Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda kerak bo'ladi? Nega ularni o'rganishga vaqt ajratishingiz kerak?

Darajalar, ular nima uchun kerakligi va bilimlaringizni kundalik hayotda qanday ishlatish haqida hamma narsani bilish uchun ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni Yagona davlat imtihonini yoki Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirishga va orzuingizdagi universitetga kirishga yaqinlashtiradi.

Ketdik... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga gobbledygook-ni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL+F5 (Windows-da) yoki Cmd+R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkich qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi matematik amaldir.

Endi men hamma narsani inson tilida juda oddiy misollar yordamida tushuntiraman. Ehtiyot bo'ling. Misollar oddiy, ammo muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har kimda ikkita shisha kola bor. Qancha kola bor? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Kola bilan bir xil misol boshqacha yozilishi mumkin: . Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular birinchi navbatda ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezroq "hisoblash" yo'lini aniqlaydilar. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola idishlari borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qiling, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali. Albatta, siz hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, yanada chiroyli:

Dangasa matematiklar yana qanday aqlli hisoblash hiylalarini o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni kuchga ko'tarish

Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi ... Va ular bunday muammolarni boshlarida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.

Sizga kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarning kuchlari jadvalida nima rang bilan ta'kidlanganligini eslang. Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deb ataladi? kvadrat raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nima degani? Juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Haqiqiy hayot misoli №1

Keling, sonning kvadratidan yoki ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Bir metrga bir metr o'lchamdagi kvadrat hovuzni tasavvur qiling. Hovuz sizning dachangizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin... hovuzning tubi yo‘q! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan yopishingiz kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuzning pastki maydonini bilishingiz kerak.

Barmog'ingizni ko'rsatib oddiygina hisoblab chiqishingiz mumkin, basseynning pastki qismi metr kubiklardan iborat. Agar sizda bir metrdan bir metrga plitkalar bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson... Lekin bunday plitkalarni qayerda ko'rgansiz? Plitka katta ehtimol bilan sm sm bo'ladi, keyin esa "barmog'ingiz bilan hisoblash" bilan qiynoqqa solasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. Ko'paytiring va siz plitkalarni olasiz ().

Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun biz bir xil sonni o'z-o'zidan ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nima degani? Biz bir xil sonni ko'paytirayotganimiz sababli, biz "eksponentsiya" texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni ko'paytirishingiz yoki ularni bir darajaga ko'tarishingiz kerak. Lekin agar sizda ular ko'p bo'lsa, ularni bir darajaga ko'tarish ancha oson va hisob-kitoblarda ham kamroq xatolar bo'ladi. Yagona davlat imtihoni uchun bu juda muhim).
Shunday qilib, ikkinchi darajaga o'ttiz () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u har doim qandaydir sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining tasviridir.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana sizga vazifa: raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida nechta kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Siz hujayralarni olasiz. () Xo'sh?

Haqiqiy hayot misoli №3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometr bilan o'lchanadi. Kutilmagan, to'g'rimi?) Hovuz chizing: tubi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va metr bilan metr o'lchamdagi qancha kub bo'lishini sanab ko'ring. sizning hovuzingizga mos keladi.

Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt... yigirma ikki, yigirma uch... Qanchadan oldingiz? Yo'qolmadimi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?

Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni ham soddalashtirsalar. Biz hamma narsani bitta harakatga qisqartirdik. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi... Bu nimani anglatadi? Bu siz diplomdan foydalanishingiz mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, bir marta barmog'ingiz bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: uchta kub teng. Bu shunday yozilgan: .

Qolgan narsa shu darajalar jadvalini eslang. Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yoqtirsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

Nihoyat, sizni ilmiy darajalarni tashlab ketuvchilar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun o'ylab topishganiga ishontirish uchun va sizga muammo tug'dirmaslik uchun hayotdan yana bir nechta misollar.

