Aralash fraktsiyalarni qanday ko'paytirish kerak. Fraktsiyani ko'paytirish

Oddiy kasrlarning ko'payishini bir necha usul bilan ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish

Bu siz quyidagi narsalarni ishlatishingiz kerak bo'lgan eng oddiy holat kasrlarni ko'paytirish qoidalari.

Kimga kasrni kasrga ko'paytiring, zarur:

birinchi kasrning hisoblagichini ikkinchi kasrning hisoblagichiga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning ulyatoriga yozing;
birinchi kasrning denominatorini ikkinchi kasrning denominatoriga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning nominaliga yozing;

Hisoblagichlar va denominatorlarni ko'paytirishdan oldin kasrlar sonini kamaytirish mumkinligini tekshiring. Hisob-kitoblarda kasrlarni kamaytirish hisob-kitoblarni osonlashtiradi.

Kasrni natural songa ko'paytirish

Qisqartirish uchun natural songa ko'paytiring kasrning hisoblagichini shu songa ko'paytirish kerak va fraktsiya nominatorini o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Agar ko'payish natijasida noto'g'ri qism olingan bo'lsa, uni aralash raqamga aylantirishni unutmang, ya'ni butun sonni tanlang.

Aralash raqamlarni ko'paytirish

Aralashgan sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni tartibsiz kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi bilan ularni ko'paytirishingiz kerak.

Fraksiyalarni natural songa ko'paytirishning yana bir usuli

Ba'zida hisoblashda oddiy kasrni songa ko'paytirishning boshqa usulidan foydalanish qulayroq.

Bir kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning qiymatini shu raqamga bo'lish kerak va shu bilan hisoblagichni bir xil qoldirish kerak.

Misollardan ko'rinib turibdiki, agar fraktsiyani aniqlovchi natural songa qoldiqsiz bo'linsa, qoidaning ushbu variantidan foydalanish qulayroq bo'ladi.

Fraksiya harakatlari

Bir xil denominatorlar bilan kasrlar qo'shish

Fraktsiyalarning qo'shilishi ikki xil bo'ladi:

Bir xil denominatorlar bilan kasrlar qo'shish
Turli denominatorlar bilan kasrlar qo'shish

Birinchidan, fraktsiyalarni bir xil denominatorlar bilan qo'shilishini o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil denominatorlar bilan kasrlarni qo'shish uchun siz ularning hisoblagichlarini qo'shib, denominatorni o'zgarishsiz qoldirishingiz kerak. Masalan, kasrlarni qo'shing va. Hisoblagichlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, ushbu misolni tushunish oson bo'ladi. Agar siz pitsza qo'shsangiz, pizza olasiz:

2-misol Kasrlar qo'shing va.

Yana, hisoblagichlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Agar vazifa tugasa, unda noto'g'ri kasrlardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri kasrdan xalos bo'lish uchun siz uning tarkibidagi qismni tanlashingiz kerak. Bizning holatda, butun qismi oson ajratiladi - ikkisini ikkiga bo'lish bitta narsaga tengdir:

Ikki qismga bo'lingan pitsani eslasak, ushbu misolni tushunish oson bo'ladi. Agar siz boshqa pitsani qo'shsangiz, bitta pizza olasiz:

3-misol. Kasrlar qo'shing va.

Uch qismga bo'lingan pitsani eslasak, ushbu misolni tushunish oson bo'ladi. Agar siz ko'proq pitssa qo'shsangiz, pitssa olasiz:

4-misol Ifodaning qiymatini toping

Ushbu misol avvalgilariga o'xshash tarzda hal qilinadi. Hisoblagichlar qo'shilishi kerak va maxraj o'zgarishsiz qoldi:

Keling, rasmdan foydalangan holda echimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitssa qo'shsangiz va pitssa qo'shsangiz, siz 1 ta va boshqa pizza olasiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil denominatorlar bilan kasrlar qo'shishda murakkab narsa yo'q. Quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Xuddi shu denominator bilan kasrlar qo'shish uchun ularning sanatorlarini qo'shing va denominatorni bir xil qoldiring;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, unda siz uning qismini to'liq tanlashingiz kerak.

Turli denominatorlar bilan kasrlar qo'shish

Endi biz turli xil denominatorlar bilan kasrlar qo'shishni o'rganamiz. Fraktsiyalar qo'shilganda, ushbu fraktsiyalarning nominatorlari bir xil bo'lishi kerak. Ammo ular har doim ham bir xil emas.

Masalan, kasrlar ham qo'shilishi mumkin, chunki ular bir xil denominatorlarga ega.

Darhol fraktsiyalarni qo'shib bo'lmaydi, chunki bu fraktsiyalar turli xil denominatorlarga ega. Bunday hollarda fraktsiyalarni bir xil (umumiy) denominatorga kamaytirish kerak.

Fraktsiyalarni bitta denominatorga kamaytirishning bir necha yo'li mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki yangi boshlanuvchilar uchun boshqa usullar qiyin bo'lib tuyulishi mumkin.

Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, dastlab ikkala fraksiyaning denominatorlarining eng kam tarqalgan ko'paytmasi (LCL) qidiriladi. Keyin MOQ birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omilni oladi. Xuddi shu narsa ikkinchi fraktsiya bilan sodir bo'ladi - MOQ ikkinchi fraktsiyaning nominatoriga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omilni oladi.

Keyin kasrlarning hisoblagichlari va denominatorlari qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli denominatorlar bilan kasrlar bir xil denominatorlar bilan kasrlarga aylantiriladi. Va biz bunday fraktsiyalarni qanday qo'shish kerakligini allaqachon bilamiz.

1-misol. Parchalarni qo'shing va

Ushbu kasrlar turli xil denominatorlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) denominatorga keltirishingiz kerak.

Birinchidan, ikkala fraksiyaning eng kam tarqalgan ko'payuvchilarini topamiz. Birinchi kasrning denominatori 3 raqami, ikkinchi kasrning mohiyati esa 2 raqami hisoblanadi. Bu sonlarning eng kam tarqalgan ko'paytmasi 6 ga teng.

MOQ (2 va 3) \u003d 6

Endi fraktsiyalarga qaytamiz va. Birinchidan, MOQni birinchi kasrning aniqlovchisi bilan ajrating va birinchi qo'shimcha omilni oling. MOQ - bu 6 raqami, va birinchi kasrning mohiyati 3 raqami. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.

Olingan raqam 2 birinchi qo'shimcha omil. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buning uchun kasrning tepasida kichik bir qiyshiq chiziq hosil qiling va uning ustiga topilgan qo'shimcha omilni yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. MOQni ikkinchi kasrning tenglamasiga bo'ling va ikkinchi qo'shimcha omilni oling. MOQ bu 6 raqami, ikkinchi kasrning mohiyati esa 2 raqami. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.

Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha omil. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, ikkinchi kasrning tepasida kichik qiyshiq chiziq hosil qilamiz va uning ustiga topilgan qo'shimcha omilni yozamiz:

Endi hamma narsa qo'shishga tayyor. Fraktsiyalarni hisoblagichlari va denominatorlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish davom etmoqda:

Biz kelgan narsalarga diqqat bilan qarang. Turli denominatorlar bilan kasrlar bir xil nomdagi fraksiyalarga aylandi degan xulosaga keldik. Va biz bunday fraktsiyalarni qanday qo'shish kerakligini allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxiriga etkazamiz:

Shunday qilib, misol tugallandi. Qo'shish uchun chiqadi.

Keling, rasmdan foydalangan holda echimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitssa qo'shsangiz, bitta pitssa va oltinchi pizza olasiz:

Raqam yordamida fraktsiyalarni bir xil (umumiy) denominatorga qisqartirish ham ko'rsatilishi mumkin. Fraktsiyalarni umumiy denominatorga aylantirib, biz kasrlarni oldik va. Ushbu ikki fraktsiya bir xil pizza bo'laklari bilan namoyish etiladi. Farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil nominalgacha kamayadi).

Birinchi rasmda kasr (to'rtta oltitadan), ikkinchi rasmda kasr (oltitadan uchta bo'lak) tasvirlangan. Ushbu bo'laklarni birlashtirsak, biz oltitadan ettita bo'lamiz. Bu fraksiya noto'g'ri, shuning uchun biz uning to'liq qismini ajratdik. Natijada (bitta to'liq pitssa va boshqasi oltinchi pizza).

E'tibor bering, biz ushbu misolni juda batafsil bo'yalganmiz. Ta'lim muassasalarida bunday batafsil yozish odatiy hol emas. Ikkala denominatorni va ularning qo'shimcha omillarini tezda topa olishingiz, shuningdek topilgan qo'shimcha omillarni hisoblagichlar va maxrajlar tomonidan tezda ko'paytirishi kerak. Maktabda bo'lganimizda biz ushbu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:

Tanganing yon tomoni ham bor. Agar siz matematikani o'rganishning dastlabki bosqichlarida batafsil yozuvlar qilmasangiz, unda shunga o'xshash savollar paydo bo'ladi. "Bu raqam qaerdan paydo bo'ldi?", "Nima uchun kasrlar to'satdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.

Turli denominatorlar bilan kasrlar qo'shishni osonlashtirish uchun quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:

MOQ fraktsiyalarini toping;
MOQni har bir kasrning nominatoriga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
Fraktsiyalarning sanatorlari va denominatorlarini qo'shimcha omillarga ko'paytiring;
Xuddi shu denominator bilan kasrlar qo'shing;
Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, uning butun qismini tanlang;

2-misol Ifodaning qiymatini toping .

Biz yuqorida taqdim etgan sxemadan foydalanamiz.

Bosqich 1. Fraktsiyalarning denominatorlari uchun MOQ toping.

Biz MOQni ikkala fraksiyaning denominatorlari uchun topamiz. Fraktsiyalarning nominatorlari 2, 3 va 4 raqamlari. Siz ushbu raqamlar uchun MOQni topishingiz kerak:

2-Bosqich. Har bir kasrning nomenklaturasi bo'yicha MOQ ni ajrating va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling

MOQni birinchi kasrning denominatoriga bo'ling. MOQ bu 12 raqam, va birinchi kasrning mohiyati 2 raqami. 12 ni 2 ga bo'ling, biz olamiz 6. Biz birinchi qo'shimcha koeffitsientni oldik 6. Biz uni birinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi MOQni ikkinchi kasrning denominatoriga bo'ling. MOQ 12 raqami, ikkinchi kasrning ayiruvchisi esa 3 raqami. 12 ni 3 ga bo'ling, 4 ga teng. Biz ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz 4. Biz uni ikkinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi MOQni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. MOQ - bu 12 raqam, va uchinchi kasrning mohiyati 4 raqami. 12 ni 4 ga bo'ling, bo'lsin 3. Uchinchi qo'shimcha omilni olamiz. 3. Uchinchi kasr ustiga yozamiz:

3-Bosqich. Fraktsiyalarni hisoblagichlari va denominatorlarini qo'shimcha omillarga ko'paytiring

Hisoblagichlar va maxrajlarni qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz:

4-Bosqich. Bir xil denominatorlari bo'lgan kasrlar qo'shing

Turli xil denominatorlari bo'lgan fraktsiyalar bir xil (umumiy) denominatorlarga ega bo'lgan kasrlarga aylandi degan xulosaga keldik. Bu kasrlarni qo'shish uchun qoladi. Qo'shish:

Qo'shish bitta satrga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan iboralarni keyingi qatorga o'tkazdik. Bunga matematikada ruxsat berilgan. Agar ifoda bitta satrga to'g'ri kelmasa, u keyingi qatorga o'tkaziladi va siz har doim birinchi qatorning oxirida va yangi satr boshida (\u003d) belgisini qo'yishingiz kerak. Ikkinchi satrdagi teng belgi, bu birinchi satrda bo'lgan iboraning davomi ekanligini anglatadi.

5-qadam. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, uning butun qismini tanlang

Javobda noto'g'ri qismni oldik. Biz uning butun qismini ajratishimiz kerak. Tanlang:

Javob oldim

Bir xil denominatorlar bilan kasrlarni ajratish

Fraktsiyalarni ajratish ikki xil bo'ladi:

Bir xil denominatorlar bilan kasrlarni ajratish
Fraktsiyalarni turli denominatorlar bilan ajratish

Birinchidan, fraktsiyalarni bir xil denominatorlar bilan ajratishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bitta kasrdan boshqasini olish uchun, ikkinchi kasrning sanatorini birinchi kasrning hisoblagichidan chiqarib, mahkumni bir xil qoldirishingiz kerak.

Masalan, ifoda qiymatini toping. Ushbu misolni hal qilish uchun ikkinchi kasrning ionerini birinchi kasrning hisoblagichidan ajratib olib, denominatorni xuddi shunday qoldirish kerak. Shunday qilib, buni bajaramiz:

To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, ushbu misolni tushunish oson bo'ladi. Agar siz pitsani pitsizdan uzib qo'ysangiz, sizga:

2-misol Ifodaning qiymatini toping.

