Sinuso radimo per kosinusą formulė. Trigonometrinių funkcijų nustatymo taisyklės: sinusas, kosinusas, tangentas ir cotangentas
Sinuso, kosinuso, tangento ir cotangento sąvokos yra pagrindinės trigonometrijos - matematikos šakos - kategorijos ir neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Norint įsisavinti šį matematikos mokslą, reikia įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išvystytą erdvinį mąstymą. Dėl šios priežasties moksleiviams ir studentams trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų. Norėdami jas įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.
Trigonometrijos sampratos
Norėdami suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas, pirmiausia turite nuspręsti, kas yra stačiasis trikampis ir kampas apskritime, ir kodėl visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai yra susieti su jais. Trikampis, kuriame vienas iš kampų turi 90 laipsnių stiprumą, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą žmonės dažnai naudojo architektūroje, navigacijoje, mene, astronomijoje. Atlikdami tyrimus ir analizuodami šio skaičiaus savybes, žmonės priėjo prie atitinkamų jo parametrų santykio apskaičiavimo.
Pagrindinės kategorijos, susijusios su dešiniaisiais trikampiais, yra hipotenuzė ir katete. Hipotenuzė - trikampio pusė, esanti stačiu kampu. Kojos, atitinkamai, yra kitos dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.
Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos šaka, kuri nėra tiriama mokykloje, tačiau taikomuosiuose moksluose, tokiuose kaip astronomija ir geodezija, mokslininkai tai naudoja. Trikampio ypatumas sferinėje trigonometrijoje yra tas, kad jo kampų suma visada yra didesnė kaip 180 laipsnių.
Trikampio kampai
Stačiakampio trikampio kampo sinusas yra kojos, priešingos norimam kampui, ir trikampio hipotenuzės santykis. Atitinkamai kosinusas yra greta esančio kateterio ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada turi mažesnę vertę nei vienybė, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.
Kampo liestinė yra reikšmė, lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui su norimu kampu arba sinuso ir kosinuso santykiu. Cotangentas, savo ruožtu, yra gretimos kojos norimo kampo ir priešingos kojos santykis. Kampo kogengentą taip pat galima gauti padalijus vienetą iš liestinės vertės.
Vieneto ratas
Vieneto apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys yra vienybė. Toks apskritimas yra sukonstruotas Dekarto koordinačių sistemoje, o apskritimo centras sutampa su išvada, o pradinė spindulio vektoriaus padėtis nustatoma pagal teigiamą X ašies (abscisės ašies) kryptį. Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisių ir koordinačių koordinatės. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir nuleisdami statmeną nuo jo ant abscisės ašies, gauname stačiakampį trikampį, suformuotą spinduliu į pasirinktą tašką (žymimą raide C), statmeną, nukreiptą į X ašį (susikirtimo taškas žymimas raide G), ir segmentą. abscisės ašis tarp ištakų (taškas žymimas raide A) ir sankirtos taško G. Gautas ACG trikampis yra stačiakampis trikampis, įrašytas apskritime, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampas tarp kintamos srovės apskritimo apskritimo spindulio ir abscisės ašies segmento su žymėjimu AG yra apibrėžiamas kaip α (alfa). Taigi, cos α \u003d AG / AC. Atsižvelgiant į tai, kad AS yra apskritimo vieneto spindulys, ir jis yra lygus vienybei, paaiškėja, kad cos α \u003d AG. Panašiai yra ir sin α \u003d CG.
Be to, žinant šiuos duomenis, galima nustatyti taško C apskritime koordinates, nes cos α \u003d AG ir sin α \u003d CG, tai reiškia, kad taškas C suteikė koordinates (cos α; sin α). Žinodami, kad liestinė yra lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tan α \u003d y / x ir ctan α \u003d x / y. Atsižvelgiant į neigiamų koordinačių sistemos kampus, galima apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso vertės gali būti neigiamos.
Skaičiavimai ir pagrindinės formulės
Trigonometrinių funkcijų vertės
Ištyrę trigonometrinių funkcijų esmę per apskritimo vienetą, galime išvesti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės išvardytos žemiau esančioje lentelėje.
Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės
Lygtys, kuriose nežinoma reikšmė yra po trigonometrinės funkcijos ženklu, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės, kurių reikšmė sin x \u003d α, k, yra bet koks sveikasis skaičius:
- sin x \u003d 0, x \u003d πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d a, | a | \u003e 1, sprendimų nėra.
- sin x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d (-1) ^ k * arcsin α + πk.
Tapatybės su cos x \u003d a, kur k yra bet kuris sveikasis skaičius:
- cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- cos x \u003d 1, x \u003d 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x \u003d a, | a | \u003e 1, sprendimų nėra.
- cos x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d ± arccos α + 2πk.
