Xuddi shu asos bilan kasr darajalarini qo'shish. "Ko'paytirish va bo'lish" darsi

Kirish darajasi

Darajasi va xususiyatlari. To'liq qo'llanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ularni qayerda foydali deb bilasiz? Nega ularni o'rganishga vaqt sarflashingiz kerak?

Darajalar, ularning nima uchun kerakligi va o'zingizning bilimlaringizni kundalik hayotda qanday ishlatish haqida hamma narsani o'rganish uchun ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni imtihon yoki imtihonni muvaffaqiyatli topshirishga va orzu qilgan universitetingizga kirishga yaqinlashtiradi.

Ketaylik ... (ketamiz!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga abracadabra-ni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL + F5 (Windows-da) yoki Cmd + R (Mac-da) -ni bosing.

Boshlang'ich daraja

Quvvatni oshirish - qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish bilan bir xil matematik operatsiya.

Endi men hamma narsani juda sodda misollar yordamida tushuntirib beraman. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni ochib beradi.

Keling, qo'shishdan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz hamma narsani allaqachon bilasiz: bizda sakkizta bor. Har birida ikkita shisha kola bor. Umumiy kola nechta? O'ng tomonda - 16 ta shisha.

Endi ko'payish.

Kola bilan bir xil misol boshqa yo'l bilan yozilishi mumkin:. Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Birinchidan, ular ba'zi naqshlarni payqashadi va keyin ularni tezroq "hisoblash" usulini o'ylaydilar. Bizning holatlarimizda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola butilkalari borligini va ko'payish deb ataladigan texnikani ishlab chiqarishganini payqashdi. Qabul qiling, bu oson va tezroq deb hisoblanadi.

Shunday qilib, tez, oson va xatosiz hisoblash uchun shunchaki eslash kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Ammo ...

Mana, ko'paytirish jadvali. Uni takrorlang.

Va yana bir go'zal:

Va dangasa matematiklar yana qanday hiyla-nayrang usullarini o'ylab topishdi? O'ng - eksponentatsiya.

Bir kuchni kuchga ko'tarish

Agar siz sonni besh marta ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, unda matematiklar bu raqamni beshinchi kuchga ko'tarishingiz kerakligini ta'kidlaydilar. Masalan,. Matematiklar ikki-beshinchi daraja bu ekanligini eslashadi. Va ular bunday muammolarni ongda hal qiladilar - tezroq, osonroq va xatosiz.

Buning uchun shunchaki raqamlar darajasida jadvalda ta'kidlangan narsani eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Aytgancha, nega ikkinchi daraja deyiladi kvadrati raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nimani anglatadi? Juda yaxshi savol. Endi ikkala kvadrat ham, kub ham bo'ladi.

1-hayot misoli

Kvadratdan yoki raqamning ikkinchi kuchidan boshlaylik.

Bir metrni bir metrga o'lchagan kvadrat hovuzni tasavvur qiling. Hovuz sizning mamlakatingiz uyida. Issiqlik va chindan ham suzishni xohlaydi. Ammo ... basseyn tubsiz! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan qoplash kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuzning pastki qismini aniqlashingiz kerak.

Barmog'ingizni tekkizib, hovuz tubi metrga kubometrdan iboratligini shunchaki hisoblashingiz mumkin. Agar siz plitka o'lchagichni metrga o'rnatgan bo'lsangiz, sizga dona kerak bo'ladi. Bu juda oson ... Ammo bunday plitkani qaerda ko'rdingiz? Plitka har santimetrga qaraganda ko'proq ko'rinadi va keyin siz "hisoblash uchun barmoq" bilan qiynalasiz. Keyin ko'payishingiz kerak. Shunday qilib, basseyn tubining bir tomoniga biz plitkalarni (bo'laklarni), ikkinchisida esa plitkalarni joylashtiramiz. Ko'paytirib, siz plitkalar olasiz ().

Hovuzning pastki qismini aniqlash uchun biz o'zimiz bir xil sonni ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nimani anglatadi? Xuddi shu son ko'paytirilganligi sababli “eksponentatsiya” texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda ikkita raqam bo'lsa, ularni ko'paytirish yoki kuchga oshirish uchun barchasi bir xil bo'ladi. Ammo agar sizda ularning soni ko'p bo'lsa, quvvatni oshirish ancha oson va hisob-kitoblarda kam xatolar bo'ladi. FOYDALANISH uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, ikkinchi darajadagi o'ttiz (() bo'ladi. Yoki siz o'ttizni kvadratga aylantirasiz deb aytishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, raqamning ikkinchi kuchi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, bu har doim har qanday raqamning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi kuchining tasviridir.

