Tuto řadu lze také napsat jako:

(2),
  kde, k-té komplexní amplituda.

Vztah mezi koeficienty (1) a (3) je vyjádřen následujícími vzorci:

Všimněte si, že všechny tyto tři reprezentace Fourierovy řady jsou zcela rovnocenné. Někdy při práci s Fourierovou řadou je vhodnější použít exponenty imaginárního argumentu místo sine a cosines, tj. Použít Fourierovu transformaci ve složité formě. Je však pro nás výhodné použít vzorec (1), kde je Fourierova řada představována jako součet kosinových vln s odpovídajícími amplitudami a fázemi. V každém případě je špatné říci, že výsledkem Fourierovy transformace skutečného signálu budou komplexní amplitudy harmonických. Jak Wiki správně uvádí, „Fourierova transformace (?) Je operace, která mapuje jednu funkci skutečné proměnné na jinou funkci, také skutečnou proměnnou.“

Celkem:
  Matematickým základem spektrální analýzy signálů je Fourierova transformace.

Fourierova transformace nám umožňuje reprezentovat spojitou funkci f (x) (signál) definovanou v intervalu (0, T) jako součet nekonečného počtu (nekonečné řady) trigonometrických funkcí (sinusoidy a \\ nebo kosinové vlny) s určitými amplitudami a fázemi, také uvažovanými na intervalu (0, T). Taková řada se nazývá Fourierova řada.

Zaznamenáváme také některé body, jejichž porozumění je vyžadováno pro správné použití Fourierovy transformace na analýzu signálů. Pokud vezmeme v úvahu Fourierovu řadu (součet sinusoidů) na celé ose X, můžeme vidět, že mimo interval (0, T) bude funkce reprezentovaná Fourierovou řadou periodicky opakovat naši funkci.

Například v grafu na obr. 7 je počáteční funkce definována v intervalu (-T \\ 2, + T \\ 2) a Fourierova řada představuje periodickou funkci definovanou na celé ose x.

Je to proto, že samotné sinusoidy jsou periodické funkce, a jejich součet bude periodickou funkcí.

obr. 7 Reprezentace neperiodické počáteční funkce Fourierovou řadou

Tímto způsobem:

Naše počáteční funkce je spojitá, neperiodická, definovaná v určitém segmentu délky T.
Spektrum této funkce je diskrétní, tj. Je prezentováno ve formě nekonečné řady harmonických složek - Fourierovy řady.
  Ve skutečnosti je určitá periodická funkce určena Fourierovou řadou, která se shoduje s naší na intervalu (0, T), ale pro nás tato periodicita není významná.

Periody harmonických složek jsou násobky hodnoty intervalu (0, T), na kterém je určena počáteční funkce f (x). Jinými slovy, periody harmonických jsou násobky délky měření signálu. Například perioda první harmonické Fourierovy řady se rovná intervalu T, na kterém je definována funkce f (x). Období druhé harmonické Fourierovy řady se rovná intervalu T / 2. A tak dále (viz obr. 8).

obr. 8 Periody (frekvence) harmonických složek Fourierovy řady (zde T \u003d 2?)

Frekvence harmonických složek jsou tedy násobky 1 / T. To znamená, že frekvence harmonických složek Fk jsou Fk \u003d k \\ T, kde k prochází hodnotami od 0 do?, Například k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 Fl \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T; ... Fk \u003d k \\ T (při nulové frekvenci konstantní složka).

Nechť je naší počáteční funkcí signál zaznamenaný během T \u003d 1 sec. Pak bude perioda první harmonické rovna trvání našeho signálu T1 \u003d T \u003d 1 sec a harmonická frekvence je 1 Hz. Perioda druhé harmonické bude stejná jako doba trvání signálu dělená 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 s) a frekvence je 2 Hz. Pro třetí harmonickou, T3 \u003d T / 3 sec a frekvence je 3 Hz. A tak dále.

Krok mezi harmonickými je v tomto případě 1 Hz.

Signál trvající 1 sekundu tak může být rozložen na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 1 Hz.
  Pro zvýšení rozlišení 2krát na 0,5 Hz je nutné prodloužit dobu měření 2krát - až 2 sekundy. Signál trvající 10 sekund může být rozložen na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 0,1 Hz. Neexistují žádné jiné způsoby, jak zvýšit frekvenční rozlišení.

Existuje způsob, jak uměle prodloužit trvání signálu přidáním nul do pole vzorků. Nezvyšuje však skutečné rozlišení ve frekvenci.

3. Diskrétní signály a diskrétní Fourierova transformace

  S rozvojem digitální technologie se způsoby ukládání dat měření (signálů) změnily. Pokud dříve mohl být signál zaznamenán na magnetofon a uložen na pásku v analogové formě, nyní jsou signály digitalizovány a ukládány do souborů v paměti počítače jako sada čísel (ukázky).

Obvyklé schéma pro měření a digitalizaci signálu je následující.

obr. 9 Schéma měřicího kanálu

Signál z měřicího převodníku dorazí do ADC během časového období T. Vzorky signálů získané během času T (vzorkování) jsou přenášeny do počítače a ukládány do paměti.

obr. 10 Digitalizovaný signál - N vzorků přijatých během času T

Jaké jsou požadavky na digitalizaci signálu? Zařízení, které převádí analogový vstupní signál na diskrétní kód (digitální signál), se nazývá analogově digitální převodník (ADC) (Wiki).

Jedním z hlavních parametrů ADC je maximální vzorkovací frekvence (nebo vzorkovací frekvence, anglická vzorkovací frekvence) - vzorkovací frekvence nepřetržitého nepřetržitého signálu během jeho vzorkování. Měřeno v hertzech. ((Wiki))

Podle Kotelnikovovy věty, pokud má spojitý signál spektrum omezené frekvencí Fmax, lze jej zcela a jednoznačně rekonstruovat z jeho diskrétních vzorků odebraných v časových intervalech , tj. s frekvencí Fd? 2 * Fmax, kde Fd je vzorkovací frekvence; Fmax je maximální frekvence signálového spektra. Jinými slovy, vzorkovací frekvence signálu (vzorkovací frekvence ADC) by měla být alespoň dvojnásobkem maximální frekvence signálu, kterou chceme měřit.

A co se stane, pokud odebereme vzorky s nižší frekvencí, než vyžaduje Kotelnikovova věta?

