Hodiny matematiky: násobenie nulou je hlavným pravidlom. Prečo nemôžete deliť nulou? Názorný príklad: Koľko dostanete, ak vynásobíte 0?

Už v škole sa nám učitelia snažili vtĺcť do hlavy to najjednoduchšie pravidlo: "Akékoľvek číslo vynásobené nulou sa rovná nule!", - ale aj tak okolo neho neustále vzniká veľa kontroverzií. Niektorí ľudia si len pamätajú pravidlo a netrápia sa otázkou „prečo? "Nemôžeš a to je všetko, pretože to povedali v škole, pravidlo je pravidlo!" Niekto dokáže naplniť polovicu zošita vzorcami, dokazujúcimi toto pravidlo alebo naopak jeho nelogickosť.

V kontakte s

Kto má nakoniec pravdu?

Počas týchto sporov sa obaja ľudia s opačnými názormi na seba pozerajú ako baran a zo všetkých síl dokazujú, že majú pravdu. Aj keď, keď sa na nich pozriete zboku, neuvidíte jedného, ​​ale dvoch baranov, ktoré o seba opierajú rohy. Jediný rozdiel medzi nimi je, že jeden je o niečo menej vzdelaný ako druhý.

Tí, ktorí považujú toto pravidlo za nesprávne, sa najčastejšie snažia apelovať na logiku týmto spôsobom:

Mám na stole dve jablká, ak na ne dám nula jabĺk, to znamená, že nepoložím ani jedno, moje dve jablká nezmiznú! Pravidlo je nelogické!

Jablká skutočne nikde nezmiznú, ale nie preto, že by to pravidlo bolo nelogické, ale preto, že sa tu používa trochu iná rovnica: 2 + 0 = 2. Tak tento záver hneď zahoďme – je nelogický, hoci má opačný cieľ - volať k logike.

Čo je násobenie

Pôvodne pravidlo násobenia bol definovaný len pre prirodzené čísla: násobenie je číslo, ktoré sa k sebe pridáva určité množstvo krát, čo znamená prirodzenosť čísla. Akékoľvek číslo s násobením teda možno zredukovať na túto rovnicu:

1. 25 × 3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Z tejto rovnice to vyplýva že násobenie je zjednodušené sčítanie.

Čo je nula

Každý vie od detstva: nula je prázdnota. Napriek tomu, že táto prázdnota má svoje označenie, nenesie vôbec nič. Starovekí východní vedci uvažovali inak – k problému pristupovali filozoficky a nakreslili nejaké paralely medzi prázdnotou a nekonečnosťou a videli v tomto čísle hlboký zmysel. Predsa nula, ktorá má význam prázdnoty, stojaca vedľa akejkoľvek prirodzené číslo, znásobí to desaťnásobne. Odtiaľ pochádza všetka kontroverzia o násobení - toto číslo nesie toľko nekonzistentnosti, že je ťažké nenechať sa zmiasť. Okrem toho sa nula neustále používa na definovanie prázdnych číslic v desatinných zlomkoch, a to pred aj za desatinnou čiarkou.

Je možné množiť sa prázdnotou?

Môžete násobiť nulou, ale je to zbytočné, pretože, nech sa hovorí čokoľvek, aj pri násobení záporných čísel dostanete nulu. Stačí si zapamätať toto jednoduché pravidlo a už sa túto otázku nikdy nepýtať. V skutočnosti je všetko jednoduchšie, ako sa na prvý pohľad zdá. Nie sú k dispozícii žiadne skryté významy a tajomstvá, ako verili starovekí vedci. Nižšie uvedieme najlogickejšie vysvetlenie, že toto násobenie je zbytočné, pretože keď ním vynásobíte číslo, dostanete stále to isté – nulu.