Tapatybės, kurių vertė tan x \u003d a, kur k yra bet kuris sveikasis skaičius:
- tg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arktanas α + πk.
Tapatybės, kurių vertė ctg x \u003d a, kur k yra bet kuris sveikasis skaičius:
- ctg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Vaidinimo formulės
Ši pastoviųjų formulių kategorija žymi metodus, kuriais galite pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, tai yra, norint didesnį skaičiavimų patogumą, atitinkamiems intervalo kampo rodikliams nuo 0 iki 90 laipsnių atnešti bet kurios vertės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kootangentą.
Funkcijos mažinimo formulės kampo sinusui yra šios:
- sin (900 - α) \u003d α;
- sin (900 + α) \u003d cos α;
- sin (1800 - α) \u003d sin α;
- sin (1800 + α) \u003d -sin α;
- sin (2700 - α) \u003d -cos α;
- sin (2700 + α) \u003d -cos α;
- sin (3600 - α) \u003d -sin α;
- sin (3600 + α) \u003d sin α.
Kampo kosinusas:
- cos (900 - α) \u003d sin α;
- cos (900 + α) \u003d -sin α;
- cos (1800 - α) \u003d -cos α;
- cos (1800 + α) \u003d -cos α;
- cos (2700 - α) \u003d -sin α;
- cos (2700 + α) \u003d sin α;
- cos (3600 - α) \u003d cos α;
- cos (3600 + α) \u003d cos α.
Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampą galima pavaizduoti kaip vertę (π / 2 ± a) arba (3π / 2 ± a), funkcijos vertė pasikeičia:
- nuo nuodėmės iki cos;
- nuo cos iki nuodėmės;
- nuo tg iki ctg;
- nuo ctg iki tg.
Funkcijos vertė nesikeičia, jei kampą galima pavaizduoti kaip (π ± a) arba (2π ± a).
Antra, duotos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių ji buvo teigiama, ji tokia ir liko. Panašiai ir su neigiamomis funkcijomis.
Papildymo formulės
Šios formulės išreiškia sinuso, kosinuso, liestinės ir komagentų sumas ir dviejų sukimosi kampų skirtumus per jų trigonometrines funkcijas. Paprastai kampai žymimi kaip α ir β.
Formulės yra šios:
- sin (α ± β) \u003d sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos (α ± β) \u003d cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tg (α ± β) \u003d (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg (α ± β) \u003d (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šios formulės galioja bet kokiems α ir β kampams.
Dvigubo ir trigubo kampo formulės
Dvigubo ir trigubo kampų trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvestos iš formulių:
- sin2α \u003d 2sinα * cosα.
- cos2α \u003d 1 - 2sin ^ 2 α.
- tg2α \u003d 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
- sin3α \u003d 3sinα - 4sin ^ 3 α.
- cos3α \u003d 4cos ^ 3 α - 3cosα.
- tg3α \u003d (3tgα - tg ^ 3 α) / (1-tg ^ 2 α).
Perėjimas nuo kiekio prie produkto
Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx * jaukus \u003d sin (x + y) + sin (x-y), supaprastinę šią formulę, gauname tapatumą sinα + sinβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Panašiai sinα - sinβ \u003d 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ \u003d 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tanα + tanβ \u003d sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ \u003d sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα \u003d √2sin (π / 4 ∓ α) \u003d √2cos (π / 4 ± α).
Perėjimas nuo kūrinio prie sumos
Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į produktą tapatumo:
- sinα * sinβ \u003d 1/2 *;
- cosα * cosβ \u003d 1/2 *;
- sinα * cosβ \u003d 1/2 *.
Pažeidimo formulės
Šiose tapatybėse kvadratinis ir kubinis sinuso ir kosinuso laipsniai gali būti išreikšti daugybinio kampo pirmo laipsnio sinusu ir kosinusu:
- sin ^ 2 α \u003d (1 - cos2α) / 2;
- cos ^ 2 α \u003d (1 + cos2α) / 2;
- sin ^ 3 α \u003d (3 * sinα - sin3α) / 4;
- cos ^ 3 α \u003d (3 * cosα + cos3α) / 4;
- sin ^ 4 α \u003d (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
- cos ^ 4 α \u003d (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.
Universali peržiūra
Universalios trigonometrinės pakaitų formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusinės kampo liestinės atžvilgiu.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), o x \u003d π + 2πn;
- cos x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), o x \u003d π + 2πn.
Ypatingi atvejai
Žemiau pateikiami specialūs paprasčiausių trigonometrinių lygčių atvejai (k yra bet koks sveikasis skaičius).
