Sinusni kosinus orqali topish formulasi. Trigonometrik funktsiyalarni topish qoidalari: sinus, kosinus, tangent va kotangent
Sinus, kosinos, tangent va kotangent tushunchalari trigonometriyaning asosiy toifalari - matematikaning bir sohasi bo'lib, burchakni aniqlash bilan uzviy bog'liqdir. Ushbu matematik fanga ega bo'lish formulalar va teoremalarni yodlashni va tushunishni, shuningdek rivojlangan mekansal fikrlashni talab qiladi. Shuning uchun maktab o'quvchilari va talabalar uchun trigonometrik hisob-kitoblar ko'pincha qiyin. Ularni engish uchun siz trigonometrik funktsiyalar va formulalar bilan ko'proq tanishishingiz kerak.
Trigonometriyadagi tushunchalar
Trigonometriyaning asosiy tushunchalarini tushunish uchun birinchi navbatda to'g'ri uchburchak va aylanadagi burchak nima ekanligini va nima uchun barcha asosiy trigonometrik hisoblar ular bilan bog'liqligini aniqlash kerak. Burchaklaridan biri 90 gradus kattaligiga ega bo'lgan uchburchak to'rtburchaklardir. Tarixan, bu raqam ko'pincha arxitektura, navigatsiya, san'at, astronomiyada odamlar tomonidan ishlatilgan. Shunga ko'ra, odamlar ushbu raqamning xususiyatlarini o'rganish va tahlil qilish orqali uning parametrlarining mos nisbatlarini hisoblash uchun keldilar.
To'g'ri uchburchaklar bilan bog'liq bo'lgan asosiy toifalar - bu gipotenuz va kateti. Gipotenuz - uchburchakning to'g'ri burchakka qarshi tomoni. Oyoqlar, mos ravishda, boshqa ikki tomon. Har qanday uchburchaklar burchaklarining yig'indisi har doim 180 daraja.
Sferik trigonometriya maktabda o'rganilmagan trigonometriyaning bir sohasidir, ammo astronomiya va geodeziya kabi amaliy fanlarda olimlar undan foydalanadilar. Sferik trigonometriyada uchburchakning o'ziga xos xususiyati shundaki, u har doim 180 darajadan yuqori burchaklarning yig'indisiga ega.
Uchburchak burchaklari
To'g'ri burchakli uchburchakda burchak sinusi - bu kerakli burchakka qarama-qarshi bo'lgan uchburchakning gipotenuzasiga nisbati. Shunga ko'ra, kosiniya qo'shni katetus va gipotenuzaning nisbati. Ushbu ikkala qiymat ham har doim birlikdan kam qiymatga ega, chunki gipotenus har doim oyoqdan uzunroqdir.
Burchak tangensi - qarama-qarshi oyoqning kerakli burchakning qo'shni oyog'iga yoki sinusning kosinosiga nisbati teng bo'lgan qiymat. Cotangent, o'z navbatida, kerakli burchakning qo'shni oyog'ining qarama-qarshi oyoqqa nisbati. Burchakning kotangensini birlikni tangens qiymatiga bo'lish orqali ham olish mumkin.
Birlik doirasi
Geometriyada birlik aylanasi - bu radiusi birlik bo'lgan doira. Bunday doira Karteziya koordinatalari tizimida quriladi, aylananing markazi esa kelib chiqishi bilan mos keladi va radius vektorining boshlang'ich holati X o'qining (abscissa o'qi) ijobiy yo'nalishi bilan aniqlanadi. Aylananing har bir nuqtasida ikkita koordinatalar mavjud: XX va YY, ya'ni abssissalar va ordinatlarning koordinatalari. XX tekislikda aylanada biron bir nuqtani tanlab, undan abcissa o'qiga perpendikulyar tashlab, tanlangan nuqtaga radius tomonidan hosil qilingan (C harfi bilan belgilangan), X o'qiga perpendikulyar bo'lgan (kesishish nuqtasi G harfi bilan belgilanadi) va segmentni olamiz. kelib chiqishi (nuqta A harfi bilan ko'rsatilgan) va kesishish nuqtasi o'rtasidagi abscissa o'qi. Olingan ACG uchburchagi aylanada yozilgan o'ng burchakli uchburchakdir, bu erda AG gipotenuza, AC va GC esa oyoqdir. AC aylanish radiusi va abscissa o'qining kesimi o'rtasidagi AG belgisi bilan burchak a (alfa) bilan belgilanadi. Shunday qilib, cos a \u003d AG / AC. Agar AS aylana radiusi va u birlikka teng ekanligini hisobga olsak, cos a \u003d AG bo'ladi. Xuddi shunday, gunoh a \u003d CG.
Bundan tashqari, ushbu ma'lumotlarni bilib, aylana bo'yicha S nuqtaning koordinatasini aniqlash mumkin, chunki cos a \u003d AG va sin a \u003d CG, ya'ni C nuqta berilgan koordinatalarga ega (cos a; sin a). Tangens sinusning kosinusga nisbatiga teng ekanligini bilib, tan a \u003d \u003d / x va ctan a \u003d x / y ekanligini aniqlashimiz mumkin. Salbiy koordinatalar tizimidagi burchaklarni hisobga olsak, ba'zi burchaklarning sinus va kosinuslari qiymatlari manfiy bo'lishi mumkinligini hisoblash mumkin.
Hisoblash va asosiy formulalar
Trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari
Birlik doirasi orqali trigonometrik funktsiyalarning mohiyatini o'rganib chiqib, ba'zi bir burchak uchun bu funktsiyalarning qiymatlarini olishimiz mumkin. Qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan.
Eng oddiy trigonometrik identifikatorlar
Trigonometrik funktsiya belgisi ostida noma'lum qiymat mavjud bo'lgan tenglamalar trigonometrik deyiladi. Sin x \u003d a, k qiymatga ega bo'lgan har qanday butun son:
- sin x \u003d 0, x \u003d πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d a, | a | \u003e 1, echimlar yo'q.
- sin x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d (-1) ^ k * arsin a + πk.