Yana, ikkinchi kasrning hisoblovchisini birinchi kasrning hisoblagichidan ajratib oling va maxrajni shunday qoldiring:

Uch qismga bo'lingan pitsani eslasak, ushbu misolni tushunish oson bo'ladi. Agar siz pitsani pitsizdan uzib qo'ysangiz, sizga:

3-misol Ifodaning qiymatini toping

Ushbu misol avvalgilariga o'xshash tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning hisoblovchisidan qolgan fraktsiyalarning sonlarini olish kerak:

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Agar misol tugallangan bo'lsa, unda noto'g'ri kasrdan xalos bo'lish odatiy holdir. Javobdagi noto'g'ri kasrdan xalos bo'laylik. Buning uchun uning butun qismini tanlang:

Ko'rinib turibdiki, bir xil denominatorlar bilan kasrlarni ajratishda murakkab narsa yo'q. Quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:

Bitta kasrdan boshqasini olish uchun, ikkinchi kasrning sonini birinchi kasrning hisoblagichidan ajratib, denominatorni bir xil qoldirish kerak;

Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, unda siz uning to'liq qismini tanlashingiz kerak.

Fraktsiyalarni turli denominatorlar bilan ajratish

Masalan, kasrni kasrdan chiqarish mumkin, chunki bu kasrlar bir xil denominatorlarga ega. Ammo kasrni kasrdan ajratib bo'lmaydi, chunki bu fraktsiyalar turli xil denominatorlarga ega. Bunday hollarda fraktsiyalarni bir xil (umumiy) denominatorga kamaytirish kerak.

Umumiy denominator turli xil denominatorlar bilan kasrlar qo'shishda biz qo'llagan printsip bo'yicha topiladi. Avvalo, ikkala fraksiyaning denominatorlarining MOQini toping. Keyin MOQ birinchi kasrning denominatoriga bo'linadi va birinchi kasr ustiga yozilgan birinchi qo'shimcha omil olinadi. Shunga o'xshab, MOQ ikkinchi fraktsiyaning asoschisiga bo'linadi va ikkinchi kasr ustiga yozilgan ikkinchi qo'shimcha omilga ega bo'ladi.

Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu operatsiyalar natijasida turli denominatorlar bilan fraktsiyalar bir xil denominatorlar bilan kasrlarga aylantiriladi. Va biz bunday kasrlarni qanday chiqarish kerakligini allaqachon bilamiz.

1-misol Ifodaning qiymatini toping:

Dastlab biz ikkala fraksiyaning denominatorlarining MOQini topamiz. Birinchi kasrning mohiyati 3 raqami, ikkinchi kasrning mahfiy tomoni esa 4 raqami. Bu sonlarning eng kichik umumiy soni 12 ga teng.

MOQ (3 va 4) \u003d 12

Endi fraktsiyalarga qaytamiz va

Birinchi kasr uchun qo'shimcha omil toping. Buning uchun MOQni birinchi kasrning denominatoriga bo'ling. MOQ - bu 12 raqam, va birinchi kasrning mohiyati 3 raqami. 12 ni 3 ga bo'ling, 4 ga bo'ling. Birinchi kasr ustiga to'rtlikni yozing:

Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. MOQni ikkinchi kasrning denominatoriga bo'ling. MOQ - bu 12 raqami, ikkinchi kasrning raqami - 4 raqami. 12 ni 4 ga bo'ling, 3 ni oling. Ikkinchi kasrning uchtasini yozing:

Endi hamma narsa olinishga tayyor. Fraktsiyalarni qo'shimcha omillar bilan ko'paytirish zarur.

Turli denominatorlar bilan kasrlar bir xil nomdagi fraksiyalarga aylandi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday chiqarish kerakligini allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxiriga etkazamiz:

Javob oldim

Keling, rasmdan foydalangan holda echimimizni tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pitsani kesib qo'ysangiz, siz pizza olasiz

Bu echimning batafsil versiyasi. Maktabda bo'lganimizda, biz bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday echim quyidagicha ko'rinadi:

Rasm yordamida fraktsiyalarning umumiy denominatorga qisqarishini ham tasvirlash mumkin. Ushbu kasrlarni umumiy bir qiymatga aylantirib, biz kasrlarni oldik va. Ushbu fraktsiyalar pizzalarning bir xil bo'laklari bilan ifodalanadi, ammo bu safar ular teng nisbatda bo'ladilar (bir xil denominatorga qisqartiriladi):

Birinchi rasmda kasr (o'n sakkiz dona bo'lak), ikkinchi rasmda kasr (o'n ikkita bo'lak) ko'rsatilgan. Sakkiz bo'lakdan uchta bo'lakni kesib tashlaymiz, o'n ikkitadan beshta bo'lamiz. Ushbu besh qismni kasr va tavsiflaydi.

2-misol Ifodaning qiymatini toping

Ushbu fraktsiyalar turli xil denominatorlarga ega, shuning uchun avval siz ularni bir xil (umumiy) denominatorga keltirishingiz kerak.

Ushbu fraktsiyalarning MOQ nominatorlarini toping.

10, 3 va 5 raqamlari kasrlarning aniqlovchilari hisoblanadi. Bu sonlarning eng kam tarqalgan 30 ga teng

MOQ (10, 3, 5) \u003d 30

Endi har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun MOQni har bir kasrning nominaliga bo'ling.

Birinchi kasr uchun qo'shimcha omil toping. MOQ bu 30 raqam, va birinchi kasrning mohiyati 10 raqami. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 3. Biz uni birinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. MOQni ikkinchi kasrning denominatoriga bo'ling. MOQ 30 raqami, ikkinchi kasrning mohiyati esa 3 raqami. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 10. Biz uni ikkinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi biz uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. MOQni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. MOQ - bu 30 raqam, va uchinchi kasrning mohiyati 5 raqami. 30 ni 5 ga bo'ling, biz uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 6. Biz uni uchinchi kasr ustiga yozamiz:

Endi hamma narsa olinishga tayyor. Fraktsiyalarni qo'shimcha omillar bilan ko'paytirish zarur.

Turli xil denominatorlari bo'lgan fraktsiyalar bir xil (umumiy) denominatorlarga ega bo'lgan kasrlarga aylandi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday chiqarish kerakligini allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni yakunlaymiz.

Masalaning davomi bitta satrga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatorda (\u003d) tenglik belgisi haqida unutmang:

Javob to'g'ri fraktsiya bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga ma'qul ko'rinadi, ammo bu juda katta va xunuk. Buni sodda va estetik qilish kerak edi. Nima qilish kerak? Siz bu kasrni kamaytirishingiz mumkin. Eslatib o'tamiz, kasrning qisqarishi - bu hisoblagich va maxrajning hisoblagich va maxrajning eng katta umumiy bo'linuvchisiga bo'linishi.

Parchani to'g'ri qisqartirish uchun uning hisoblagichi va maxrajini 20 va 30 raqamlarining eng katta umumiy bo'linuvchisiga (GCD) bo'lish kerak.

GCD ni MOOK bilan aralashtirmang. Ko'pgina yangi boshlanuvchilarning eng keng tarqalgan xatosi. GCD - bu eng katta umumiy omil. Biz buni kasrlarni kamaytirish uchun topamiz.

Va MOQ eng kam tarqalgan ko'paytma. Biz fraktsiyalarni bir xil (umumiy) denominatorga keltirish uchun topamiz.

Endi biz 20 va 30 raqamlarining eng katta umumiy bo'linuvchisini (GCD) topamiz.

Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlari uchun GCD-ni topamiz:

GCD (20 va 30) \u003d 10

Endi biz o'z misolimizga qaytamiz va kasrning hisoblagichi va maxrajini 10 ga bo'lamiz:

Chiroyli javob olding

Kasrni songa ko'paytirish

Bir kasrni songa ko'paytirish uchun ushbu kasrning sonini shu raqamga ko'paytirish kerak va denominatorni bir xil qoldirish kerak.

1-misol. Parchani 1 raqamiga ko'paytiring.

Kasr sonini 1 raqamiga ko'paytiring

Yozuvni 1 yarim vaqtni qanday bajarish kerakligini tushunish mumkin. Masalan, siz 1 marta pizza olsangiz, siz pizza olasiz

Ko'paytirish qonunlaridan bilamizki, agar ko'paytiruvchi va ko'paytiruvchi o'zaro bog'liq bo'lsa, unda mahsulot o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir teng bo'ladi. Yana butun sonni va kasrni ko'paytirish qoidasi ishga tushiriladi:

Ushbu yozuvni birlikning yarmini olish deb tushunish mumkin. Masalan, agar bitta pizza bo'lsa va undan yarmini olsak, unda bizda pizza bo'ladi:

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Kasr sonini 4 ga ko'paytiring

Ifodani to'rtdan ikki qismini to'rt marta olish deb tushunish mumkin. Masalan, agar siz 4 marta pitssa olsangiz, ikkita to'liq pitssa olasiz

Va agar siz ba'zi joylarda ko'paytirgich va ko'paytiruvchini o'zgartirsangiz, biz ifodani olamiz. Bu ham 2 bo'ladi. Bu iborani to'rtta pitsadan ikkita pitssa olish deb tushunish mumkin:

Fraktsiyani ko'paytirish

Fraktsiyalarni ko'paytirish uchun ularning hisoblagichlari va denominatorlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lsa, unda siz uning barcha qismini tanlashingiz kerak.

1-misol Ifodaning qiymatini toping.

Javob oldim. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga qisqartirish mumkin. Keyin yakuniy qaror quyidagi shaklda qabul qilinadi.

Ushbu iborani yarim pitsadan pizza olish tushunilishi mumkin. Aytaylik, bizda pitsaning yarmi bor:

Ushbu yarmning uchdan ikki qismini qanday olish kerak? Avval siz yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:

Va bu uchta qismdan ikkitasini oling:

Biz pizza olamiz. Uch qismga bo'lingan pitsoning ko'rinishini eslang:

Ushbu pitzadan bitta parcha va biz olgan ikkita qism bir xil o'lchamlarga ega:

Boshqacha aytganda, biz bir xil hajmdagi pitssa haqida gapiramiz. Shuning uchun ifoda qiymati

2-misol. Ifodaning qiymatini toping

Birinchi kasrning hisoblagichini ikkinchi kasrning sanatoriga, birinchi kasrning nomoderini ikkinchi kasrning denominatoriga ko'paytiramiz:

Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Keling, uning to'liq qismini ajratib chiqaylik:

3-misol Ifodaning qiymatini toping

Javob to'g'ri fraktsiya bo'lib chiqdi, ammo agar u qisqartirilsa yaxshi bo'ladi. Ushbu fraktsiyani kamaytirish uchun uni hisoblagich va maxrajning GCD-ga bo'lish kerak. Shunday qilib, biz 105 va 450 raqamlarining GCD-ni topamiz:

(105 va 150) uchun GCD 15 ga teng

Endi GCD ga javobimizning hisoblagichi va aniqlovchisini ajratamiz:

Butun sonning kasrli ifodasi

Har qanday butun sonni kasr sifatida ko'rsatish mumkin. Masalan, 5 raqamini quyidagicha ko'rsatish mumkin. Bundan beshtasi o'z ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ifoda "beshga bo'linadigan son" degan ma'noni anglatadi va bu, siz bilganingizdek, beshga tengdir:

Teskari raqamlar

Endi biz matematikada juda qiziq bir mavzu bilan tanishamiz. U "teskari raqamlar" deb nomlanadi.

Ta'rif Raqamga teskari a ko'paytirilganda raqamni chaqirdi a birlikni beradi.

O'zgaruvchini ushbu ta'rifga almashtiramiz a 5 raqamini tanlang va ta'rifni o'qishga harakat qiling:

Raqamga teskari 5 ko'paytirilganda raqamni chaqirdi 5 birlikni beradi.

5 ga ko'paytirilganda, birlikni beradigan sonni topish mumkinmi? Siz qila olasiz. Beshlikni kasr shaklida tasavvur qiling:

Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat hisoblagich va denominatorni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'zi ko'paytiring, faqat teskari:

Buning natijasi qanday bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishni davom ettirsak, biz birlikni olamiz:

Shunday qilib, 5 raqamiga teskari raqam bu raqamdir, chunki 5 ga ko'paytirsangiz, bitta olasiz.

Qaytish raqamini boshqa har qanday butun sonlar uchun ham topish mumkin.

teskari 3 - bu kasr
teskari 4 - bu kasr

Boshqa har qanday kasr uchun ham teskari raqamni topishingiz mumkin. Buning uchun shunchaki siljiting.

O'nli ko'paytirish uch bosqichda sodir bo'ladi.

O'nli kasrlar ustunga yozilib, oddiy sonlarga ko'paytiriladi.

Birinchi va ikkinchi o'nliklar uchun o'nlik sonlar sonini ko'rib chiqamiz. Biz ularning sonini qo'shamiz.

