozdíl čísel 35 a 7 (35-7=22)

Podíl 20 a 4 (20:4=5)

3.Geometrický materiál.

Učitel: poslední úkol. Který geometrické tvary vidíš

Počítejte a řekněte, kolikrát se každá figurka objeví.

(Kruh - 12, čtverec - 6, trojúhelník - 6, obdélník - 5.)

VII . Odraz

Samostatné provedení p. 144 č. 17 (1,2 čl.). Odpovědi jsou napsány na tabuli: 0,0,0;5,5,5.

Oceňte svou práci ve třídě smajlíkem.

VIII. Domácí úkol

S. 144 č. 12.

Podívejme se na příklad násobení celého čísla nulou. Kolik to bude, když se 2 (dva) vynásobí 0 (nulou)? Jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule. A nezáleží na tom, zda toto číslo známe nebo ne.

Podle obecně uznávané definice je nula číslo, které odděluje kladná čísla od záporných čísel na číselné ose. Nula je nejproblematičtější místo v matematice, které se neřídí logikou a všechny matematické operace s nulou nejsou založeny na logice, ale na obecně uznávaných definicích.

Nula je první číslice ve všech standardních číselných soustavách. Každý měsíc začínal dnem nula v mayském kalendáři. Je zajímavé, že mayští matematici používali stejné znaménko pro nulu k označení nekonečna, což je druhý problém moderní matematiky. Nula bez hůlky. Absolutní nula. Nulový bod pět. Pět násobeno nulou se rovná nule 5 x 0 = 0 Viz pravidlo pro násobení nulou výše v textu. Chatyri zdarma násobte nulou - zdarma odpovídám, že to bude nula. Včetně bezplatné nápovědy – slovo „čtyři“ se píše trochu jinak, než jak píšete ve vyhledávacím dotazu.

https://youtu.be/EGpr23Tc8iY

Tam, kde je v matematice nula, je logika bezmocná

Pokud se vám příspěvek líbil a chcete se dozvědět více, pomozte mi s prací na dalších materiálech. Objevilo se to v komentářích a nějak mě to zaujalo. Studentská otázka: A nyní, milý autore, vynásobte prosím nulu nulou a řekněte mi, kolik je výsledek?

Ve svém článku „Co je nula“ jsem již vysvětlil, kde se dá použít. Stačí si vzít odpovědi, které jsou napsány v učebnicích: nula násobená nulou se rovná nule; Dělení nulou je zakázáno. Ze všech předvídatelných možností násobení a dělení nulou si neznalí vědci vybrali tu nejpřijatelnější a nejstravitelnější možnost.

Já osobně s dělením nulou problémy nemám. Toto je poprvé, co slyším o spojení mezi Heronovým vzorcem a 0/0=1. Na matematice je však něco nečistého. Problémy se zvyšováním nuly na nulu a záporné mocniny. Ale stejně dobře můžeme říci, že 0^2 také nedává smysl, protože 0^2=0^5/0^3=0/0 a nelze dělit nulou.

Od nuly k nule je výraz, který nemá žádný význam. Mocnina od nuly k nule se rovná jedné – to ukazují vzorce. Toto množství čehokoli, některých skutečných, hmotných věcí, lze vynásobit číslem. V tomto případě je množství něčeho vyjádřeno pouze nulou nebo kladným číslem.

Vše o jednotkách a matematice je na této úrovni v pořádku. Toto je konvence; stupně nemohou být vyjádřeny v množství, takže je nemůžete násobit číslem. Někde na tomto webu je Durnev se svými otázkami o školní osnovy, včetně matematiky. Možná to bylo vymyšleno stejně jako nula? Zavést určitá pravidla a podřídit jim všechny ostatní. Co člověk neudělá pro sebe, svou milovanou.

Stačí, že v učebnicích často píšou „patří do množiny přirozených čísel“, i když to platí pro všechna čísla kromě komplexních. Nekonečný počet nul v nule je vynález šamanů pro jeskynní muže :) Když zavřete oči, tak vše, na co se podíváme, bude vypadat stejně černě. Násobení nulou je třeba uvažovat z úplně jiného konce. Co je to násobení?