Hayotiy misol № 2

Mana sizga vazifa, shaxmat taxtasida sonning kvadratidan foydalanib qancha kvadrat borligini hisoblash ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida. Ularning sonini hisoblash uchun sizga sakkiz baravar sakkiz yoki ... kerak bo'lsa, shaxmat taxtasi yon tomonli kvadrat bo'lsa, sakkizga to'rtta bo'lishingiz mumkin. Bu hujayralar paydo bo'ladi. () Shunday qilib?

Hayot misoli 3

Endi kub yoki raqamning uchinchi kuchi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini aniqlashingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometrda o'lchanadi. Kutilmaganda, to'g'rimi?) Hovuzni chizib oling: pastki qismi o'lchamlari bir metr va chuqurligi bir metrga teng va sizning hovuzingizga qancha kub kub metr kirishini hisoblashga harakat qiling.

To'g'ri yo'naltiring va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt ... yigirma ikki, yigirma uch ... Bu qancha ishladi? Yo'qotilgan emas Barmoqni sanash qiyinmi? Bu shunday! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligi, kengligi va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqadilar. Bizning holatda, hovuzning hajmi kubiklarga teng bo'ladi ... Bu osonroqmi?

Endi tasavvur qiling, agar matematiklar bu ishni soddalashtirgan bo'lsa, qanday qilib dangasa va ayyor ekan. Ular hamma narsani bitta harakatga qisqartirishdi. Ular uzunlik, kenglik va balandlikning tengligini va bir xil sonning o'zi ko'paytirilishini payqashdi ... Va bu nimani anglatadi? Bu sizning darajangizdan foydalanishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, siz bir vaqtlar barmoq deb o'ylagan narsalaringiz bitta harakatda bajariladi: kubdagi uchtasi tengdir. Bu shunday yozilgan:.

Faqatgina qoladi daraja jadvalini eslang. Agar siz, shubhasiz, matematiklar singari dangasa va ayyor bo'lsangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yaxshi ko'rsangiz, barmoq bilan sanashni davom ettirishingiz mumkin.

Xullas, sizni darajalarni nogironlar va ularning hayotiy muammolarini hal qilish uchun fokuslar kashf etganiga va sizni muammolarni keltirib chiqarmaslik uchun yaratganiga ishontirish uchun, bu erda hayotdan yana ikkita misollar.

Hayotiy misol № 4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida siz har millionda yana million topasiz. Ya'ni, har millioningiz har yili yil boshida ikki baravar ko'payadi. Bir necha yil ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirsangiz va "barmoq bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va ... ahmoqsiz. Ammo, ehtimol siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqlli odamsiz! Shunday qilib, birinchi yilda - ikki marta ikki marta ... ikkinchi yili - nima bo'ldi, yana ikkita, uchinchi yilda ... To'xtang! Siz raqam bir marta ko'payishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkitadan beshinchi daraja - million! Endi tasavvur qilingki, sizda raqobat bor va uni tezroq qo'lga kiritganlar millionlarni yutib olishadi ... Raqamlarning darajasini esdan chiqarmaslik kerak, nima deb o'ylaysiz?

Hayotiy misol № 5

Sizda million bor. Har yilning boshida siz har million uchun yana ikkita daromad olasiz. Ajoyib, to'g'rimi? Har million uch baravar. Bir yilda qancha pul topasiz? Hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, so'ngra natijasi boshqasiga ... Zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushungansiz: o'z-o'zidan uch baravar ko'paygan. To'rtinchi daraja millionga teng. To'rtinchi darajadagi uchta narsa yoki ekanligini esdan chiqarmaslik kerak.

Endi bilasizki, kuchni kuchga ko'tarib, hayotingizni osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilish mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini batafsilroq ko'rib chiqamiz.

Shartlar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, yangi boshlanuvchilar uchun tushunchalarni aniqlaylik. Nima deb o'ylaysan, eksponent nima? Bu juda oddiy - bu raqam kuchining "tepasida" bo'lgan raqam. Ilmiy emas, lekin tushunarli va eslab qolish oson ...

Xo'sh, ayni paytda, bu darajaning bunday asosi? Bundan ham sodda, tagida, tagida joylashgan raqam.

Mana bu sadoqat uchun chizilgan.

Xo'sh, umuman olganda, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" darajasi va ko'rsatkich "" darajasi bilan "darajasida" o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Tabiiy ko'rsatkich bilan raqam darajasi

Ehtimol siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent tabiiy sondir. Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Natural raqamlar - bu elementlarni topshirganda hisobda ishlatiladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Ammo ob'ektlarni ko'rib chiqayotganda aytmaymiz: "minus besh", "minus olti", "minus etti". Shuningdek, biz: "uchdan biri" yoki "o'ninchi nolinchi beshinchi nuqta" deb aytmaymiz. Bu tabiiy sonlar emas. Va qanday raqamlar deb o'ylaysiz?