Natijada, yuqoridan paragrafda ko'rsatilgan sonlarni o'ngdan chapga qadar sanab chiqamiz va vergul qo'yamiz.

O'nli kasrlarni qanday ko'paytirish kerak

Biz ustunga o'nlik kasrlarni yozamiz va ularni vergullarga e'tibor bermay, natural sonlarga ko'paytiramiz. Ya'ni, biz 3.11 ni 311 va 0.01 ni 1 deb hisoblaymiz.

311-raqam. Endi ikkala kasr uchun ham o'nlik kasrdan keyin belgilar (sonlar) sonini ko'rib chiqamiz. Birinchi o'nlik ikki raqam, ikkinchisi esa ikkita. Vergulardan keyingi umumiy sonlar soni:

Biz o'ngdan chapga qarab olingan natijaning 4 belgisini (raqamlarini) hisoblaymiz. Natijada, raqamlar vergul bilan ajratish kerak bo'lganidan kamroq. Bunday holda, sizga kerak chapga nollarning etishmayotgan sonini tayinlang.

Bizda bitta raqam etishmayapti, shuning uchun chapga bitta nolni ajratamiz.

Har qanday o'nlikni ko'paytirganda tomonidan 10; 100; 1000 va boshqalar. o'nlik kasr o'ng tomonga birlikdan keyin nollar soniga qadar ko'payadi.

70.110 \u003d 701
0.023100 \u003d 2.3
5,61,000 \u003d 5,600

O'nlikni 0,1 ga ko'paytirish uchun; 0,01; 0.001, va hokazo, ushbu kasrda vergulni chapga, birlikdan oldin nollar soniga qadar ko'p harflar bilan o'tkazish kerak.

Biz nol sonlarni hisoblaymiz!

12 · 0,1 \u003d 1,2
0,05 · 0,1 \u003d 0,005
1.25601.01 \u003d 0.012 56

Fraktsiyani ko'paytirish

Oddiy kasrlarning ko'payishini bir necha usul bilan ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish

Bu siz quyidagi narsalarni ishlatishingiz kerak bo'lgan eng oddiy holat kasrlarni ko'paytirish qoidalari.

Kimga kasrni kasrga ko'paytiring, zarur:

birinchi kasrning hisoblagichini ikkinchi kasrning hisoblagichiga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning ulyatoriga yozing;
birinchi kasrning denominatorini ikkinchi kasrning denominatoriga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning nominaliga yozing;

Hisoblagichlar va denominatorlarni ko'paytirishdan oldin kasrlar sonini kamaytirish mumkinligini tekshiring. Hisob-kitoblarda kasrlarni kamaytirish hisob-kitoblarni osonlashtiradi.

Kasrni natural songa ko'paytirish

Qisqartirish uchun natural songa ko'paytiring kasrning hisoblagichini shu songa ko'paytirish kerak va fraktsiya nominatorini o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Agar ko'payish natijasida noto'g'ri qism olingan bo'lsa, uni aralash raqamga aylantirishni unutmang, ya'ni butun sonni tanlang.

Aralash raqamlarni ko'paytirish

Aralashgan sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni tartibsiz kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi bilan ularni ko'paytirishingiz kerak.

Fraksiyalarni natural songa ko'paytirishning yana bir usuli

Ba'zida hisoblashda oddiy kasrni songa ko'paytirishning boshqa usulidan foydalanish qulayroq.

Bir kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning qiymatini shu raqamga bo'lish kerak va shu bilan hisoblagichni bir xil qoldirish kerak.

Misollardan ko'rinib turibdiki, agar fraktsiyani aniqlovchi natural songa qoldiqsiz bo'linsa, qoidaning ushbu variantidan foydalanish qulayroq bo'ladi.

Qanday qilib kasrni butun son qoidasi bilan ko'paytirish kerak

Men O'nli kasrni natural songa ko'paytirish uchun uni vergulga ahamiyat bermasdan, shu raqamga ko'paytirish kerak va natijada hosil bo'ladigan qismda o'ng tomonda qancha kasrni ushbu kasrdagi verguldan keyingi raqam kabi ajratish kerak.

Misollar. Ko'paytirishni bajaring: 1) 1.25.7; 2) 0,345,8; 3) 2,39114.

Qaror.

II. Bitta kasrni boshqa qismga ko'paytirish uchun vergullarga e'tibor bermasdan ko'paytirishni amalga oshirishingiz kerak va natijada ikkala omilda ham vergullardan keyin sonlar sonini ikkiga ajratib qo'ying.

Misollar. Ko'paytirishni bajaring: 1) 18, 2 · 0.09; 2) 3.2.0.065; 3) 0,54 · 12.3.

Qaror.

III. O'nli kasrlarni 10, 100, 1000 va hokazolarga ko'paytirish uchun vergulni o'ng tomonga 1, 2, 3 va hokazo raqamlarga o'tkazish kerak.

Misollar. Ko'paytirishni bajaring: 1) 3.25.10; 2) 0,637 · 100; 3) 4,307 × 1000; 4) 2,04 × 1000; 5) 0,0003110,000.

Qaror.

IV. O'nlikni 0,1 ga ko'paytirish uchun; 0,01; 0.001 va hokazolarda vergulni chapga 1, 2, 3 va hokazo raqamlarga o'tkazish kerak.

Misollar. Ko'paytirishni bajaring: 1) 28,3 · 0,1; 2) 324,7 · 0,01; 3) 6.85 * 0.01; 4) 6179.5; 0.001; 5) 92.110.0001.

www.mathematics-repetition.com

O'nli kasrlarni ko'paytirish, qoidalar, misollar, echimlar.

Keyingi harakatni o'nlik kasrlar bilan o'rganishga kirishamiz, endi har tomonlama ko'rib chiqamiz o'nliklarni ko'paytirish. Birinchidan, o'nlik kasrlarni ko'paytirishning umumiy tamoyillarini muhokama qilamiz. Shundan so'ng biz o'nlik kasrni o'nlik kasrga ko'paytirishga kirishamiz, o'nlik kasrlarni ustunga ko'paytirish qanday amalga oshirilishini ko'rsatamiz va misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Keyinchalik, kasrlarning natural sonlarga ko'payishini tahlil qilamiz, xususan 10, 100 va hokazo. Xulosa qilib, o'nlik kasrlarni oddiy kasrlar va aralash raqamlarga ko'paytirish haqida gapiraylik.

Darhol aytish kerakki, ushbu maqolada biz faqat ijobiy o'nlik kasrlarni ko'paytirish haqida gapiramiz (ijobiy va manfiy sonlarni ko'ring). Qolgan holatlar ratsional sonlarni ko'paytirish maqolalarida va haqiqiy ko'payish.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ko'paytirishning umumiy o'nlik printsiplari

O'nli kasrlar bilan ko'paytirishni amalga oshirishda amal qilinishi kerak bo'lgan umumiy qoidalarni ko'rib chiqamiz.

Cheklangan o'nlik kasrlar va cheksiz davriy kasrlar oddiy kasrlar sonining o'nlik shakli bo'lganligi sababli, bunday o'nlik kasrlarning ko'payishi oddiy oddiy kasrlarning ko'paytmasiga tengdir. Boshqacha aytganda sonli o'nli kasrlarni ko'paytirish, sonli va davriy kasrlarning kasrlarini ko'paytirish, shuningdek davriy kasrlarning kasrlarini ko'paytirish kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirgandan so'ng oddiy kasrlarni ko'paytirishga to'g'ri keladi.

Belgilangan o'nlik kasrlarni ko'paytirish printsipini qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

1.5 va 0.75 kasrlarini ko'paytiring.

Ko'paytirilayotgan kasrlarni tegishli oddiy kasrlar bilan almashtiring. 1,5 \u003d 15/10 va 0,75 \u003d 75/100 beri, keyin. Siz kasrni qisqartirishingiz mumkin, so'ngra noto'g'ri qismdan butun sonni tanlang va natijada paydo bo'lgan oddiy kasrni 1,125 / 1000 ni kasr shaklida yozing.

Shuni ta'kidlash kerakki, oxirgi o'nlik kasrlarni ustunga osonlikcha ko'paytirish, biz keyingi paragrafda kasr kasrlarini ko'paytirishning ushbu usuli haqida gaplashamiz.

Davriy o'nlik kasrlarni ko'paytirish misolini ko'rib chiqing.

0, (3) va 2, (36) davriy kasrlarning hosilasini hisoblang.

Davriy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiramiz:

Keyin. Olingan oddiy kasrni o'nlik kasrga tarjima qilishingiz mumkin:

Agar ko'paytirilgan kasr kasrlari orasida cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar bo'lsa, unda barcha ko'paytiriladigan kasrlar, shu jumladan cheklangan va davriy kasrlar ma'lum toifaga yaxlitlanishi kerak (qarang). yaxlitlash raqamlari) ni tanlang va keyin olingan o'nlik kasrlarni ko'paytirishni bajaring.

5.382 ... va 0.2 ning kasr sonlarini ko'paytiring.

Birinchidan, cheksiz davriy bo'lmagan kasr kasrni aylantiramiz, yaxlitlash yuzdan biriga o'tkazilishi mumkin, bizda 5.382 ... ≈5.38. Yakuniy kasrning 0,2 dan yuzdan yuzgacha bo'lgan qismini aylantirishning hojati yo'q. Shunday qilib, 5.382 ... · 0.2≈5.38 · 0.2. Yakuniy o'nlik kasrlar miqdorini hisoblash uchun qoladi: 5.38 · 0.2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1076/1 000 \u003d 1.076.

Ustunni o'nga ko'paytirish

Yakuniy o'nlik kasrlarni ko'paytirishni natural sonlarning ustun ko'paytmasiga o'xshash ustunda bajarish mumkin.

Biz bildiramiz ustun o'nli qoida. O'nli kasrlarni ustun bilan ko'paytirish uchun quyidagilar kerak:

vergullarga e'tibor bermasdan, natural sonlar ustuniga ko'paytirishning barcha qoidalariga muvofiq ko'payishni bajaring;
hosil bo'lgan sonda o'nlik kasr sifatida o'ng tomonda qancha sonlar bo'lmasin, ikkala omilda ham qancha kasrli joylarni ajratish kerak, agar mahsulot yetarli raqamlarga ega bo'lmasa, chap tomonda kerakli miqdordagi nollarni qo'shish kerak.

O'nli kasrlarni ustunga ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.

63.37 va 0.12 kasrlarini ko'paytiring.

Biz o'nlik kasrlarni ustun bilan ko'paytirishni amalga oshiramiz. Birinchidan, vergullarni e'tiborsiz qoldirib, sonlarni ko'paytiring:

Olingan mahsulotga vergul qo'yish qoladi. U o'ng tomonda 4 ta raqamni ajratishi kerak, chunki ko'paytirgichlar to'rtta kasrdan iborat (ikkitasi 3.37 kasrda va ikkitasi 0,12 kasrda). U erda etarlicha raqamlar mavjud, shuning uchun chapga nol qo'shishingiz shart emas. Yozishni tugatish:

Natijada bizda 3,37 · 0,12 \u003d 7.6044.

3.2601 va 0.0254 kasrlarining o'nlik kasrlarini ko'payishini hisoblang.

Ko'paytirish ustunini vergullarni hisobga olmagan holda bajarish orqali biz quyidagi rasmni olamiz:

Endi mahsulotda siz o'ng tomonda 8 raqamni vergul bilan ajratishingiz kerak, chunki ko'paytirilayotgan kasrlarning o'nlik sonlarining soni sakkizga teng. Ammo ishda atigi 7 ta raqam mavjud, shuning uchun chap tomonda juda ko'p nollarni belgilashingiz kerak, shunda 8 raqamni vergul bilan ajratishingiz mumkin. Bizning holatda ikkita nolni belgilashimiz kerak:

Bunda o'nlik kasrlarni ustunga ko'paytirish tugallanadi.

O'nli kasrlarni 0,1, 0,01 va hokazolarga ko'paytirish.

Ko'pincha o'nlik kasrlarni 0,1, 0,01 va hokazolarga ko'paytirish kerak. Shuning uchun yuqorida keltirilgan kasr kasrlarini ko'paytirish printsiplaridan kelib chiqadigan o'nlik kasrni shu sonlarga ko'paytirish qoidasini shakllantirish tavsiya etiladi.

Shunday qilib bu kasrni 0.1, 0.01, 0.001 va hokazolarga ko'paytirish Aslida olingan qismni beradi, agar uning yozuvida vergulni chapga, 1,2,3 va hokazolarga raqamlar bilan yo'naltirsa, mos ravishda, agar vergulni yuborish uchun yetarli raqam bo'lmasa, unda chap tomonda kerakli nollarni kiritish kerak.