V tomto případě dochází k efektu „aliasingu“ (jedná se o stroboskopický efekt, moaré efekt), ve kterém se vysokofrekvenční signál po digitalizaci změní na nízkofrekvenční signál, který ve skutečnosti neexistuje. Na obr. 5 červených vysokofrekvenčních sinusových vln je skutečný signál. Modrá sinusová vlna s nižší frekvencí je fiktivní signál, který vzniká jako výsledek, během kterého má během odběru vzorku více času než polovina periody vysokofrekvenčního signálu.

Obr. 11. Vzhled falešného signálu nízké frekvence, když vzorkovací frekvence není dostatečně vysoká

Aby se předešlo efektu aliasingu, je před ADC umístěn speciální anti-aliasingový filtr - dolní propust (dolní propust), který propouští frekvence pod polovinou vzorkovací frekvence ADC a zabíjí vyšší frekvence.

Pro výpočet spektra signálu z jeho diskrétních vzorků se používá diskrétní Fourierova transformace (DFT). Znovu poznamenáváme, že spektrum diskrétního signálu „podle definice“ je omezeno frekvencí Fmax, méně než polovinou vzorkovací frekvence Fd. Proto může být spektrum diskrétního signálu představováno součtem konečného počtu harmonických, na rozdíl od nekonečné částky pro Fourierovu řadu spojitého signálu, jejíž spektrum může být neomezené. Podle Kotelnikovovy věty musí být maximální harmonická frekvence taková, aby měla alespoň dva vzorky, takže počet harmonických se rovná polovině počtu vzorků diskrétního signálu. To znamená, že pokud vzorek obsahuje N vzorků, bude počet harmonických ve spektru N / 2.

Nyní uvažujeme diskrétní Fourierovu transformaci (DFT).

Porovnání s Fourierovou řadou

Vidíme, že se shodují, kromě toho, že čas v DFT je diskrétní povahy a počet harmonických je omezen N / 2 - polovina počtu vzorků.

Vzorce DFT jsou psány v bezrozměrných celočíselných proměnných k, s, kde k jsou čísla vzorků signálu, s jsou čísla spektrálních složek.
  Hodnota s ukazuje počet celkových harmonických v periodě T (doba měření signálu). Diskrétní Fourierova transformace se používá k nalezení amplitud a fází harmonických numerickou metodou, tj. "Na počítači"

Návrat k výsledkům dosaženým na začátku. Jak je uvedeno výše, když se rozšiřuje neperiodická funkce (náš signál) do Fourierovy řady, výsledná Fourierova řada skutečně odpovídá periodické funkci s periodou T. (obr. 12).

obr. 12 Periodická funkce f (x) s periodou T0, s periodou měření T\u003e T0

Jak je vidět na obr. 12, funkce f (x) je periodická s periodou T0. Avšak vzhledem k tomu, že doba měření měřeného vzorku T se neshoduje s periodou funkce TO, má funkce získaná jako Fourierova řada mezeru v bodě T. V důsledku toho bude spektrum této funkce obsahovat velké množství vysokofrekvenčních harmonických. Pokud by se doba trvání měřeného vzorku T shodovala s periodou funkce TO, pak by spektrum získané po Fourierově transformaci obsahovalo pouze první harmonický (sinusoid s periodou rovnou délce trvání vzorku), protože funkce f (x) je sinusoid.

Jinými slovy, program DFT „neví“, že náš signál je „kus sinusoidu“, ale pokouší se prezentovat periodickou funkci ve formě série, která má mezeru kvůli nekonzistentnosti jednotlivých kusů sinusoidu.

Výsledkem je, že ve spektru se objevují harmonické složky, které by měly shrnout tvar funkce, včetně této nespojitosti.

K získání „správného“ spektra signálu, které je součtem několika sinusoidů s různými periodami, je tedy nezbytné, aby se do periody měření signálu zapadalo celé množství period každého sinusoidu. V praxi může být tato podmínka splněna s dostatečně dlouhou dobou měření signálu.

Obr. 13 Příklad funkce a spektra signálu kinematické chyby převodovky

V kratším čase bude obraz vypadat „horší“:

Obr. 14 Příklad funkce a spektra vibračního signálu rotoru

V praxi může být obtížné pochopit, kde jsou „skutečné komponenty“ a kde „artefakty“ jsou způsobeny vícenásobnými periodami složek a délkou vzorkování signálu nebo „skoky a mezery“ ve tvaru vlny. Slova „skutečné složky“ a „artefakty“ samozřejmě nejsou citována marně. Přítomnost mnoha harmonických v grafu neznamená, že náš signál ve skutečnosti „sestává z nich“. Je to stejné jako věřit, že číslo 7 „sestává“ z čísel 3 a 4. Číslo 7 lze reprezentovat jako součet čísel 3 a 4 - to je správné.

Stejně tak je náš signál ... nebo spíše ani „náš signál“, ale periodickou funkci složenou z opakování našeho signálu (vzorku) lze reprezentovat jako součet harmonických (sinusoidů) s určitými amplitudami a fázemi. Ale v mnoha případech důležitých pro praxi (viz obrázky výše), je skutečně možné spojit harmonické získané ve spektru se skutečnými procesy, které jsou cyklické povahy a významně přispívají k tvaru signálu.

Některé výsledky

  1. Skutečný měřený signál, doba trvání T sec, digitalizovaná pomocí ADC, tj. Reprezentovaná sadou diskrétních vzorků (N kusů), má diskrétní neperiodické spektrum reprezentované sadou harmonických (N / 2 kusů).

2. Signál je reprezentován sadou reálných hodnot a jeho spektrum je reprezentováno sadou reálných hodnot. Harmonické frekvence jsou pozitivní. Skutečnost, že pro matematiky je výhodnější představit spektrum ve složité formě pomocí negativních frekvencí, neznamená, že „je to správné“ a „je to vždy nutné“.

3. Signál měřený v časovém intervalu T je určen pouze v časovém intervalu T. Co se stalo před tím, než jsme začali měřit signál a co se stane poté, je věda neznámá. A v našem případě to není zajímavé. DFT časově omezeného signálu dává jeho „reálné“ spektrum v tom smyslu, že za určitých podmínek vám umožňuje vypočítat amplitudu a frekvenci jeho složek.

Použité materiály a další užitečné materiály.

Fourierovy řady a jejich aplikace v komunikačních technologiích

Název parametru	Hodnota
Téma článku:	Fourierovy řady a jejich aplikace v komunikačních technologiích
Kategorie (tematická kategorie)	Vzdělání

Průběžné rozšiřování signálu v ortogonálních řadách

Přednáška 6. Spojitý kanál

Kritéria kvality zotavení.