Ak sa vrátime úplne na začiatok, k argumentu o dvoch jablkách, 2 krát 0 vyzerá takto:

• Ak zjete dve jablká päťkrát, potom zjete 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jabĺk
• Ak zjete dve z nich trikrát, potom zjete 2×3 = 2+2+2 = 6 jabĺk
• Ak zjete dve jablká nula krát, nič sa nezje - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Zjesť 0-krát jablko totiž znamená nezjesť ani jedno. Bude to jasné aj vám malému dieťaťu. Čokoľvek sa dá povedať, výsledok bude 0, dve alebo tri môžu byť nahradené absolútne ľubovoľným číslom a výsledok bude úplne rovnaký. A teda zjednodušene povedané nula je nič, a kedy máte nič tam nie je, potom bez ohľadu na to, koľko násobíte, je to stále rovnaké bude nula. Nič také ako mágia neexistuje a z ničoho nevznikne jablko, aj keď vynásobíte 0 miliónom. Toto je najjednoduchšie, najzrozumiteľnejšie a najlogickejšie vysvetlenie pravidla násobenia nulou. Človeku, ktorý má ďaleko od všetkých vzorcov a matematiky, bude takéto vysvetlenie stačiť na to, aby sa disonancia v hlave vyriešila a všetko do seba zapadlo.

divízie

Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva ďalšie dôležité pravidlo:

Nemôžete deliť nulou!

Aj toto pravidlo nám od detstva vytrvalo vtĺkajú do hlavy. Vieme len, že nie je možné robiť všetko bez toho, aby sme si nezaplnili hlavu zbytočnými informáciami. Ak vám nečakane položí otázku, prečo je zakázané deliť nulou, väčšina bude zmätená a nebude vedieť jednoznačne odpovedať na najjednoduchšiu otázku zo školských osnov, pretože okolo tohto pravidla nie je toľko sporov a rozporov.

Každý si jednoducho zapamätal pravidlo a nedelil nulou, netušiac, že ​​odpoveď je skrytá na povrchu. Sčítanie, násobenie, delenie a odčítanie sú nerovnaké, z vyššie uvedeného platí iba násobenie a sčítanie a z nich sú postavené všetky ostatné manipulácie s číslami. To znamená, že zápis 10: 2 je skratkou rovnice 2 * x = 10. To znamená, že zápis 10: 0 je rovnaká skratka pre 0 * x = 10. Ukazuje sa, že delenie nulou je úlohou nájdite číslo vynásobením 0, dostanete 10 A už sme prišli na to, že také číslo neexistuje, čo znamená, že táto rovnica nemá riešenie a bude a priori nesprávna.

Dovoľ mi povedať ti,

Aby sa nedelil 0!

1 nakrájajte, ako chcete, pozdĺžne,

Len nedeľte 0!

Stredná škola MKOU Sarybalyk

Učiteľka základnej školy: Makoveeva Marina Valentinovna

Hodina matematiky v 4. ročníku. (učebnica pre špeciálne (nápravné) vzdelávacie inštitúcieVIIIdruh, autor M. N. Perova)

Téma: „Násobenie čísla nulou a nulou. Rozdeľte nulu."

Cieľ: zaviesť pravidlo násobenia čísla 0 a 0, delenia 0; upevniť vedomosti o násobiteľke, schopnosť riešiť problémy študovaných typov; naučiť sa uvažovať a robiť závery.

Plánované výsledky: Žiaci sa naučia násobiť 0 číslom, číslo 0 a deliť 0; používať tabuľky násobenia a delenia; riešiť problémy študovaného typu; hodnotiť správnosť akcií.

Vybavenie: karty pre hru „Poštár“; stôl s geometrickými tvarmi, letáky,Osobný počítač, mediálny projektor, učebnica „Matematika“ od M. N. Perova(4. ročník).

Typ lekcie: Nová téma.

Typ lekcie: lekcia-hra.

Počas vyučovania

ja . Org. moment:

Kontrola domácich úloh.

II . Slovné počítanie.

učiteľ: zapamätajte si násobenie a delenie tabuľky. Teraz si zahráme hru „Poštári“. Sveťo, budeš poštár. Na tabuli sú domy s číslami. Vašou úlohou je zobrať vzorový list, správne ho vyriešiť a určiť, do ktorého domu máme list odniesť.

3x4 2x2 9x2 3x1 3x8 25:5

6x2 16:4 3x6 9:3 6x4 5:1

4:1 3:1

učiteľ: Vložte chýbajúci znak akcie.

4…0=4 1…3=4 5…1=6

4…4=0 1…3=3 5…1=5

3…3=0 1…0=1 9…0=0

III . Spoznávanie nového materiálu

O NULE

Márne si myslia, že je to nula

Hrá malú rolu

Mnoho ľudí si kedysi myslelo

Tá nula nič neznamená

A napodiv si mysleli

Že on vôbec nie je číslo.