Masalan, 54.34 kasrini 0,1 ga ko'paytirish uchun 54.34 kasrida vergulni chapga 1 raqam bilan o'tkazish kerak va siz 5.434, ya'ni 54.34 · 0.1 \u003d 5.434 kasrini olasiz. Biz yana bir misol keltiramiz. 9.3 sonini 0.0001 ga ko'paytiring. Buning uchun biz vergulni 9 ga ko'paytiriluvchi kasrning 9,3 qismiga chapga ko'chirishimiz kerak, ammo 9.3 kasrining yozuvida unchalik ko'p belgilar mavjud emas. Shuning uchun chap tomonda 9.3 fraktsiyasining yozuviga shunchalik ko'p nollarni kiritishimiz kerakki, biz 4 raqamga vergul uzatishni bemalol amalga oshira olamiz, bizda 9,3 · 0.0001 \u003d 0.00093.

Shuni esda tutingki, kasr sonini 0.1, 0.01, ... ga ko'paytirish qoidasi cheksiz o'nlik kasrlar uchun ham amal qiladi. Masalan, 0, (18) · 0.01 \u003d 0.00 (18) yoki 93.938 ... · 0.1 \u003d 9.3938 ....

O'nli kasrlarni natural songa ko'paytirish

Uning markazida natural sonlar bo'yicha o'nlik kasrlar o'nlik kasrni o'nga ko'paytirishdan farq qilmaydi.

Tabiiy songa ko'paytiriladigan oxirgi o'nlik kasr eng qulay tarzda ustundir, siz oldingi paragraflarda muhokama qilingan o'nlik kasrlar sonini ko'paytirish qoidalariga amal qilishingiz kerak.

Mahsulotni hisoblang 15 · 2.27.

Natural sonni ustunga o'nlik kasriga ko'paytiramiz:

Davriy kasrni natural songa ko'paytirganda, davriy kasrni oddiy kasr bilan almashtirish kerak.

0, (42) kasr sonini 22 natural soniga ko'paytiring.

Birinchidan, davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring:

Endi ko'payishni bajaring:. Bu o'nlik natija 9, (3) shakliga ega.

Va cheksiz davriy bo'lmagan kasr kasrini natural songa ko'paytirganda, avval yumaloqlash kerak.

4 dan 2,145 gacha ko'payishni bajaring.

Boshlang'ich cheksiz o'nlik kasrni yuzdan bir qismiga yaxlitlashda natural sonni va oxirgi kasr sonini ko'paytirishga kelamiz. Bizda 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

O'nli kasrlarni 10, 100, ... ga ko'paytirish

Ko'pincha o'nlik kasrlarni 10, 100, ... ga ko'paytirish kerak bo'ladi ... Shu sababli bu holatlar haqida batafsil to'xtalib o'tish tavsiya etiladi.

Ovozli o'nlikni 10, 100, 1000 va hokazolarga ko'paytirish qoidasi. O'nlik kasrni uning yozuvida 10, 100, ... ga ko'paytirganda, mos ravishda vergulni 1,2, 3, ... raqamlariga o'tkazish va chapdagi qo'shimcha nollarni tashlash kerak; agar ko'paytirilayotgan kasrning yozuvida vergulni uzatish uchun etarli sonlar bo'lmasa, u holda kerakli songa nollarni kiritish kerak.

0.0783 sonini 100 ga ko'paytiring.

Biz 0.0783 kasrlarini yozuvda o'ng tomonga ikkita raqamga o'tkazamiz va 007.83 ni olamiz. Chapdagi ikkita nolni ajratib, 7.38 kasrlarini olamiz. Shunday qilib, 0.0783 · 100 \u003d 7.83.

0,02 sonini 10 000 ga ko'paytiring.

0.02 ni 10 000 ga ko'paytirish uchun biz 4 raqamni vergulni o'ng tomonga siljitishimiz kerak. Shubhasiz, 0.02 kasrining yozuvida vergulni 4 raqamga o'tkazish uchun etarli raqamlar yo'q, shuning uchun vergulni uzatish uchun o'ng tomonga bir nechta nol qo'shamiz. Bizning misolimizda uchta nolni qo'shish kifoya, bizda 0,02000. Vergulni uzatgandan so'ng, biz 00200.0 yozuvini olamiz. Chapdagi nollarni olib tashlasak, bizda 200,0 raqami bor, bu 200 natural raqamga teng, bu 0.02 ning kasr sonini 10000 ga ko'paytirish natijasidir.

Ko'rsatilgan qoida cheksiz o'nlik kasrlarni 10, 100, ga ko'paytirish uchun ham amal qiladi ... Davriy kasr kasrlarini ko'paytirganda, ko'payish natijasi bo'lgan fraktsiya davri bilan ehtiyot bo'lish kerak.

5.32 (672) davriy kasr sonini 1000 ga ko'paytiring.

Ko'paytirishdan oldin biz davriy kasr kasrini 5.32672672672 ... deb yozamiz, bu xatolardan qochishimizga imkon beradi. Endi biz vergulni o'ng tomonga 3 raqamga o'tkazamiz, bizda 5 326,726726 .... Shunday qilib, ko'paytirgandan so'ng, 5 326, (726) davriy kasr kasr olinadi.

5.32 (672) 1000 \u003d 5326, (726).

Cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni 10, 100, ... ga ko'paytirganda, avval cheksiz kasrni ma'lum bir toifaga aylantiring va keyin ko'paytiring.

Oddiy kasr yoki aralash raqam bilan kasrni ko'paytirish

Cheklangan o'nli kasrni yoki cheksiz davriy kasrni oddiy kasr yoki aralash raqamga ko'paytirish uchun o'nlik kasrni oddiy kasr sifatida ifodalash va keyin ko'paytirish kerak.

Aralashgan raqamga 0.4 sonini ko'paytiring.

0,4 \u003d 4/10 \u003d 2/5 va undan keyin. Olingan sonni 1,5 (3) davriy kasr sifatida yozish mumkin.

Cheksiz davriy bo'lmagan kasr kasrini oddiy kasr yoki aralash raqamga ko'paytirganda, oddiy kasr yoki aralash raqamni o'nlik kasr bilan almashtirish kerak, so'ng ko'paytirilayotgan kasrlarni yumaloq qilib, hisob-kitoblarni yakunlang.

2/3 \u003d 0.6666 ... beri, keyin. Ko'paytirilayotgan kasrlarni mingga tenglashtirgandan so'ng, biz 3.568 va 0.667 ning ikkita o'nlik kasr soniga erishamiz. Ustundagi ko'payishni bajaring:

Natijada mingdan minggacha yaxlitlanishi kerak, chunki ko'paytiriladigan kasrlar eng yaqin minginchi darajaga olingan, bizda 2,379856≈2,380 bor.

www.cleverstudents.ru

Oddiy kasrlarni ko'paytirish: qoidalar, misollar, echimlar.

Biz oddiy kasrlar bilan harakatlarni o'rganishda davom etamiz. Endi diqqat markazida oddiy kasrlarni ko'paytirish. Ushbu maqolada biz oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasini beramiz, misollarni echishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish haqida ham to'xtalamiz. Xulosa qilib, uchta yoki undan ortiq kasrlarni ko'paytirish qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Oddiy kasrni oddiy kasrga ko'paytirish

Keling, tahrir bilan boshlaylik oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidalari: kasrni kasrga ko'paytirish, ioni ko'paytirilayotgan kasrlar soniga ko'paytirilgan kasrni beradi, denominator esa maxraj mahsulotiga teng bo'ladi.

Ya'ni, formulalar a / b va c / d oddiy kasrlarning ko'payishiga mos keladi.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasini ko'rsatadigan misol keltiramiz. 1 birlikning yon tomoni bilan kvadratni ko'rib chiqing. , uning maydoni 1 birlik 2 ga teng. Ushbu kvadratni to'rtburchaklar teng 1/4 qismga bo'ling. va 1/8 dona. , asl kvadrat 4 · 8 \u003d 32 to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, shuning uchun har to'rtburchakning maydoni asl kvadrat maydonining 1/32 qismiga teng, ya'ni u 1/32 birlik 2 ga teng. Endi asl kvadratning bir qismini bo'yash. Bizning barcha harakatlarimiz quyidagi rasmda aks ettirilgan.

To'ldirilgan to'rtburchaklar tomonlari 5/8 dona. va 3/4 birlik. shuning uchun uning maydoni 5/8 va 3/4 fraktsiyalarining hosilasiga teng, ya'ni 2-son. Lekin to'ldirilgan to'rtburchaklar 15 "kichik" to'rtburchaklar iborat, bu uning maydoni 15/32 birliklar 2 degan ma'noni anglatadi. Shuning uchun,. 5 · 3 \u003d 15 va 8 · 4 \u003d 32 bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik quyidagicha yozilishi mumkin , bu formulaning oddiy kasrlarini ko'paytirish uchun formulani tasdiqlaydi.

Shuni esda tutingki, ko'rsatilgan ko'paytirish qoidasidan foydalanib, siz to'g'ri va noto'g'ri fraktsiyalarni va bir xil denominatorli kasrlarni va boshqa denominatorlarning fraktsiyalarini ko'paytirishingiz mumkin.

Ko'rib chiqaylik oddiy kasrlarni ko'paytirish misollari.

7/11 oddiy kasrni 9/8 oddiy kasrga ko'paytiring.

7 va 9 ni ko'paytiruvchi kasrlarning hisoblagichlarining mahsuloti 63 ga teng va 11 va 8 denominatorlari 88 ga teng. Shunday qilib, 7/11 va 9/8 oddiy kasrlarning ko'payishi 63/88 fraktsiyasini beradi.

Mana echimning qisqacha tavsifi: .

Agar ko'payish qisqaradigan kasrga olib keladigan bo'lsa, olingan fraksiyaning qisqarishi va butun qismni noto'g'ri fraktsiyadan ajratish haqida unutmasligimiz kerak.

4/15 va 55/6 kasrlarini ko'paytiring.

Biz oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasini qo'llaymiz: .

Shubhasiz, olingan kasr qisqaradi (10 ga bo'linish belgisi bizga 220/90 fraktsiyasining hisoblagichi va denominatorining umumiy 10 koeffitsienti borligini aytishga imkon beradi). 220/90 kasrini qisqartiraylik: GCD (220, 90) \u003d 10 va . Qabul qilingan noto'g'ri kasrdan butun qismini ajratish qoladi:.

Esda tutingki, kasrlar soni va ko'paytirilgan fraktsiyalarning mahsulotlarini hisoblashdan oldin, ya'ni fraktsiya shaklga ega bo'lganda kamayishi mumkin. Buning uchun a, b, c va d ularning asosiy faktorizatsiyalari bilan almashtiriladi, shundan so'ng hisoblagich va denominatorning bir xil omillari kamayadi.

Tushuntirish uchun avvalgi misolga qaytamiz.

Shakl fraktsiyalarining mahsulotini hisoblang.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish formulasi bo'yicha bizda .

4 \u003d 2 · 2, 55 \u003d 5 · 11, 15 \u003d 3 · 5 va 6 \u003d 2 · 3 bo'lgani uchun . Endi umumiy asosiy omillarni qisqartiring: .

Mahsulotni hisoblagichda va maxrajda hisoblash uchun qoladi, so'ngra noto'g'ri qismdan butun qismini tanlang: .

Shuni ta'kidlash kerakki, kasrlarni ko'paytirish uchun harakatlanuvchi xususiyat o'ziga xos xususiyatdir, ya'ni ko'paytirilayotgan kasrlar o'zaro almashtirilishi mumkin: .

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish

Keling, tahrir bilan boshlaylik oddiy kasrni natural songa ko'paytirish qoidalari: kasrni natural songa ko'paytirish, uning soni ko'paytirilgan kasrning alkatorining natural soniga ko'paytirilgan kasrni beradi va maxraj ko'paytirilgan kasrning denominatoriga teng bo'ladi.

Harflardan foydalanib, a / b fraktsiyasini n natural songa ko'paytirish qoidasi mavjud.

Formuladan ikkita oddiy kasrni ko'paytirish uchun formuladan kelib chiqadi. Darhaqiqat, natural sonni 1 bilan berilgan kasr sifatida ifodalasak, olamiz .

Bir kasrni natural songa ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.

2/27 qismini 5 ga ko'paytiring.

2-sonli sonni 5 raqamiga ko'paytirish 10 ga teng bo'ladi, shuning uchun kasrni natural songa ko'paytirish qoidasi bo'yicha, 2/27 ning 5 ga teng bo'lgan mahsuloti 10/27 kasriga tengdir.

Butun yechim quyidagicha yozilgan: .

Agar kasrni natural songa ko'paytirsangiz, natijada olingan kasr kamayishi kerak, agar u ham noto'g'ri bo'lsa, uni aralash raqam sifatida keltiring.

5/12 ni 8 ga ko'paytiring.