"Minus besh", "minus olti", "minus yetti" kabi raqamlar nazarda tutiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi bo'lgan raqamlarni (ya'ni, minus belgisi bilan olingan) va raqamni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish juda oson - bu hech narsa bo'lmaganda. Va salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rubl bo'lsa, demak siz operatorning rubliga qarzdor ekanligingizni anglatadi.

Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'ldi? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin, ota-bobolarimiz uzunligi, vazni, maydoni va boshqalarni o'lchash uchun tabiiy sonlar yo'qligini aniqladilar. Va ular kelishdi ratsional sonlar... Qiziq, to'g'rimi?

Irrasional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz o'nlik. Masalan, aylananing aylanasi uning diametriga bo'linsa, irratsional son olinadi.

Xulosa:

Ko'rsatkichi natural son bo'lgan (ya'ni, butun va musbat) daraja tushunchasini aniqlaymiz.

Birinchi darajadagi har qanday raqam o'ziga tengdir:
Raqamni kvadratga bo'lish, uni o'zi bilan ko'paytirishni anglatadi:
Raqamni kubga to'plash, uni uch baravar ko'paytirishni anglatadi:

Ta'rif Raqamni tabiiy kuchga oshirish bu raqamni bir martaga ko'paytirish demakdir:
.

Darajasi xususiyatlari

Bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Endi sizga ko'rsataman.

Ko'ramiz: bu nima va ?

Ta'rif bo'yicha:

Hammasi bo'lib nechta omillar mavjud?

Juda sodda: biz omillarga omillar qo'shdik, shuning uchun biz omillarni oldik.

Ammo ta'rifiga ko'ra, bu indikatorli raqamning darajasi, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Misol: Iborani soddalashtiring.

Qaror:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Qaror: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda albatta bir xil asos bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni taglik bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

faqat darajalar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda siz buni yozolmaysiz.

2. shunday raqam darajasi

Oldingi mulk singari, biz daraja ta'rifiga murojaat qilamiz:

Ko'rinib turibdiki, ifoda bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning ith kuchi:

Aslida, bu "ko'rsatkichni qavslardan tashqariga chiqarish" deb nomlanishi mumkin. Ammo buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'payish formulalarini eslang: biz necha marta yozishni xohladik?

Ammo bu haqiqat emas.

Salbiy asos darajasi

Shu paytgacha biz eksponent nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin nima asos bo'lishi kerak?

Bilan darajasi jismoniy ko'rsatkich baza bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, har qanday raqamni ijobiy, salbiy yoki hatto bo'lsin, bir-biriga ko'paytiramiz.

O'ylab ko'ring, qanday belgilarda ("" yoki "") musbat va manfiy darajalar darajalari bo'ladi?

Masalan, raqam ijobiymi yoki manfiymi? Xo'sh? ? Birinchisi bilan hamma narsa ravshan: biz qancha ijobiy raqamlarni bir-birimizga ko'paytirmasligimizdan qat'iy nazar, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy bilan biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minusdan minusgacha ortiqcha". Ya'ni, yoki. Ammo, agar ko'paytirsak, natijasi aniq bo'ladi.

Quyidagi iboralar qaysi xarakterga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz buni qildingizmi?

Javoblar quyidagicha: Birinchi to'rtta misolda umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Faqat bazaga va eksponentga qarang va tegishli qoidalarni qo'llang.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda) hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: asos nimadan iborat bo'lishining ahamiyati yo'q - daraja teng, demak natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, taglik noldan tashqari. Axir poydevor teng emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) unchalik oddiy emas!

6 ta o'quv misollari

Debriefing 6 misollar

Agar sakkizinchi darajaga e'tibor bermasangiz, biz bu erda nimani ko'ramiz? Biz 7-sinf dasturini eslaymiz. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirishning formulasi, ya'ni kvadratlarning farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu hisoblagich omillaridan biriga juda o'xshash, ammo nima noto'g'ri? Shartlar tartibida emas. Agar siz ularni almashtirsangiz, siz qoidani qo'llashingiz mumkin.

Ammo buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'lib chiqadi: tenglik darajasi bizga bu erda yordam beradi.

Shartlar ajoyib tarzda o'zgartirildi. Ushbu "hodisa" har qanday ifodaga nisbatan teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni bemalol o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo esdan chiqarmaslik kerak: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Misolga qaytish:

Va yana formula:

Butun ularga qarama-qarshi bo'lgan tabiiy raqamlarni (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va raqamni chaqiramiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa oldingi bo'limda bo'lgani kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. Unga teng bo'lgan ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nol darajadagi har qanday raqam bitta ga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Bir darajani poydevor bilan ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz sonni ko'paytirdik va oldingidek bo'ldik. Va hech narsa o'zgarmasligi uchun siz qancha raqamga ko'paytirishingiz kerak? To'g'ri, yoqilgan Bu degani.