Ale o jeho špeciálnych vlastnostiach

Teraz si povieme príbeh

Keď k číslu pridáte nulu

Alebo mu to vezmeš

Ako odpoveď dostanete okamžite

Opäť to isté číslo

Nájdenie seba ako násobiteľa medzi číslami

Všetko v okamihu zničí

A teda v práci

Jedna za všetkých nesie odpoveď

A čo sa týka rozdelenia

Musíme si to pevne zapamätať

Čo už je dávno vo vedeckom svete

Delenie nulou je zakázané

Vskutku: ktorý zo slávnych

Číslo berieme ako podiel

Keď je v produkte nula

Všetky čísla môžu dať iba nulu

učiteľ: Skontrolujeme, či je všetko v básni správne:

7+0=7 7-0=7 70=0 7:0

učiteľ: Aplikujme komutatívnu vlastnosť násobenia a nahraďme násobenie sčítaním: 7·0=0·7=0+0+0+0+0+0+0=0

Čo sa stalo?

učiteľ: vieme, že delenie sa kontroluje násobením: potom vynásobíme kvocient 0 - malo by dostať 7, ale to nie je možné! Akékoľvek číslo vynásobíme 0, v súčine bude vždy nula.

IV . Fizminutka

V . Posilnenie naučeného materiálu

1. Riešenie problému (str. 143 č. 7)

učiteľ: Čo hovorí problém?

Žiak: o opravách, základoch, tehlách.

učiteľ: čo potrebuješ vedieť?

Študent: Koľko tehál ešte zostáva položiť?

učiteľ: Môžeme na túto otázku odpovedať hneď?

Študent: nie.

učiteľ: Prečo?

Žiak: Pretože nevieme, koľko tehál robotník použil.

učiteľ: podarí sa nám to zistiť?

Študent: áno.

učiteľ: akú akciu?

Študent: divízia.

učiteľ: Môžeme teraz odpovedať na otázku problému?

Študent: áno.

učiteľ: akú akciu?

Žiak: odčítaním.

učiteľ: Koľko tehál zostáva robotníkovi položiť?

Žiak: (40:5=8, 40-8=32) 32 tehál.

2. Samostatná práca (s. 144 č. 18)

7*0 7:1 3*0 8:1

7*1 0*7 0*3 0:8

1*6 0*1 3*1 0*8

0*6 0:1 1*3 0*1

3. Práca pri tabuli (s. 144 č. 11)

7*0 0*8 0:5 1*3 5+0

7+1 0:8 6*0 1+3 5*0

7-1 8+0 8-0 4-1 5-1

VI. Opakovanie

1.Kruhové príklady

Učiteľ: Budeme lesníci. Musíme určiť výšku niektorých stromov; na to musíme vyriešiť kruhové príklady.

2. Aritmetický diktát

učiteľ: A teraz budeme stenografmi. Diktujem, a ty si zapisuješ - stenografuješ pomocou kariet.

Súčet čísel 45 a 18 (45+18=63)

Súčin čísel 8 a 3 (8*3=24)

Rozdiel čísel 35 a 7 (35-7=22)

Podiel 20 a 4 (20:4=5)

3.Geometrický materiál.

učiteľ: posledná úloha. Aké geometrické tvary vidíte?

Počítajte a povedzte, koľkokrát sa každá figúrka vyskytuje.

(Kruh - 12, štvorec - 6, trojuholník - 6, obdĺžnik - 5.)

VII . Reflexia

Samostatná exekúcia p. 144 č. 17 (čl. 1,2). Odpovede sú napísané na tabuli: 0,0,0;5,5,5.

Oceňte svoju prácu v triede smajlíkom.

VIII. Domáca úloha

S. 144 č. 12.

Pozrime sa na príklad vynásobenia celého čísla nulou. Koľko to bude, ak sa 2 (dva) vynásobí 0 (nulou)? Akékoľvek číslo vynásobené nulou sa rovná nule. A nezáleží na tom, či toto číslo poznáme alebo nie.

Podľa všeobecne uznávanej definície je nula číslo, ktoré oddeľuje kladné čísla od záporných čísel na číselnej osi. Nula je najproblematickejšie miesto v matematike, ktoré sa neriadi logikou a všetky matematické operácie s nulou nie sú založené na logike, ale na všeobecne uznávaných definíciách.