Existují následující kritéria:

1) Kritérium největší odchylky

kde: přípustná chyba obnovy, - maximální hodnota - aktuální přibližná chyba.

Současně existuje jistota, že budou zaznamenány všechny změny v původním signálu, včetně krátkodobých odlehlých hodnot.

2) Kritérium RMS. kde: - další chyba aproximace SK, - chyba aproximace SK.

3) Integrální kritérium

Stanoví se maximální průměrná hodnota pro období vzorkování.

4) Kritérium pravděpodobnosti

Přípustná úroveň je nastavena, hodnota Р je pravděpodobnost, že aktuální aproximační chyba nezávisí na nějaké určité hodnotě.

Účel přednášky: úvod do souvislého kanálu

a) rozšíření spojitého signálu v ortogonálních řadách;

b) Fourierovy řady a jejich aplikace v komunikačních technologiích;

c) Kotelnikovova věta (Shannonova hlavní věta);

d) nepřetržitá kapacita kanálu;

d) model NCC.

V teorii komunikace jsou dva specifické případy rozšíření funkcí v ortogonálních řadách široce používány k reprezentaci signálů: expanze v trigonometrických funkcích a expanze ve funkcích formy sin x / x.  V prvním případě získáme spektrální reprezentaci signálu ve formě obyčejné Fourierovy řady a ve druhém případě časovou reprezentaci ve formě řady V.A. Kotelnikova.

Z praktického hlediska je nejjednodušší formou exprese signálu lineární kombinace některých elementárních funkcí

V obecném případě je signál složitou oscilací, proto je nesmírně důležité reprezentovat komplexní funkci s (t)  definování signálu pomocí jednoduchých funkcí.

Při studiu lineárních systémů je taková reprezentace signálu velmi výhodná. Umožňuje rozdělení mnoha problémů na části pomocí principu superpozice. Například, aby se určil signál na výstupu lineárního systému, vypočítá se odezva systému na každý elementární vliv ψ k (t) a pak se výsledky vynásobené odpovídajícími koeficienty a k snadno vypočítají a nezávisí na počtu členů součtu. Stanovené požadavky jsou plně uspokojeny sadou ortogonálních funkcí.

Funkce ψ 1 (t), ψ 2 (t) ,. . . . , ψ n (t). (6.2)

Vzhledem k intervalu se nazývají ortogonální,

pokud v. (6.3)

Základem spektrální analýzy signálů je reprezentace časových funkcí ve formě řady nebo Fourierova integrálu. Jakýkoli periodický signál (t) splňující Dirichletovu podmínku musí být v trigonometrických funkcích reprezentován jako série

Hodnota 0, vyjadřující průměrnou hodnotu signálu za období, se obvykle nazývá konstantní složkou. Vypočítá se podle vzorce

Velmi pohodlná je složitá forma Fourierovy řady

Hodnota A k  existuje komplexní amplituda, která se nalézá podle vzorce

Vztahy (6.8) a (6.9) tvoří dvojici diskrétních Fourierových transformací. Je třeba poznamenat, že Fourierova řada může představovat nejen periodický signál, ale také jakýkoli signál s omezenou dobou trvání. V druhém případě je to signál S (t) je pravidelně přijímán na všech osách času. Rovnost (6.4) nebo (6.8) navíc představuje signál pouze v intervalu jeho trvání (- T / 2, T / 2) Náhodný signál (nebo rušení) nastavený na interval (- T / 2, T / 2) by měla být reprezentována také Fourierovou řadou

kde a ka b  k jsou náhodné proměnné (pro fluktuační šum jsou to nezávislé náhodné proměnné s normální distribucí).

Fourierovy řady a jejich aplikace v komunikačních technologiích - koncepce a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Fourierovy řady a jejich aplikace v komunikační technologii" 2017, 2018.

funkce. Tato transformace je velmi důležitá, protože může být použita k řešení mnoha praktických problémů. Fourierovy řady používají nejen matematici, ale také odborníci z jiných věd.

Rozšíření funkcí v Fourierově sérii je matematická technika, kterou lze pozorovat v přírodě, pokud používáte zařízení, které snímá sinusové funkce.

K tomuto procesu dochází, když osoba uslyší zvuk. Lidské ucho je uspořádáno tak, že může cítit jednotlivé sinusové výkyvy tlaku vzduchu různých frekvencí, což zase umožňuje člověku rozpoznat řeč, poslouchat hudbu.

Lidské ucho vnímá zvuk ne zcela, ale prostřednictvím složek své Fourierovy série. Řetězce hudebního nástroje produkují zvuky, které jsou sinusovými vibracemi různých frekvencí. Realitu rozkladu světla v Fourierově sérii představuje duha. Lidské vidění vnímá světlo prostřednictvím některých svých složek různých frekvencí elektromagnetických vln.

Fourierova transformace je funkce, která popisuje fázi a amplitudu sinusoidu, určitou frekvenci. Tato transformace se používá k řešení rovnic popisujících dynamické procesy, které vznikají pod vlivem energie. Fourierova řada řeší problém izolace konstantních složek v komplexních vibračních signálech, což nám umožnilo správně interpretovat získané experimentální údaje, pozorování v medicíně, chemii a astronomii.

Objev této transformace patří francouzskému matematikovi Jean Baptistovi Josephovi Fourierovi. Na počest, který byl později pojmenován a vedle Fouriera. Zpočátku vědec našel uplatnění své metody ve studiu a vysvětlení mechanismů tepelné vodivosti. Bylo navrženo, že počáteční nepravidelná distribuce tepla může být reprezentována jako jednoduché sinusoidy. Pro každou z nich bude stanovena minimální teplota, maximum a fáze. Funkce, která popisuje horní a dolní vrcholy křivky, fáze každé harmonické se nazývá Fourierova transformace výrazu pro distribuci teploty. Autor transformace navrhl metodu dekompozice komplexní funkce ve formě součtu periodických funkcí kosinu, sinus.

Cílem práce je prostudovat Fourierovu řadu a relevanci praktické aplikace této transformace.

K dosažení tohoto cíle byly formulovány následující úkoly:

1) dát koncept trigonometrické Fourierovy řady;

2) určit podmínky pro rozklad funkce v Fourierově řadě;

3) zvažte rozšíření Fourierovy řady sudých a lichých funkcí;

4) zvážit rozšíření neperiodické funkce Fourierovy řady;

5) odhalit praktické použití Fourierovy řady.

Předmět: Rozšíření funkcí v Fourierově sérii.