Cos x \u003d a bilan identifikatorlar, bu erda k har qanday butun son:
- cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- cos x \u003d 1, x \u003d 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x \u003d a, | a | \u003e 1, echimlar yo'q.
- cos x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d ± arkkos a + 2πk.
Tan x \u003d a qiymati bo'lgan identifikatsiya, bu erda k har qanday butun son:
- tg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arktan a + πk.
Ctg x \u003d a qiymati bo'lgan identifikatsiya, bu erda k har qanday butun son:
- ctg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg a + πk.
Cast formulalari
Doimiy formulalarning ushbu toifasi hisob-kitoblarning qulayligi uchun formadagi trigonometrik funktsiyalardan argument funktsiyalariga o'tish, ya'ni har qanday qiymat burchagi sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensini tegishli interval burchagi ko'rsatkichlariga 0 dan 90 darajagacha bo'lgan usullarni anglatadi.
Burchak sinusining funktsiyani qisqartirish formulalari quyidagicha:
- sin (900 - a) \u003d a;
- sin (900 + a) \u003d cos a;
- sin (1800 - a) \u003d sin a;
- sin (1800 + a) \u003d -sin a;
- sin (2700 - a) \u003d -cos a;
- sin (2700 + a) \u003d -cos a;
- sin (3600 - a) \u003d -sin a;
- sin (3600 + a) \u003d sin a.
Burchak kosinusi uchun:
- cos (900 - a) \u003d sin a;
- cos (900 + a) \u003d -sin a;
- cos (1800 - a) \u003d -cos a;
- cos (1800 + a) \u003d -cos a;
- cos (2700 - a) \u003d -sin a;
- cos (2700 + a) \u003d sin a;
- cos (3600 - a) \u003d cos a;
- cos (3600 + a) \u003d cos a.
Yuqoridagi formulalardan foydalanish ikkita qoidaga muvofiq amalga oshiriladi. Birinchidan, burchak (π / 2 ± a) yoki (3π / 2 ± a) qiymat sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, funktsiyaning qiymati o'zgaradi:
- gunohdan kosgacha;
- kosdan gunohgacha;
- tg dan ctggacha;
- ctg dan tggacha.
Agar burchakni (π ± a) yoki (2π ± a) shaklida ifodalash mumkin bo'lsa, funktsiya qiymati o'zgarishsiz qoladi.
Ikkinchidan, berilgan funktsiyaning belgisi o'zgarmaydi: agar dastlab ijobiy bo'lgan bo'lsa, u shunday bo'lib qoladi. Xuddi shunday salbiy funktsiyalarda.
Qo'shimcha formulalar
Ushbu formulalar sinus, kosinus, tangens va katangentlarning qiymatlarini va ikki aylanish burchaklarining trigonometrik funktsiyalari orqali farqini ifodalaydi. Odatda, burchaklar a va as shaklida belgilanadi.
Formulalar quyidagicha:
- sin (a ± β) \u003d sin a * cos β ± cos α * sin.
- cos (a ± β) \u003d cos a * cos β ∓ sin a * sin.
- tg (a ± β) \u003d (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan * * tan β).
- ctg (a ± β) \u003d (-1 ± ctg a * ctg β) / (ctg a ± ctg β).
Ushbu formulalar a va β har qanday burchak uchun amal qiladi.
Ikki va uch burchakli formulalar
Ikki va uchburchak burchaklarning trigonometrik formulalari mos ravishda 2 a va 3 a burchaklarning funktsiyalarini, a burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan bog'liq bo'lgan formulalardir. Qo'shimcha formulalardan olingan:
- sin2a \u003d 2sina * kosa.
- cos2a \u003d 1 - 2sin ^ 2 a.
- tg2a \u003d 2tga / (1 - tg ^ 2 a).
- sin3a \u003d 3sina - 4sin ^ 3 a.
- cos3a \u003d 4cos ^ 3 a - 3cosa.
- tg3a \u003d (3tg - tg ^ 3 a) / (1-tg ^ 2 a).
Miqdordan mahsulotga o'tish
Ushbu formulani soddalashtirib, 2sinx * kozy \u003d sin (x + y) + sin (x-y) ekanligini hisobga olsak, sinaa + sinβ \u003d 2sin (a + β) / 2 * cos (a - β) / 2 ga tenglikni olamiz. Xuddi shunday, sina - sinβ \u003d 2sin (a - β) / 2 * cos (a + β) / 2; cosa + cosβ \u003d 2cos (a + β) / 2 * cos (a - β) / 2; cosa - cosβ \u003d 2sin (a + β) / 2 * gunoh (a - β) / 2; tana + tanβ \u003d sin (a + β) / cosa * cosβ; tgα - tgβ \u003d sin (a - β) / cosa * cosβ; kosa + sina \u003d √2sin (π / 4 ∓ a) \u003d c2cos (π / 4 ± a).
Mahsulotdan miqdorga o'tish
Ushbu formulalar summaning mahsulotga o'tishining o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqadi:
- sinα * sinβ \u003d 1/2 *;
- cosα * cosβ \u003d 1/2 *;
- sinα * cosβ \u003d 1/2 *.
Formulalarni tahqirlash
Bu o'xshashliklarda sinus va kosinusning kvadratik va kubik darajalari ko'p darajadagi birinchi darajadagi sinus va kosinus bilan ifodalanishi mumkin:
- sin ^ 2 a \u003d (1 - cos2a) / 2;
- cos ^ 2 a \u003d (1 + cos2a) / 2;
- sin ^ 3 a \u003d (3 * sina - sin3a) / 4;
- cos ^ 3 a \u003d (3 * cosa + cos3a) / 4;
- sin ^ 4 a \u003d (3 - 4cos2a + cos4a) / 8;
- cos ^ 4 a \u003d (3 + 4cos2a + cos4a) / 8.
Universal izlash
Universal trigonometrik almashtirish formulalari yarim burchakli tangens nuqtai nazaridan trigonometrik funktsiyalarni ifodalaydi.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
- cos x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), bu erda x \u003d π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), bu erda x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2txx / 2), x \u003d π + 2πn.