Buni ixtiyoriy raqam bilan qilishimiz mumkin:

Qoidani takrorlang:

Nol darajadagi har qanday raqam bitta ga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham - bu raqam (asos sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - nolni necha marta ko'paytirsangiz ham, siz baribir nolga ega bo'lasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajadagi har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nima? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'taramiz.

Keling, yana davom etamiz. Natural sonlar va raqamlardan tashqari, butun sonlar ham salbiy raqamlarni o'z ichiga oladi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun biz buni oxirgi marta bajaramiz: ba'zi normal sonni manfiy darajaga bir xil ko'paytiramiz:

Bu erda istalgan narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz hosil bo'lgan qoidani o'zboshimchalik darajasigacha kengaytiramiz:

Shunday qilib, biz qoidani tuzamiz:

Raqam bir xil songa musbat darajada teskari bo'ladi. Ammo ayni paytda baza bo'sh bo'lolmaydi: (ajratish mumkin emasligi sababli).

Xulosa qilish uchun:

I. ifoda ishda aniqlanmagan. Agar bo'lsa.

II. Nol darajadagi har qanday raqam bitta biriga teng:.

III. Nolga teng bo'lmagan son ijobiy sonda bir xil songa manfiy ravishda qaytariladi:.

Mustaqil echim uchun topshiriqlar:

Va odatdagidek, mustaqil echim uchun misollar:

Mustaqil echim uchun topshiriqlarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar dahshatli, ammo imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni hal qiling yoki echimini topolmasangiz, ularning echimini tahlil qiling va imtihonda ular bilan qanday osonlikcha kurashishni o'rganasiz!

Biz eksponent sifatida "mos" raqamlar doirasini kengaytirishda davom etamiz.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, qaerda va butun sonda, bundan tashqari.

Nima ekanligini tushunish uchun Fraksiya darajasi, kasrni ko'rib chiqing:

Tenglamaning ikkala tomonini kuchga oshiring:

Endi qoidani eslang "Daraja darajasi":

Quvvat olish uchun qanday raqamni olish kerak?

Ushbu shakllantirish darajaning ildizini aniqlashdir.

Eslatib o'taman: sonning () kuchining n- darajali ildizi - kuchga ko'tarilganda teng bo'lgan son.

Ya'ni, n-darajaning ildizi darajaga ko'tarilish uchun teskari operatsiya hisoblanadi:.

Shunga o'xshaydi. Shubhasiz, ushbu aniq ishni kengaytirish mumkin:.

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javob "daraja darajasi" qoidasi yordamida osonlik bilan olinadi:

Ammo baza har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan ajratib bo'lmaydi.

Hech narsa!

Biz qoidani eslaymiz: teng kuchga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqam. Ya'ni, manfiy sonlardan teng sonli ildizlarni olish mumkin emas!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni tenglashtiruvchi bilan kasr kuchiga ko'tarish mumkin emas, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo muammo bor.

Bu raqam boshqa, qisqartiriladigan kasrlar kabi ifodalanishi mumkin, masalan yoki.

Va u mavjud, ammo mavjud emasligi ayon bo'ladi, ammo bular bir xil raqamning atigi ikki xil yozuvidir.

Yoki boshqa bir misol: bir marta, keyin siz yozishingiz mumkin. Ammo agar biz indikatorni boshqacha tarzda yozsak va yana bezovtalikka duch kelsak: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun biz o'ylaymiz faqat musbat daraja asosi.

Shunday qilib, agar:

- natural son;
Butun son;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan darajalar ildizlar bilan ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

Trening uchun 5 ta misol

Trening uchun 5 ta misolni tahlil qilish

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi tahlil qilamiz irratsional indikator bilan daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari, ratsional ko'rsatkich bilan daraja uchun bir xil, bundan mustasno

Darhaqiqat, irratsional sonlar kasrlar sifatida ifodalanmaydigan raqamlardir, ular qaerda va butun sonda (ya'ni, irratsional sonlar ratsional holatdan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Tabiiy, integral va ratsional ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganayotganda, har safar o'ziga xos "tasvir", "analogiya" yoki tavsifni ko'proq tanish ma'noda yaratdik.

Masalan, tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan daraja bir necha bor o'z-o'zidan ko'paytiriladigan raqamdir;

...raqam nolgacha - bu, avvalgidek, bir marta ko'paytiriladigan raqam, ya'ni u hali ko'paytirila boshlangani yo'q, demak bu raqam hali paydo bo'lmagan - demak, natija faqat "raqam bo'shligi" ning bir turi, ya'ni raqam;

...manfiy butun son go'yo ma'lum bir “teskari jarayon” yuz bergani kabi, ya'ni son o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, lekin bo'lingan.