Fraktsiyalarni natural songa ko'paytirish formulasi bo'yicha bizda . Shubhasiz, olingan kasr qisqaradi (2 ga bo'linish belgisi, ion va denominatorning umumiy omili 2 ni ko'rsatadi). Biz 40/12 fraktsiyasini kamaytirishni amalga oshirmoqdamiz: chunki MOQ (40, 12) \u003d 4, keyin . Bu butun qismini ta'kidlash uchun qoladi:.

Bu erda to'liq echim: .

Shuni esda tutingki, qisqartirish ulyator va maxrajdagi raqamlarni asosiy omillarga ularni kengaytirish orqali almashtirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Bunday holda, echim quyidagicha ko'rinadi:.

Ushbu paragrafning oxirida shuni ta'kidlaymizki, kasrni natural songa ko'paytirish translyatsion xususiyatga ega, ya'ni kasrning natural songa ko'payishi ushbu natural sonning kasriga tengdir: .

Uch yoki undan ortiq kasrlarni ko'paytirish

Oddiy kasrlarni qanday aniqlaganimiz va ular bilan ko'payish harakati, ko'paytiriladigan natural sonlarning barcha xossalari kasrlarning ko'payishiga nisbatan qo'llanilishini aytishga imkon beradi.

Ko'paytirishning tarjimali va birlashtiruvchi xususiyatlari bizni aniq aniqlashga imkon beradi uch yoki undan ortiq kasrlar va natural sonlarni ko'paytirish. Bunday holda, hamma narsa uchta yoki undan ko'p natural sonlarni ko'paytirish bilan o'xshashlik bilan sodir bo'ladi. Xususan, mahsulot tarkibidagi kasrlar va natural sonlarni qulaylik uchun qayta o'zgartirish mumkin va agar harakatlar tartibini ko'rsatuvchi qavs bo'lmasa, biz qavslarni har qanday maqbul usulda joylashtiramiz.

Bir nechta kasrlar va natural sonlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.

1/20, 12/5, 3/7 va 5/8 ning uchta kasrini ko'paytiring.

Biz hisoblashimiz kerak bo'lgan mahsulotni yozamiz . Ko'paytma kasrlari qoidasiga binoan, yozilgan mahsulot barcha kasrlarning sanoqlari samarasiga teng bo'lgan fraktsiyaga teng, maxraj esa maxrajning mahsulotiga tengdir: .

Mahsulotni hisoblagichda va maxrajda hisoblashdan oldin, barcha omillarni ularning parchalanishi bilan oddiy omillarga almashtirish va kamaytirishni amalga oshirish tavsiya etiladi (albatta, ko'paytirgandan keyin siz fraktsiyani kamaytirishingiz mumkin, lekin ko'p hollarda bu juda ko'p hisoblash harakatini talab qiladi).

Beshta sonni ko'paytiring .

Ushbu ishda 7/8 fraktsiyasini 8 raqami bilan va 12 raqamini 5/36 kasr bilan guruhlash qulay, bu hisoblarni soddalashtiradi, chunki bunday guruhlash bilan qisqartirish aniq. Bizda bor
.

www.cleverstudents.ru

Ommabop:

Tuman sudiga murojaat qilganda, hurmatli sayt mehmonlari! Sankt-Peterburg uchun Federal G'aznachilik boshqarmasi (Sankt-Peterburg uchun Rossiyaning 10-sonli tumanlararo IFTS) soliq organining STINI Qabul qiluvchining hisob raqami NORTH-WEST [...]
Aliment miqdorini kamaytirish uchun davlat bojini hisoblash Sudlar quyidagi pozitsiyaga rioya qiladilar: Davlat boji aliment miqdori kamaytirilgan summadan (da'vo narxidan) hisoblanadi. Sudda davlat boji miqdorini [...] bilan hisoblash misoli.
O'nli kasr, qoidalar, misollar, echimlar. Biz o'nlik kasrlar bilan harakatlarni o'rganishni davom ettirmoqdamiz, o'nlik kasrlarning bo'linishi haqida gapirish vaqti keldi. O'nli kasrlarning umumiy printsiplaridan boshlaylik. Ko'proq [...]
Soliq kodeksining 333.19-moddasi. Rossiya Federatsiyasi Oliy sudi, umumiy yurisdiktsiya sudlari, Soliq kodeksining 333.19-sonli tinchlik sudlari tomonidan ko'rib chiqilgan hollarda davlat bojining miqdori. 1. Oliy sudgacha bo'lgan ishlar bo'yicha [...]
"Ijtimoiy sug'urta bo'yicha komissiya (vakolatli) to'g'risidagi namunaviy nizom" N 556a-sonli ijtimoiy sug'urta bo'yicha komissiya to'g'risidagi namunaviy nizomni Rossiya Federatsiyasi Ijtimoiy sug'urta jamg'armasi raisi [...]
Rossiya Federatsiyasi Qurolli Kuchlarining davlat bojini to'lash tafsilotlari, shuningdek Moskva va Moskva okrugi AClari o'zgartirildi; Rossiya Federatsiyasi Qurolli Kuchlari, Moskva Arbitraj sudi va [...] da ko'rib chiqilayotgan ishlar uchun davlat bojlarini to'lashning yangi tafsilotlari.
Burg'ulash suv ombori - bu yuqori gözeneklilik va o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan tog 'jinsi bo'lib, tarkibida qayta tiklanadigan neft va gaz mavjud. Kollektorning asosiy tasniflash xususiyatlari filtrlash va ulardagi to'planish shartlari [...]
Bizning VK guruhimiz mashg'ulotlarga chegirma oling. 1000 rubl chegirmaga ega bo'lishni boshqaring! Haydovchilik maktabiga kirish Ushbu shaklni to'ldiring, biz siz bilan bog'lanamiz va sizni darslarga taklif qilamiz. Xush kelibsiz! 1. Ogohlantirish belgilari Ogohlantirish [...]

Sahifani navigatsiya qilish.

Oddiy kasrni oddiy kasrga ko'paytirish

Ya'ni, formulalar a / b va c / d oddiy kasrlarning ko'payishiga mos keladi.

Ko'rib chiqaylik oddiy kasrlarni ko'paytirish misollari.

7/11 oddiy kasrni 9/8 oddiy kasrga ko'paytiring.

Mana echimning qisqacha tavsifi: .

Agar ko'payish qisqaradigan kasrga olib keladigan bo'lsa, olingan fraksiyaning qisqarishi va butun qismni noto'g'ri fraktsiyadan ajratish haqida unutmasligimiz kerak.

4/15 va 55/6 kasrlarini ko'paytiring.

Biz oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasini qo'llaymiz: .

Tushuntirish uchun avvalgi misolga qaytamiz.

Shakl fraktsiyalarining mahsulotini hisoblang.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish formulasi bo'yicha bizda .

4 \u003d 2 · 2, 55 \u003d 5 · 11, 15 \u003d 3 · 5 va 6 \u003d 2 · 3 bo'lgani uchun . Endi umumiy asosiy omillarni qisqartiring: .

Mahsulotni hisoblagichda va maxrajda hisoblash uchun qoladi, so'ngra noto'g'ri qismdan butun qismini tanlang: .

Shuni ta'kidlash kerakki, kasrlarni ko'paytirish uchun harakatlanuvchi xususiyat o'ziga xos xususiyatdir, ya'ni ko'paytirilayotgan kasrlar o'zaro almashtirilishi mumkin: .

Oddiy kasrni natural songa ko'paytirish

Harflardan foydalanib, a / b fraktsiyasini n natural songa ko'paytirish qoidasi mavjud.

Formuladan ikkita oddiy kasrni ko'paytirish uchun formuladan kelib chiqadi. Darhaqiqat, natural sonni 1 bilan berilgan kasr sifatida ifodalasak, olamiz .

Bir kasrni natural songa ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.

2/27 qismini 5 ga ko'paytiring.

2-sonli sonni 5 raqamiga ko'paytirish 10 ga teng bo'ladi, shuning uchun kasrni natural songa ko'paytirish qoidasi bo'yicha, 2/27 ning 5 ga teng bo'lgan mahsuloti 10/27 kasriga tengdir.

Butun yechim quyidagicha yozilgan: .

Agar kasrni natural songa ko'paytirsangiz, natijada olingan kasr kamayishi kerak, agar u ham noto'g'ri bo'lsa, uni aralash raqam sifatida keltiring.

5/12 ni 8 ga ko'paytiring.

Bu erda to'liq echim: .

Ushbu paragrafning oxirida shuni ta'kidlaymizki, kasrni natural songa ko'paytirish translyatsion xususiyatga ega, ya'ni kasrning natural songa ko'payishi ushbu natural sonning kasriga tengdir: .

Uch yoki undan ortiq kasrlarni ko'paytirish

Oddiy kasrlarni qanday aniqlaganimiz va ular bilan ko'payish harakati, ko'paytiriladigan natural sonlarning barcha xossalari kasrlarning ko'payishiga nisbatan qo'llanilishini aytishga imkon beradi.

Bir nechta kasrlar va natural sonlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing.

1/20, 12/5, 3/7 va 5/8 ning uchta kasrini ko'paytiring.

Beshta sonni ko'paytiring .

Ushbu ishda 7/8 fraktsiyasini 8 raqami bilan va 12 raqamini 5/36 kasr bilan guruhlash qulay, bu hisoblarni soddalashtiradi, chunki bunday guruhlash bilan qisqartirish aniq. Bizda bor
.

Fraktsiyani ko'paytirish

Oddiy kasrlarning ko'payishini bir necha usul bilan ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni kasrga ko'paytirish

Bu siz quyidagi narsalarni ishlatishingiz kerak bo'lgan eng oddiy holat kasrlarni ko'paytirish qoidalari.

Kimga kasrni kasrga ko'paytiring, zarur:

birinchi kasrning hisoblagichini ikkinchi kasrning hisoblagichiga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning ulyatoriga yozing;
birinchi kasrning denominatorini ikkinchi kasrning denominatoriga ko'paytiring va ularning mahsulotini yangi kasrning nominaliga yozing;

Hisoblagichlar va denominatorlarni ko'paytirishdan oldin kasrlar sonini kamaytirish mumkinligini tekshiring. Hisob-kitoblarda kasrlarni kamaytirish hisob-kitoblarni osonlashtiradi.

Kasrni natural songa ko'paytirish

Qisqartirish uchun natural songa ko'paytiring kasrning hisoblagichini shu songa ko'paytirish kerak va fraktsiya nominatorini o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Agar ko'payish natijasida noto'g'ri qism olingan bo'lsa, uni aralash raqamga aylantirishni unutmang, ya'ni butun sonni tanlang.

Aralash raqamlarni ko'paytirish

Aralashgan sonlarni ko'paytirish uchun avval ularni tartibsiz kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi bilan ularni ko'paytirishingiz kerak.

Fraksiyalarni natural songa ko'paytirishning yana bir usuli

Ba'zida hisoblashda oddiy kasrni songa ko'paytirishning boshqa usulidan foydalanish qulayroq.

Bir kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning qiymatini shu raqamga bo'lish kerak va shu bilan hisoblagichni bir xil qoldirish kerak.

Misollardan ko'rinib turibdiki, agar fraktsiyani aniqlovchi natural songa qoldiqsiz bo'linsa, qoidaning ushbu variantidan foydalanish qulayroq bo'ladi.

Aralash raqamlarni ko'paytirish: qoidalar, misollar, echimlar.

Ushbu maqolada biz tahlil qilamiz aralash raqamlarni ko'paytirish. Birinchidan, biz aralash raqamlarni ko'paytirish qoidasini e'lon qilamiz va misollarni hal qilishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Keyin, aralash raqamni va natural sonni ko'paytirish haqida gapiraylik. Va nihoyat, aralash raqamni va oddiy kasrni qanday ko'paytirishni bilib olamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Aralash raqamlarni ko'paytirish.

Aralash raqamlarni ko'paytirish oddiy kasrlarning ko'payishiga qadar kamayishi mumkin. Buning uchun aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlarga tarjima qilish kifoya.

Biz yozamiz aralash raqamlarni ko'paytirish qoidasi:

Birinchidan, ko'paytirilgan aralash raqamlar tartibsiz kasrlar bilan almashtirilishi kerak;
Ikkinchidan, kasrlarni kasrlarga ko'paytirish qoidasidan foydalanish kerak.

Aralash raqamni aralash raqamga ko'paytirganda ushbu qoidani qo'llash misollarini ko'rib chiqing.

Aralashgan sonlarning ko'payishini bajaring va.

Birinchidan, ko'paytirilgan aralash raqamlarni tartibsiz kasrlar deb tasavvur qiling: va . Endi aralash sonlarni ko'paytirishni oddiy kasrlarni ko'paytirish bilan almashtirish mumkin: . Parchalarni ko'paytirish qoidasini qo'llagan holda, biz olamiz . Olingan kasr qaytarib bo'lmaydigan bo'ladi (qarang qaytariladigan va qaytarib bo'lmaydigan kasrlar), lekin u noto'g'ri (to'g'ri va noto'g'ri fraktsiyalarga qarang), shuning uchun yakuniy javobni olish uchun noto'g'ri qismdan butun qismni tanlash qoladi.