Předmět výzkumu: Fourierova řada.

Výzkumné metody: analýza, syntéza, srovnání, axiomatická metoda.

1.5. Fourierovy řady pro sudé a liché funkce

Zvažte symetrický integrál

kde nepřetržitě nebo po částech nepřetržitě. Výměnu provádíme v prvním integrálu. Věříme. Pak

Pokud je tedy sudá funkce, pak (tj. Graf sudé funkce je symetrický kolem osy a

Pokud je lichá funkce, pak (tj. Graf liché funkce je symetrický vzhledem k původu) a

I.e. symetrický integrál sudé funkce je roven dvojnásobku integrálu v polovičním prostoru integrace a symetrický integrál liché funkce je nula.

Zaznamenáváme následující dvě vlastnosti sudých a lichých funkcí:

1) součin sudé funkce s lichou funkcí je lichá funkce;

2) součin dvou sudých (lichých) funkcí je sudá funkce.

Dovolit být sudá funkce daná a rozšiřující se v tomto segmentu do trigonometrické Fourierovy řady. Na základě výše získaných výsledků získáme, že koeficienty této řady budou mít tvar:

Pokud je lichá funkce definovaná v segmentu a expandující v tomto segmentu do trigonometrické Fourierovy řady, pak koeficienty této řady budou mít tvar:

V důsledku toho bude trigonometrická Fourierova řada v segmentu mít tvar

pro rovnoměrnou funkci:

(16)

pro lichou funkci:

Série (16) neobsahují sinusy více úhlů, tj. Fourierova řada sudých funkcí zahrnuje pouze sudé funkce a volný termín. Řada (17) neobsahuje kosiny s více úhly, tj. Fourierova řada liché funkce zahrnuje pouze liché funkce.

Definice   Hodnosti
  jsou součástí kompletní Fourierovy řady a nazývají se neúplnétrigonometrická Fourierova řada.

Pokud se funkce rozšíří na neúplnou trigonometrickou řadu (16) (nebo (17)), pak řeknou, žeje rozšířen v trigonometrické Fourierově sérii v kosinech (nebo v sinech).

1.6. Fourierova expanze neperiodické funkce

1.6.1. Fourierovo rozšíření funkcí

Nechť je funkce dána na intervalu a splňuje podmínky Dirichletovy věty na tomto intervalu. Nahraďme proměnnou. Nechte, kde si vybereme, aby byla definována výsledná funkce argumentu. Proto se domníváme, že

Funkce vyplývající z nahrazení může být rozšířena do Fourierovy řady:

kde

Proveďte zpětnou výměnu⇒   Jdi

kde

(19)

Řady (18) - Fourierovy řady v hlavním trigonometrickém systému funkcí

Bylo tedy získáno, že pokud je funkce definována v intervalu a splňuje podmínky Dirichletovy věty v tomto intervalu, může být rozšířena do trigonometrické Fourierovy řady (18) v trigonometrickém systému funkcí (20).

Trigonometrická Fourierova řada pro rovnoměrnou funkci bude mít tvar

kde

pro lichou funkci

kde

Poznámka!   V některých problémech je nutné rozšířit funkci v trigonometrické Fourierově řadě v systému funkcí (20) nikoli na segment, ale na segment. V tomto případě je jednoduše nutné změnit limity integrace ve vzorcích (19) ((15), pokud v tomto případě

(23)

nebo pokud

(24)

Součet trigonometrické Fourierovy řady je periodická funkce s periodou, která je periodickým pokračováním dané funkce. A pro periodickou funkci platí rovnost (4).

1.6.2. Fourierovo rozšíření funkcí

Nechť je funkce dána a splňuje v tomto intervalu podmínky Dirichletovy věty. Takovou funkci lze také rozšířit v Fourierově sérii. K tomu je třeba definovat funkci v intervalu a výslednou funkci rozšířit v Fourierově sérii na segmentu. Výsledné řady by navíc měly být brány v úvahu pouze na segmentu, kterému je funkce dána. Pro pohodlí výpočtů definujeme funkci sudým a lichým způsobem.

1) Pokračujeme ve funkci do intervalu rovnoměrně, to znamená, že konstruujeme novou sudou funkci, která se shoduje s funkcí intervalu. Graf této funkce je proto symetrický kolem osy a shoduje se s grafem na segmentu. Pomocí vzorců (21) najdeme koeficienty Fourierovy řady pro funkci a zapíšeme samotnou Fourierovu řadu. Součet Fourierovy řady pro je periodická funkce s periodou. Bude se shodovat s funkcí ve všech bodech kontinuity.

2) Do intervalu přidáváme funkci lichým způsobem, to znamená, že konstruujeme novou lichou funkci, která se shoduje s funkcí. Graf takové funkce je symetrický s ohledem na původ a shoduje se s grafem na segmentu. Pomocí vzorců (22) najdeme koeficienty Fourierovy řady pro funkci a zapíšeme samotnou Fourierovu řadu. Součet Fourierovy řady pro je periodická funkce s periodou. Bude se shodovat s funkcí ve všech bodech kontinuity.

Poznámky!

1) Podobně můžeme rozšířit funkci danou na interval v Fourierově řadě

2) Protože rozšíření funkce v segmentu předpokládá své pokračování v segmentu libovolným způsobem, nebude Fourierova řada pro tuto funkci jedinečná.

1.6.3. Fourierovo rozšíření funkcí

Nechť je funkce dána v libovolném intervalu délky a splňuje podmínky Dirichletovy věty.

Poté lze tuto funkci rozšířit do Fourierovy řady. Chcete-li to provést, musíte pravidelně (s tečkou) pokračovat na celé numerické linii a rozšířit výslednou funkci v Fourierově řadě, která by měla být považována pouze za segment. Na základě vlastnictví (3) periodických funkcí máme

Proto Fourierovy koeficienty pro získané pokračování funkce lze najít pomocí vzorců

(25)

2. Praktické použití Fourierovy řady

2.1. Problémy s rozšířením funkcí v Fourierově sérii a jejich řešení

V trigonometrické Fourierově sérii je třeba rozšířit funkci, která je periodickým pokračováním funkce uvedené v intervalu. K tomu je nutné použít algoritmus pro rozšíření periodické funkce v Fourierově sérii.