Aytgancha, fanda murakkab indikatorli daraja ko'pincha ishlatiladi, ya'ni indikator hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, bu yangi tushunchalarni tushunish uchun siz institutda imkoniyatga ega bo'lasiz.

Qaerga borishingizni ishonchingiz komil! (agar siz bunday misollarni hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Eritmalar tahlili:

1. darajani darajaga ko'tarishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi indikatorga qarang. U sizga biron bir narsani eslatadimi? Kvadratlar farqining qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Bunday holda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Biz eksponentlardagi kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkitomonlama ham, ikkalasi ham oddiy. Masalan olamiz:

Javob: 16

3. Maxsus narsa yo'q, darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llang:

QO'ShIMChA TARIX

Darajani aniqlash

Bir daraja bu shaklning ifodasidir:, bu erda:

— daraja asosi;
- eksponent.

Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Raqamni tabiiy kuchga oshirish n bu sonni bir martaga ko'paytirish demakdir:

Butun son ko'rsatkichi darajasi (0, ± 1, ± 2, ...)

Agar eksponent bo'lsa butun ijobiy raqam:

Erektsiya nol darajagacha:

Ifoda noaniq, chunki bir tomondan, bu har qanday darajada, ikkinchi tomondan, n-darajaga qadar har qanday raqam bu.

Agar eksponent bo'lsa butun salbiy raqam:

(ajratish mumkin emasligi sababli).

Yana bir marta nollar haqida: ifoda ishda aniqlanmagan. Agar bo'lsa.

Misollar:

Ratsional ko'rsatkich bilan daraja

- natural son;
Butun son;

Misollar:

Darajasi xususiyatlari

Muammoni hal qilishni osonlashtirish uchun keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan kelgan? Biz ularni isbotlaymiz.

Ko'ramiz: nima va?

Ta'rif bo'yicha:

Shunday qilib, ushbu iboraning o'ng tomonida biz quyidagi mahsulotni olamiz:

Ammo ta'rifi bo'yicha, bu indikatorli raqam darajasi, ya'ni:

Buni isbotlash kerak edi.

Misol : Iborani soddalashtiring.

Qaror : .

Misol : Iborani soddalashtiring.

Qaror : Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda albattabir xil asos bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni taglik bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat darajalar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda men buni yozmasligim kerak.

Oldingi mulk singari, biz daraja ta'rifiga murojaat qilamiz:

Biz ushbu mahsulotni quyidagicha tartibga keltiramiz:

Ko'rinib turibdiki, ifoda bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning ith kuchi:

Aslida, bu "ko'rsatkichni qavslardan tashqariga chiqarish" deb nomlanishi mumkin. Ammo buni hech qachon umuman qila olmaysiz:!

Qisqartirilgan ko'payish formulalarini eslang: biz necha marta yozishni xohladik? Ammo bu haqiqat emas.

Salbiy asos bilan daraja.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik ko'rsatkich daraja. Lekin nima asos bo'lishi kerak? Bilan darajasi tabiiy ko'rsatkich baza bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, har qanday raqamni ijobiy, salbiy yoki hatto bo'lsin, bir-biriga ko'paytiramiz. O'ylab ko'ring, qanday belgilarda ("" yoki "") musbat va manfiy darajalar darajalari bo'ladi?

Masalan, raqam ijobiymi yoki manfiymi? Xo'sh? ?

Birinchisi bilan hamma narsa ravshan: biz qancha ijobiy raqamlarni bir-birimizga ko'paytirmasligimizdan qat'iy nazar, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy bilan biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minusdan minusgacha ortiqcha". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak, olamiz -.

Va cheksizlikka qadar: har bir keyingi ko'payish bilan belgi o'zgaradi. Siz bunday oddiy qoidalarni shakllantirishingiz mumkin:

hatto daraja, - raqam ijobiy.
Salbiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam manfiy.
Har qanday darajadagi musbat son bu musbat sondir.
Har qanday darajadagi nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qaysi xarakterga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz buni qildingizmi? Javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda umid qilamanki, hammasi aniqmi? Faqat bazaga va eksponentga qarang va tegishli qoidalarni qo'llang.

5-misolda) hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: asos nimadan iborat bo'lishining ahamiyati yo'q - daraja teng, demak natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, taglik noldan tashqari. Axir poydevor teng emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

Misol 6) unchalik oddiy emas. Bu erda siz kamroq ekanligini aniqlashingiz kerak: yoki? Agar eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni taglik noldan past bo'ladi. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalar ta'rifini yozamiz va ularni bir-birimizga ajratamiz, juftlarga bo'lamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin biz bir nechta misollarni hal qilamiz.