Privatus už nuodėmę:
| Sin x reikšmė | X reikšmė |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 2 + 2πk |
| -1 | -π / 2 + 2πk |
| 1/2 | π / 6 + 2πk arba 5π / 6 + 2πk |
| -1/2 | -π / 6 + 2πk arba -5π / 6 + 2πk |
| √2/2 | π / 4 + 2πk arba 3π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | -π / 4 + 2πk arba -3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | π / 3 + 2πk arba 2π / 3 + 2πk |
| -√3/2 | -π / 3 + 2πk arba -2π / 3 + 2πk |
Privatus kosinusas:
| Cos x reikšmė | X reikšmė |
|---|---|
| 0 | π / 2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ± π / 3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π / 3 + 2πk |
| √2/2 | ± π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | ± π / 6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π / 6 + 2πk |
Privatus liečiant:
| Tg x reikšmė | X reikšmė |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3/3 | π / 6 + πk |
| -√3/3 | -π / 6 + πk |
| √3 | π / 3 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
Privatus cotangentui:
| Ctg x reikšmė | X reikšmė |
|---|---|
| 0 | π / 2 + πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3 | π / 6 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
| √3/3 | π / 3 + πk |
| -√3/3 | -π / 3 + πk |
Teoremos
Sinuso teorema
Yra dvi teoremos versijos - paprasta ir išplėsta. Paprasta sinuso teorema: a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ. Be to, a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ - atitinkamai priešingi kampai.
Išplėstinė savavališko trikampio sinuso teorema: a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ \u003d 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas duotas trikampis, spindulį.
Kosinuso teorema
Tapatybė rodoma taip: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas a pusei.
Tangentinė teorema
Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgių. Šonai pažymėti kaip a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Tangento teoremos formulė: (a - b) / (a \u200b\u200b+ b) \u003d tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).
Cotangento teorema
Trikampyje įrašyto apskritimo spindulys susiejamas su jo kraštinėmis. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C - priešingi kampai, r yra užrašyto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusperimetras, galioja šios tapatybės:
- ctg A / 2 \u003d (p-a) / r;
- ctg B / 2 \u003d (p-b) / r;
- ctg C / 2 \u003d (p-c) / r.
Taikymas
Trigonometrija yra ne tik teorinis mokslas, susijęs su matematikos formulėmis. Jos savybes, teoremas ir taisykles praktikoje naudoja įvairios žmogaus veiklos šakos - astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechaninė inžinerija, matavimo darbai, kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija, ir daugelis kitų.
Sinusas, kosinusas, tangentas ir cotangentas yra pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kurių pagalba matematiškai galima išreikšti santykį tarp kraštinių kampų ir ilgių trikampyje ir rasti norimas reikšmes per tapatybes, teoremas ir taisykles.
Viena iš matematikos šakų, su kuria studentai susiduria su daugiausiai sunkumų, yra trigonometrija. Nenuostabu: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikalingas erdvinis mąstymas, sugebėjimas rasti formules sinusus, kosinusus, liestinius, kogentinukus, supaprastinti išraiškas ir mokėti skaičiuoti pi skaičiavimuose. Be to, žmogus turi mokėti pritaikyti trigonometriją įrodydamas teoremas, ir tam reikia arba išplėtotos matematinės atminties, arba sugebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.
Trigonometrijos ištakos
Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia reikia išsiaiškinti, ką daro trigonometrija.
Istoriškai pagrindinis tyrimo objektas šioje matematikos mokslo dalyje buvo stačiakampiai trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, leidžiančias nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų vertes iš dviejų pusių ir vieno kampo arba iš dviejų kampų ir vienos pusės. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo jį aktyviai naudoti statybose, navigacijoje, astronomijoje ir net mene.
Pradinis etapas
Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik stačiakampių trikampių pavyzdžiu. Tuomet buvo atrastos specialios formulės, leidžiančios praplėsti šios matematikos šakos naudojimo ribas kasdieniniame gyvenime.
Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien prasideda stačiakampiais trikampiais, po kurių įgytas žinias studentai panaudoja fizikos srityje ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, kurių darbas prasideda vidurinėje mokykloje.
Sferinė trigonometrija
Vėliau, kai mokslas pasiekė kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje buvo pradėtos naudoti formulės su sinuso, kosinuso, tangento, cotangento formomis, kur galioja skirtingos taisyklės, o kampų suma trikampyje visada yra didesnė kaip 180 laipsnių. Šis skyrius nėra mokomas mokykloje, tačiau apie jo egzistavimą būtina žinoti bent jau todėl, kad žemės ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „išlenktas“ trimatėje erdvėje.
Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų žemės rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį - ji įgavo lanko formą. Sferinėje geometrijoje nagrinėjamos tokios formos, kurios naudojamos geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.
Dešinysis trikampis
Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo metodus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad toliau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti jų pagalba ir kokios formulės yra naudojamos.
Pirmasis žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, esanti priešinga 90 laipsnių kampui. Ji ilgiausia. Mes prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą, jo skaitinė vertė yra lygi dviejų kitų pusių kvadratų sumos šaknims.
Pvz., Jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.