Biz butun echimni bitta satrda yozamiz:.

Aralash raqamlarni ko'paytirish ko'nikmalarini birlashtirish uchun boshqa misolning echimini ko'rib chiqing.

Ko'paytirishni bajaring.

Kulgili raqamlar va mos ravishda 13/5 va 10/9 kasrlariga teng. Keyin . Ushbu bosqichda kasrning kamayishi haqida eslash vaqti keldi: biz fraktsiyadagi barcha raqamlarni asosiy omillarga ajratish bilan almashtiramiz va bir xil omillarni kamaytirishni amalga oshiramiz.

Aralash raqam va natural sonni ko'paytirish

Aralash raqamni noto'g'ri kasr bilan almashtirganingizdan so'ng, aralash raqamni va natural sonni ko'paytirish oddiy kasr va natural sonning ko'payishiga kamayadi.

Aralashgan raqamni va 45 natural sonni ko'paytiring.

Aralashgan raqam kasrga teng bo'ladi, keyin . Olingan kasrdagi raqamlarni parchalanish bilan bosh omillarga almashtiring, kamaytiring va butun sonni tanlang:.

Aralash raqam va natural sonni ko'paytirish ba'zan qo'shishga nisbatan ko'payishning taqsimot xususiyati yordamida qulay tarzda amalga oshiriladi. Bu holda, aralash raqam va natural sonning ko'paytmasi butun natural sonning berilgan natural songa va kasr qismining berilgan natural songa qo'shilishiga teng bo'ladi, ya'ni. .

Mahsulotni hisoblang.

Aralash raqamni butun va kasr qismlarning yig'indisi bilan almashtiring, shundan so'ng ko'payishning taqsimot xususiyatini qo'llaymiz:.

Aralash raqamni va oddiy kasrni ko'paytirish tartibsiz kasr shaklida ko'paytirilgan aralash sonni ifodalovchi oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytirish eng qulaydir.

Aralashgan sonni 4/15 kasriga ko'paytiring.

Aralash raqamni kasr bilan almashtirish orqali biz olamiz .

Fraktsiya sonini ko'paytirish

§ 140. Ta'riflar. 1) Kasr sonini butun son bilan ko'paytirish butun sonlarni ko'paytirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi, ya'ni: muayyan sonni (ko'paytiriladigan) butun songa ko'paytirish (ko'paytirgich) har bir atama ko'paytiruvchiga va atamalar soniga teng bo'lgan bir xil atamalar yig'indisini tashkil etishni anglatadi.

Shunday qilib, 5 ga ko'paytirish uchun yig'indini topish kerak:
2) Ayrim sonni (ko'paytiriladigan) kasr (omil) ga ko'paytirish, ko'paytiriladigan bu kasrni topish demakdir.

Shunday qilib, oldin ko'rib chiqilgan berilgan sonning kasrini topish endi kasrga ko'paytirish deb nomlanadi.

3) Biror sonni (ko'paytiriladigan) aralash raqamga (ko'paytiruvchiga) ko'paytirish, avval ko'paytirgichning butun soniga, keyin ko'paytirgichning kasriga ko'paytirish va shu ikki ko'paytmaning natijalarini qo'shish demakdir.

Masalan:

Ko'paytgandan keyin olingan raqam barcha bu holatlarda chaqiriladi ishlash, ya'ni butun sonlarni ko'paytirishda bo'lgani kabi.

Ushbu ta'riflardan ayon bo'ladiki, kasr sonlarni ko'paytirish har doim ham mumkin va har doim ham bir xil ma'noga ega emas.

§ 141. Ushbu ta'riflarning maqsadga muvofiqligi. Arifmetikaga ko'paytirishning oxirgi ikkita ta'rifini kiritish maqsadga muvofiqligini tushunish uchun biz quyidagi muammoni olamiz:

Mashg'ulot. Poyezd soatiga 40 km tezlikda harakatlanadi; Ushbu poezd ma'lum bir necha soat ichida qancha kilometr yurishini qaerdan bilasiz?

Agar butun sonlarning arifmetikasida ko'rsatilgan ko'payishning bitta ta'rifi bilan qolsak (teng atamalarni qo'shish), unda bizning muammomiz uch xil echimga ega bo'ladi, xususan:

Agar bu soat soni butun son bo'lsa (masalan, 5 soat), unda muammoni hal qilish uchun siz ushbu masofani soatiga 40 km ga ko'paytirishingiz kerak.

Agar bu soatlar soni kasr shaklida ifodalangan bo'lsa (masalan, bir soat), unda siz 40 km dan ushbu fraktsiyaning qiymatini topishingiz kerak bo'ladi.

Va nihoyat, agar berilgan soatlar soni aralashgan bo'lsa (masalan, soat), u holda 40 km ni aralash raqamdan iborat butun son bilan ko'paytirish kerak va natijada aralash sonda bo'lgan 40 km ni qo'shish kerak bo'ladi.

Bizning ta'riflarimiz barcha mumkin bo'lgan holatlarga bitta umumiy javobni berishga imkon beradi:

40 km, qancha bo'lishidan qat'i nazar, ma'lum bir soatga ko'paytirilishi kerak.

Shunday qilib, agar muammo umumiy ko'rinishda quyidagicha taqdim etilsa:

Poyezd bir tekis harakatlanib, soatiga v km masofani bosib o'tadi. Poezd soatiga necha km yuradi?

v va t raqamlari qanday bo'lishidan qat'i nazar, biz bitta javobni berishimiz mumkin: kerakli raqam v · t formulasi bilan ifodalanadi.

Izoh Berilgan sonning kasrini topish, bizning ta'rifimiz bo'yicha, berilgan sonni shu kasrga ko'paytirish bilan barobardir; shuning uchun, masalan, berilgan sonning 5% (ya'ni besh yuzdan uch) ni topish, berilgan sonni ko'paytirish bilan bir xil degan ma'noni anglatadi; berilgan sonning 125% ni topish, bu sonni ko'paytirish bilan bir xil degan ma'noni anglatadi va hokazo.

§ 142. Qachon ko'payish bilan sonning ko'payishi va qachon kamayishi haqida izoh.

To'g'ri kasr bilan ko'paytirish natijasida son kamayadi va noto'g'ri kasr bilan ko'paytirish natijasida, agar bu noto'g'ri kasr bittadan ko'p bo'lsa, son ko'payadi va agar u teng bo'lsa, o'zgarishsiz qoladi.
Eslatma. Fraksiya sonlarini va butun sonlarni ko'paytirganda, agar biron bir omil nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng deb qabul qilinadi.

§ 143. Ko'paytirish qoidalarini derivatsiya qilish.

1) Kasrni butun son bilan ko'paytirish. Bu kasrni 5 ga ko'paytirish kerak bo'lsin. Bu 5 baravar ko'payishni anglatadi. Fraktsiyani 5 baravar ko'paytirish uchun uning hisoblagichini ko'paytirish yoki uni 5 martaga kamaytirish kifoya qiladi (§ 127).

Shuning uchun:
1-qoida. Bir kasrni butun son bilan ko'paytirish uchun hisoblagichni shu butun songa ko'paytirish kerak va denominatorni bir xil qoldirish kerak; Buning o'rniga, kasrning mohiyatini berilgan butun songa bo'lish mumkin (agar mumkin bo'lsa) va hisoblagichni bir xil qoldirishingiz mumkin.

Eslatma. Fraktsiyaning mahsuloti uning nominatori bilan hisoblagichga tengdir.

Shunday qilib:
2-qoida Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning ulyatoriga ko'paytirish va ushbu mahsulotni hisoblagichga aylantirish va ushbu fraktsiyaning nominatoriga maxraj tomonidan imzo qo'yish kerak.
3-qoida Bir kasrni kasrga ko'paytirish uchun, hisoblagichni hisoblagichga va maxrajga maxraj tomonidan ko'paytirish kerak va birinchi mahsulotni hisoblagichga, ikkinchisini mahsulotning maxrajiga aylantirish kerak.

Eslatma. Ushbu qoidani butun sonni butun son va butun sonni kasrga ko'paytirish uchun ham qo'llash mumkin, agar butun sonni birlikning ifodasi bo'lgan kasr deb hisoblasak. Shunday qilib:

Shunday qilib, hozirgi uchta qoidalar bitta bo'lib, umumiy ma'noda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
4) aralash raqamlarni ko'paytirish.

4-qoida Aralashgan raqamlarni ko'paytirish uchun ularni noto'g'ri fraktsiyalarga aylantirishingiz kerak va keyin ularni ko'paytirish qoidalariga muvofiq ko'paytiring. Masalan:
§ 144. Ko'paytmani qisqartirish. Iloji bo'lsa, kasrlarni ko'paytirganda, quyidagi misollardan ko'rinib turibdiki, oldindan qisqartirish kerak.

Bunday qisqartirish mumkin, chunki agar uning soni va maxraj bir xil miqdordagi songa kamaytirilsa, kasr o'zgarmaydi.

§ 145. Faktorlarning o'zgarishi bilan ishning o'zgarishi. Faktorlarni o'zgartirganda kasr sonlarning mahsuldorligi butun sonlar mahsuloti bilan teng ravishda o'zgaradi (§ 53), ya'ni: agar siz biron-bir omilni bir necha bor ko'paytirsangiz (yoki kamaytirsangiz), unda mahsulot shu miqdorga ko'payadi (yoki kamayadi). .

Masalan, agar misolda:
bir nechta kasrlarni ko'paytirish uchun ularning hisoblagichlarini o'zlari orasida va maxrajlarda ko'paytirish kerak va birinchi mahsulotni hisoblagich, ikkinchisini mahsulotning maxrajiga aylantirish kerak.

Eslatma. Ushbu qoida, shuningdek, sonning ba'zi bir omillari butun yoki aralashgan mahsulotlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin, agar butun sonni birlik denominatori bo'lgan kasr deb hisoblasak va aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlarga aralashtirsak. Masalan:
§ 147. Ko'paytirishning asosiy xususiyatlari. Biz butun sonlar uchun ko'rsatgan ko'payish xususiyatlari (§ 56, 57, 59) kasr sonlarni ko'paytirishga tegishli. Biz bu xususiyatlarni ko'rsatamiz.

1) Mahsulot omillar o'rnining o'zgarishi natijasida o'zgarmaydi.

Masalan:

Darhaqiqat, oldingi paragraf qoidasiga ko'ra, birinchi mahsulot kasrga, ikkinchi mahsulot esa kasrga teng. Ammo bu fraktsiyalar bir xil, chunki ularning atamalari faqat butun omillar tartibida farqlanadi, va faktorlarning joylari o'zgartirilganda butun sonlar mahsuloti o'zgarmaydi.

2) Agar biron bir omillar guruhi ularning mahsuloti bilan almashtirilsa, mahsulot o'zgarmaydi.

Masalan:

Natijalar bir xil.

Ushbu ko'paytirish xususiyatidan quyidagi xulosani chiqarishimiz mumkin:

sonni mahsulotga ko'paytirish uchun siz ushbu sonni birinchi omilga ko'paytirasiz, natijada sonni ikkinchi darajaga ko'paytirasiz va hokazo.

Masalan:
3) ko'payishning taqsimot qonuni (qo'shilishga nisbatan). Summani biron bir raqamga ko'paytirish uchun siz har bir atamani ushbu raqamga alohida ko'paytirib, natijalarni qo'shishingiz mumkin.

Ushbu qonun biz tomonidan (59-§) butun sonlarga nisbatan tushuntirildi. Bu kasr sonlar uchun hech qanday o'zgarishsiz haqiqiy bo'lib qoladi.

Keling, aslida bu tenglikni ko'rsataylik

(a + b + c +.) m \u003d am + bm + sm +.

(qo'shimchaga nisbatan ko'payishning taqsimot qonuni) harflar kasr sonlarni anglatganda ham to'g'ri bo'lib qoladi. Biz uchta holatni ko'rib chiqamiz.

1) Birinchidan, m faktor butun son deb faraz qilaylik, masalan m \u003d 3 (a, b, c har qanday sonlar). Butun son bilan ko'paytirishning ta'rifiga ko'ra, siz yozishingiz mumkin (soddaligi bilan uchta shart bilan cheklangan):

(a + b + c) * 3 \u003d (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Qo'shimcha qo'shilish qonuniga asoslanib, biz o'ng tomonda joylashgan barcha qavslarni tashlab yuborishimiz mumkin; qo'shimcha munosabatlarning qonunini qo'llaymiz va keyin yana birlashtirsak, biz o'ng tomonni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 \u003d a * 3 + b * 3 + c * 3.

Demak, bu holda tarqatish to'g'risidagi qonun tasdiqlangan.

Fraktsiyani natural songa bo'lish

Bo'limlar: Matematik

T dars turi: ONZ (yangi bilimlarni kashf etish - faoliyat texnologiyasi bo'yicha o'qitish usuli).