Stačí pochopit, co je násobení, pak se problém s výsledkem násobení nulou vyřeší sám. 2 jablka a pokusíme se je vynásobit 0 jablky, v důsledku toho ztratíme naše 2 jablka. Ti, kdo se na to ptají, zjevně ztratili alespoň jednu číslici na začátku každého čísla. 10 a 11 - zde je vhodné mluvit o procentech.

A je zajímavé, jak při dělení 0 libovolným číslem můžete toto číslo vůbec odečíst (i když je to nula krát).

Nemůže se stát nulou z násobení! Matematika tedy není exaktní věda? Někdo kdysi přišel s tímto „pravidlem“, není známo proč. Vaše matematika je špatná. V praxi se celé toto matematické téma s násobením 0 stát nemůže!!! Jak chce 10 něco vynásobit, dokonce i 0, ale ukáže se, že je to 0? Pokud samozřejmě 0 není černá díra nebo 0 není jako ztráta, nikam, nula je jako prázdnota, nic, ale to nemůže být….

Pokud něco nemůžete rozdělit (stejných 5 jablek do 0 pomyslných košíčků), tak si zapište výsledek celého čísla a zbytek tohoto dělení... 0 lze mnohokrát vynásobit (jako jsem šel 15x do lesa a nenašel jsem žádné houby...

Například 5 jablek vydělíme nulou lidí; Vypočítáme, kolikrát je 5 stupňů Celsia větší než nula stupňů Celsia. Z toho s největší pravděpodobností nelze násobit 0 (protože podle definice násobení to NELZE zapsat pomocí operace sčítání) a dělit samotnou 0 něčím... jelikož odpověď nelze určit...

K záměně pojmů dochází při násobení nulou... Pamatujte si, že jakékoli číslo nebo operace s čísly násobenými nulou je ANIHILOVÁNA... Jinými slovy, operace samotná při násobení nulou nenastane a lze ji jednoduše „ignorovat“. .. Tak to jsi mi ukradl nápad!))) Poprvé se setkávám s víceméně jasným chápáním násobení a dělení nulou. Ať už to považujeme za matematické operace nebo ne, matematice je to úplně jedno.

Prvním příkladem, proč je nula problematická, jsou přirozená čísla. V ruských školách není nula přirozené číslo, v jiných školách je nula přirozené číslo. Pro ty, kteří se zajímají o otázku původu nuly, navrhuji přečíst článek „Historie nuly“ od J. J. O’Connora a E. F. Robertsona v překladu I. Yu Osmolovského.

Při jakých hodnotách X platí následující rovnice: nula vynásobená X se rovná nule? - tato rovnost platí pro všechny hodnoty x. Říká se, že tato rovnost má nekonečný počet řešení. Matematika byla o něco jednodušší. Nejpřirozenějším způsobem je moje přirozená negramotnost překryta triviálními překlepy při psaní.

Jsem odpůrcem těch kázání, která nám čtou matematici a na která se všichni))) odvoláváme. Tato rovnice byla úplně jiný příběh. Může se to stát nebo ne? Po malém přemýšlení jsem „provedl myšlenkový experiment“)))) a představil si tuto situaci. Někde v návrzích jsou všechny výpočty v této věci. Jste neupřímní. Co není v širokých kruzích přijímáno, nemusí být nutně nepravdivé.

Jaký je správný pravopis: nula nebo nula? Slova nula a nula mají stejný význam, ale liší se v použití. Kdo řekl, že nula je číslo? Matematici? 0 + 5/0... nula a pět (nuly) ve zbytku... a pak se všechno spojí a všichni jsou šťastní... Ano, ve skutečnosti není mnoho obtíží. Problém je, jak vnímat nulu (jako číslo nebo jako něco prázdného) a co se myslí násobením...

Poprvé se žáci ve škole seznamují s takovou početní operací, jako je násobení. Mezi mnoha pravidly učitel matematiky nastoluje téma „násobení nulou“. Přes jednoznačnou formulaci mají studenti mnoho otázek. Podívejme se, co se stane, když vynásobíte 0.

Pravidlo, že nelze násobit nulou, vede k mnoha sporům mezi učiteli a jejich studenty. Je důležité pochopit, že násobení nulou je kontroverzní aspekt kvůli své nejednoznačnosti.