Nula je prvá číslica vo všetkých štandardných číselných sústavách. Každý mesiac začínal dňom nula v mayskom kalendári. Je zaujímavé, že mayskí matematici používali rovnaké znamienko pre nulu na označenie nekonečna, druhého problému modernej matematiky. Nula bez palice. Absolútna nula. Nulový bod päť. Päť násobené nulou sa rovná nule 5 x 0 = 0 Pozrite si pravidlo pre násobenie nulou vyššie v texte. Chatyri zadarmo násobte nulou – darmo odpovedám, že bude nula. Vrátane bezplatnej pomoci – slovo „štyri“ sa píše trochu inak ako to, čo píšete vo svojom vyhľadávacom dopyte.

https://youtu.be/EGpr23Tc8iY

Tam, kde je v matematike nula, je logika bezmocná

Ak sa vám príspevok páčil a chcete vedieť viac, pomôžte mi pracovať na iných materiáloch. Objavil sa v komentároch a nejako ma zaujal. Študentská otázka: A teraz, milý autor, vynásobte nulu nulou a povedzte mi, koľko je výsledok?

V mojom článku „Čo je nula“ som už vysvetlil, kde sa dá použiť. Stačí si vziať odpovede, ktoré sú napísané v učebniciach: nula vynásobená nulou sa rovná nule; Delenie nulou je zakázané. Zo všetkých predvídateľných možností násobenia a delenia nulou si nevedomí vedci vybrali tú najprijateľnejšiu a najstráviteľnejšiu možnosť.

Ja osobne s delením nulou problémy nemám. Toto je prvýkrát, čo počujem o spojení medzi Heronovým vzorcom a 0/0 = 1. Na matematike je však niečo nečisté. Problémy so zvýšením nuly na nulu a záporné mocniny. Ale rovnako dobre môžeme povedať, že 0^2 tiež nedáva zmysel, pretože 0^2=0^5/0^3=0/0 a nemôžete deliť nulou.

Mocnina od nuly k nule je výraz, ktorý nemá žiadny význam. Nula až nulová mocnina sa rovná jednej – to ukazujú vzorce. Toto množstvo čohokoľvek, nejakých skutočných, materiálnych vecí, sa dá vynásobiť číslom. V tomto prípade je množstvo niečoho vyjadrené iba nulou alebo kladným číslom.

Všetko o jednotkách a matematike je na tejto úrovni v poriadku. Toto je konvencia; stupne sa nedajú vyjadriť kvantitou, takže ich nemôžete vynásobiť číslom. Niekde na tejto stránke je Durnev so svojimi otázkami o školské osnovy vrátane matematiky. Možno to bolo vynájdené rovnakým spôsobom ako nula? Zaviesť určité pravidlá a podriadiť im všetkých ostatných ľudí. Čo človek neurobí pre seba, svoju milovanú.

Stačí, že v učebniciach často píšu „patrí do množiny prirodzených čísel“, aj keď to platí pre všetky čísla okrem zložitých. Nekonečný počet núl v nule je výmysel šamanov pre jaskyniarov :) Ak zavriete oči, tak všetko, na čo sa pozrieme, bude vyzerať rovnako čierne. Na násobenie nulou treba uvažovať z úplne iného konca. Čo je to násobenie?

Stačí pochopiť, čo je násobenie, potom sa problém s výsledkom násobenia nulou vyrieši sám. 2 jablká a snažíme sa ich vynásobiť 0 jablkami, v dôsledku toho stratíme 2 jablká. Tí, ktorí sa na to pýtajú, zjavne stratili aspoň jednu číslicu na začiatku každého čísla. 10 a 11 - tu je vhodné hovoriť o percentách.

A je zaujímavé, ako pri delení 0 ľubovoľným číslom môžete toto číslo vôbec odčítať (aj keď je to nula krát).

Z násobenia sa nemôže stať len nulou! Matematika teda nie je exaktná veda? Niekto raz prišiel s týmto „pravidlom“, nie je známe prečo. Vaša matematika je nesprávna. V praxi sa celá táto matematická téma s násobením 0 nemôže stať!!! Ako chce 10 niečo vynásobiť, hoci aj 0, ale ukáže sa, že je to 0? Pokiaľ, samozrejme, 0 nie je čierna diera alebo 0 nie je ako strata, nikam, nula je ako prázdnota, nič, ale toto nemôže byť...

Ak sa vám niečo nepodarí rozdeliť (rovnakých 5 jabĺk do 0 pomyselných košíkov), tak si zapíšte výsledok celého čísla a zvyšok tohto delenia... 0 sa dá mnohonásobne vynásobiť (ako keby som šiel 15-krát do lesa a nenašiel som žiadne huby...