Ifodalarning qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Agar sakkizinchi darajaga e'tibor bermasangiz, biz bu erda nimani ko'ramiz? Biz 7-sinf dasturini eslaymiz. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirishning formulasi, ya'ni kvadratlarning farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu hisoblagich omillaridan biriga juda o'xshash, ammo nima noto'g'ri? Shartlar tartibida emas. Agar ular o'zaro almashtirilgan bo'lsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'lib chiqadi: tenglik darajasi bizga bu erda yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi quyidagilar paydo bo'ldi:

Shartlar ajoyib tarzda o'zgartirildi. Ushbu "hodisa" har qanday ifodaga nisbatan teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni bemalol o'zgartirishimiz mumkin. Ammo esdan chiqarmaslik kerak: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!Biz bilan rad qilinishi mumkin bo'lgan bitta salbiy narsani almashtirib bo'lmaydi!

Misolga qaytish:

Va yana formula:

Shunday qilib, endi oxirgi qoida:

Buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: biz daraja tushunchasini ochib beramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi biz qavslarni ochamiz. Nechta xat olasiz? marta omillar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas. ko'payish: hammasi ko'paytiruvchisi bor edi. Ya'ni, bu ko'rsatkich bo'yicha raqam darajasi bilan belgilanadi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkich bilan daraja

O'rta darajadagi darajaga oid ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz irratsional indikator bilan darajani tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkich bilan daraja uchun bir xil, bundan tashqari, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasrlar sifatida ifodalanmaydigan raqamlardir, ular qaerda va ham butun sonlardir (ya'ni irratsional sonlar ratsional holatdan tashqari barcha haqiqiy sonlar).

Tabiiy, integral va ratsional ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganayotganda, har safar biz o'ziga xos "tasvir", "analogiya" yoki tavsifni ko'proq tanish ma'noda yaratdik. Masalan, tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan daraja bir necha bor o'z-o'zidan ko'paytiriladigan raqamdir; nol darajaga qadar bo'lgan raqam, xuddi bir marta ko'paytirilgan son, ya'ni u hali ko'paytirila boshlanmagan, demak bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan, shuning uchun natija faqat "raqamning bo'shligi" ning bir turi, ya'ni raqam; butun salbiy eksponent bilan daraja, go'yo ma'lum bir “teskari jarayon” sodir bo'lganga o'xshaydi, ya'ni son o'z-o'zidan ko'paytirilmaydi, balki bo'linadi.

Irratsional ko'rsatkich bilan darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli makonni tasavvur qilish qiyin bo'lgani kabi). Aksincha, bu matematiklar daraja tushunchasini sonlarning butun maydoniga yoyish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fanda murakkab indikatorli daraja ko'pincha ishlatiladi, ya'ni indikator hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, bu yangi tushunchalarni tushunish uchun siz institutda imkoniyatga ega bo'lasiz.

Shunday qilib, agar biz irratsional eksponentni ko'rsak nima qilamiz? Biz bor kuchimiz bilan undan xalos bo'lishga harakat qilmoqdamiz! :)

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Javoblar:

Kvadratlar farqining formulasini eslaymiz. Javob:.
Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkitasi ham, ikkalasi ham oddiy. Biz olamiz, masalan:.
Hech qanday maxsus narsa yo'q, darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llang:

Bo'limning qisqacha mazmuni va asosiy shakllari

Ilmiy darajasi Formaning ifodasi deyiladi:, bu erda:

Butun son ko'rsatkichi bilan daraja

ko'rsatkich ijobiy musbat butun son bo'lgan (ya'ni, butun va musbat).

Ratsional ko'rsatkich bilan daraja

daraja, indikator manfiy va kasr sonlar.

Irratsional ko'rsatkich bilan daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nlik kasr yoki ildiz bo'lgan kuch.

Darajasi xususiyatlari

Darajalarning xususiyatlari.

Salbiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
Salbiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam manfiy.
Har qanday darajadagi musbat son bu musbat sondir.
Nol har qanday darajaga teng.
Nol darajadagi har qanday raqam tengdir.

HOZIR YO'Q ...

Maqolani qanday yoqtirasiz? Quyidagi izohlarda yoqadimi yoki yo'qmi deb yozing.

Darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Ehtimol sizda bir nechta savol bor. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlarga omad tilaymiz!

So'nggi video darsimizda, ba'zi bir poydevor darajasi, bu daraja ko'rsatkichiga teng ravishda olingan poydevorning mahsuli bo'lgan ifodaning deb atalishini bilib oldik. Endi biz darajalarning ba'zi muhim xususiyatlari va operatsiyalarini o'rganamiz.