Algoritmus pro rozšiřování periodické funkce v Fourierově řadě:

1) Sestavte graf dané funkce a jejího periodického pokračování;

2) Nastavte dobu zadané funkce;

3) Definujte sudou, lichou nebo obecnou funkci;

4) Zkontrolujte platnost podmínek Dirichletovy věty;

5) Vytvořte formální záznam Fourierovy řady vytvořené touto funkcí;

6) Vypočítejte Fourierovy koeficienty;

7) Napište Fourierovu řadu pro danou funkci pomocí koeficientů Fourierovy řady (oddíl 4).

Příklad 1   Funkce je rozšířena v Fourierově sérii v mezeře.

Řešení:

1) Vykreslujeme danou funkci a její periodické pokračování.

2) Doba rozkladu funkce.

3) Funkce je lichá.

4) Funkce je spojitá a monotónní, tj. funkce splňuje podmínky Dirichlet.

5) Vypočítáme koeficienty Fourierovy řady.

6) Píšeme Fourierovu řadu nahrazením Fourierových koeficientů ve vzorci

Odpověď zní:

Příklad 2   Rozšiřujeme funkci s libovolným obdobím v Fourierově sérii.

Řešení: funkce je definována v polovičním intervalu (-3; 3). Expanzní období funkce, poloviční perioda. Rozšíříme funkci v Fourierově sérii

Na počátku je funkce nespojitá, takže budeme reprezentovat každý Fourierův koeficient jako součet dvou integrálů.

Napíšeme Fourierovu řadu nahrazením nalezených koeficientů Fourierovy řady do vzorce.

Příklad 3   Rozbalte funkci  mezi tím  Fourierovy řady v cosinech. Sestavte graf součtu řady

Řešení: Pokračujeme ve funkci do intervalu rovnoměrně, tj. Konstruujeme novou sudou funkci, která se shoduje s funkcí intervalu. Najděte koeficienty Fourierovy řady pro funkci a napište Fourierovu řadu. Součet Fourierovy řady pro je periodická funkce s periodou. Bude se shodovat s funkcí ve všech bodech kontinuity.

Trigonometrická Fourierova řada pro funkci bude mít tvar

Najděte koeficienty Fourierovy řady

Když jsou nalezeny koeficienty, můžeme napsat Fourierovu řadu

Vykreslíme součet řady

Příklad 4   Je dána funkce definovaná v segmentu. Zjistěte, zda lze funkci rozšířit v Fourierově řadě. Napište rozšíření funkce v Fourierově sérii.

Řešení:

1) funkci vykreslujeme.

2) funkce je spojitá a monotónní, tj. Podle Dirichletovy věty může být rozšířena do trigonometrické Fourierovy řady.

3) vypočítáme Fourierovy koeficienty pomocí vzorců (1.19).

4) píšeme Fourierovu řadu pomocí nalezených koeficientů.

2.2. Příklady použití Fourierovy řady v různých oblastech lidské činnosti

Matematika je jednou z věd, která má v praxi široké uplatnění. Jakýkoli výrobní a technologický proces je založen na matematických zákonech. Použití různých nástrojů matematického aparátu nám umožňuje navrhovat zařízení a automatizované jednotky schopné provádět operace, složité výpočty a výpočty při navrhování budov a struktur.

Fourierovy řady používají matematici v geometrii pro  řešení problémů ve sférické geometrii; v matematická fyzika nařešení problémů malých vibrací elastických médií. Ale kromě matematiky našla Fourierova řada uplatnění i v jiných vědních oborech.

Každý den lidé používají různá zařízení. A tato zařízení často nefungují správně. Například zvuk je špatně rozlišitelný kvůli vysokému šumu nebo obraz přijatý faxem není jasný. Osoba může určit příčinu poruchy zvukem. Počítač může také diagnostikovat poškození zařízení. Nadměrný šum lze odstranit pomocí zpracování počítačového signálu. Signál je reprezentován jako posloupnost digitálních hodnot, které se pak vstupují do počítače. Po provedení určitých výpočtů se získají koeficienty Fourierovy řady.

Změna spektra signálu vám umožní vymazat záznam šumu, kompenzovat zkreslení signálu různými záznamovými zařízeními, změnit timbry nástrojů a poslouchat zaostření na jednotlivé části.

V digitálním zpracování obrazu umožňuje použití Fourierovy řady následující efekty: rozmazání, zdůraznění okrajů, obnovení obrazu, umělecké efekty (reliéf)

Fourierova expanze se používá v architektuře při studiu oscilačních procesů. Například při vytváření projektu různých typů struktur se počítá pevnost, tuhost a stabilita konstrukčních prvků.

V medicíně se používá matematický aparát založený na teorii Fourierovy řady k provedení lékařského vyšetření pomocí kardiogramu, ultrazvukového přístroje.

Během registrace a zpracování kontinuálních údajů o mořském dně vznikají objemové výpočtové problémy při vyhodnocování statistických charakteristik signálů a filtračního hluku. Při provádění měření a jejich zaznamenávání jsou slibné holografické metody využívající Fourierovy řady. To znamená, že Fourierova řada se také používá v takové vědě, jako je oceánologie.

Prvky matematiky se nacházejí ve výrobě téměř na každém kroku, takže je důležité, aby odborníci věděli a skvěle se pohybovali v oblasti aplikace různých nástrojů pro analýzu a výpočet.

Závěr

Téma práce je věnováno studiu Fourierovy řady. Libovolná funkce může být rozšířena na jednodušší, tj. Může být rozšířena v Fourierově sérii. Objem semestrální práce neumožňuje podrobně odhalit všechny aspekty rozšíření funkce v řadě. Ze souboru úkolů se však zdálo možné odhalit základní teorii Fourierovy řady.

V průběhu kurzu byla odhalena koncepce trigonometrické Fourierovy řady. Jsou stanoveny podmínky pro rozložitelnost funkce v Fourierově řadě. Uvažuje se rozšíření Fourierovy řady o sudé a liché funkce; neperiodické funkce.

Druhá kapitola uvádí pouze několik příkladů rozšíření funkcí definovaných v různých intervalech v Fourierově řadě. Jsou popsány oblasti vědy, kde se tato transformace používá.

Existuje také složitá reprezentace Fourierovy řady, což nebylo možné vzít v úvahu, protože objem termínované práce to neumožňuje. Složitá forma série je algebraicky jednoduchá. Proto se často používá ve fyzice a aplikovaných výpočtech.

Význam tématu práce je dán tím, že je široce využíván nejen v matematice, ale i v jiných vědách: fyzika, mechanika, medicína, chemie a mnoho dalších.