Abi likusios pusės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, reikia atsiminti, kad stačiakampėje koordinačių sistemoje trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.
Apibrėžimas
Galiausiai, gerai supratę geometrinę bazę, galite kreiptis į sinuso, kosinuso ir kampo liestinės apibrėžimą.
Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. Y. Pusės, esančios priešais norimą kampą) ir hipotenuzės santykis. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vieną! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia kojos ilgis, ji bus trumpesnė nei hipotenuzė, vadinasi, jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į problemą gausite sinusą ar kosinusą, kurio vertė didesnė nei 1, ieškokite klaidų skaičiavimuose ar pagrindimo. Šis atsakymas yra akivaizdžiai neteisingas.
Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos santykis. Tas pats rezultatas bus pasiektas dalijant sinusą iš kosinuso. Pažiūrėkite: pagal formulę šoninės ilgį padalijame iš hipotenuzės, tada padalijame iš antros pusės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį santykį kaip ir liestinės apibrėžime.
Cotangentas atitinkamai yra kampo pusės priešingybė. Tą patį rezultatą gauname padalinę vienetą iš liestinės.
Taigi mes ištyrėme, kas yra sinusas, kosinusas, tangentas ir cotangentas, ir galime nagrinėti formules.
Paprasčiausios formulės
Trigonometrijoje negalima išsiversti be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, koagentą? Tačiau to reikia būtent sprendžiant problemas.
Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant studijuoti trigonometriją, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne šoną.
Daugelis mokinių negali atsiminti antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklos problemas: kampo liestinės vieneto ir kvadrato suma yra lygi vienetui, padalytam iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: galų gale, tai yra tas pats teiginys, kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės puses padalijo kosinuso kvadratas. Pasirodo, paprasta matematinė operacija daro trigonometrinę formulę visiškai neatpažįstamą. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, tangentas ir cotangentas, transformacijos taisykles ir keletą pagrindinių formulių, bet kada galite atsispausdinti reikiamas sudėtingesnes formules patys ant popieriaus lapo.
Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas
Kitos dvi formulės, kurias reikia išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso vertėmis su kampų suma ir skirtumu. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas yra padauginti iš abiejų kartų, o antruoju atveju pridedamas sinuso ir kosinuso porinis sandauga.
Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių - kaip treniruotę pabandykite juos gauti patys, paimdami alfa kampą, lygų beta kampui.
Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima konvertuoti, kad būtų sumažintas sinuso, kosinuso ir liestinės alfa laipsnis.
Teoremos
Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodamiesi šiomis teoremomis galite lengvai suprasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.
Sinuso teorema teigia, kad padalinę kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo vertės, gauname tą patį skaičių. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžto apskritimo spinduliams, tai yra, apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.
Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, kad produktas, padaugintas iš gretimo kampo dvigubo kosinuso, yra atimamas iš abiejų pusių kvadratų sumos - gauta vertė bus lygi trečiosios pusės kvadratui. Taigi, Pitagoro teorema paaiškėja kaip ypatingas kosinuso teoremos atvejis.
Neatsargumo klaidos
Net žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir liestinė, lengva suklysti dėl atitraukto dėmesio ar klaidos atliekant paprasčiausius skaičiavimus. Norėdami išvengti tokių klaidų, susipažinsime su populiariausiomis.
Pirma, paprastos trupmenos neturėtų būti konvertuojamos į dešimtainę dalį, kol nebus gautas galutinis rezultatas - atsakymą galite palikti paprastos trupmenos forma, jei sąlygoje nenurodyta kitaip. Tokia transformacija negali būti vadinama klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename užduoties etape gali atsirasti naujos šaknys, kurias, pasak autoriaus idėjos, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju jūs eikvosite laiką nereikalingoms matematinėms operacijoms. Tai ypač pasakytina apie vertybes, tokias kaip šaknis iš trijų ar dviejų, nes jos randamos užduotyse kiekviename žingsnyje. Tas pats pasakytina apie negražių skaičių apvalinimą.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą šalių produktą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, jūs ne tik gausite visiškai neteisingą rezultatą, bet ir parodysite visišką nesusipratimą tema. Tai yra blogiau nei klaida dėl neatsargumo.
Trečia, nepainiokite 30 ir 60 laipsnių kampų verčių, skirtų sinusams, kosinusams, liestiniams, kovagentams. Atsiminkite šias vertybes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Jie lengvai supainiojami, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.
Taikymas
Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos taikomosios prasmės. Kas yra sinusas, kosinusas, liečiantis inžinierių ar astronomą? Tai yra sąvokos, kurių dėka galima apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, nuspėti meteorito kritimą, nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų negalima statyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti objekto paviršiaus apkrovos ar trajektorijos. Ir tai yra tik akivaizdžiausi pavyzdžiai! Galų gale, trigonometrija viena ar kita forma yra naudojama visur, pradedant muzika ir baigiant medicina.