Masalan, bir xil asosga ega bo'lgan ikki xil darajani ko'paytiramiz:

Biz ushbu ishni to'liq hajmda taqdim etamiz:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ushbu iboraning ma'nosini hisoblab, biz 32 raqamini olamiz. Boshqa tomondan, xuddi shu misoldan ko'rinib turibdiki, 32 5 marta olingan bir xil bazaning (ikkita) mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin. Va, albatta, agar hisoblasangiz, unda:

Shunday qilib, biz quyidagicha ishonch bilan xulosa qilishimiz mumkin:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Shunga o'xshash qoida har qanday ko'rsatkichlar va har qanday sabablarga ko'ra muvaffaqiyatli ishlaydi. Darajani ko'paytirishning bu xususiyati asardagi o'zgarish paytida ifoda qiymatining saqlanib qolishi qoidasidan kelib chiqadi. Har qanday a asos uchun ikkita (a) x va (a) y ifodalarning mahsuloti a (x + y) ga teng bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bir xil asosga ega har qanday iboralarni yaratishda, birinchi va ikkinchi darajali ifodalarning darajalarini qo'shish orqali hosil bo'lgan monomial umumiy darajaga ega.

Taqdim etilgan qoida bir nechta iboralarni ko'paytirganda ham juda yaxshi ishlaydi. Asosiy shart shundaki, hamma uchun asoslar bir xil. Masalan:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Agar darajalar boshqacha bo'lsa, darajani qo'shish va haqiqatan ham ifoda qilishning ikkita elementi bilan har qanday hokimiyat qonuni bo'yicha birgalikdagi harakatlarni amalga oshirish mumkin emas.
Bizning videomiz ko'rsatib turibdiki, ko'paytirish va bo'lish jarayonlarining o'xshashligi tufayli mahsulotga darajani qo'shish qoidalari bo'linish tartibiga mukammal ravishda o'tkazildi. Ushbu misolni ko'rib chiqing:

Biz iborani so'zma-so'z o'zgartiramiz va to'la shaklga o'tkazamiz va dividend va bo'linuvchida bir xil elementlarni kamaytiramiz:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ushbu misolning yakuniy natijasi unchalik qiziq emas, chunki uni echish jarayonida ifodaning qiymati ikkitaga teng ekanligi ayon bo'ldi. Va aniq ikkinchi darajali ifodani birinchi darajadan chiqarib tashlash orqali aniqlanadi.

Ajratish darajasini aniqlash uchun bo'linish darajasini bo'linish darajasidan ajratish kerak. Qoida barcha qadriyatlar va barcha tabiiy darajalar uchun bir xil asosda ishlaydi. Xulosa shaklida bizda:

(a) x / (a) y \u003d (a) x - y

Bir xil asoslarni darajalar bilan bo'lish qoidasi nol darajani aniqlashni nazarda tutadi. Shubhasiz, quyidagi ibora shaklga ega:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Boshqa tomondan, agar biz bo'linishni vizual tarzda amalga oshirsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

(a) 2 / (a) 2 \u003d (a) (a) / (a) (a) \u003d 1

Parchaning barcha ko'rinadigan elementlarining qisqarishi bilan har doim 1/1 ifodasi olinadi, ya'ni bitta. Shu sababli, nol darajaga ko'tarilgan har qanday asos birlikka teng ekanligi odatda qabul qilinadi:

A qiymatidan qat'iy nazar.

Ammo 0 (har qanday ko'paytirish uchun berilgan qiymat hali ham 0) biron bir tarzda birlikka teng bo'lsa, bu bema'nilikdir, shuning uchun (0) 0 shaklining ifodasi (nol darajaga nol) shunchaki mantiqiy emas va formulaga (a) 0 \u003d 1 shart qo'shing: "agar a 0 ga teng bo'lmasa".

Mashqni hal qilaylik. Ifodaning qiymatini toping:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Baza hamma joyda bir xil va 34 ga teng bo'lganligi sababli, yakuniy qiymat darajaga ega bir xil bazaga ega bo'ladi (yuqoridagi qoidalarga muvofiq):

Boshqacha aytganda:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Javob: ifoda tengdir.

Shubhasiz, darajalar bilan raqamlarni boshqa miqdorlar kabi jamlash mumkin , belgilari bilan ularni birma-bir qo'shib.

Demak, 3 va b 2 ning yig'indisi 3 + b 2 dir.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 dir.

Ortiqliklar bir xil parametrlarga teng darajalar qo'shilishi yoki olib tashlanishi mumkin.

Shunday qilib, 2a 2 va 3a 2 yig'indisi 5a 2 ga teng.

Agar siz ikkita, a, uchta, yoki beshta kvadratlarni olsangiz, ravshan.

Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilariga qo'shimchadan iborat bo'lishi kerak.

Shunday qilib, a 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisi.

Shubhasiz, a va a kublari a kvadratining ikki baravariga teng emas, balki a kubining ikki baravariga teng emas.

3 b n va 3a 5 b 6 yig'indisi 3 b n + 3a 5 b 6 dir.

Ajratish darajalar qo'shimcha ravishda bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan tashqari, ushlab qolinadigan belgilar tegishli ravishda o'zgarishi kerak.