Fraktsiyalarni natural songa bo'lish usullarini yaratish
Fraktsiyani natural songa bo'lishni bajarish qobiliyatini shakllantirish;
Kasrlarning bo'linishini takrorlang va mahkamlang;
Parchalarni qisqartirish, tahlil qilish va muammolarni echishga o'rgatish.

Uskunani namoyish qilish uchun materiallar:

1. Bilimni yangilash bo'yicha vazifalar:

2. Sinov (individual) vazifa.

1. Bo'linishni bajaring:

2. Hisob-kitoblarning butun zanjirini to'ldirmasdan bo'linishni bajaring:.

Parchani natural songa bo'lganda, denominatorni shu raqamga ko'paytirib, hisoblagichni bir xil qoldirishingiz mumkin.

Agar hisoblagich natural songa bo'linsa, u holda kasrni bu raqamga bo'lganda, atorlchovchini raqamga bo'ling va maxrajni bir xilda qoldiring.

I. Ta'lim faoliyatiga turtki (o'z taqdirini o'zi belgilash).

Talaba uchun o'quv faoliyati talablarini yangilashni tashkil etish ("zarur");
Tematik doirani o'rnatish bo'yicha talabalar faoliyatini tashkil etish ("Men qila olaman");
Talaba uchun o'quv faoliyatiga qo'shilish uchun ichki ehtiyoj paydo bo'lishi uchun sharoit yaratish ("Men xohlayman").

I bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Salom Hammangizni matematika darsida ko'rganimdan xursandman. Umid qilamanki, bu o'zaro.

Bolalar, oxirgi darsda qanday yangi bilimlarga ega bo'ldingiz? (Parchalarni ajratish).

To'g'ri. Fraktsiya qilishda sizga nima yordam beradi? (Qoida, xususiyatlari).

Bizga bu ma'lumot qaerdan kerak? (Misollar, tenglamalar, muammolar).

Yaxshi! Siz oxirgi darsda yaxshi ish qildingiz. Bugun yangi bilimlarni o'zingiz kashf etmoqchimisiz? (Ha).

Keyin - boring! Va darsning shiori: "qo'shnining buni qanday qilishini ko'rish orqali matematikani o'rganish mumkin emas!"

II. Sinov harakatidagi bilimlarni yangilash va individual qiyinchiliklarni tuzatish.

Yangi bilimlarni shakllantirish uchun etarli bo'lgan o'rganilgan harakat usullarini yangilashni tashkil etish. Ushbu usullarni og'zaki ravishda (nutqda) tuzing va imzo qo'ying (standart) va ularni umumlashtiring;
Yangi bilimlarni shakllantirish uchun etarli bo'lgan aqliy operatsiyalar va bilim jarayonlarini yangilashni tashkil qilish;
Sinov harakati va uni mustaqil ravishda amalga oshirish va asoslash uchun motivatsiya;
Sinov harakatlari uchun individual topshiriqni taqdim eting va yangi o'quv tarkibini aniqlash uchun tahlil qiling;
Darsning o'quv maqsadi va mavzusini aniqlashni tashkil etish;
Sinov harakatlarini tashkil qiling va qiyinchiliklarni tuzating;
Qabul qilingan javoblarning tahlilini tashkil qiling va sinov harakatlarini yoki uning asoslanishini amalga oshirishdagi individual qiyinchiliklarni yozib oling.

II bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Frontal, planshetlardan foydalaning (individual taxtalar).

1. Ifodalarni taqqoslang:

(Bu iboralar teng)

Qanday qiziqarli narsalarni payqadingiz? (Dividendning hisoblagichi va aniqlovchisi, har bir iborada hisoblagich va ajratuvchi bir xil miqdordagi ko'paygan. Shunday qilib, ifodalarda dividendlar va bo'linuvchilar bir-biriga teng bo'lgan kasrlar bilan ifodalangan).

Ifodaning ma'nosini toping va uni planshetga yozing. (2)

Bu raqamni kasr sifatida qanday yozish mumkin?

Bo'linish harakatlarini qanday qildingiz? (Bolalar qoidaga ko'ra o'qituvchi xatlarni taxtaga qo'yadi)

2. Faqat natijalarni hisoblang va yozing:

3. Natijalarni qo'shing va javobni yozing. (2)

3-topshiriqda olingan son qanday nomlanadi? (Tabiiy)

Sizningcha, kasrni natural songa bo'lish mumkinmi? (Ha, harakat qilamiz)

Harakat qilib ko'ring.

4. Shaxsiy (sinov) vazifa.

Bo'linishni bajarish: (faqat bitta misol)

Siz bo'linishni qaysi qoidaga binoan qildingiz? (Kasrlarni kasrlarga bo'lish qoidalari bo'yicha)

Endi kasrlarni natural son bo'yicha butun hisoblar zanjirini qilmasdan sodda tarzda taqsimlang: (b misol). Buning uchun sizga 3 soniya vaqt beraman.

3 soniyada vazifani kim bajara olmadi?

Kim buni qildi? (Bunday emas)

Nima uchun? (Biz yo'lni bilmaymiz)

Siz nima oldingiz? (Qiyinchilik)

Sizningcha, darsda biz nima qilamiz? (Kasrlarni natural sonlarga bo'ling)

To'g'ri, daftarlarni oching va darsning mavzusini "Fraktsiyani natural songa bo'lish" deb yozing.

Nega bu mavzu yangi ko'rinishga ega, chunki siz fraktsiyalarni qanday almashishni bilasizmi? (Yangi usul kerak)

To'g'ri. Bugun biz kasrni natural songa bo'lishini soddalashtiradigan texnikani yaratamiz.

III. Joyni va qiyinchilik sabablarini aniqlash.

Tugallangan operatsiyalarni tiklashni tashkil eting va (og'zaki va ramziy) joyni - qiyinchiliklar yuzaga kelgan qadamlar, harakatlar;
Talaba harakatlarining ishlatilgan usul (algoritm) bilan o'zaro bog'liqligini va tashqi nutqda qiyinchiliklarning sabablarini - ushbu turdagi boshlang'ich muammoni hal qilish uchun etarli bo'lmagan aniq bilim, ko'nikma yoki qobiliyatlarni belgilash.

O'quv jarayonini III bosqichda tashkil etish.

Qaysi vazifani bajarishingiz kerak edi? (Hisoblarning butun zanjirini qilmasdan, kasrni natural songa bo'ling).

Sizga nima qiyin bo'ldi? (Qisqa vaqt ichida tezda hal qilib bo'lmadi)

Bizning darsdagi maqsadimiz nima? (Kasrlarni natural songa bo'lishning tezkor usulini toping)

Sizga nima yordam beradi? (Fraktsiya bo'linishining allaqachon ma'lum qoidasi)

IV. Loyihani qiyinchiliksiz qurish.

Loyihaning maqsadini aniqlashtirish;
Usulni tanlash (aniqlashtirish);
Mablag'larni aniqlash (algoritm);
Maqsadga erishish uchun reja tuzish.

O'quv jarayonini IV bosqichda tashkil etish.

Keling, test topshirig'iga qaytaylik. Siz bo'lingan kasrlarni ajratish qoidasiga binoan bo'ldingizmi? (Ha)

Buning uchun natural sonni kasr bilan almashtiring? (Ha)

Sizningcha, qaysi bosqichni (yoki qadamlarni) o'tkazib yuborish mumkin?

(Qaror zanjiri kengashda ochiq:

Tahlil qiling va xulosa qiling. (1-qadam)

Agar javob bo'lmasa, unda savollarga javob bering.

Tabiiy bo'linish qayerga ketdi? (Maxfiylik)

Hisoblagich o'zgarganmi? (Yo'q)

Xo'sh, qanday qadamni "tashlab yuborish" mumkin? (1-qadam)

Kasrning maxrajini natural songa ko'paytiring.
Hisoblagich o'zgartirilmaydi.
Biz yangi fraksiyani olamiz.

V. Tugallangan loyihani amalga oshirish.

Etishmayotgan bilimlarni olishga qaratilgan tugallangan loyihani amalga oshirish uchun kommunikativ hamkorlikni tashkil etish;
Nutq va imo-ishoralarda (standartdan foydalangan holda) tuzilgan harakat rejimini o'rnatishni tashkil qiling;
Boshlang'ich muammoni hal qilishni tashkil qilish va qiyinchilikni engib o'tishni tuzatish;
Yangi bilimlarning umumiy mohiyatini tushuntirishni tashkil qiling.

V bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Endi sinov ishini yangi usulda tezda ishga tushiring.

Endi vazifani tezda bajara oldingizmi? (Ha)

Buni qanday qilganingizni tushuntiring? (Bolalar munozarasi)

Shunday qilib, biz yangi bilimlarga ega bo'ldik: kasrlarni natural songa bo'lish qoidasi.

Yaxshi! Buni juft-juft qilib gapiring.

Keyin bitta talaba sinf bilan suhbatlashadi. Biz qoida-algoritmni og'zaki va taxtada standart shaklida o'rnatamiz.

Endi harflarni kiriting va bizning qoidamizning formulasini yozing.

Talaba qoida bo'yicha doskaga yozadi: kasrni natural songa bo'lganda, sonni shu raqamga ko'paytirib, hisoblagichni bir xil qoldirishingiz mumkin.

(Har kim formulani daftarga yozadi).

Va endi yana bir bor javobga alohida e'tibor berib, test topshirig'ining echimi zanjirini tahlil qiling. Siz nima qildingiz? (15 kasrning hisoblagichi 3 raqamiga bo'lindi (qisqartirildi))

Bu qanday raqam? (Tabiiy, bo'linuvchi)

Xo'sh, yana qanday qilib kasrni natural songa bo'lish mumkin? (Tekshiring: agar kasrni hisoblovchisi ushbu natural songa bo'linsa, u holda bu sonni shu raqamga bo'lish mumkin, natijani yangi kasrning hisoblagichiga yozing va denominatorni bir xil qoldiring)

Ushbu usulni formula sifatida yozing. (Talaba doskaga qoidani yozadi. Har kim formulani daftarga yozadi.)

Birinchi usulga qaytaylik. Siz undan foydalanishingiz mumkin, agar a: n? (Ha, bu keng tarqalgan usul)

Ikkinchi usul qachon foydalanish uchun qulay? (Agar kasrni hisoblovchisi natural songa qoldiqsiz bo'lganda)

VI. Tashqi nutqda talaffuz bilan birlashma.

Tashqi nutqda (oldingi, juft yoki guruh shaklida) talaffuz qilishda odatiy muammolarni hal qilishda bolalar tomonidan yangi harakat usullarini o'zlashtirishni tashkil qilish.

VI bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Yangi usulda hisoblab chiqilgan:

№ 363 (a; g) - qoidani aytib, bortda chiqish.
№ 363 (d; f) - namunaviy tekshirish bilan juftlikda.

VII. Standartga muvofiq o'z-o'zini sinash bilan mustaqil ish.

Talabalarning yangi ish uslubida topshiriqlarni mustaqil bajarishini tashkil qilish;
Standart bilan taqqoslash asosida o'z-o'zini sinab ko'rishni tashkil qiling;
Mustaqil ish natijalariga asoslanib, yangi harakat usulini o'zlashtirish haqida fikr yuritishni tashkil eting.

VII bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Yangi usulda hisoblab chiqilgan:

Talabalar standartni tekshiradilar, to'g'ri bajarilishini belgilaydilar. Xatolarning sabablari tahlil qilinadi va xatolar tuzatiladi.

O'qituvchi xato qilgan talabalardan so'raydi, sababi nima?

Ushbu bosqichda har bir talaba o'z ishlarini mustaqil ravishda tekshirishi muhimdir.

8) vazifani hal qilishdan oldin darslikdan namunani ko'rib chiqing:

IX. Darsda o'quv faoliyatini aks ettirish.

Darsda o'rganilgan yangi tarkibni mahkamlashni tashkil eting;
Talabalarga ma'lum bo'lgan talablarni bajarish nuqtai nazaridan o'quv faoliyatini reflektiv tahlilini tashkil etish;
Darsda talabalarning o'z faoliyatini baholashni tashkil etish;
Darsda hal etilmagan qiyinchiliklarni kelgusidagi ta'lim faoliyati yo'nalishi sifatida tashkil etish;
Uy vazifasini muhokama qilish va yozishni tashkil qiling.

IX bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish.

Bolalar, bugun qanday yangi bilimlarni kashf etdingiz? (Sodda kasrni natural songa bo'lishni o'rgandim)

Umumiy usulni shakllantirish. (Aytishadi)

Qanday qilib va \u200b\u200bqanday hollarda men hali ham undan foydalanishim mumkin? (Aytishadi)

Yangi usulning afzalligi nimada?

Biz dars maqsadiga erishdikmi? (Ha)

Maqsadingizga erishish uchun qanday bilimlardan foydalangansiz? (Aytishadi)

Siz muvaffaqiyatga erishdingizmi?