Pabaigoje
Taigi, jūs esate sinusas, kosinusas, liečiantis. Galite juos naudoti skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.
Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad nežinomieji turi būti apskaičiuojami pagal žinomus trikampio parametrus. Šių parametrų yra šeši: trijų kraštinių ilgiai ir trijų kampų dydžiai. Visas užduočių skirtumas yra tas, kad įvestiniai duomenys nėra vienodi.
Kaip rasti žinomą kojų ar hipotenuzės ilgį, sinusą, kosinusą, liestinę, jūs dabar žinote. Kadangi šie terminai reiškia ne ką daugiau kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrinės problemos tikslas yra surasti paprastosios lygties ar lygčių sistemos šaknis. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.
Naudojimo instrukcija
Pasinaudokite planimetrijos žiniomis išreikšdami sinusas per sinusas. Pagal apibrėžimą sinusaskampo omą stačiakampyje trikampyje, kurio ilgis priešingas k, ir sinusasom - gretimasis kateteris prie hipotenuzės. Net žinios apie Pitagoro teoremą leis kai kuriais atvejais greitai siekti pertvarkos.
Išreikšti sinusas per sinusasnaudojant paprasčiausią trigonometrinį tapatumą, pagal kurį šių dydžių kvadratų suma suteikia vienybę. Atminkite, kad užduotį teisingai galite atlikti tik tada, kai žinote, kad norimas kampas yra ketvirtyje, kitaip gausite du galimus rezultatus - su teigiamu ir ženklu.
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c)
Yra trikampis, kurio kraštinės a, b, c yra lygios atitinkamai 3, 4, 5 mm.
Norėdami rasti kosinusas kampas tarp didelių šonų.
Mes pažymime kampą, priešingą šonui a?, Tada pagal aukščiau pateiktą formulę turime:
cs \u003d \u003d (b + + c--a?) / (2 * b * c) \u003d (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) \u003d (16 + 25-9) / 40 \u003d 32/40 \u003d 0,8
Atsakymas: 0,8.
Jei trikampis yra stačiakampis, tada reikia rasti kosinusaso kampo pakanka žinoti tik dviejų bet kokių pusių ilgį ( kosinusas stačiakampis lygus 0).
Tebūnie dešinysis trikampis, kurio kraštinės yra a, b, c, kur c yra hipotenuzė.
Apsvarstykite visas galimybes:
Rasti cos? Jei žinomi a ir b (trikampio) kraštų ilgiai
Mes papildomai naudojame Pitagoro teoremą:
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (b? + b? + a? -a?) / (2 * b * v (b? + a?)) \u003d (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) \u003d B / v (b? + A?)
Norėdami užtikrinti gautos formulės teisingumą, ją pakeičiame 1 pavyzdžiu, t.
Atlikę elementarius skaičiavimus, gauname:
Panašiai įsikūręs kosinusas stačiakampio formos trikampis kitais atvejais:
Žinomos a ir c (hipotenuzė ir priešinga koja), raskite cos?
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (c? -a? + c? -a?) / (2 * c * v (c? -a?)) \u003d (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) \u003d V (s? -A?) / S.
Iš pavyzdžio pakeitę a \u003d 3 ir c \u003d 5 reikšmes, gauname:
B ir C yra žinomos (hipotenuzė ir gretima koja).
Rasti cos?
Padarę panašius (parodyta 2 ir 3 pavyzdžiuose transformacijas), gauname, kad šiuo atveju kosinusas į trikampis apskaičiuojamas pagal labai paprastą formulę:
Išvestos formulės paprastumas paaiškinamas elementariai: iš tikrųjų, šalia kampo? koja yra hipotenuzės projekcija; jos ilgis lygus hipotenuzės ilgiui cos ?.
Iš pirmo pavyzdžio pakeitę reikšmes b \u003d 4 ir c \u003d 5, gauname:
Taigi visos mūsų formulės yra teisingos.
Norint gauti formulę, privaloma sinusas ir į sinusas kampu, būtina pateikti arba priminti kai kuriuos apibrėžimus. Taigi sinusas kampas yra dešinės trikampio priešingos pusės ir hipotenuzės santykis (padalijimo koeficientas). Kam sinusas kampas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Naudojimo instrukcija
Naudingi patarimai
Bet kurio kampo sinuso ir kosinuso dydis negali būti didesnis kaip 1.
Sinusas ir kosinusas - tai yra tiesioginės trigonometrinės funkcijos, kurioms yra keletas apibrėžimų, - per apskritimą Dekarto koordinačių sistemoje, per diferencialinės lygties sprendimus, per aštrius kampus stačiakampyje. Kiekvienas iš šių apibrėžimų leidžia mums nustatyti šių dviejų funkcijų ryšį. Tai yra lengviausias būdas išreikšti kosinusas per sinusą - per jų apibrėžimus stačiakampio stačiakampio kampams apibrėžti.