Maxsus holatlar
Oddiy trigonometrik tenglamalarning alohida holatlari quyida keltirilgan (k har qanday butun son).
Sinus uchun shaxsiy:
| Sin x qiymati | X qiymati |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 2 + 2πk |
| -1 | -π / 2 + 2πk |
| 1/2 | π / 6 + 2πk yoki 5π / 6 + 2πk |
| -1/2 | -π / 6 + 2πk yoki -5π / 6 + 2πk |
| √2/2 | π / 4 + 2πk yoki 3π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | -π / 4 + 2πk yoki -3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | π / 3 + 2πk yoki 2π / 3 + 2πk |
| -√3/2 | -π / 3 + 2πk yoki -2π / 3 + 2πk |
Shaxsiy kosinos:
| Cos x qiymati | X qiymati |
|---|---|
| 0 | π / 2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ± π / 3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π / 3 + 2πk |
| √2/2 | ± π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | ± π / 6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π / 6 + 2πk |
Tangent uchun shaxsiy:
| Tg x qiymati | X qiymati |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3/3 | π / 6 + πk |
| -√3/3 | -π / 6 + πk |
| √3 | π / 3 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
Kotangent uchun xususiy:
| Ctg x qiymati | X qiymati |
|---|---|
| 0 | π / 2 + πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3 | π / 6 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
| √3/3 | π / 3 + πk |
| -√3/3 | -π / 3 + πk |
Teoremalar
Sinus teoremasi
Teoremaning ikkita versiyasi mavjud - oddiy va kengaytirilgan. Oddiy sinus teoremasi: a / sin a \u003d b / sin β \u003d c / sin γ. Bundan tashqari, a, b, c uchburchakning tomonlari va a, β, γ mos ravishda qarama-qarshi tomonlar.
Ixtiyoriy uchburchak uchun kengaytirilgan sinema teoremasi: a / sin a \u003d b / sin β \u003d c / sin γ \u003d 2R. Ushbu identifikatorda R berilgan uchburchak yozilgan aylananing radiusini bildiradi.
Kozine teoremasi
Identifikatsiya quyidagicha ko'rsatiladi: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos a. A, b, c formulada uchburchakning tomonlari, va a - a tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak.
Tangent teoremasi
Formula ikki burchakning tangenslari va ularning qarama-qarshi tomonlarining o'zaro bog'liqligini ifoda etadi. Yon tomonlar a, b, c kabi belgilanadi va mos keladigan qarama-qarshi burchaklari a, β, γ. Tangens teoremasining formulasi: (a - b) / (a \u200b\u200b+ b) \u003d tg ((a - β) / 2) / tg ((a + β) / 2).
Kotangent teoremasi
Uchburchakka yozilgan aylananing radiusini uning yon tomonlarining uzunligi bilan bog'laydi. Agar a, b, c uchburchak tomonlari bo'lsa, va A, B, C, mos ravishda ularga qarama-qarshi burchaklar bo'lsa, r - yozilgan aylananing radiusi, va p - uchburchakning yarimburchagi bo'lsa, quyidagi identifikatorlar haqiqiydir:
- ctg A / 2 \u003d (p-a) / r;
- ctg B / 2 \u003d (p-b) / r;
- ctg C / 2 \u003d (p-c) / r.
Ilova
Trigonometriya nafaqat matematik formulalar bilan bog'liq nazariy fan. Uning xususiyatlari, teoremalari va qoidalari amalda inson faoliyatining turli sohalari - astronomiya, havo va dengiz navigatsiyasi, musiqa nazariyasi, geodeziya, kimyo, akustika, optika, elektronika, arxitektura, iqtisodiyot, mashinasozlik, o'lchov ishlari, kompyuter grafikasi, kartografiya, okeanografiya, va boshqalar.
Sinus, kosinus, tangens va kotangent trigonometriyaning asosiy tushunchalari bo'lib, ularning yordamida uchburchakda tomonlarning burchaklari va uzunliklari o'rtasidagi munosabatni ifodalash va kerakli qiymatlarni identifikatsiya, teoremalar va qoidalar orqali topish mumkin.
O'quvchilar eng qiyinchiliklarni engib o'tadigan matematikaning yo'nalishlaridan biri bu trigonometriya. Buning ajablanarli joyi yo'q: bu bilim sohasini erkin o'zlashtirish uchun fazoviy fikrlash, sinuslar, kosinalar, tangentslar, kotangentslarni formulalar yordamida topish, iboralarni soddalashtirish va hisob-kitoblarda pi sonidan foydalanish qobiliyati talab qilinadi. Bundan tashqari, teoremalarni isbotlashda siz trigonometriyani qo'llashingiz kerak va bu rivojlangan matematik xotirani yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni olish qobiliyatini talab qiladi.
Trigonometriyaning kelib chiqishi
Ushbu fan bilan tanishish sinus, kosinus va burchakning tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin avval trigonometriya nima bilan shug'ullanishini aniqlab olishingiz kerak.
Tarixiy jihatdan matematikaning ushbu bo'limidagi asosiy ob'yekt to'rtburchaklar uchburchaklar bo'lgan. 90 daraja burchakning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha parametrlarining qiymatlarini ikki tomonda va bir burchakda yoki ikki burchakda va bir tomonda aniqlashga imkon beradigan turli xil operatsiyalarni amalga oshirishga imkon beradi. Ilgari, odamlar ushbu naqshni payqashdi va uni binolarni qurish, navigatsiya, astronomiya va hatto san'at sohasida faol foydalanishni boshladilar.
Boshlang'ich bosqich
Dastlab odamlar burchaklar va tomonlarning o'zaro munosabati haqida faqat to'rtburchaklar uchburchaklar misolida gaplashdilar. Keyin matematikaning ushbu sohasini kundalik hayotda qo'llash chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi.
Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'rtburchaklar uchburchaklar bilan boshlanadi, shundan so'ng olingan bilimlar o'quvchilar fizikada va o'rta maktabda boshlanadigan mavhum trigonometrik tenglamalarni echishda qo'llaniladi.