Především je pozornost zaměřena na nedostatek dostatečná úroveň znalosti středoškoláků. Překročení prahu vzdělávací instituce, účastník vzdělávací proces ve většině případů nemyslí na hlavní cíl, který je třeba sledovat.

Během školení se učitel zabývá různými problémy. Patří mezi ně situace, co se stane, když vynásobíte 0. Ve snaze předvídat učitelovo vyprávění někteří studenti vstupují do polemiky. Dokazují, nebo se alespoň snaží, že násobení nulou je přijatelné. Ale bohužel tomu tak není. Když vynásobíte libovolné číslo 0, nedostanete absolutně nic. V některých literárních pramenech je dokonce zmínka, že jakékoli číslo vynásobené nulou tvoří prázdnotu.

Důležité! Pozorní posluchači z publika okamžitě pochopí, že když se číslo vynásobí 0, bude výsledek 0. Jiný vývoj událostí je vidět u těch studentů, kteří systematicky vynechávají hodiny. Nepozorní nebo bezohlední studenti budou s větší pravděpodobností než ostatní přemýšlet o tom, kolik to bude, když vynásobíte nulou.

V důsledku neznalosti tématu se učitel a nedbalý student ocitají na opačných stranách rozporuplné situace.

Rozdíl v názorech na téma sporu spočívá ve stupni vzdělání na téma, zda je možné násobit nulou nebo ne. Jediným přijatelným východiskem z této situace je pokusit se apelovat na logické myšlení, abychom našli správnou odpověď.

K vysvětlení pravidla se nedoporučuje používat následující příklad. Váňa má v tašce 2 jablka na svačinu. V poledne přemýšlel o tom, že by si dal do kufříku ještě nějaká jablka. V tu chvíli ale poblíž nebylo jediné ovoce. Vanya tam nic nevložil. Jinými slovy, umístil 0 jablek se 2 jablky.

Pokud jde o aritmetiku, v tomto příkladu se ukazuje, že pokud je 2 vynásobeno 0, pak neexistuje žádná prázdnota. Odpověď je v tomto případě jasná. Pro tento příklad není pravidlo násobení nulou relevantní. Správným řešením je sumace. Správná odpověď je proto 2 jablka.

V opačném případě učiteli nezbývá, než vytvořit sérii úkolů. Posledním opatřením je znovu položit téma a provést průzkum na výjimky v násobení.

Podstata akce

Je vhodné začít studovat algoritmus akcí při násobení nulou uvedením podstaty aritmetické operace.

Podstata akce násobení byla zpočátku definována výhradně pro přirozená čísla. Odhalíme-li mechanismus působení, pak se k sobě přičte určitý počet zapojený do výpočtu.

Je důležité zvážit počet přídavků. V závislosti na tomto kritériu se získají různé výsledky. Přidání čísla vzhledem k sobě samému určuje takovou vlastnost, jako je přirozenost.

Podívejme se na příklad. Číslo 15 je nutné vynásobit 3. Při násobení 3 se číslo 15 zvětší třikrát. Jinými slovy, akce vypadá jako 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Na základě výpočetního mechanismu je zřejmé, že pokud je číslo vynásobeno jiným přirozeným číslem, nastává zdání sčítání ve zjednodušené formě.

Je vhodné spustit algoritmus akcí při násobení 0 poskytnutím charakteristiky nula.

Věnovat pozornost! Podle všeobecného přesvědčení nula nic neznamená. V aritmetice existuje označení prázdnoty tohoto druhu. I přes tento fakt nulová hodnota nic neznamená.

Je třeba poznamenat, že takový názor v moderní světové vědecké společnosti se liší od pohledu starověkých východních vědců. Podle teorie, které se drželi, se nula rovnala nekonečnu.

Jinými slovy, pokud vynásobíte nulou, získáte různé možnosti. V nulové hodnotě vědci uvažovali o určitém zdání hloubky vesmíru.

Matematici jako potvrzení možnosti násobení nulou uvedli následující skutečnost. Pokud dáte 0 vedle libovolného přirozeného čísla, dostanete hodnotu, která je desítkykrát větší než původní.

Uvedený příklad je jedním z argumentů. Kromě tohoto typu důkazu existuje mnoho dalších příkladů. Jsou základem pokračujících sporů, když se množí prázdnotou.