Reference

1. Bari, N.K. Trigonometrická řada. [text] / N.K. Bari. - Moskva, 1961. - 936 s.

2. Bermant, A.F. Krátký kurz matematické analýzy: učebnice pro univerzity[text]/ A.F. Bermant, I.G. Aramanovič. - 11. ed. - Petrohrad: Nakladatelství "Lan", 2005. - 736 s.

3. Bugrov, Ya. S. Vyšší matematika: Učebnice pro střední školy: Do 3 vol.[text]/ Y. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichogo. - 6. ed., Stereotype. - M .: Bustard, 2004. -512 s.

4. Vinogradova, I. A. Úkoly a cvičení v matematické analýze: příručka pro univerzity, ped. univerzity: za 2 hodiny  [text]/ I.A. Vinogradova, S.N. Olehnik, V.A. Zahradník; pod redakcí V.A. Zahradník. - 3. vydání, Rev. - M .: Bustard, 2001. - 712 s.

5. Gusak, A.A. Vyšší matematika. V 2 vol. T. 2. Učebnice pro studenty vysokých škol.  [text]/ A. A. Gusak.  - 5. ed. - Minsk: TetraSystems, 2004.

6. Danko, P.E. Vyšší matematika v cvičeních a úkolech: učebnice pro vysoké školy: 2 hodiny[text]/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. Moskva: ONICS: World and Education, 2003. - 306 s.

7. Lukin, A. Úvod do digitálního zpracování signálů (matematický základ) [text] / A. Lukin. - M., 2007. - 54 s.

8. Piskunov, N. S. Diferenciální a integrální počet pro technické univerzity, ročník 2: Učebnice pro technické vysoké školy.  [text]/ N. S. Piskunov. - 13. vydání - Moskva: Nauka, 1985. - 432 s.

9. Rudin, W. Základy matematické analýzy.[text]/ W. Rudin. - 2. vydání, Trans. z angličtiny .- M.: Mir, 1976.

10. Fichtenholtz, G. M. Základy matematické analýzy. Část 2  [text]/ G. M. Fichtenholtz. -  6. ed. - Petrohrad: Nakladatelství "Lan", 2005. - 464 s.

Orenburg, 2015

UPLATNĚNÍ ČTVRTÁCH SÉRÍ PRO PŘEDCHOZÍ A OPTIMALIZACI DODÁVEK VELKOOBCHODNÍHO OBCHODU V RÁMCI ŘÍZENÍ VLASTNÍCH A LEASOVANÉ DOPRAVY

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Natalya Valerevna 2
  1 Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S.P. Koroleva (NRU), doktor technických věd, profesor
  2 Samara State Aerospace University pojmenovaná po akademikovi S.P. Queen (NRU)

Anotace
Práce se zabývá mechanismem modelování náhodných procesů (pro statistické údaje o podniku) pomocí aparátu harmonické analýzy. Problém racionálního rozdělení objemu dodávek surovin mezi vlastní a pronajatá vozidla byl vyřešen s cílem snížit náklady na skladování produktů.

ŽÁDNÁ SÉRIE ŽÁDOST O PŘEDKLÁDÁNÍ A OPTIMALIZACI NÁKLADŮ NA DODÁVKU

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
  1 Samara State Aerospace University, doktor technických věd, profesor
  2 Samara State Aerospace University

Abstraktní
Zvažuje se mechanismus simulace náhodného procesu (pro podniková data). Harmonická analýza je široce přijímána při modelování podnikových nákladů. Byl vyřešen problém racionálního rozdělení dodávek surovin mezi vlastní dopravou a pronajatou dopravou.

Bibliografický odkaz na článek:
  Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Využití Fourierovy řady pro předpovídání a optimalizaci nabídky velkoobchodních podniků z hlediska správy vlastních a pronajatých vozidel // Ekonomika a správa inovativních technologií. 2014. č. 7 [Elektronický zdroj] .. 02.2019).

Úvod Náklady podniku na vytvoření skladovacího systému zboží vytvářejí potřebu racionálního rozdělování dodávek. Řešení problému řízení zásobování je spojeno se změnou potřeb podniku v oblasti surovin. Pro vývoj modelu racionální distribuce společnost zpracovávala statistické údaje o poptávce po surovinách.

Článek se skládá z následujících částí: sestavení modelu náhodného procesu, optimalizace dodávek pomocí příkladu zjednodušeného modelu a příkladu reálných dat.

Část první Konstrukce matematického modelu náhodného procesu.

V retrospektivním období jsou statistické údaje o skladování zdroje ve skladu následující (tabulka 1). Předpokládá se, že soubor statistických dat Y i \u003d Y (t i) je uveden ve formě časové řady.

Tabulka 1 - Statistika poptávky po zdrojích

Matematické modely časových řad ekonomických procesů jsou zpravidla reprezentovány jako kombinace 4 složek: sezónní S, cyklický C, náhodný ξ a trend U. Tyto složky tvoří aditivní model statistických dat.

Složka U - trend - je vybrána tak, aby neodporovala hlavní tendenci sledované funkce ke změně a nekomplikovala její analýzu. V tomto článku je výběr trendu prováděn pomocí funkcí Excelu, stejně jako ručně pomocí metody „normální rovnice“.

Po dokončení postupu výběru nejvhodnějšího trendu je funkce normalizována, což umožňuje modelovat vibrační komponentu. V této studii je vibrační komponenta vybírána pomocí modelu, který je trigonometrická Fourierova řada:

.

Koeficienty Fourierovy řady jsou definovány následovně :

Po provedení vyhledávání v 6 iteracích pomocí nástrojů Excel byla odhalena následující funkce oscilační komponenty :

S (t) \u003d -0,215 sin / 6 - 0,077cos πt / 6 -0,085sin πt / 3-0,013cos πt / 3 + 0,001 sin πt / 2 + 0,023cos / t / 2-0,035 sin2πt / 3 + 0,055cos 2πt / 3 +0,003 sin 5πt / 6 + 0,054cos 5πt / 6 + 0,056cos πt

Dynamika dodávky a skladování zdroje ve skladu, stejně jako funkční závislost objemu zdroje po normalizaci, je uvedena na obrázku 1.

Obrázek 1 - Oscilační komponenta pro reálná data

Vypočítáme koeficient určení pro výslednou funkci.

Koeficient stanovení pro výslednou funkci je 0,75. V důsledku toho trend popisuje statistiku o 75 procent a pravděpodobnost neshody získané funkce se skutečnými statistickými hodnotami je 0,25.