Sferik trigonometriya
Keyinchalik, fan keyingi rivojlanish darajasiga ko'tarilganda, sferik geometriyada turli qoidalar qo'llaniladigan sinus, kosinus, tangent va kotangentli formulalar qo'llanila boshlandi va uchburchaklardagi burchaklarning yig'indisi har doim 180 darajadan oshadi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, ammo uning mavjudligi haqida hech bo'lmaganda bilish kerak, chunki er yuzasi va boshqa sayyoralarning yuzasi konveksdir, ya'ni sirtning har qanday belgisi uch o'lchovli kosmosda "kemerli" bo'ladi.
Dunyo va ipni oling. Ipni dunyoning istalgan ikki nuqtasiga bog'lang, shunda u qulab tushishi mumkin. E'tibor bering - u yoy shaklini oldi. Sferik geometriya geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan bunday shakllar bilan shug'ullanadi.
O'ng uchburchak
Trigonometriyani qo'llash usullari haqida ozgina ma'lumotga ega bo'lgach, sinus, kosinus, tangents nima ekanligini, ularning yordamida qanday hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni bilib olish uchun asosiy trigonometriyaga qaytamiz.
Birinchi qadam - to'g'ri uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunish. Birinchidan, gipotenuza 90 daraja burchakka qarama-qarshi joylashgan tomon. U eng uzun. Pifagor teoremasiga ko'ra, uning soni ikki tomonning kvadratlari yig'indisining ildiziga teng ekanligini eslaymiz.
Masalan, agar ikkala tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.
To'g'ri burchak hosil qiladigan qolgan ikki tomonga oyoq deyiladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 daraja ekanligini esga olish kerak.
Ta'rif
Va nihoyat, geometrik bazani aniq tushunish bilan biz sinus, kosinus va burchakning tangensini aniqlashga o'tamiz.
Burchak sinusi - bu qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomonning) gipotenuzaga nisbati. Burchak kosinusi - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Yodingizda bo'lsin, na sinus va na kosinus bittadan kattaroq bo'lolmaydi! Nima uchun? Gipotenuza sukut bo'yicha eng uzundir, chunki oyoq qanchalik uzun bo'lmasin, u gipotenuzaga qaraganda qisqaroq bo'ladi, ya'ni ularning nisbati har doimgidan kam bo'ladi. Shunday qilib, agar siz muammoga javoban 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinus olgan bo'lsangiz, hisob-kitoblarda yoki sabablarda xatolikni qidirib toping. Bu javob aniq noto'g'ri.
Va nihoyat, burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Xuddi shu natija sinusni kosinusga bo'lish orqali olinadi. Qarang: formulaga binoan biz tomonning uzunligini gipotenuzaga, keyin ikkinchi tomonning uzunligiga ajratamiz va gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifidagi kabi bir xil aloqani olamiz.
Cotangent, mos ravishda, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birlikni tangensga bo'lish orqali xuddi shunday natijaga erishamiz.
Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangent va kotangent nima degan ta'riflarni ko'rib chiqdik va formulalarni qila olamiz.
Eng oddiy formulalar
Trigonometriyada formulalarsiz bajarish mumkin emas - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Ammo bu muammolarni hal qilishda talab qilinadigan narsa.
Trigonometriyani o'rganishni boshlashda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada sinus va kosinusning kvadratlari yig'indisi bir-biriga teng ekanligi aytilgan. Ushbu formula Pifagor teoremasining bevosita natijasidir, ammo yon tomonni emas, balki burchakni bilishingiz kerak bo'lsa, vaqtni tejaydi.
Ko'pgina o'quvchilar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda juda mashhurdir: birlik va burchakning tangensi kvadratining yig'indisi burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan qismga teng. Yaqindan ko'rib chiqing: oxir-oqibat, bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinaning kvadratiga bo'lingan. Aniqlanishicha, oddiy matematik operatsiya trigonometrik formulani umuman tanib bo'lmaydigan holga keltiradi. Yodingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangent va kantangent nima ekanligini, transformatsiya qoidalari va bir nechta asosiy formulalarni bilib, istalgan vaqtda kerakli murakkab formulalarni o'zingizni qog'ozga chop etishingiz mumkin.
Ikki burchakli formulalar va dalillarni qo'shish
O'rganish kerak bo'lgan ikkita boshqa formulalar burchaklarning yig'indisi va farqi bilan sinus va kosinaning qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda keltirilgan. E'tibor bering, birinchi holda, sinus va kosinus ikkala marta ko'payadi, ikkinchisida sinus va kosinaning juft yo'nalishli mahsuloti qo'shiladi.
Ikkala burchakli dalillar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay avvalgilaridan olingan - mashg'ulot sifatida, burchakli betaga teng burchak alfasini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling.
Va nihoyat, ikki burchakli formulalarni sinus, kosinus, tangent alfa darajasining pasayishiga aylantirish mumkinligiga e'tibor bering.
Teoremalar
Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasi. Ushbu teoremalardan foydalanib, sinus, kosinus va tangensni qanday topish kerakligini va shuning uchun rasmning maydoni va har bir tomonning o'lchamini va boshqalarni osongina tushunishingiz mumkin.
Sinus teoremasida aytilishicha, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchakning qiymatiga bo'lish natijasida biz teng sonni olamiz. Bundan tashqari, bu raqam aylananing aylantirilgan ikki radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.
Kosinos teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi va uni har qanday uchburchaklar tomon yo'naltiradi. Ko'rinib turibdiki, qo'shni burchakning ikki kosinasi bilan ko'paytirilgan mahsulot ikki tomonning kvadratlarining yig'indisidan chiqariladi - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinus teoremasining alohida holati bo'lib chiqdi.
Ehtiyotsizlik xatolari
Sinus, kosinus va tangents nima ekanligini bilsangiz ham, diqqatni chalg'itishi yoki oddiy hisoblardagi xato tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz ularning eng mashhurlari bilan tanishamiz.