Haqiqiy hayot misoli №4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida har bir million daromadingiz uchun yana bir million daromad olasiz. Ya'ni, har bir million sizda har yilning boshida ikki baravar ko'payadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirib, "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", unda siz juda mehnatkash odamsiz va ... ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Xullas, birinchi yili - ikki ikkiga ko'paytirildi ... ikkinchi yilda - nima bo'ldi, yana ikkiga, uchinchi yilda ... To'xtang! Raqam o'z-o'zidan marta ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va eng tez hisoblay oladigan kishi bu millionlarni oladi ... Raqamlarning kuchlarini esga olish kerak, shunday emasmi?

Haqiqiy hayot misoli №5

Sizda million bor. Har yil boshida, har bir million daromadingiz uchun siz yana ikkita daromad olasiz. Ajoyib, shunday emasmi? Har million uch baravar ko'payadi. Bir yilda qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin natija boshqasiga ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uchta o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi darajaga u millionga teng. Siz faqat uchtadan to'rtinchi darajagacha yoki ekanligini yodda tutishingiz kerak.

Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni ancha osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini batafsil ko'rib chiqaylik.

Atamalar va tushunchalar... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Nima deb o'ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish oson...

Xo'sh, ayni paytda, nima shunday daraja asosi? Bundan ham oddiyroq - bu quyida, bazada joylashgan raqam.

Mana yaxshi o'lchov uchun chizilgan.

Xo'sh umumiy ko'rinish, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun... Asosli “ ” va “ ” koʻrsatkichli daraja “darajaga” deb oʻqiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural son. Ha, lekin bu nima natural son? Boshlang'ich! Natural sonlar - ob'ektlarni sanab o'tishda sanashda qo'llaniladigan raqamlar: bir, ikki, uch ... Biz ob'ektlarni sanab o'tayotganda, biz: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Shuningdek, biz "uchdan bir" yoki "nol ball besh" demaymiz. Bular natural sonlar emas. Sizningcha, bu qanday raqamlar?

"minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlar barcha natural sonlarni, natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va sonlarni o'z ichiga oladi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rublda balansingiz bo'lsa, bu sizning operatorga rubl qarzingiz borligini anglatadi.

Barcha kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'lgan? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, vazn, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etishmasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, bu cheksiz o'nli kasr. Misol uchun, agar siz aylananing atrofini uning diametriga bo'lsangiz, siz irratsional son olasiz.

Xulosa:

Ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja tushunchasini aniqlaylik.

1. Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng:
2. Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
3. Raqamni kub qilish uni o'ziga uch marta ko'paytirishni anglatadi:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:
.

Darajalar xossalari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, ko'rib chiqaylik: bu nima Va ?

A-prior:

Jami nechta ko‘paytuvchi bor?

Bu juda oddiy: biz omillarga ko'paytiruvchilarni qo'shdik va natija ko'paytiruvchilardir.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni: , isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Shuni ta'kidlash kerakki, bizning qoidamizda Majburiy bir xil sabablar bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz kuchlarni baza bilan birlashtiramiz, ammo bu alohida omil bo'lib qoladi:

faqat kuchlar mahsuli uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

2. tamom sonning kuchi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ibora o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning uchinchi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavsdan chiqarish" deb atash mumkin. Ammo siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asos bilan quvvat

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin asos nima bo'lishi kerak?

vakolatlarida tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam. Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, qaysi belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiymi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus uchun minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo agar biz ko'paytirsak, u ishlaydi.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda hamma narsa aniq deb umid qilamanmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda) hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: axir, baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

Amaliyot uchun 6 ta misol

Yechim tahlili 6 ta misol

Agar biz sakkizinchi kuchni e'tiborsiz qoldirsak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini eslaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Keling, maxrajga diqqat bilan qaraylik. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning tartibi noto'g'ri. Agar ular o'zgartirilsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Sehrli tarzda atamalar o'rnini o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni osongina o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshiliklarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni ataymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, keling, o'zimizga savol beraylik: nega bu shunday?

Keling, bir darajani asos bilan ko'rib chiqaylik. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va biz xuddi shunday narsani oldik - . Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamga ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. vositalari.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajaga teng bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning qanchalik to'g'ri? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ham oshira olmaymiz.