Proveditelnost pokusu

Mezi studenty poměrně často na prvních stupních osvojení vzdělávací materiál Existují pokusy vynásobit číslo 0. Taková akce je hrubou chybou.

Z takových pokusů se v podstatě nic nestane, ale ani žádný přínos. Pokud vynásobíte nulovou hodnotou, dostanete do deníku nevyhovující známku.

Jediná myšlenka, která by měla vyvstat, když se vynásobí prázdnotou, je nemožnost jednání. Důležitou roli v tomto případě hraje zapamatování. Tím, že se žák jednou provždy naučí pravidlu, předchází vzniku kontroverzních situací.

Následující situace může být použita jako příklad, který lze použít při násobení nulou. Saša se rozhodl koupit jablka. Když byla v supermarketu, vybrala si 5 velkých zralých jablek. Když šla do oddělení mléčných výrobků, rozhodla se, že to pro ni nebude stačit. Dívka přidala do košíku dalších 5 kusů.

Po chvíli přemýšlení si vzala dalších 5. Výsledkem bylo, že Sasha u pokladny dostala: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 jablek. Pokud by 5 jablek vložila pouze 2x, pak by to bylo 5 * 2 = 5 + 5 = 10. V případě, že by Sasha nikdy nevložila do košíku 5 jablek, bylo by to 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Jinými slovy, koupit 0 jablek znamená nekoupit žádná.

Číslo 0 si lze představit jako jakousi hranici oddělující svět reálných čísel od imaginárních či záporných. Kvůli nejednoznačné poloze se mnoho operací s touto číselnou hodnotou nepodřizuje matematické logice. Nemožnost dělení nulou je toho zářným příkladem. A povolené aritmetické operace s nulou lze provádět pomocí obecně uznávaných definic.

Historie nuly

Nula je referenčním bodem ve všech standardních číselných soustavách. Evropané začali toto číslo používat relativně nedávno, ale mudrci starověké Indie používali nulu o tisíc let dříve, než toto prázdné číslo pravidelně používali evropští matematici. Už před Indiány byla v mayském číselném systému nula povinnou hodnotou. Tito Američané používali duodecimální číselný systém a první den každého měsíce začínal nulou. Je zajímavé, že u Mayů se znak označující „nulu“ zcela shodoval se znakem označujícím „nekonečno“. Staří Mayové tedy dospěli k závěru, že tyto veličiny jsou totožné a nepoznatelné.

Matematické operace s nulou

Standardní matematické operace s nulou lze zredukovat na několik pravidel.

Sčítání: pokud k libovolnému číslu přidáte nulu, nezmění se tím jeho hodnota (0+x=x).

Odečítání: Když odečtete nulu od libovolného čísla, hodnota subtrahendu zůstane nezměněna (x-0=x).

Násobení: Jakékoli číslo vynásobené 0 dává 0 (a*0=0).

Dělení: Nulu lze dělit libovolným číslem, které se nerovná nule. V tomto případě bude hodnota takového zlomku 0. A dělení nulou je zakázáno.

Umocňování. Tuto akci lze provést s libovolným číslem. Libovolné číslo umocněné na nulovou mocninu dá 1 (x 0 = 1).

Nula k libovolné mocnině je rovna 0 (0 a = 0).

V tomto případě okamžitě vzniká rozpor: výraz 0 0 nedává smysl.

Paradoxy matematiky

Mnoho lidí ze školy ví, že dělení nulou je nemožné. Ale z nějakého důvodu je nemožné vysvětlit důvod takového zákazu. Proč vlastně neexistuje vzorec pro dělení nulou, ale jiné akce s tímto číslem jsou docela rozumné a možné? Odpověď na tuto otázku dávají matematici.

Věc se má tak, že běžné aritmetické operace, které se školáci učí na základní škole, ve skutečnosti nejsou ani zdaleka tak rovnocenné, jak si myslíme. Všechny jednoduché operace s čísly lze zredukovat na dvě: sčítání a násobení. Tyto akce tvoří podstatu samotného konceptu čísla a další operace jsou postaveny na použití těchto dvou.