Naudojimo instrukcija
Dešiniojo trikampio aštinio kampo sinusą išreikškite per šio paveikslo kraštų ilgį. Pagal apibrėžimą, kampo (α) sinusas turi būti priešais jį esančios šoninės (a) dalies - kojos - ilgio ir šoninės (c), esančios priešais stačiu kampą, ilgio santykis - hipotenuzė: sin (α) \u003d a / c.
Raskite panašią formulę kosinusasir tuo pačiu kampu. Pagal apibrėžimą ši vertė turėtų būti išreikšta šoninio kampo (antra koja) pusės (b) ilgio ir priešingos pusės stačiakampio kampo (c) ilgio santykiu: cos (a) \u003d a / c.
Parašykite lygybę pagal Pitagoro teoremą taip, kad ji apimtų ryšius tarp kojų ir hipotenuzės, gautus ankstesniuose dviejuose etapuose. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padalinkite abu šios teoremos inicialus (a² + b² \u003d c²) iš hipotenuzės kvadrato (a² / c² + b² / c² \u003d 1), tada gautą lygybę perrašykite taip: (a / c) ² + (b / c) ) ² \u003d 1.
Gautoje išraiškoje pakeiskite kojų ilgio ir hipotenuzės santykį trigonometrinėmis funkcijomis, remdamiesi pirmos ir antros pakopų formulėmis: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Išreikškite. kosinusas iš gautos lygybės: cos (a) \u003d √ (1 - sin² (a)). Atsižvelgiant į tai, problemą galima išspręsti bendrai.
Jei, be bendro, jums reikia gauti skaitinį rezultatą, naudokite, pavyzdžiui, skaičiuoklę, įmontuotą „Windows“ operacinėje sistemoje. Nuoroda į jo paleidimą OS meniu skiltyje „Visos programos“ „Standartinis“. Ši nuoroda trumpai suformuluota - „Skaičiuoklė“. Norėdami iš šios programos apskaičiuoti trigonometrines funkcijas, įgalinkite jos „inžinerinę“ sąsają - paspauskite klavišų kombinaciją Alt + 2.
Įveskite kampo sinusą sąlygose ir spustelėkite sąsajos mygtuką su žymėjimu x² - tai pradinę reikšmę išreikš kvadratu. Tada klaviatūroje įveskite * -1, paspauskite Enter, įveskite +1 ir dar kartą paspauskite Enter - tokiu būdu iš vieneto atimsite sinuso kvadratą. Spustelėkite radikalią piktogramą, kad išgautumėte kvadratą ir gautumėte galutinį rezultatą.
Vienas iš pagrindinių tiksliųjų mokslų pagrindų yra trigonometrinių funkcijų samprata. Jie apibūdina paprastus stačiakampio trikampio kraštinių santykius. Sinusas priklauso šių funkcijų šeimai. Žinodami kampą, jį galite rasti įvairiais būdais, įskaitant eksperimentinius, skaičiavimo metodus ir naudodamiesi informacine informacija.
Jums reikės
- - skaičiuoklė;
- - kompiuteris;
- - skaičiuoklės;
- - „bradis“ stalai;
- - popierius;
- - pieštukas.
Naudojimo instrukcija
Norėdami gauti norimas vertes, pagrįstas žiniomis apie kampą, naudokite sinuso skaičiavimo funkciją. Panašus funkcionalumas šiandien turi net patį paprasčiausią. Tokiu atveju skaičiavimai atliekami labai tiksliai (paprastai iki aštuonių ar daugiau dešimtųjų tikslumu).
Naudokite programinę įrangą, kuri yra skaičiuoklių aplinka, vykdoma asmeniniame kompiuteryje. Tokių programų pavyzdžiai yra „Microsoft Office Excel“ ir „OpenOffice.org Calc“. Įveskite bet kurį langelį formulę, susidedančią iš sinuso apskaičiavimo funkcijos pateikimo, naudojant reikiamą argumentą. Paspauskite Enter. Norima vertė rodoma langelyje. Skaičiuoklių pranašumas yra galimybė greitai apskaičiuoti funkcijų reikšmes dideliam argumentų rinkiniui.
Suraskite apytikslę kampo sinusą iš „Bradis“ lentelių, jei yra. Jų trūkumas yra verčių tikslumas, apsiribojant keturiais skaičiais po kablelio.
Suraskite apytikslę kampo sinuso vertę, užpildydami geometrines konstrukcijas. Ant popieriaus lapo nubrėžkite liniją. Naudodamiesi armatūra, atidėkite kampą, kurį reikia rasti. Nubrėžkite kitą liniją, kertančią pirmąją tam tikru metu. Statmenai pirmajam segmentui nubrėžkite tiesią liniją, kertančią du esamus segmentus. Gausite dešinįjį trikampį. Išmatuokite jo hipotenuzės ir kojos ilgį, priešais kampą, pastatytą su prožektoriumi. Antrąją vertę padalinkite iš pirmosios. Tai bus norima vertė.