Napríklad vydelíme 5 jabĺk nulou ľudí; Vypočítame, koľkokrát je 5 stupňov Celzia väčších ako nula stupňov Celzia. Z toho s najväčšou pravdepodobnosťou nemôžete násobiť 0 (keďže podľa definície násobenia sa to NEDÁ zapísať pomocou operácie sčítania) a deliť samotnú 0 niečím... keďže odpoveď sa nedá určiť...

K zámene pojmov dochádza pri násobení nulou... Pamätajte, že každé číslo alebo operácia s číslami vynásobenými nulou je ZRUŠENÁ... Inými slovami, samotná operácia pri násobení nulou nenastane a možno ju jednoducho „ignorovať“. .. Tak si mi ukradol nápad!))) Prvýkrát sa stretávam s viac-menej jasným chápaním násobenia a delenia nulou. Či už to považujeme za matematické operácie alebo nie, matematike je to úplne jedno.

Prvým príkladom, prečo je nula problematická, sú prirodzené čísla. V ruských školách nula nie je prirodzené číslo, v iných školách je nula prirodzené číslo. Pre tých, ktorých zaujíma otázka pôvodu nuly, navrhujem prečítať si článok „História nuly“ od J. J. O’Connora a E. F. Robertsona v preklade I. Yu. Osmolovského.

Pri akých hodnotách X platí nasledujúca rovnica: nula vynásobená X sa rovná nule? - táto rovnosť platí pre všetky hodnoty x. Hovorí sa, že táto rovnosť má nekonečné množstvo riešení. Matematika bola o niečo jednoduchšia. Najprirodzenejším spôsobom sa moja prirodzená negramotnosť prekrýva s triviálnymi preklepmi pri písaní.

Som odporcom tých kázní, ktoré nám čítajú matematici a na ktoré sa my všetci))) odvolávame. Táto rovnica bola úplne iný príbeh. Môže sa to stať alebo nie? Po krátkom premýšľaní som „vykonal myšlienkový experiment“)))) a predstavil som si túto situáciu. Niekde v návrhoch sú všetky výpočty týkajúce sa tejto záležitosti. Si neúprimný. Čo nie je akceptované v širokých kruhoch, nemusí byť nevyhnutne nepravdivé.

Aký je správny pravopis: nula alebo nula? Slová nula a nula majú rovnaký význam, líšia sa však v použití. Kto povedal, že nula je číslo? Matematici? 0 + 5/0... nula a päť (nuly) vo zvyšku... a potom sa všetko spojí a všetci sú šťastní... Áno, v skutočnosti nie je veľa ťažkostí. Problém je, ako vnímať nulu (ako číslo alebo ako niečo prázdne) a čo znamená násobenie...

Po prvý raz sa žiaci v škole oboznamujú s takou aritmetickou operáciou, akou je násobenie. Medzi mnohými pravidlami učiteľ matematiky nastoľuje tému „násobenia nulou“. Napriek jednoznačnej formulácii majú študenti veľa otázok. Pozrime sa, čo sa stane, ak vynásobíte 0.

Pravidlo, že nemôžete násobiť nulou, vedie k mnohým sporom medzi učiteľmi a ich žiakmi. Je dôležité pochopiť, že násobenie nulou je kontroverzný aspekt kvôli jeho nejednoznačnosti.

V prvom rade sa pozornosť sústreďuje na nedostatok dostatočná úroveň vedomosti stredoškolákov. Prekročenie prahu vzdelávacia inštitúcia, účastník vzdelávací proces vo väčšine prípadov nemyslí na hlavný cieľ, ktorý treba sledovať.

Počas školenia sa učiteľ venuje rôznym problémom. Patrí medzi ne situácia, čo sa stane, ak vynásobíte 0. V snahe predvídať rozprávanie učiteľa niektorí študenti vstupujú do polemiky. Dokazujú alebo aspoň skúšajú, že násobenie nulou je prijateľné. Ale, bohužiaľ, nie je to tak. Keď vynásobíte akékoľvek číslo 0, nedostanete absolútne nič. V niektorých literárnych prameňoch je dokonca zmienka, že akékoľvek číslo vynásobené nulou tvorí prázdnotu.