Část druhá Optimalizace dodavatelského řetězce

Při sestavování podílu v dodávkách surovin je třeba vzít v úvahu několik faktorů, které ovlivňují ukazatel ekonomické účinnosti dodávek:

Včasnost a frekvence dodávek


Náklady na doručení


Přípustná skladovatelnost surovin


Poskytování podniku skladovacími zařízeními


Další faktory.

Zvažte proces optimalizace dodávek podle zjednodušeného harmonogramu. V normalizovaném trendu vytáhneme jednu harmonickou (jeden termín v harmonické řadě) a omezíme se na uvažování jednoho období. Získá se následující zjednodušená funkce doručení:

V tomto článku zvažujeme tři možnosti dodávky.

1. Dodávky jsou poskytovány pouze vlastní dopravou na úrovni y \u003d 1, což odpovídá hodnotě s (t) \u003d 0.

Proces akumulace zdrojů v první polovině roku a spotřeba ve druhé polovině roku je určován vzorcem integrálu funkce v uvažované části.

Nahromaděné zdroje jsou plně vyčerpány v příštím pololetí. Problém je v tom, že objem úložiště ve skladu je příliš široký v čase a musí být optimalizován.

2. Vlastní doprava zajišťuje dodávky odpovídající minimální intenzitě vynakládání prostředků. Tato možnost je pro společnost vhodná, pokud má společnost menší kapitál a z jiných důvodů si nemůže dovolit více dopravy než minimální požadavky na zdroje, vypadá to takto. Společnost postrádá prostředky ve výši rovné ploše integrálu mezi s (t) a přímkou, což charakterizuje minimální úroveň dodávky.

Předpokládejme, že se společnost rozhodla v první polovině roku pronajmout vozidlo při maximálních požadavcích na zdroje, pak jsou úspory v plné výši vyčerpány ve druhé polovině roku.

3. Vlastní doprava zajišťuje dodávky na úrovni -h.  Nedostatek prostředků je kompenzován pronájem vozidel.

Vypočítáme úroveň nabídky h  ze stavu rovnosti akumulačních oblastí a spotřeby:

S přijatou hodnotou h  nedostatek prostředků bez nájemného je následující:

Po shrnutí získaných výsledků byl sestaven obecný plán akumulace / výdajů, který ukazuje, kolik optimálního plánu má minimální množství úložných zdrojů (obrázek 2).

Obrázek 2 - Minimalizace skladových zdrojů

Na základě harmonogramu umožňuje využití pronajatých vozidel při optimalizaci skladování ve skladu až 10krát snížit specifický objem skladování ve skladu, protože amplituda hodnot akumulační funkce klesla z 10 jednotek na 1.

Část 3. Optimalizace dodávek pomocí příkladu reálných dat

Provádění optimalizace dodávky začíná výběrem periody vibračního prvku (v našem příkladu t i ϵ 11..23) a hledáním průsečíků funkce s (t) s osou Ox.

Ilustrace varianty dynamiky příjmu a spotřeby zdroje v podniku, ve kterém není poskytnut nájem, je uveden na obrázku 3.

Obrázek 3 - Akumulace / spotřeba reálných dat bez nájemného

Funkce oscilační složky je následující:

S (t) \u003d -0,215 sin πt / 6-0.077cos πt / 6 -0,085 sin πt / 3-0.013cos πt / 3 + 0,001 sin πt / 2 + 0,023cos πt / 2-0,035 sin 2πt / 3 + 0,055cos 2πt / 3 + 0,003 sin 5πt / 6 + 0,054cos 5πt / 6 + 0,056cos πt

Akumulační funkce:

Q \u003d ∫S \u003d (1 / π) (0,215 * 6 * cos (πt / 6) -0,077 * 6 * sin (πt / 6) + 0,085 * 3 * cos πt / 3 - 0,013 * 3 * sin πt / 3 - 0,0013 * 2 * cos πt / 2 + (0,023 * 2 * sin πt / 2 + 0,0349 * 6/4 cos 2πt / 3 + (0,0552 * 6/4) sin 2πt / 3 - (0,0032 * 6/5) cos 5πt / 6 + (0,0538 * 6/5) sin 5πt / 6 + (0,0559 * sin π t)

Definujeme maximální oblasti zásob a spotřeby pro zásobovací funkci za předpokladu, že intenzita zásobování s (t) je rovna nule.

Tabulka 2 - Určení oblastí spotřeby zásob a zdrojů

Qmax \u003d 0,9078 je tedy maximální možné množství zdrojů uložených ve skladu. Prostředky nashromážděné v první polovině roku jsou zcela vynaloženy ve druhé polovině roku trigonometrické funkce mají vlastnost symetrie.

Optimalizace týkající se pronajatých vozidel je účinným způsobem, jak snížit náklady na skladování zdroje ve skladu. Úroveň zásobování podniku vlastní dopravou je stanovena hodnotou Y (t) \u003d 1 hbuď S (t) \u003d - h  ze stavu rovnosti oblastí akumulace a spotřeby po dobu šesti měsíců (obrázek 4).

Obrázek 4 - Určení úrovně dodávek pronajatých vozidel

V tomto případě zůstává potřeba zdroj v objemu určeném plochou obdélníku s výškou h  a základ celého vyšetřovacího intervalu rovného (od symetrických vlastností) plochy integrálu cyklické složky nad přímou úrovní dodávky vlastní dopravou. Společnost si pronajímá vozidla po část uvažovaného intervalu. Úroveň dodávek pronajatých vozidel je určena na základě rovnosti oblastí nedostatku zdrojů (2) a výše nájemného (1), jak je znázorněno na obrázku 4.

Úroveň vyhledávání h  provedeno iterativně. V případě přilákání pronajatých vozidel je maximální úroveň zásob ve skladu:

Nejvyšší úroveň h *  zjistíme ze stavu rovnosti oblastí nenaplněné poptávky (1) po objemu zdrojů a nabídky (2), uvedené na obrázku 4. Úroveň nájemného je určena hodnotou h * \u003d 0,144.

Po optimalizaci byla zjištěna oblast spotřeby a zásob:

Celková plocha rezerv klesla z 0,9 na 0,5:

Qmax2 \u003d 0,2016 + 0,3137 \u003d 0,515

Výsledkem optimalizace dodavatelského procesu pomocí pronajatých vozidel bylo snížení nákladů na skladování o 44%, což naznačuje úspěšné dokončení optimalizační úlohy.