Apskaičiuokite kampo sinusą, naudodamiesi Taylor serijos išplėtimu. Jei kampas yra laipsniais, paverskite jį radianais. Naudokite formos formulę: sin (x) \u003d x - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! - (x ^ 7) / 7! + (x ^ 9) / 9! - ... Norėdami padidinti skaičiavimų greitį, užrašykite paskutinę serijos nario skaitiklio ir vardiklio vertę, apskaičiuodami kitą vertę pagal ankstesnę. Norėdami gauti tikslesnę vertę, padidinkite eilutės ilgį.
Taip buvo įvestos sinuso ir kosinuso sąvokos. Ūmaus stačiakampio trikampio sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis, o gretimos pusės kosinusas - hipotenuzės.
Kosinuso ir sinuso teoremos
Kosinusai ir sinusai gali būti naudojami ne tik stačiakampiuose trikampiuose. Norint sužinoti neryškaus ar ūmaus kampo, bet kurio trikampio kraštinių, vertę, pakanka pritaikyti kosinuso ir sinuso teoremą.
Kosinuso teorema yra gana paprasta: "Trikampio kraštinės kvadratas yra kitų dviejų kraštų kvadratų suma, atėmus šių kraštų dvigubą sandaugą iš kampo tarp jų kosinuso".
Yra du sinuso teoremos aiškinimai: maža ir išplėsta. Pasak mažosios: "Trikampyje kampai yra proporcingi priešingoms pusėms". Ši teorema dažnai pratęsiama dėl aplink trikampį aprašytų apskritimo savybių: „Trikampyje kampai yra proporcingi priešingoms pusėms, o jų santykis yra lygus apibrėžto apskritimo skersmeniui“.
Dariniai
Išvestinė yra matematinis įrankis, parodantis, kaip greitai keičiasi funkcija, keičiant jos argumentą. Naudojami dariniai, geometrija ir nemažai techninių disciplinų.
Spręsdami problemas, turite žinoti trigonometrinių funkcijų darinių lenteles: sinusą ir kosinusą. Sinuso darinys yra kosinusas, o kosinusas yra sinusas, bet su minuso ženklu.
Taikymas matematikoje
Ypač dažnai sinusai ir kosinusai naudojami sprendžiant stačiakampius trikampius ir su jais susijusias problemas.
Sinuso ir kosinuso patogumas atsispindi technologijoje. Buvo lengva įvertinti kampus ir šonus pagal kosinuso ir sinuso teoremas, suskaidžius sudėtingas formas ir objektus į „paprastus“ trikampius. Inžinieriai, dažnai dirbantys su kraštinių santykiais ir laipsnių matmenimis, praleido daug laiko ir pastangų apskaičiuodami ne lentelės kampų kosinusus ir sinusus.
Tuomet „į pagalbą“ atėjo Bradio lentelės, kuriose yra tūkstančiai skirtingų kampų sinusų, kosinusų, liečiamųjų ir kogengentų verčių. Sovietmečiu kai kurie mokytojai iš širdies privertė savo palatų „Bradis“ lentelių puslapius.
Radianas yra lanko kampinė reikšmė išilgai ilgio, lygaus spinduliui arba 57,295779513 ° laipsnių.
Laipsnis (geometrijoje) - 1/360-oji apskritimo dalis arba 1/90-oji stačiakampio dalis.
π \u003d 3.141592653589793238462 ... (apytikslė Pi skaičiaus vertė).
Kosinuso lentelė kampams: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.
| Kampas x (laipsniais) | 0° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 120 ° | 135 ° | 150 ° | 180 ° | 210 ° | 225 ° | 240 ° | 270 ° | 300 ° | 315 ° | 330 ° | 360 ° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kampas x (radianais) | 0 | π / 6 | π / 4 | π / 3 | π / 2 | 2 x π / 3 | 3 x π / 4 | 5 x π / 6 | π | 7 x π / 6 | 5 x π / 4 | 4 x π / 3 | 3 x π / 2 | 5 x π / 3 | 7 x π / 4 | 11 x π / 6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Trigonometrinės tapatybės - tai yra lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kovalentės, kuris leidžia rasti bet kurią iš šių funkcijų, su sąlyga, kad yra žinoma kita.
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)
tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1
Ši tapatybė rodo, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienybei, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas, ir atvirkščiai.
Keičiant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, kuri leidžia pakeisti vieneto vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą ir atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Tangento ir katagento suradimas per sinusą ir kosinusą
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace
Šios tapatybės yra išvestos iš sinuso, kosinuso, liestinės ir cotangentės apibrėžimų. Iš tikrųjų, jei pažvelgsite, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \\ frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), ir santykis \\ frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - bus cotangentas.