Birinchidan, yakuniy natija olinmaguncha oddiy kasrlar o'nliklarga aylantirilmasligi kerak - agar shartda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, siz javobni oddiy kasr shaklida qoldirishingiz mumkin. Bunday o'zgarishni xato deb atash mumkin emas, lekin shuni esda tutish kerakki, har bir bosqichda yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, bu muallifning fikriga ko'ra qisqartirilishi kerak. Bunday holda, keraksiz matematik operatsiyalarga vaqtni sarf qilasiz. Bu, ayniqsa, uch yoki ikkisining ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har qadamda vazifalarda bo'ladi. Xuddi shu narsa yomon raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.
Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qilishi mumkinligiga e'tibor bering, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning juftlik mahsulotini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni xato ravishda unutib qo'ysangiz, siz nafaqat mutlaqo noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzu haqida to'liq tushunmovchilikni ham namoyish etasiz. Bu ehtiyotsizlik tufayli xatodan ham yomonroqdir.
Uchinchidan, sinuslar, kosinalar, tangentslar, kotangentslar uchun 30 va 60 daraja burchaklarning qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni unutmang, chunki 30 daraja sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ular osonlikcha chalkashib ketishadi, natijada siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.
Ilova
Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishga shoshilmaydilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Sinus, kosinos, muhandis yoki astronom uchun tangents nima? Bu tushunchalar tufayli uzoq yulduzlargacha masofani hisoblash, meteoritning tushishini bashorat qilish, boshqa sayyoraga tadqiqotlar o'tkazish mumkin. Ularsiz siz bino qura olmaysiz, mashina loyihalashga, sirtdagi yoki predmetning traektoriyasini hisoblashingiz mumkin emas. Va bu eng aniq misollar! Axir, trigonometriya bu yoki boshqa shaklda musiqadan tibbiyotgacha hamma joyda qo'llaniladi.
Xulosa
Shunday qilib, siz sinosiz, kosinos, tangentsiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.
Trigonometriyaning butun mohiyati uchburchakning ma'lum parametrlariga ko'ra noma'lumlarni hisoblash kerak degan xulosaga keladi. Ushbu parametrlarning oltitasi mavjud: uch tomonning uzunligi va uch burchakning kattaligi. Vazifalardagi barcha farq shundaki, kirish ma'lumotlari bir xil emas.
Sinus, kosinus, tangensni oyoqlarning ma'lum uzunligi yoki gipotenuzaga qarab qanday topish mumkin, endi bilasiz. Ushbu atamalar munosabatlardan boshqa narsani anglatmaydi, lekin munosabatlar bu qismdir, chunki trigonometrik muammoning asosiy maqsadi oddiy tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizlarini topishdir. Va bu erda oddiy maktab matematikasi sizga yordam beradi.
Qo'llanma
Planimetriya bilimlarini ifodalash uchun foydalaning sinus orqali sinus. Ta'rif bo'yicha sinusqarama-qarshi k uzunlikning o'ng uchburchagidagi ohm va ga sinusom - gipotenuzaga qo'shni oyoq. Hatto Pifagor teoremasini bilish ham ba'zi hollarda tezda o'zgarishni izlashga imkon beradi.
Ekspress sinus orqali sinuseng oddiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, unga muvofiq bu miqdorlarning kvadratlari yig'indisi birlikni beradi. Esda tutingki, siz kerakli burchak chorakda ekanligini bilsangizgina vazifani to'g'ri bajarishingiz mumkin, aks holda siz ikkita mumkin bo'lgan natijani olasiz - ijobiy va belgi bilan.
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c)
A, b, c tomonga mos ravishda 3, 4, 5 mm bo'lgan uchburchak mavjud.
Topish uchun kosinus katta tomonlar orasidagi burchak.
Yon tomonga qarama-qarshi burchakni a bilan belgilaymizmi? Yuqoridagi formulaga ko'ra bizda:
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) \u003d (16 + 25-9) / 40 \u003d 32/40 \u003d 0.8
Javob: 0,8.
Agar uchburchak to'rtburchaklar bo'lsa, unda toping kosinusva burchak ikki tomonning uzunligini bilish uchun kifoya qiladi ( kosinus to'g'ri burchak 0 ga teng).
A, b, c tomonlari bo'lgan to'g'ri uchburchak bo'lsin, bu erda c - gipotenuza.
Barcha variantlarni ko'rib chiqing:
Cosni toping? Agar a va b (uchburchak) tomonlarining uzunligi ma'lum bo'lsa
Pifagor teoremasidan qo'shimcha ravishda foydalanamiz:
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (b? + b? + a? -a?) / (2 * b * v (b? + a?)) \u003d (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) \u003d B / v (b? + A?)
Olingan formulaning to'g'riligini ta'minlash uchun uni 1-misol, ya'ni almashtiramiz.
Oddiy hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:
Xuddi shunday joylashgan kosinus to'rtburchaklar shaklida uchburchak boshqa hollarda:
Ma'lum bo'lgan a va c (gipotenuz va qarama-qarshi oyoq), cosni toping?
cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (c? -a? + c? -a?) / (2 * c * v (c? -a?)) \u003d (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) \u003d V (s? -A?) / S
Misoldan a \u003d 3 va c \u003d 5 qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
B va C ma'lum (gipotenuz va qo'shni oyoq).
Cosni toping?
Shunga o'xshash tarzda (2 va 3-rasmlarda ko'rsatilgan) biz bu holatda olamiz kosinus ichida uchburchak juda oddiy formula bilan hisoblanadi:
Olingan formulaning soddaligi asosan tushuntiriladi: aslida burchakka ulashganmi? oyoq - bu gipotenuzaning proektsiyasi, uning uzunligi gipotenuzaning uzunligiga tengdir?
B \u003d 4 va c \u003d 5 qiymatlarini birinchi misolga almashtirib, biz quyidagicha olamiz:
Shunday qilib, bizning barcha formulalarimiz to'g'ri.
Formulani bog'lash uchun sinus va sinus burchak, ba'zi ta'riflarni berish yoki eslash kerak. Shunday qilib sinus burchak - bu o'ng uchburchakning qarama-qarshi tomonlarining gipotenuzaga nisbati. Kimga sinus burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Qo'llanma
Foydali maslahat
Sinus va har qanday burchakning kosinuslari kattaligi 1 dan katta bo'lishi mumkin emas.