Yoki:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6

Darajani ko'paytirish

Darajali raqamlar boshqa miqdorlar singari, ularni ketma-ket yozib, ular orasida ko'paytirmasdan yoki ko'paytirilishi mumkin.

Shunday qilib, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasida 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.

Yoki:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Oxirgi misoldagi natijani bir xil parametrlarga qo'shib buyurtma berish mumkin.
Ifoda shaklini oladi: a 5 b 5 y 3.

Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchini) darajalar bilan taqqoslasak, agar ulardan ikkitasi ko'paytirilsa, natijada darajaga teng bo'lgan darajaga (o'zgaruvchi) ega bo'lishini ko'rishimiz mumkin. miqdori atamalar darajasi.

Shunday qilib, 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining darajasi, 2 + 3 ga teng, atamalar darajalarining yig'indisi.

Shunday qilib, a n .a m \u003d a m + n.

N uchun a kuchi n kuchidan ko'p marta omil sifatida qabul qilinadi;

Va m, m ning kuchi kabi ko'p marta omil sifatida qabul qilinadi;

Shuning uchun bir xil poydevorga ega bo'lgan darajalar daraja ko'rsatkichlarini qo'shib ko'paytirilishi mumkin.

Shunday qilib, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Va x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Yoki:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

Ko'paytirish (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
(X 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ko'paytiring.

Ushbu qoida eksponentlari bo'lgan raqamlar uchun ham amal qiladi manfiy.

1. Shunday qilib, -2 .a -3 \u003d a -5. Buni quyidagicha yozish mumkin (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2. y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. a -n .a m \u003d a m-n.

Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 ga teng bo'ladi: ya'ni.

Ikkita sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasida ularning kvadratlarining yig'indisi yoki farqiga teng.

Agar ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi va farqi kvadrat, natija ushbu sonlarning yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.

Shunday qilib (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.

Darajalar taqsimoti

Darajalar bilan raqamlarni, boshqa raqamlar kabi, bo'linuvchi qismdan ajratib yoki ularni kasr shaklida joylashtirish orqali ajratish mumkin.

Bunda b 2 ga bo'lingan 3 b 2 3 ga teng bo'ladi.

Yoki:
$ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
$ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
$ \\ frac (d \\ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) \u003d d $

3 ga bo'lingan 5 belgisi $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $ ga o'xshaydi. Ammo bu 2 ga teng. Bir qator raqamlarda
a +4, +3, a +2, +1, a 0, -1, -2, a -3, a -4.
har qanday raqamni boshqasiga bo'lish mumkin va eksponent teng bo'ladi farq bo'linadigan raqamlarning ko'rsatkichlari.

Xuddi shu asosda darajalarni ajratishda ularning ko'rsatkichlari chiqarib tashlanadi..

Shunday qilib, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Ya'ni, $ \\ frac (yyy) (yy) \u003d y $.

Va n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Ya'ni, $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.

Yoki:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Qoida shuningdek raqamlar uchun ham amal qiladi manfiy daraja qiymatlari.
A -5 ni -3 ga bo'lishning natijasi -2 ga teng.
Shuningdek, $ \\ frac (1) (aaaaa): \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 yoki $ h ^ 2: \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $

Bu darajalarni ko'paytirish va bo'linishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday operatsiyalar algebrada juda keng qo'llaniladi.

Kuchlari bo'lgan raqamlarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan misollar yechish misollari

1. Eksponentlarni $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) da kamaytiring $ Javob: $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Eksponentlarni $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $ ga kamaytiring. Javob: $ \\ frac (2x) (1) $ yoki 2x.

3. 2 / a 3 va -3 / a -4 ko'rsatkichlarini kamaytiring va umumiy denominatorga olib boring.
a 2 .A -4 - bu birinchi raqamli.
a 3 .a -3, 0 \u003d 1, ikkinchi son.
a 3 .a -4 - bu -1, umumiy hisoblash.
Soddalashtirishdan keyin: a -2 / a -1 va 1 / a -1.

4. 2a 4 / 5a 3 va 2 / a 4 ko'rsatkichlarini kamaytiring va umumiy denominatorga olib boring.
Javob: 2a 3 / 5a 7 va 5a 5 / 5a 7 yoki 2a 3 / 5a 2 va 5 / 5a 2.

5. (a 3 + b) / b 4 sonini (a - b) / 3 ga ko'paytiring.

6. (a 5 + 1) / x 2 ni (b 2 - 1) / (x + a) ga ko'paytiring.

7. b 4 / a -2 ni h -3 / x va n / y -3 ga ko'paytiring.

8. 4 / y 3 ni 3 / y 2 ga bo'ling. Javob: a / y.

9. (h 3 - 1) / d 4 ga (d n + 1) / s ga bo'ling.