Pridedame, kad tapatumas bus tik tiems kampams \\ alfa, kur prasminga į juos įeinančios trigonometrinės funkcijos ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).
Pvz .: tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) galioja kampams \\ alfa, kurie skiriasi nuo \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi zir ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - kampui \\ alfa, išskyrus \\ pi z, z - yra sveikasis skaičius.
Santykis tarp liestinės ir kogentino
tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1
Ši tapatybė galioja tik kampams \\ alfa, kurie skiriasi nuo \\ frac (\\ pi) (2) z. Priešingu atveju nei cotangentas, nei liestinė nebus apibrėžti.
Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai tg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x)ir ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x) (y). Iš to seka tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. Taigi to paties kampo, kurį jie turi prasmę, liestinė ir katagenta yra abipusiai atvirkštiniai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, cotangento ir sinuso priklausomybės
tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) - kampo \\ alfa ir 1 liestinės kvadrato suma yra lygi atvirkščiai šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visiems \\ alfa, išskyrus \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.
1 + ctg ^ (2) \\ alpha \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha) - kampo \\ alfa koeficiento 1 ir kvadrato suma yra lygi atvirkščiai šio kampo sinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriam \\ alfa, išskyrus \\ pi z.
Trigonometrinių tapatybių naudojimo problemų sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys
Raskite \\ sin \\ alpha ir tg \\ alpha, jei \\ cos \\ alpha \u003d - \\ frac12 ir \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Funkcijas \\ sin \\ alpha ir \\ cos \\ alpha riboja formulė \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Pakeitus šią formulę \\ cos \\ alpha \u003d - \\ frac12gauname:
\\ sin ^ (2) \\ alfa + \\ kairė (- \\ frac12 \\ dešinė) ^ 2 \u003d 1
Ši lygtis turi 2 sprendimus:
\\ sin \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac14) \u003d \\ pm \\ frac (\\ sqrt 3) (2)
Pagal būklę \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Taigi antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).
Norėdami rasti tg \\ alpha, naudojame formulę tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3
2 pavyzdys
Raskite \\ cos \\ alpha ir ctg \\ alpha, jei ir \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Pakeitimas į formulę \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 sąlyginis skaičius \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)mes gauname \\ kairė (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ dešinė) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Ši lygtis turi du sprendimus. \\ cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.
Pagal būklę \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Taigi antrojo ketvirčio kosinusas yra neigiamas \\ cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.
Norėdami rasti ctg \\ alpha, naudojame formulę ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). Atitinkami kiekiai mums yra žinomi.
ctg \\ alpha \u003d - \\ frac12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).
Neįtikinsiu jūsų nerašyti apgavikų lapų. Rašyk! Įskaitant, ir apgauti lapai apie trigonometriją. Vėliau planuoju paaiškinti, kodėl reikia apgauti lakštus ir kuo naudingi apgauti lakštai. Ir čia yra informacija apie tai, kaip nemokyti, bet prisiminti keletą trigonometrinių formulių. Taigi - trigonometrija be apgaulės lapo! Norėdami atsiminti, naudojame asociacijas.
1. Formulės papildymas:
kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas – kosinusas, sinusas – sinusas.
Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jie „ne viskas gerai“, todėl keičia ženklus: „-“ į „+“ ir atvirkščiai.
Sinusai - „maišyti“: sinusas kosinusas, kosinusas sinusas.
2. Sumos ir skirtumo formulės:
kosinusai visada „vaikšto poromis“. Pridėję du kosinusus - „kolobok“, gauname kosinusų porą - „koloboks“. Ir atimdami mes negausime jokių koloboksų. Gauname porą sinusų. Taip pat su minusu į priekį.
Sinusai - „maišyti“ :
3. Gaminio konvertavimo į sumą ir skirtumą formulės.
Kada mes gauname kosinusų porą? Kai pridedame kosinusus. Todėl
Kada mes gauname sinusų porą? Atimant kosinusus. Iš čia:
„Maišymas“ gaunamas pridedant ir atimant sinusus. Kuris gražesnis: sudėti ar atimti? Teisingai, sulankstyk. O formulę papildykite:
Pirmoje ir trečioje skliaustuose pateiktose formulėse yra suma. Po terminų vietų pertvarkymo suma nesikeičia. Pagrindinis užsakymas skirtas tik antrajai formulei. Bet kad nesusipainiotume, kad būtų lengviau atsiminti, atsižvelgiame į visų trijų formulių skirtumus pirmosiose skliaustuose.
ir, antra, suma
Kramtymo lapai kišenėje suteikia ramybę: jei pamiršite formulę, galite nurašyti. Ir jie suteikia pasitikėjimo: jei negalite naudoti apgaulės lapo, formules galite lengvai atsiminti.