Dôležité! Pozorní poslucháči okamžite pochopia, že ak sa číslo vynásobí 0, výsledok bude 0. Iný vývoj udalostí je možné pozorovať u tých žiakov, ktorí systematicky vynechávajú vyučovanie. Nepozorní alebo bezohľadní študenti si viac než ostatní myslia, koľko to bude, ak vynásobíte nulou.

V dôsledku nedostatku vedomostí o téme sa učiteľ a neopatrný študent ocitnú na opačných stranách rozporuplnej situácie.

Rozdiel v názoroch na tému sporu spočíva v stupni vzdelania na tému, či je možné násobiť nulou alebo nie. Jediným prijateľným východiskom z tejto situácie je pokúsiť sa apelovať na logické myslenie, aby ste našli správnu odpoveď.

Na vysvetlenie pravidla sa neodporúča používať nasledujúci príklad. Vanya má v taške 2 jablká na občerstvenie. V čase obeda premýšľal o tom, že by si dal do kufríka ešte nejaké jablká. No v tej chvíli nebolo nablízku ani jediné ovocie. Vanya tam nič nevložil. Inými slovami, umiestnil 0 jabĺk s 2 jablkami.

Z hľadiska aritmetiky sa v tomto príklade ukazuje, že ak sa 2 vynásobí 0, potom neexistuje žiadna prázdnota. Odpoveď je v tomto prípade jasná. Pre tento príklad nie je pravidlo násobenia nulou relevantné. Správnym riešením je súčet. Správna odpoveď je preto 2 jablká.

V opačnom prípade učiteľ nemá inú možnosť, ako vytvoriť sériu úloh. Posledným opatrením je opätovné položenie témy a uskutočnenie prieskumu na výnimky v násobení.

Podstata akcie

Odporúča sa začať študovať algoritmus akcií pri násobení nulou uvedením podstaty aritmetickej operácie.

Podstata akcie násobenia bola spočiatku určená výlučne pre prirodzené čísla. Ak odhalíme mechanizmus účinku, potom sa k sebe pripočíta určitý počet zahrnutý do výpočtu.

Je dôležité zvážiť počet prídavkov. V závislosti od tohto kritéria sa získajú rôzne výsledky. Pridanie čísla relatívneho k sebe samému určuje takú vlastnosť, ako je prirodzenosť.

Pozrime sa na príklad. Číslo 15 je potrebné vynásobiť 3. Pri vynásobení 3 sa číslo 15 zväčší trikrát. Inými slovami, akcia vyzerá ako 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Na základe výpočtového mechanizmu je zrejmé, že ak sa číslo vynásobí iným prirodzeným číslom, objaví sa zdanie sčítania v zjednodušenej forme.

Odporúča sa spustiť algoritmus akcií pri násobení 0 poskytnutím charakteristiky nula.

Poznámka! Podľa všeobecného presvedčenia nula nič neznamená. V aritmetike existuje označenie prázdnoty tohto druhu. Napriek tomuto faktu nulová hodnota nič neznamená.

Treba poznamenať, že takýto názor v modernej svetovej vedeckej spoločnosti sa líši od pohľadu starých východných vedcov. Podľa teórie, ktorej sa držali, sa nula rovnala nekonečnu.

Inými slovami, ak vynásobíte nulou, získate rôzne možnosti. V nulovej hodnote vedci uvažovali o určitej zdanlivej hĺbke vesmíru.

Matematici ako potvrdenie možnosti násobenia 0 uviedli nasledujúcu skutočnosť. Ak vedľa ľubovoľného prirodzeného čísla dáte 0, dostanete hodnotu, ktorá je desiatky krát väčšia ako pôvodná.

Uvedený príklad je jedným z argumentov. Okrem tohto typu dôkazu existuje mnoho ďalších príkladov. Sú základom pretrvávajúcich sporov, keď sa množia prázdnotou.

Uskutočniteľnosť pokusu

Medzi študentmi pomerne často na prvých stupňoch zvládnutia vzdelávací materiál Existujú pokusy vynásobiť číslo 0. Takáto akcia je vážnou chybou.

Z takýchto pokusov sa v podstate nič nestane, ale nebude to ani prínos. Ak vynásobíte nulovou hodnotou, dostanete v denníku známku nevyhovujúca.

Jediná myšlienka, ktorá by mala vzniknúť, keď sa znásobí prázdnotou, je nemožnosť konania. Zapamätanie v tomto prípade zohráva dôležitú úlohu. Tým, že sa žiak raz a navždy naučí pravidlo, predchádza vzniku kontroverzných situácií.