Sinus va kosinus - bu to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funktsiyalar bo'lib, ular uchun bir nechta ta'riflar mavjud - Karteziya koordinatalari sistemasidagi aylana orqali, differentsial tenglamaning yechimlari orqali, o'ng uchburchakda o'tkir burchaklar orqali. Ushbu ta'riflarning har biri bizga ushbu ikkita funktsiya o'rtasida o'zaro bog'liqlikni olishimizga imkon beradi. Quyida ifoda etishning eng oson usuli keltirilgan kosinus sinus orqali - to'g'ri uchburchakning o'tkir burchaklari uchun ularning ta'riflari orqali.
Qo'llanma
Ushbu rasmning yon tomonlarining uzunligi orqali to'g'ri uchburchakning o'tkir burchagining sinusini ifodalang. Ta'rifga ko'ra, burchakning sinishi (a) unga qarama-qarshi yotgan (a) tomonning uzunligiga, oyoqqa - o'ng burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligiga (c) - gipotenuza: sin (a) \u003d a / c.
Bunga o'xshash formulani toping kosinusva bir xil burchak. Ta'rifga ko'ra, bu qiymat bu burchakka (ikkinchi oyoq) ulashgan tomonning uzunligiga (c) o'ng burchakka qarama-qarshi tomonning (c) uzunligiga nisbati sifatida ifodalanishi kerak: cos (a) \u003d a / c.
Pifagor teoremasidan kelib chiqadigan tenglikni qayta yozing, shunda u oldingi ikki bosqichda olingan oyoq va gipotenus o'rtasidagi munosabatlarni qamrab oladi. Buni amalga oshirish uchun avval ushbu teoremaning ikkita bosh harfini (a² + b² \u003d c²) gipotenuzaning kvadratiga (a² / c² + b² / c² \u003d 1) ajrating va natijada hosil bo'lgan tenglikni quyidagicha yozing: (a / c) ² + (b / c) ) ² \u003d 1.
Olingan ifodada, birinchi va ikkinchi bosqichlarning formulalariga asoslanib, oyoq uzunligi va gipotenuzani trigonometrik funktsiyalar bilan almashtiring: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Express kosinus Olingan tenglikdan: cos (a) \u003d √ (1 - sin² (a)). Ushbu muammoni umumiy usulda hal qilish mumkin.
Agar umumiylikdan tashqari siz sonli natijaga erishishingiz kerak bo'lsa, masalan, Windows operatsion tizimiga o'rnatilgan kalkulyatordan foydalaning. OT menyusining "Barcha dasturlar" bo'limidagi "Standart" bo'limida uni ishga tushirish uchun havola. Ushbu havola qisqartirilgan - "Kalkulyator". Ushbu dasturdan trigonometrik funktsiyalarni hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun uning "muhandislik" interfeysini yoqing - Alt + 2 tugmalar birikmasini bosing.
Sharoitdagi burchak sinusining qiymatini kiriting va x² belgisi bilan interfeys tugmachasini bosing - shunda siz asl qiymatni kvadrat qilasiz. Keyin klaviaturada * -1 ni kiriting, Enter ni bosing, +1 ni kiriting va Enter tugmachasini yana bir marta bosing - bu usul yordamida sinus kvadratini ajratasiz. Kvadratni ajratib olish va yakuniy natijani olish uchun radikal ikonka bilan tugmachani bosing.
Aniq fanlarning fundamental asoslaridan biri trigonometrik funktsiyalar tushunchasi. Ular to'g'ri uchburchak tomonlari o'rtasidagi oddiy munosabatlarni belgilaydi. Sinus bu funktsiyalar oilasiga tegishli. Siz burchakni bilib, uni ko'p jihatdan, shu jumladan eksperimental, hisoblash usullari bilan, shuningdek ma'lumot ma'lumotlaridan foydalangan holda topishingiz mumkin.
Sizga kerak bo'ladi
- - kalkulyator;
- - kompyuter;
- - jadvallar;
- - bradis stollari;
- - qog'oz;
- - qalam.
Qo'llanma
Sinusni hisoblash funktsiyasidan foydalanib, burchakni bilish asosida kerakli qiymatlarni oling. Bugungi kunda hatto eng oddiylari ham shunga o'xshash funktsiyalarga ega. Bunday holda, hisob-kitoblar juda yuqori aniqlik bilan amalga oshiriladi (qoida tariqasida, sakkiz yoki undan ko'p o'nlikgacha).
Shaxsiy kompyuterda ishlaydigan jadvallar muhiti bo'lgan dasturlardan foydalaning. Bunday dasturlarga misollar Microsoft Office Excel va OpenOffice.org Calc. Istalgan argument bilan sinusni hisoblash funktsiyasini chaqirishdan iborat formulani istalgan katakka kiriting. Enter ni bosing. Kerakli qiymat uyada ko'rsatiladi. Elektron jadvallarning afzalligi katta argumentlar to'plami uchun funktsiya qiymatlarini tezda hisoblash qobiliyatidir.
Agar mavjud bo'lsa, Bradis jadvallaridan burchak sinusining taxminiy qiymatini bilib oling. Ularning noqulayligi, to'rtlik o'nlik bilan cheklangan qiymatlarning aniqligi.
Geometrik konstruktsiyalarni yakunlab burchak sinusining taxminiy qiymatini toping. Bir qog'ozga chiziq chizing. Protektordan foydalanib, uni topish kerak bo'lgan burchakni chetga surib qo'ying. Bir nuqtada birinchisini kesib o'tgan boshqa chiziqni chizing. Birinchi segmentga perpendikulyar ravishda ikkita mavjud segmentni kesishgan to'g'ri chiziq chizing. Siz to'g'ri uchburchakni olasiz. Uning gipotenuzasi va oyog'ining uzunligini protraktor bilan qurilgan burchakka qarab o'lchang. Ikkinchi qiymatni birinchisiga ajrating. Bu kerakli qiymat bo'ladi.