Keling, davom etaylik. Butun sonlarga natural sonlar va sonlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy kuch nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta shunday qilaylik: ba'zi bir oddiy sonni bir xil songa manfiy darajaga ko'paytiring:

Bu erda siz qidirayotgan narsangizni ifodalash oson:

Endi natijada olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Salbiy kuchga ega bo'lgan raqam - bu ijobiy kuchga ega bo'lgan bir xil sonning o'zaro nisbati. Lekin ayni paytda Baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki siz bo'la olmaysiz).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ishda ifoda aniqlanmagan. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday son birga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil echimlar uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun muammolarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin Yagona davlat imtihonida siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Agar siz ularni hal qila olmasangiz, ushbu misollarni yeching yoki ularning yechimlarini tahlil qiling va imtihonda ularni osonlikcha engishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi ko'rib chiqaylik ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar va.

Bu nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja", kasrni hisobga oling:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslaylik "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi bir darajaga ko'tarishning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat kengaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shamiz: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi yordamida olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan hatto ildizlarni chiqarib bo'lmaydi!

Bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni juft maxrajli kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, kamaytiriladigan kasrlar shaklida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q, lekin bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo agar biz indikatorni boshqacha yozsak, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun biz ko'rib chiqamiz kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

• - natural son;
• - butun son;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

Amaliyot uchun 5 ta misol

Trening uchun 5 ta misol tahlili

Xo'sh, endi eng qiyin qismi keldi. Endi biz buni aniqlaymiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno.

Axir, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkichlar bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq atamalarda tavsif yaratdik.

Masalan, natural ko‘rsatkichli daraja o‘ziga bir necha marta ko‘paytirilgan sondir;

...raqamni nol darajagacha- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni ular hali uni ko'paytirishni boshlamagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "bo'sh raqam" , ya'ni raqam;

...manfiy butun son darajasi- go'yo qandaydir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab darajali daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHONCH ETAMIZ! (agar siz bunday misollarni yechishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz uchun qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Quvvatni kuchga ko'tarishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi indikatorga qarang. U sizga hech narsani eslatmaydimi? Kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaylik:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko'rsatkichlardagi kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli yoki ikkala oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlaridan foydalanamiz:

ILG'IY DARAJA

Darajani aniqlash

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu erda:

• — daraja bazasi;
• - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun sonli daraja (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

Qurilish nol darajagacha:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki siz bo'la olmaysiz).

Yana bir bor nollar haqida: ishda ifoda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali quvvat

• - natural son;
• - butun son;

Misollar:

Darajalar xossalari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan kelgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida biz quyidagi mahsulotni olamiz:

Ammo ta'rifiga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash muhimdir Majburiy bir xil sabablar bo'lishi kerak. Shuning uchun biz kuchlarni baza bilan birlashtiramiz, ammo bu alohida omil bo'lib qoladi:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, ushbu ishni quyidagicha qayta guruhlaymiz:

Ma'lum bo'lishicha, ibora o'z-o'zidan marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning uchinchi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavsdan chiqarish" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz: !

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat qanday bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? vakolatlarida tabiiy indikator asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qaysi belgilar ("" yoki "") musbat va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiymi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus uchun minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - ni olamiz.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Biz quyidagilarni shakllantirishimiz mumkin oddiy qoidalar:

1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
2. Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
3. Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
4. Har qanday quvvat nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda) hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: axir, baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda siz qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar biz buni eslasak, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani ko'rib chiqishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalarni hisoblang:

Yechimlar :

Agar biz sakkizinchi kuchni e'tiborsiz qoldirsak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini eslaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Keling, maxrajga diqqat bilan qaraylik. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning tartibi noto'g'ri. Agar ular teskari bo'lsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo qanday qilib? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday bo'ladi:

Sehrli tarzda atamalar o'rnini o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni osongina o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: Barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Bizga yoqmaydigan faqat bitta kamchilikni o'zgartirib, uni almashtira olmaysiz!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: keling, daraja tushunchasini kengaytiramiz va uni soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Jami nechta harf bor? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu sizga nimani eslatadi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: U erda faqat multiplikatorlar bor edi. Ya'ni, bu, ta'rifiga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkichlar bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq atamalarda tavsif yaratdik. Masalan, natural ko‘rsatkichli daraja o‘ziga bir necha marta ko‘paytirilgan sondir; nol darajasiga bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladigan raqam, ya'ni ular hali uni ko'paytirishni boshlamagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bo'ladi. "bo'sh raqam", ya'ni raqam; butun manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo qandaydir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). Bu matematiklar daraja tushunchasini raqamlarning butun fazosiga kengaytirish uchun yaratilgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab darajali daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz uchun qaror qiling:

1)

2)

3)

Javoblar:

1. Keling, kvadratlar formulasining farqini eslaylik. Javob: .
2. Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlaridan foydalanamiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULALAR

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu erda:

Butun sonli daraja

ko'rsatkichi natural son (ya'ni, butun va musbat) bo'lgan daraja.

Ratsional darajali quvvat

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajalar xossalari

Darajaning xususiyatlari.

• Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
• Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
• Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
• Nol har qanday quvvatga teng.
• Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SO'Z SIZDA...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yoqmaganini izohlarda yozib qoldiring.

Dars xususiyatlaridan foydalanish tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Oxirgi video darsda biz ma'lum bir asosning darajasi ko'rsatkichga teng miqdorda olingan asosning mahsulotini o'z-o'zidan ifodalovchi ifoda ekanligini bilib oldik. Keling, vakolatlarning eng muhim xususiyatlari va operatsiyalarini o'rganamiz.

Masalan, bir xil asosga ega bo'lgan ikkita turli darajani ko'paytiramiz:

Keling, ushbu asarni to'liq taqdim etaylik:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ushbu ifodaning qiymatini hisoblab, biz 32 raqamini olamiz. Boshqa tomondan, xuddi shu misoldan ko'rinib turibdiki, 32 ni 5 marta olingan bir xil asosning (ikki) ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin. Va haqiqatan ham, agar hisoblasangiz, unda:

Shunday qilib, biz ishonch bilan xulosa qilishimiz mumkin:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ushbu qoida har qanday ko'rsatkichlar va har qanday sabablar uchun muvaffaqiyatli ishlaydi. Quvvatni ko'paytirishning bu xususiyati mahsulotdagi o'zgarishlar paytida ifodalarning ma'nosi saqlanib qolishi qoidasidan kelib chiqadi. Har qanday a asosi uchun ikkita (a)x va (a)y ifodalarning ko'paytmasi a(x + y) ga teng. Boshqacha qilib aytganda, asosi bir xil bo'lgan har qanday iboralar ishlab chiqarilganda, hosil bo'lgan monomial birinchi va ikkinchi ifodalarning darajalarini qo'shish orqali hosil bo'lgan umumiy darajaga ega bo'ladi.

Taqdim etilgan qoida bir nechta ifodalarni ko'paytirishda ham ajoyib ishlaydi. Asosiy shart - hamma bir xil asoslarga ega. Masalan:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Darajalar qo'shish va, agar ularning asoslari boshqacha bo'lsa, ifodaning ikkita elementi bilan har qanday kuchga asoslangan qo'shma harakatlarni amalga oshirish mumkin emas.
Videomizdan ko'rinib turibdiki, ko'paytirish va bo'lish jarayonlarining o'xshashligi tufayli mahsulotdagi kuchlarni qo'shish qoidalari bo'linish tartibiga mukammal tarzda o'tkaziladi. Ushbu misolni ko'rib chiqing:

Keling, iborani atama bo'yicha o'zgartirishni amalga oshiramiz to'liq ko'rish va dividend va bo'luvchida bir xil elementlarni kamaytiring:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ushbu misolning yakuniy natijasi unchalik qiziq emas, chunki uni hal qilish jarayonida ifodaning qiymati ikkining kvadratiga teng ekanligi aniq. Va bu ikkita, ikkinchi ifodaning darajasini birinchisining darajasidan ayirish orqali olinadi.