Nasledujúca situácia sa môže použiť ako príklad, ktorý sa má použiť pri násobení nulou. Saša sa rozhodla kúpiť jablká. Kým bola v supermarkete, vybrala si 5 veľkých zrelých jabĺk. Po odchode do mliekarenského oddelenia sa rozhodla, že jej to nebude stačiť. Dievčatko si do košíka pridalo ešte 5 kusov.

Po troche premýšľania si vzala ďalších 5. Výsledkom bolo, že Sasha pri pokladni dostala: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 jabĺk. Ak by dala 5 jabĺk len 2-krát, tak by to bolo 5 * 2 = 5 + 5 = 10. V prípade, že by Saša nikdy nevložila do košíka 5 jabĺk, bolo by to 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Inými slovami, kúpiť 0 jabĺk znamená nekúpiť žiadne.

Číslo 0 si možno predstaviť ako určitú hranicu oddeľujúcu svet reálnych čísel od imaginárnych alebo záporných. Kvôli nejednoznačnej polohe sa mnohé operácie s touto číselnou hodnotou neriadia matematickou logikou. Nemožnosť delenia nulou je toho ukážkovým príkladom. A povolené aritmetické operácie s nulou možno vykonávať pomocou všeobecne akceptovaných definícií.

História nula

Nula je referenčný bod vo všetkých štandardných číselných sústavách. Európania začali používať toto číslo relatívne nedávno, ale mudrci starovekej Indie používali nulu o tisíc rokov predtým, ako toto prázdne číslo pravidelne používali európski matematici. Už pred Indiánmi bola nula povinnou hodnotou v mayskom číselnom systéme. Títo Američania používali duodecimálny číselný systém a prvý deň každého mesiaca začínal nulou. Je zaujímavé, že u Mayov sa znak označujúci „nulu“ úplne zhodoval so znakom označujúcim „nekonečno“. Starovekí Mayovia teda dospeli k záveru, že tieto množstvá sú identické a nepoznateľné.

Matematické operácie s nulou

Štandardné matematické operácie s nulou možno zredukovať na niekoľko pravidiel.

Sčítanie: ak k ľubovoľnému číslu pridáte nulu, nezmení sa jeho hodnota (0+x=x).

Odčítanie: Pri odčítaní nuly od ľubovoľného čísla zostane hodnota subtrahendu nezmenená (x-0=x).

Násobenie: Akékoľvek číslo vynásobené 0 dáva 0 (a*0=0).

Delenie: Nulu možno deliť ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule. V tomto prípade bude hodnota takéhoto zlomku 0. A delenie nulou je zakázané.

Umocňovanie. Túto akciu je možné vykonať s ľubovoľným číslom. Ľubovoľné číslo umocnené na nulu dá 1 (x 0 = 1).

Nula k ľubovoľnej mocnine sa rovná 0 (0 a = 0).

V tomto prípade okamžite vzniká rozpor: výraz 0 0 nedáva zmysel.

Paradoxy matematiky

Veľa ľudí zo školy vie, že delenie nulou je nemožné. Ale z nejakého dôvodu nie je možné vysvetliť dôvod takéhoto zákazu. Prečo vlastne neexistuje vzorec na delenie nulou, ale iné akcie s týmto číslom sú celkom rozumné a možné? Odpoveď na túto otázku dávajú matematici.

Ide o to, že bežné aritmetické operácie, ktoré sa učia školáci na základnej škole, v skutočnosti nie sú ani zďaleka také rovnaké, ako si myslíme. Všetky jednoduché číselné operácie možno zredukovať na dve: sčítanie a násobenie. Tieto akcie tvoria podstatu samotného konceptu čísla a ďalšie operácie sú postavené na použití týchto dvoch.

Sčítanie a násobenie

Zoberme si štandardný príklad odčítania: 10-2=8. V škole to považujú za jednoducho: ak z desiatich predmetov odpočítate dva, zostane vám osem. Ale matematici sa na túto operáciu pozerajú úplne inak. Koniec koncov, taká operácia ako odčítanie pre nich neexistuje. Tento príklad možno napísať aj inak: x+2=10. Pre matematikov je neznámy rozdiel jednoducho číslo, ktoré je potrebné pripočítať k dvom, aby bolo osem. A tu nie je potrebné žiadne odčítanie, stačí nájsť príslušnú číselnú hodnotu.