Teylor seriyasini kengaytirish yordamida burchakning sinusini hisoblang. Agar burchak darajadagi bo'lsa, uni radianga aylantiring. Formaning formulasidan foydalaning: sin (x) \u003d x - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! - (x ^ 7) / 7! + (x ^ 9) / 9! - ... Hisoblash tezligini oshirish uchun ketma-ketlikning so'nggi a'zosining hisoblagichi va nomoderining joriy qiymatini yozing, oldingisiga ko'ra keyingi qiymatni hisoblang. Keyinchalik aniqroq qiymat olish uchun qator uzunligini oshiring.
Shunday qilib, sinus va kosinus tushunchalari kiritildi. O'ng burchakli uchburchakda o'tkir burchak sinusi - bu qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga va qo'shni tomonning kosinosining gipotenuzaga nisbati.
Kosinus va sinus teoremalari
Ammo kosinalar va sinuslardan nafaqat to'g'ri uchburchaklarda foydalanish mumkin. Har qanday uchburchakning yon tomonlarini va o'tkir burchagi qiymatini topish uchun kosinus va sinus teoremalarini qo'llash kifoya qiladi.
Kosinos teoremasi juda oddiy: "Uchburchakning yon tomonlarining kvadrati - bu ikki tomonning qo'shaloq hosilasini ular orasidagi burchak kosinasi bilan olib tashlangan boshqa ikki tomonning kvadratlarining yig'indisi."
Sinus teoremasining ikkita talqini mavjud: kichik va kengaytirilgan. Voyaga etmaganning so'zlariga ko'ra: "Uchburchakda, tomonlar qarama-qarshi tomonlarga mutanosib." Ushbu teorema ko'pincha uchburchak yaqinida tasvirlangan halqaning xususiyatlari tufayli kengaytiriladi: "Uchburchakda, tomonlar qarama-qarshi tomonlarga mutanosibdir va ularning nisbati aylananing aylanasi diametriga teng".
Derivativlar
Hosil - bu argumentni o'zgartirishga nisbatan funktsiya qanchalik tez o'zgarishini ko'rsatadigan matematik vositadir. Derivativlar, geometriya va bir qator texnik fanlardan foydalaniladi.
Muammolarni echishda siz trigonometrik funktsiyalarning hosilalari jadvallari qiymatlarini bilishingiz kerak: sinus va kosinus. Sinusning hosilasi kosinus va kosinus sinusdir, ammo minus belgisi bilan.
Matematikada qo'llash
Ayniqsa, ko'pincha to'rtburchaklar uchburchaklar va ular bilan bog'liq muammolarni echishda sinuslar va kosinalar qo'llaniladi.
Sinuslar va kosinalarning qulayligi texnologiyada aks etadi. Burchaklar va qirralarni kosinuslar va sinuslar teoremalariga ko'ra baholash oson edi, murakkab shakllar va moslamalarni "oddiy" uchburchaklar ichiga sindirish. Ko'pincha aspekt nisbati va daraja o'lchovlari bilan shug'ullanadigan muhandislar kosinalari va jadvalsiz burchaklarning kosinalarini hisoblash uchun ko'p vaqt va kuch sarflashgan.
Keyin Bradisning minglab qiymatlari, kosinalari, tangentslari va turli tomonlardagi kotangentslari bo'lgan jadvallar yordamga keldi. Sovet davrida ba'zi o'qituvchilar o'zlarining palatalarini Bradis jadvallarining sahifalarini yodga olishga majbur qilishgan.
Radian - radiusga yoki 57.295779513 ° darajaga teng uzunlikdagi yoyning burchak qiymati.
Darajasi (geometriyada) - aylananing 1/3 qismi yoki to'g'ri burchakning 1/90 qismi.
π \u003d 3.141592653589793238462 ... (Pi raqamining taxminiy qiymati).
Burchaklar uchun kosinaviy jadval: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.
| X burchak (darajalarda) | 0° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 120 ° | 135 ° | 150 ° | 180 ° | 210 ° | 225 ° | 240 ° | 270 ° | 300 ° | 315 ° | 330 ° | 360 ° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X burchak (radian bilan) | 0 | π / 6 | π / 4 | π / 3 | π / 2 | 2 x π / 3 | 3 x π / 4 | 5 x π / 6 | π | 7 x π / 6 | 5 x π / 4 | 4 x π / 3 | 3 x π / 2 | 5 x π / 3 | 7 x π / 4 | 11 x π / 6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Trigonometrik identifikatsiya - bular bir burchakka teng bo'lgan sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadigan tengliklardir, bu boshqa funktsiyalar mavjud bo'lsa, ushbu funktsiyalardan birini topishga imkon beradi.
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alfa) (\\ sin \\ alfa)
tg \\ alfa \\ cdot ctg \\ alfa \u003d 1
Ushbu o'ziga xoslik bir burchak sinusining kvadratining va bir burchakning kosinasi kvadratining yig'indisi birlikka teng ekanligini anglatadi, bu amalda kosinasi ma'lum bo'lganda va bitta burchakning sinusini hisoblash mumkin bo'ladi va aksincha.
Trigonometrik ifodalarni o'zgartirganda, bu identifikatsiya juda tez-tez ishlatiladi, bu kosinus va sinus kvadratlarining yig'indisini birlikka almashtirishga, shuningdek, almashtirish operatsiyasini teskari tartibda bajarishga imkon beradi.
Sinus va kosinus orqali tangens va kotangentni topish
tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa), \\ bo'sh joy
Bu o'xshashliklar sinus, kosinus, tangent va kotangent ta'riflaridan kelib chiqadi. Darhaqiqat, agar qarasangiz, u holda y ordinati sinus, abscissa x esa kosinusdir. Keyin tangens nisbatga teng bo'ladi \\ frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa), va nisbati \\ frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alfa) (\\ sin \\ alfa) - kotangens bo'ladi.
Biz shunchaki qo'shamizki, bunda triglometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan burchaklar \\ alfa uchun identifikatsiya bo'ladi. ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alfa) (\\ sin \\ alfa).
