Funktsiya chegarasi - ta'riflar, teoremalar va xususiyatlar. Ketma-ketlik va funksiya chegarasi. Limit teoremalari Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash
Funksiyaning nuqta va nuqtadagi chegarasi
Funksiya chegarasi matematik analizning asosiy apparati hisoblanadi. Uning yordami bilan keyinchalik funktsiyaning uzluksizligi, hosilasi, integrali va qator yig'indisi aniqlanadi.
Funktsiya y bo'lsin=f(x)nuqtaning ba'zi mahallalarida belgilangan 
, ehtimol nuqtaning o'zi bundan mustasno 
.
Funksiyaning nuqtadagi chegarasining ikkita ekvivalent ta’rifini shakllantiramiz.
Ta'rif 1 ("ketma-ketliklar tilida" yoki Geyne bo'yicha). Raqam b chaqirdi funksiya chegarasi
y=f(x)
nuqtada
(yoki qachon 
), agar haqiqiy argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi uchun 
ga yaqinlashish
(bular. 
), mos keladigan funksiya qiymatlari ketma-ketligi 
raqamga yaqinlashadi b(bular. 
).
Bunday holda, ular yozadilar 
yoki 
da 
. Funksiya chegarasining geometrik ma’nosi: 
degani barcha nuqtalar uchun X, nuqtaga etarlicha yaqin
, funktsiyaning mos keladigan qiymatlari raqamdan xohlagancha farq qiladi b.
Ta'rif 2 ("tilda"yoki Koshiga ko'ra). Raqam b chaqirdi funksiya chegarasi
y=f(x)
nuqtada
(yoki qachon 
), agar har qanday musbat son uchun musbat son bo'lsa, hamma uchun 
tengsizlikni qondirish 
, tengsizlik amal qiladi 
.
Yozing 
.
Ushbu ta'rifni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
e'tibor bering, bu 
shunday yozish mumkin 
.
G 
funktsiya chegarasining geometrik ma'nosi: 
, agar nuqtaning har qanday mahallasi uchun b nuqtaning shunday mahallasi bor
bu hamma uchun 
bu mahalladan funksiyaning mos qiymatlari f
(x) nuqtaning mahallasida yotadi b. Boshqacha aytganda, funksiya grafigidagi nuqtalar y
=
f
(x) toʻgʻri chiziqlar bilan chegaralangan eni 2 chiziq ichida yotadi da
= b + ,
da = b (17-rasm). Shubhasiz, qiymati ni tanlashga bog'liq, shuning uchun ular = () ni yozadilar.
Misol Buni isbotlang 
Yechim
. Ixtiyoriy 0 ni olaylik va = () 0 ni topamiz, shunda hamma uchun X 
, tengsizlik amal qiladi 
. dan beri 
bular. 
, keyin olish 
, biz buni hamma uchun ko'ramiz X, tengsizlikni qondirish 
, tengsizlik amal qiladi 
. Demak, 
Misol Agar buni isbotlang f
(x) =
Bilan, Bu 
.
Yechim
. Uchun 
olishingiz mumkin 
. Keyin soat 
bizda ... bor . Demak, 
.
Funksiya chegarasini belgilashda 
Bunga ishoniladi X uchun intiladi
har qanday tarzda: dan kam qolgan
(chapda
), dan katta
(o'ngda
), yoki nuqta atrofida tebranish
.
Bahsni yaqinlashtirish usuli mavjud bo'lgan holatlar mavjud X Kimga
funktsiya chegarasining qiymatiga sezilarli darajada ta'sir qiladi. Shuning uchun bir tomonlama chegaralar tushunchalari kiritiladi.
Ta'rif. Raqam 
chaqirdi funksiya chegarasi
y=f(x)
chap
nuqtada
, agar har qanday 0 soni uchun = () 0 raqami bo‘lsa, shundayki 
, tengsizlik amal qiladi 
.
Chapdagi chegara quyidagicha yoziladi 
yoki qisqacha 
(Dirichlet yozuvi) (18-rasm).
Xuddi shunday ta'riflangan o'ngdagi funktsiya chegarasi , keling, uni belgilar yordamida yozamiz:
Qisqacha aytganda, o'ngdagi chegara belgilangan 
.
P 
Funktsiyaning chap va o'ngdagi chegaralari deyiladi bir tomonlama cheklovlar
. Shubhasiz, agar mavjud bo'lsa 
, keyin ikkala bir tomonlama chegaralar mavjud va 
.
Buning aksi ham to'g'ri: agar ikkala chegara mavjud bo'lsa 
Va 
va ular teng, keyin chegara bor 
Va .
Agar 
, Bu 
mavjud emas.
Ta'rif. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) intervalda aniqlanadi 
. Raqam b chaqirdi funksiya chegarasi
y=f(x)
da
X , agar har qanday son 0 uchun shunday son bo‘lsa M
= M() 0, bu hamma uchun X, tengsizlikni qondirish 
tengsizlik mavjud 
. Ushbu ta'rifni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
E 
agar X +, keyin ular yozadilar 
, Agar X , keyin yozadilar 
, Agar 
=
, keyin ularning umumiy ma'nosi odatda belgilanadi 
.