Qanday qiyinchiliklar bor edi?

Oddiy kasr raqamlari birinchi navbatda 5-sinfda maktab o'quvchilarini uchratadi va ularni hayoti davomida kuzatib boradi, chunki kundalik hayotda ob'ektni umuman emas, balki alohida-alohida ko'rib chiqish yoki undan foydalanish talab etiladi. Ushbu mavzuni o'rganishning boshlanishi bu ulush. Aktsiyalar teng qismdir.u yoki bu mavzu qanday qismlarga bo'linganligi. Axir, har doim ham mahsulotni o'lchov sonini, qismlarini yoki ulushlarini ifodalash, aytish kerak, har doim ham imkoni yo'q. "Yiqilish" fe'lidan shakllangan - qismlarga bo'linib, arabcha ildizlarga ega bo'lib, VIII asrda rus tilida "fraktsiya" so'zi paydo bo'ldi.

Fraktsion iboralar allaqachon matematikaning eng qiyin qismi deb hisoblangan. XVII asrda matematikada birinchi darsliklar paydo bo'lganida, ular "singan raqamlar" deb nomlangan, bu odamlar tushunchasida namoyish etish juda qiyin edi.

Uning qismlari gorizontal chiziq bilan ajratilgan oddiy kasrli qoldiqlarning zamonaviy ko'rinishiga birinchi marta Fibonachchi - Pizadan Leonardo hissa qo'shgan. Uning asarlari 1202 yilda yozilgan. Ammo ushbu maqolaning maqsadi turli fraktsiyalar bilan aralash fraktsiyalarning ko'payishi qanday sodir bo'lishini o'quvchiga sodda va aniq tushuntirishdir.

Turli denominatorlar bilan ko'paytiriladigan kasrlar

Dastlab aniqlashga arziydi kasrlarning turlari:

to'g'ri;
noto'g'ri
aralash.

Keyinchalik, kasr sonlarning bir xil denominator bilan ko'payishi qanday sodir bo'lganligini eslab qolishingiz kerak. Ushbu jarayonning qoidasi mustaqil ravishda osonlikcha tuzilishi mumkin: oddiy fraktsiyalarni bir xil denominatorlar bilan ko'paytirishning natijasi fraktsiya ifodasidir, ularning soni hisoblovchilarning mahsuloti bo'lib, denominator bu fraktsiyalarning maxrajlari mahsulotidir. Ya'ni, aslida, yangi denominator mavjud bo'lganlardan birining kvadratidir.

Ko'paytirganda turli denominatorlar bilan kasrlar ikki yoki undan ko'p omillar uchun qoida o'zgarmaydi:

a /b * v /d = a * c / b * d.

Faqatgina farq shundaki, kasr chizig'i ostidagi shakllangan raqam turli raqamlarning hosilasi bo'ladi va, albatta, uni bitta sonli ifoda kvadratiga chaqirishning iloji yo'q.

Misollardan foydalanib, turli denominatorlar bilan kasrlarni ko'paytirishni ko'rib chiqishga arziydi.

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Misollar ichida kasrli ifodalarni kamaytirish usullari qo'llaniladi. Hisoblagich sonini faqat maxraj raqamlari bilan qisqartirish mumkin, kasr chizig'idan yuqori yoki uning ostidagi qo'shni omillarni kamaytirish mumkin emas.

Oddiy kasr sonlari bilan bir qatorda aralash kasrlar tushunchasi mavjud. Aralash raqam butun va kasr qismdan iborat, ya'ni bu raqamlarning yig'indisi:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Qanday qilib ko'paytirish

Ko'rib chiqish uchun bir nechta misollar taklif etiladi.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Misollar tomonidan songa ko'payish qo'llaniladi oddiy kasr qismi, ushbu amal uchun qoidani quyidagi formula bilan yozing:

a * b /v = a * b /v.

Aslida, bunday mahsulot bir xil kasrli qoldiqlarning yig'indisidir va atamalar soni bu natural sonni ko'rsatadi. Maxsus holat:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Raqamni kasrli qoldiqqa ko'paytirish uchun yana bir echim bor. Taqdimotchini ushbu raqamga bo'ling:

d * e /f = e /f: d.

Mahsulotni natural songa bo'lmasdan qoldiqsiz yoki, ular aytganidek, to'liq bo'lganda, ushbu texnikani qo'llash foydalidir.

Aralashgan raqamlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring va mahsulotni avval tasvirlangan usulda oling:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ushbu misolda aralash fraktsiyani noto'g'ri tarkibga qo'shish usuli ishlatilgan, uni umumiy formula sifatida ham ko'rsatish mumkin:

a bv = a * b + c / c, bu erda yangi kasrning aniqlovchisi butun sonni denominator bilan ko'paytirish va uni dastlabki fraktsiya qoldig'ining hisoblagichiga qo'shish orqali hosil bo'ladi, maxraj esa avvalgidek qoladi.

Ushbu jarayon teskari yo'nalishda ishlaydi. Butun sonni va kasrning qolgan qismini ajratib ko'rsatish uchun, noto'g'ri kasrning raqamini uning "burchagi" ga bo'lish kerak.

Ko'paytirilmaydigan kasrlar an'anaviy tarzda ishlab chiqarilgan. Yozuv bitta kasr chizig'i ostida ketganda, kerak bo'lganda sonlarni shu usul bilan kamaytirish uchun kasrlarni kamaytirish kerak va natijani hisoblash osonroq bo'ladi.

Internetda turli xil dasturlardagi murakkab matematik muammolarni echishda ko'plab yordamchilar mavjud. Bunday xizmatlarning etarli soni fraktsiyalarni turli xil raqamlar bilan ko'paytirishni hisoblashda yordam beradi - fraktsiyalarni hisoblash uchun onlayn kalkulyator deb ataladi. Ular nafaqat ko'paytiribgina qolmay, balki boshqa oddiy arifmetik amallarni oddiy kasrlar va aralash raqamlar bilan ham bajara oladilar. U bilan ishlash qiyin emas, sayt sahifasida tegishli maydonlar to'ldiriladi, matematik harakatlar belgisi tanlanadi va "hisoblash" bosiladi. Dastur avtomatik ravishda hisoblanadi.

Fraktsiyalar sonlari bilan arifmetik operatsiyalar mavzusi o'rta va katta maktab o'quvchilari mashg'ulotlarida dolzarbdir. O'rta maktabda ular endi eng oddiy turlarni ko'rib chiqmaydilar, ammo butun kasrli iboralar, lekin transformatsiya qoidalari va ilgari olingan hisob-kitoblar haqidagi bilimlar asl shaklida qo'llaniladi. Puxta o'rganilgan asosiy bilimlar eng murakkab vazifalarni muvaffaqiyatli hal etishga to'liq ishonch beradi.

Xulosa qilib aytganda, Leo Tolstoyning so'zlarini iqtibos qilish mantiqiy bo'ladi, u shunday deb yozgan edi: "Inson - bu qism. Hisoblagichni ko'paytirish uchun, odamning o'ziga yarasha yutug'i bor, lekin har kim o'z maxrajini kamaytirishi mumkin - bu o'z-o'zini anglash fikri va shu pasayish bilan kamolotga erishish mumkin.

Fraktsiyalarni ko'paytirish va bo'lish.

Diqqat!
   Ushbu mavzu uchun qo'shimcha mavzular mavjud.
   Maxsus bo'lim 555-dagi materiallar.
   Kuchli "juda emas ..." bo'lganlar uchun.
   Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Ushbu operatsiya qo'shimchani olib tashlashdan ko'ra ancha yaxshi! Chunki bu osonroq. Sizga eslatib qo'yaman: kasrni kasr bilan ko'paytirish uchun siz hisoblagichlarni ko'paytirishingiz kerak (bu natijaning hisoblagichi bo'ladi) va denominatorlar (bu maxraj bo'ladi). Ya'ni:

Masalan:

Hammasi juda oddiy.. Iltimos, umumiy mazhabni qidirmang! Bu erda sizga kerak emas ...

Biror qismini kasrga bo'lish uchun siz burishingiz kerak ikkinchi(bu juda muhim!) kasrni qo'shing va ularni ko'paytiring, masalan:

Masalan:

Agar siz butun sonlar va kasrlar bilan ko'payish yoki bo'linishga duch kelsangiz - yaxshi. Bundan tashqari, biz butun sondan birlik bilan birlikni kasr qilamiz va o'ting! Masalan:

O'rta maktabda siz ko'pincha uch qavatli (yoki hatto to'rt qavatli!) Kasrlar bilan kurashishingiz kerak. Masalan:

Qanday qilib bu fraktsiyani munosib ko'rinishga keltirish kerak? Ha, juda oson! Bo'linishni ikki nuqta orqali ishlating:

Ammo bo'linish tartibi haqida unutmang! Ko'paytirishdan farqli o'laroq, bu erda juda muhimdir! Albatta, biz 4: 2 yoki 2: 4 ni chalkashtirmaymiz. Ammo uch qavatli kasrda xato qilish oson. E'tibor bering, masalan:

Birinchi holda (chapdagi ifoda):

Ikkinchisida (o'ngdagi ifoda):

Farqni his qilyapsizmi? 4 va 1/9!

Va bo'linish tartibini nima belgilaydi? Yoki qavslar yoki gorizontal chiziqlar uzunligi. Ko'zni rivojlantiring. Agar qavs yoki chiziqlar bo'lmasa, masalan:

keyin bo'ling, ko'paytiring tartibda, chapdan o'ngga!

Va yana bir juda oddiy va muhim hiyla. Darajasi bor harakatlarda u qanchalik foydali! Jihozni biron bir qismga bo'ling, masalan, 13/15:

Fraksiya teskari tomonga burildi! Va bu har doim bo'ladi. Har qanday kasrga 1 ni bo'lganda, natija bir xil fraktsiya bo'ladi, faqat teskari.

Bu kasrlar bilan barcha harakatlar. Bu juda oddiy, ammo bu etarli miqdordagi xatolarga yo'l qo'yadi. Amaliy maslahatlarga e'tibor bering, shunda kamroq (xatolar) bo'ladi!

Amaliy maslahatlar:

1. Fraktsiya ifodalari bilan ishlashda eng muhim narsa aniqlik va ehtiyotkorlikdir! Bu oddiy so'zlar emas, yaxshi tilaklar emas! Bu juda zarur! Imtihon bo'yicha barcha hisob-kitoblarni aniq maqsadga yo'naltirilgan va aniq vazifa sifatida bajaring. Xayolda hisoblashda chalkashib ketishdan ko'ra, ikkita qoralama chiziqni yozgan ma'qul.

2. Turli xil kasrlar mavjud bo'lgan misollarda oddiy kasrlarga o'tamiz.

3. Barcha kasrlar to'xtash joyigacha kamayadi.

4. Ikki nuqta orqali bo'linishni ishlatib, ko'p qavatli kasrli iboralar odatiy holga keltiriladi (biz bo'linish tartibiga amal qilamiz!).

5. Bitta kasrni aylantirib, ongdagi har bir bo'lakka bo'linish.

Bu erda siz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifalar. Javoblar barcha topshiriqlardan keyin beriladi. Ushbu mavzu bo'yicha materiallardan va amaliy maslahatlardan foydalaning. To'g'ri echishingiz mumkin bo'lgan qancha misollarni hisoblang. Birinchi marta! Kalkulyator yo'q! Va to'g'ri xulosalar chiqaring ...

Esda tuting - to'g'ri javob, ikkinchi (ayniqsa uchinchi) vaqtdan olindi - hisoblanmaydi! Bu og'ir hayot.

Shunday qilib imtihon rejimida qaror qiling ! Aytgancha, bu imtihonga tayyorgarlik. Biz misolni hal qilamiz, tekshiramiz, quyidagilarni hal qilamiz. Biz hamma narsani hal qildik - yana birinchisidan ikkinchisiga qadar tekshirildi. Va faqat keyin javoblarga qarang.

Hisoblang:

Siz qaror qildingizmi?

Biz sizning savolingizga mos javoblarni qidirmoqdamiz. Men qasddan ularni vasvasadan uzoqroq, shunchaki gapirish uchun yozdim ... Mana, javoblar nuqta-vergul bilan yozilgan.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Va endi xulosa qilamiz. Agar hamma narsa ishlagan bo'lsa - siz uchun baxtli! Elementlarni kasrlar bilan hisoblash - bu sizning muammoingiz emas! Siz jiddiyroq ishlarni qilishingiz mumkin. Agar yo "q bo" lsa...

Shunday qilib, sizda ikkita muammoning bittasi bor. Yoki ikkalasini ham birdaniga.) Ma'lumotning etishmasligi va (yoki) beparvolik. Ammo ... Bu hal qilinishi mumkin muammolar.

Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...

Aytgancha, siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlarim bor.)

Siz misollar yordamida mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tez tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

Funktsiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.