Masalan: tg \\ alfa \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa) Bu burchaklardan farq qiladi \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z, va ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alfa) (\\ sin \\ alfa) - \\ pi z, z dan boshqa harflar uchun \\ alfa butun son.
Tangens va Kotangent o'rtasidagi munosabatlar
tg \\ alfa \\ cdot ctg \\ alfa \u003d 1
Bu identifikatsiya faqat burchaklardan farq qiladi \\ alfa \\ frac (\\ pi) (2) z. Aks holda, Kotangent yoki Tangens aniqlanmaydi.
Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, biz bunga erishamiz tg \\ alfa \u003d \\ frak (y) (x), va ctg \\ alfa \u003d \\ frac (x) (y). Shundan kelib chiqadi tg \\ alfa \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. Shunday qilib, ular tushunadigan bir xil burchakdagi tangens va kotangens o'zaro teskari raqamlardir.
Tangens va kosinus, kotangent va sinus o'rtasidagi bog'liqlik
tg ^ (2) \\ alfa + 1 \u003d \\ frak (1) (\\ cos ^ (2) \\ alfa) - \\ alfa va 1 burchakning tangensi kvadratining yig'indisi, bu burchak kosinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya barcha alfa-alifdan boshqa narsalarga tegishli \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.
1 + ctg ^ (2) \\ alfa \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alfa) - 1 va alfa burchakning kotangens kvadratining yig'indisi, bu burchak sinusining teskari kvadratiga teng. Ushbu identifikatsiya \\ pi z-dan tashqari har qanday alfa uchun amal qiladi.
Trigonometrik identifikatsiyadan foydalanishda muammolarni echish misollari
1-misol
Agar bo'lsa \\ sin \\ alfa va tg \\ alfa-ni toping \\ cos \\ alfa \u003d - \\ frac12 va \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;
Yechimni ko'rsating
Qaror
\\ Sin \\ alfa va \\ cos \\ alfa funktsiyalari formulaga bog'liq \\ sin ^ (2) \\ alfa + \\ cos ^ (2) \\ alfa \u003d 1. Ushbu formulaga almashtirish \\ cos \\ alfa \u003d - \\ frac12biz olamiz:
\\ sin ^ (2) \\ alfa + \\ chap (- \\ frac12 \\ o'ng) ^ 2 \u003d 1
Ushbu tenglamaning ikkita yechimi bor:
\\ sin \\ alfa \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac14) \u003d \\ pm \\ frac (\\ sqrt 3) (2)
Shart bo'yicha \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Ikkinchi chorakda sinus ijobiy, shuning uchun \\ sin \\ alfa \u003d \\ frak (\\ 3 kvrt) (2).
Tg \\ alfa-ni topish uchun biz formuladan foydalanamiz tg \\ alfa \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa)
tg \\ alfa \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3
2-misol
\\ Va cos \\ alfa va ctg \\ alfalarni toping va agar \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .
Yechimni ko'rsating
Qaror
Formulaga almashtirish \\ sin ^ (2) \\ alfa + \\ cos ^ (2) \\ alfa \u003d 1 shartli raqam \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)biz olamiz \\ chap (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ o'ng) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alfa \u003d 1. Ushbu tenglama ikkita echimga ega. \\ cos \\ alfa \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.
Shart bo'yicha \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Ikkinchi chorakda kosinus manfiy, shuning uchun \\ cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.
Ctg \\ alfa-ni topish uchun biz formuladan foydalanamiz ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alfa) (\\ sin \\ alfa). Tegishli miqdorlar bizga ma'lum.
ctg \\ alfa \u003d - \\ frac12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).
Meni cheat varaqalarini yozmasligingizga ishontirmayman. Yozing! Trigonometriya bo'yicha varaqlarni ham qo'shing. Keyinchalik, cheat varaqlari nima uchun kerakligini va cheat varaqalari qanday foydali ekanligini tushuntirishni rejalashtiraman. Va bu erda qanday o'qitmaslik kerakligi haqida ma'lumot mavjud, ammo ba'zi trigonometrik formulalarni eslang. Shunday qilib - hiyla varag'isiz trigonometriya! Biz eslab qolish uchun birlashmalardan foydalanamiz.
1. Formulaga qo'shimcha:
kosinalar doimo "juft bo'lib yurishadi": kosinosin-kosin, sinus-sinus.
Yana bir narsa: kosinalar "etarli emas". Ular "barchasi yaxshi emas", shuning uchun ular belgilarni o'zgartiradilar: "-" "" "va aksincha.
Sinuslar - “aralashtirish”: sinus kosinasi, kosinus sinusi.
2. Summa va farq formulalari:
kosinalar doimo "juft bo'lib yurishadi". Ikkita kosinani - "Kolobok" ni qo'shsak, biz bir juft kosinani olamiz - "Koloboks". Olib tashlasak, biz aniq koloboksni ololmaymiz. Biz ikkita sinus olamiz. Oldinda bir minus bilan.
Sinuslar - “aralashtirish” :
3. Mahsulotni yig'indisi va farqiga aylantirish formulalari.
Qachon biz kosinus juftligini olamiz? Biz kosinalarni qo'shsak. Shuning uchun
Sinus juftligini qachon olamiz? Kozinalarni ajratganda. Bu yerdan:
"Aralashtirish" sinuslarni qo'shganda ham, ularni kamaytirganda ham olinadi. Qaysi biri chiroyli: qo'shish yoki ayirish? O'ng, katlaning. Va formulaga qo'shimcha qo'shing:
Qavslar ichida birinchi va uchinchi formulalar yig'indisi. Joylarni qayta joylashdan boshlab, summa o'zgarmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo esdan chiqarmaslik uchun chalkashib ketmaslik uchun birinchi qavsda uchta uchta formuladan farqni olamiz.
ikkinchidan, miqdori
Cho'ntagingizda cheat choyshablari xotirjamlik beradi: agar siz formulani unutib qo'ysangiz, yozib qo'yishingiz mumkin. Va ular ishonch beradi: agar siz firibgarlik varag'idan foydalana olmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.