S násobením a delením sa zaobchádza rovnako. V príklade 12:4=3 môžete pochopiť, že hovoríme o rozdelení ôsmich predmetov na dve rovnaké kôpky. Ale v skutočnosti je to len obrátený vzorec na písanie 3x4 = 12. Takýchto príkladov delenia je možné uvádzať donekonečna.

Príklady na delenie 0

Tu je trochu jasné, prečo nemôžete deliť nulou. Násobenie a delenie nulou sa riadi vlastnými pravidlami. Všetky príklady delenia tejto veličiny možno formulovať ako 6:0 = x. Ale toto je obrátený zápis výrazu 6 * x = 0. Ale ako viete, akékoľvek číslo vynásobené 0 dáva v súčine iba 0. Táto vlastnosť je vlastná samotnému konceptu nulovej hodnoty.

Ukazuje sa, že neexistuje žiadne také číslo, ktoré po vynásobení 0 dáva nejakú hmatateľnú hodnotu, to znamená, že tento problém nemá riešenie. Nemali by ste sa báť tejto odpovede, je to prirodzená odpoveď na problémy tohto typu. Akurát ten záznam 6:0 nedáva žiaden zmysel a nedokáže nič vysvetliť. Stručne povedané, tento výraz možno vysvetliť nesmrteľným „delenie nulou je nemožné“.

Existuje operácia 0:0? Skutočne, ak je operácia násobenia 0 legálna, možno nulu deliť nulou? Veď rovnica v tvare 0x 5=0 je celkom legálna. Namiesto čísla 5 môžete zadať 0, produkt sa nezmení.

Skutočne, 0x0=0. Ale stále nemôžete deliť 0. Ako už bolo uvedené, delenie je jednoducho inverzné k násobeniu. Ak teda v príklade 0x5=0 potrebujete určiť druhý faktor, dostaneme 0x0=5. Alebo 10. Alebo nekonečno. Delenie nekonečna nulou – ako sa vám páči?

Ale ak sa do výrazu zmestí akékoľvek číslo, potom to nedáva zmysel, nemôžeme vybrať len jedno z nekonečného množstva čísel. A ak áno, znamená to, že výraz 0:0 nedáva zmysel. Ukazuje sa, že ani nulu samotnú nemožno deliť nulou.

Vyššia matematika

Delenie nulou je bolesť hlavy pre školskú matematiku. Matematická analýza študovaná na technických univerzitách mierne rozširuje koncepciu problémov, ktoré nemajú riešenie. Napríklad k už známemu výrazu 0:0 sa pridávajú nové, ktoré v školských kurzoch matematiky nemajú riešenia:

• nekonečno delené nekonečnom: ∞:∞;
• nekonečno mínus nekonečno: ∞−∞;
• jednotka zvýšená na nekonečnú mocninu: 1 ∞ ;
• nekonečno vynásobené 0: ∞*0;
• niektoré ďalšie.

Nie je možné vyriešiť takéto výrazy pomocou elementárnych metód. Ale vyššia matematika vďaka pridané vlastnosti pre množstvo podobných príkladov dáva konečné riešenia. Vidno to najmä pri úvahách o problémoch z teórie limitov.

Odblokovanie neistoty

V teórii limitov je hodnota 0 nahradená podmienenou infinitezimálnou premennou. A výrazy, v ktorých sa pri dosadení požadovanej hodnoty získa delenie nulou, sa transformujú. Nižšie je uvedený štandardný príklad rozšírenia limity pomocou bežných algebraických transformácií:

Ako vidíte na príklade, jednoduché zmenšenie zlomku vedie jeho hodnotu k úplne racionálnej odpovedi.

Pri zvažovaní limitov goniometrické funkcie ich prejavy bývajú zredukované na prvú pozoruhodnú hranicu. Pri zvažovaní limitov, v ktorých sa menovateľ stáva 0, keď je limita dosadená, sa používa druhá pozoruhodná limita.

L'Hopitalova metóda

V niektorých prípadoch môžu byť limity výrazov nahradené limitmi ich derivátov. Guillaume L'Hopital - francúzsky matematik, zakladateľ francúzskej školy matematickej analýzy. Dokázal, že limity výrazov sa rovnajú limitom derivátov týchto výrazov. V matematickom zápise vyzerá jeho pravidlo takto.