Výsledky a závěry. Navrhovaný algoritmus pro racionální rozdělení dodávek mezi vlastní dopravou společnosti a Fourierovou řadou pronajatou během simulace nákladové funkce se spoléhá na charakteristické rysy normalizovaného trendového grafu, bere v úvahu omezení úložného prostoru, doby skladování surovin a zajišťuje snížení nákladů na skladování (skladovací prostředky ve skladu) až o 50% pro uvažovaná data funkce dodávky. Přitahování pronajatých vozidel je tedy účinným způsobem, jak snížit náklady na skladování a náklady na skladování s vysokými náklady na pronájem a údržbu skladovacích zařízení.

Bibliografický seznam

1. Savelyev G.L. Úkol optimalizace zdrojů podniku v cyklické potřebě. - Samara: SSAU, 2010 .-- 30 s.
2. Chuikova Yu.S. Optimalizace materiálového toku v problematice řízení podnikových zásob / Sběr vědeckých článků „Správa organizačních a ekonomických systémů“. - Samara: SSAU, 2009. - s. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimalizace v provozním výzkumu. Prentice Hall, 1998.

  Počet zobrazení publikace: Počkejte prosím 1

Možnost aproximace Fourierovy řady v případě lineárního signálu je nezbytná pro konstrukci funkcí v případě nespojitých periodických prvků. Možnosti použití této metody k jejich konstrukci a rozkladu pomocí konečných součtů Fourierovy řady, které se používají při řešení mnoha problémů různých věd, jako je fyzika, seismologie atd. Procesy přílivů oceánů, sluneční aktivita jsou zvažovány metodou rozkladu oscilačních procesů, funkcí popsaných těmito transformacemi. S vývojem výpočetní techniky se začaly používat Fourierovy řady pro stále složitější úkoly a díky tomu bylo možné tyto transformace využít i v nepřímých vědách, jako je medicína, chemie. Fourierova transformace je popsána v reálné i složité formě, druhá distribuce umožnila průlom v průzkumu vesmíru. Výsledkem této práce je aplikace Fourierovy řady na linearizaci diskontinuální funkce a výběr počtu koeficientů řady pro přesnější superpozici řady na funkci. Navíc, když se používá expanze v Fourierově sérii, tato funkce přestává být nespojitá a již při dostatečně malém se provádí dobrá aproximace použité funkce.

fourierova řada

fourierova transformace

fázové spektrum.

1. Alasheeva EA, Rogova N.V. Numerická metoda řešení problému elektrodynamiky v aproximaci jemného drátu. Věda a svět. International Scientific Journal, No. 8 (12), 2014. Svazek 1. Volgograd. S.17-19.

2. Vorobyov NN Teorie řad. Ed. Science, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, M., 1979, -408 S.

3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Matematická statistika. - M .: Higher School, 2001.

4. R. Edwards Fourierova řada v moderní prezentaci. Ed. Svět. Ve 2 svazcích. Svazek 1. 1985. 362 str.

5. Sigorsky V.P. Matematický aparát inženýra. Ed. 2. stereotypní. "Technology", 1997. - 768 s.

Reprezentace libovolné funkce se specifickým obdobím ve formě série se nazývá Fourierova řada. Expanze v ortogonálním základě je dané řešení obecně. Fourierova expanze funkcí je poměrně mocným nástrojem při řešení různých problémů. Protože vlastnosti této transformace jsou dobře známy a studovány v integraci, diferenciaci a také posunu výrazu argumentem a konvolucí. Osoba, která není obeznámena s vyšší matematikou a také s pracemi francouzského vědce Fouriera, s největší pravděpodobností nechápe, co jsou tyto „série“ a proč jsou zapotřebí. Tato Fourierova transformace vstoupila do našeho života velmi pevně. Používají se nejen matematici, ale také fyzici, chemici, lékaři, astronomové, seismologové, oceánografové a mnoho dalších.

Fourierovy řady se používají při řešení mnoha aplikovaných problémů. Fourierova transformace může být provedena analytickými, numerickými a jinými metodami. Procesy, jako jsou přílivy oceánu a světelné vlny před cykly sluneční aktivity, patří k numerické metodě expanze jakýchkoli oscilačních procesů v Fourierově sérii. Pomocí těchto matematických technik je možné analyzovat funkce, představující jakékoli oscilační procesy jako řadu sinusových složek, které jdou od minima k maximu a naopak. Fourierova transformace je funkce, která popisuje fázi a amplitudu sinusoidů odpovídající konkrétní frekvenci. Tato transformace se používá k řešení velmi složitých rovnic, které popisují dynamické procesy, ke kterým dochází pod vlivem tepelné, světelné nebo elektrické energie. Fourierova řada také umožňuje izolovat konstantní složky komplexních vibračních signálů, což umožňuje správně interpretovat získané experimentální pozorování v medicíně, chemii a astronomii.

S růstem technologie, tj. vznik a vývoj počítače přinesl Fourierovu transformaci na novou úroveň. Tato technika je pevně zakotvena v téměř všech oblastech vědy a techniky. Příkladem je digitální zvuk a video. Což se stalo jasnou implementací růstu vědeckého procesu a aplikací Fourierovy řady. Fourierova řada ve složité podobě tak umožnila průlom ve studiu vesmíru. Kromě toho to ovlivnilo studium fyziky polovodičových materiálů a plazmy, mikrovlnné akustiky, oceánografie, radaru, seismologie.

Uvažujme, že fázové spektrum periodického signálu je určeno z následujícího výrazu:

kde symboly a příslušně označují imaginární a skutečnou část hodnoty uzavřené v hranatých závorkách.

Pokud vynásobíme skutečnou konstantní hodnotou K, pak expanze v Fourierově sérii má následující podobu:

Z výrazu (1) vyplývá, že fázové Fourierovo spektrum má následující vlastnosti:

1) je funkce, tj. Na rozdíl od výkonového spektra, které je nezávislé na ,, mění se, když je signál posunut podél časové osy;

2) nezávisí na K, tj. Je invariantní k zesílení nebo zeslabení signálu, zatímco výkonové spektrum je funkcí K.

3)   tj. je to lichá funkce n.

Poznámka: Vzhledem k geometrické interpretaci výše uvedeného zdůvodnění může být vyjádřeno prostřednictvím výkonového a fázového spektra takto:

Od té doby

pak z (2) a (3) vyplývá, že může být jednoznačně obnoveno, pokud jsou známa amplitudová (nebo výkonová spektra) a fázová spektra.

Zvažte příklad. Dostali jsme funkci mezi tím

Celkový pohled na Fourierovu řadu:

Nahraďte své hodnoty a získejte:

Nahraďte své hodnoty a získejte.