Sčítání a násobení

Vezměme si standardní příklad odčítání: 10-2=8. Ve škole to zvažují jednoduše: když z deseti předmětů odečtete dva, zůstane vám osm. Matematici se ale na tuto operaci dívají úplně jinak. Ostatně taková operace jako odčítání pro ně neexistuje. Tento příklad lze zapsat i jinak: x+2=10. Pro matematiky je neznámým rozdílem jednoduše číslo, které je třeba přidat ke dvěma, aby bylo osm. A zde není nutné žádné odčítání, stačí najít příslušnou číselnou hodnotu.

S násobením a dělením se zachází stejně. V příkladu 12:4=3 můžete pochopit, že mluvíme o rozdělení osmi objektů na dvě stejné hromádky. Ale ve skutečnosti je to jen obrácený vzorec pro zápis 3x4 = 12. Takových příkladů dělení lze uvádět donekonečna.

Příklady na dělení 0

Tady je trochu jasné, proč nemůžete dělit nulou. Násobení a dělení nulou se řídí vlastními pravidly. Všechny příklady dělení této veličiny lze formulovat jako 6:0 = x. Ale to je obrácený zápis výrazu 6 * x=0. Ale jak víte, jakékoli číslo vynásobené 0 dává v součinu pouze 0. Tato vlastnost je vlastní samotnému konceptu nulové hodnoty.

Ukazuje se, že neexistuje žádné takové číslo, které by po vynásobení 0 dalo nějakou hmatatelnou hodnotu, to znamená, že tento problém nemá řešení. Neměli byste se bát této odpovědi, je to přirozená odpověď na problémy tohoto typu. Prostě záznam 6:0 nedává žádný smysl a nedokáže nic vysvětlit. Stručně řečeno, tento výraz lze vysvětlit nesmrtelným „dělení nulou je nemožné“.

Je tam operace 0:0? Pokud je operace násobení 0 legální, lze nulu dělit nulou? Ostatně rovnice ve tvaru 0x 5=0 je zcela legální. Místo čísla 5 můžete dát 0, součin se nezmění.

Opravdu, 0x0=0. Ale stále nemůžete dělit 0. Jak již bylo řečeno, dělení je prostě inverzní k násobení. Pokud tedy v příkladu 0x5=0 potřebujete určit druhý faktor, dostaneme 0x0=5. Nebo 10. Nebo nekonečno. Dělení nekonečna nulou – jak se vám líbí?

Pokud se ale do výrazu vejde jakékoli číslo, pak to nedává smysl, nemůžeme vybrat jen jedno z nekonečného množství čísel. A pokud ano, znamená to, že výraz 0:0 nedává smysl. Ukazuje se, že ani nulu samotnou nelze dělit nulou.

Algebra pro pokročilé

Dělení nulou je bolest hlavy pro školní matematiku. Studoval v technické univerzity matematická analýza mírně rozšiřuje pojetí problémů, které nemají řešení. Například k již známému výrazu 0:0 se přidávají nové, které nemají řešení školní kurzy matematika:

nekonečno děleno nekonečnem: ∞:∞;
nekonečno mínus nekonečno: ∞−∞;
jednotka zvýšena na nekonečnou mocninu: 1 ∞ ;
nekonečno násobeno 0: ∞*0;
některé další.

Řešit takové výrazy pomocí elementárních metod není možné. Ale vyšší matematika díky další funkce pro řadu podobných příkladů dává konečná řešení. To je patrné zejména při úvahách o problémech z teorie limit.

Odemykání nejistoty

V teorii limit je hodnota 0 nahrazena podmíněnou infinitezimální proměnnou. A výrazy, ve kterých se při dosazení požadované hodnoty získá dělení nulou, se transformují. Níže je standardní příklad rozšíření limity pomocí běžných algebraických transformací:

Jak můžete vidět na příkladu, pouhé zmenšení zlomku vede jeho hodnotu ke zcela racionální odpovědi.

Při zvažování limitů goniometrické funkce jejich výrazy bývají redukovány na první pozoruhodnou mez. Když uvažujeme limity, ve kterých se jmenovatel stane 0, když je limita dosazena, použije se druhá významná limita.

L'Hopitalova metoda

V některých případech mohou být limity výrazů nahrazeny limitami jejich derivátů. Guillaume L'Hopital - francouzský matematik, zakladatel francouzské školy matematické analýzy. Dokázal, že limity výrazů se rovnají limitám derivátů těchto výrazů. V matematickém zápisu vypadá jeho pravidlo takto.