Bo'lim darajasini aniqlash uchun dividend darajasidan bo'linuvchining darajasini ayirish kerak. Qoida barcha qadriyatlar va barcha tabiiy kuchlar uchun bir xil asosda ishlaydi. Abstraksiya shaklida bizda:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Bir xil asoslarni darajalarga bo'lish qoidasidan nol daraja ta'rifi kelib chiqadi. Shubhasiz, quyidagi ifoda ko'rinadi:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Boshqa tomondan, agar biz bo'linishni ko'proq vizual tarzda amalga oshirsak, biz quyidagilarni olamiz:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kasrning barcha ko'rinadigan elementlarini kamaytirishda har doim 1/1 ifodasi olinadi, ya'ni bitta. Shuning uchun, nol kuchga ko'tarilgan har qanday baza birga teng ekanligi odatda qabul qilinadi:

a qiymatidan qat'iy nazar.

Biroq, agar 0 (har qanday ko'paytirish uchun hali ham 0 ni beradi) qandaydir tarzda birga teng bo'lsa, bu bema'nilik bo'lar edi, shuning uchun (0) 0 (nolning nol kuchi) ko'rinishidagi ifoda oddiygina mantiqiy emas va formula ( a) 0 = 1 shart qo'shing: "agar a 0 ga teng bo'lmasa".

Keling, mashqni hal qilaylik. Ifodaning qiymatini topamiz:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Baza hamma joyda bir xil va 34 ga teng bo'lganligi sababli, yakuniy qiymat daraja bilan bir xil bazaga ega bo'ladi (yuqoridagi qoidalarga muvofiq):

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Javob: ifoda bittaga teng.

Ko'rinib turibdiki, kuchga ega bo'lgan raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birin-ketin qo'shish orqali.

Shunday qilib, a 3 va b 2 ning yig'indisi 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.

Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning teng kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.

Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.

Bundan tashqari, agar siz ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni olsangiz, aniq.

Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilari bilan qo'shib tuzilgan bo'lishi kerak.

Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.

Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning ikki barobari kvadratiga emas, balki a ning ikki barobariga teng.

3 b n va 3a 5 b 6 yig‘indisi 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.

Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtraendlarning belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.

Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Ko'paytirish kuchlari

Quvvatli sonlarni, boshqa miqdorlar kabi, ularni birin-ketin yozish orqali, orasiga koʻpaytirish belgisi qoʻyib yoki koʻpaytirmasdan koʻpaytirish mumkin.

Shunday qilib, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.

Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3.

Bir nechta sonlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. miqdori atamalar darajalari.

Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.

Demak, a n .a m = a m+n.

a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha marta olinadi;

Va a m koeffitsient sifatida qancha marta m ga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;

Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.

Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu qoida ko'rsatkichlari bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.

1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni

Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.

Agar siz ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi va farqini ko'paytirsangiz kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.

Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Darajalar bo'limi

Kuchli raqamlarni boshqa raqamlar kabi dividenddan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yo'li bilan bo'lish mumkin.

Shunday qilib, a 3 b 2 ni b 2 ga bo'lish a 3 ga teng.

Yoki:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\frac(a^5)(a^3)$ga o'xshaydi. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.

Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..

Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ya'ni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Va a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ya'ni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Yoki:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Bu qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 bo'ladi.
Shuningdek, $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.

Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni echishga misollar

1. Ko‘rsatkichlarni $\frac(5a^4)(3a^2)$ ga kamaytiring Javob: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Ko'rsatkichlarni $\frac(6x^6)(3x^5)$ ga kamaytiring. Javob: $\frac(2x)(1)$ yoki 2x.

3. a 2 /a 3 va a -3 /a -4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 a -2 birinchi raqam.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3 /5a 7 va 5a 5 /5a 7 yoki 2a 3 /5a 2 va 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.

6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.

7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.

8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4 ni (d n + 1)/h ga bo'ling.