Ushbu ta'rifning geometrik ma'nosi quyidagicha: uchun 
, bu da 
Va 
mos keladigan funktsiya qiymatlari y=f(x) nuqtaning mahallasiga tushadi b, ya'ni. grafik nuqtalari to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan eni 2 chiziqda yotadi 
Va 
(19-rasm).
Funktsiya y = f (x) qonun (qoida) boʻlib, unga koʻra X toʻplamning har bir x elementi Y toʻplamning bir va faqat bitta y elementi bilan bogʻlanadi.
X element ∈ X chaqirdi funktsiya argumenti yoki mustaqil o'zgaruvchi.
Y elementi ∈ Y chaqirdi funktsiya qiymati yoki qaram o'zgaruvchi.
X to'plami deyiladi funksiya sohasi.
Elementlar to'plami y ∈ Y X to'plamida oldingi tasvirlarga ega bo'lgan , deyiladi maydon yoki funksiya qiymatlari to‘plami.
Haqiqiy funktsiya chaqiriladi yuqoridan cheklangan (pastdan), agar tengsizlik hamma uchun amal qiladigan M soni bo'lsa:
.
Raqamli funksiya chaqiriladi cheklangan, agar M raqami bo'lsa, hamma uchun:
.
Yuqori chekka yoki aniq yuqori chegara Haqiqiy funktsiya uning qiymatlari oralig'ini yuqoridan cheklaydigan eng kichik raqam deb ataladi. Ya'ni, bu s soni bo'lib, u uchun, har bir kishi uchun va har bir kishi uchun, funktsiya qiymati s' dan ortiq bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning yuqori chegarasi quyidagicha belgilanishi mumkin:
.
Mos ravishda pastki cheti yoki aniq pastki chegara Haqiqiy funktsiya qiymatlar oralig'ini pastdan cheklaydigan eng katta raqam deb ataladi. Ya'ni, bu i soni bo'lib, uning uchun hamma uchun va har bir kishi uchun funktsiya qiymati i' dan kichik bo'lgan argument mavjud: .
Funktsiyaning infimumini quyidagicha belgilash mumkin:
.
Funksiya chegarasini aniqlash
Koshi bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash
Oxirgi nuqtalarda funksiyaning chekli chegaralari
Funktsiya oxirgi nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin, nuqtaning o'zi bundan mustasno. bir nuqtada, agar biron bir uchun ga qarab shunday narsa borki, barcha x uchun tengsizlik amal qiladi.
.
Funksiya chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiya chegarasining ta’rifini quyidagicha yozish mumkin:
.
Bir tomonlama chegaralar.
Bir nuqtada chap chegara (chap tomon chegarasi):
.
Bir nuqtada o'ng chegara (o'ng chegara):
.
Chap va o'ng chegaralar ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
;
.
Funksiyaning cheksizlik nuqtalaridagi chekli chegaralari
Cheksizlik nuqtalaridagi chegaralar xuddi shunday tarzda aniqlanadi.
.
.
.
Ular ko'pincha shunday nomlanadi:
;
;
.
Nuqta qo‘shnisi tushunchasidan foydalanish
Agar nuqtaning teshilgan qo'shnisi tushunchasini kiritadigan bo'lsak, u holda biz chekli va cheksiz uzoq nuqtalardagi funksiyaning chekli chegarasining yagona ta'rifini berishimiz mumkin:
.
Bu erda oxirgi nuqtalar uchun
;
;
.
Cheksizlikdagi nuqtalarning har qanday qo'shnisi teshiladi:
;
;
.
Cheksiz funksiya chegaralari
Ta'rif
Funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida (cheklangan yoki cheksizda) aniqlansin. Funktsiya chegarasi f (x) x → x sifatida 0
cheksizlikka teng, agar har qanday ixtiyoriy katta son uchun M > 0
, d M raqami mavjud > 0
, M ga qarab, nuqtaning teshilgan d M - qo'shnisiga tegishli barcha x uchun: , quyidagi tengsizlik bajariladi:
.
Cheksiz chegara quyidagicha ifodalanadi:
.
Yoki da.
Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiyaning cheksiz chegarasini aniqlashni quyidagicha yozish mumkin:
.
Siz va ga teng bo'lgan ba'zi belgilarning cheksiz chegaralarining ta'riflarini ham kiritishingiz mumkin:
.
.
Funksiya chegarasining universal ta'rifi
Nuqtaning qo‘shnisi tushunchasidan foydalanib, funksiyaning chekli va cheksiz chegarasining universal ta’rifini berishimiz mumkin, bu ham chekli (ikki tomonlama va bir tomonlama), ham cheksiz uzoq nuqtalar uchun qo‘llaniladi:
.
Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash
Funktsiya ba'zi X to'plamda aniqlansin:.
a soni funksiyaning chegarasi deyiladi nuqtada:
,
agar x ga yaqinlashuvchi har qanday ketma-ketlik uchun 0
:
,
Elementlari X to'plamga tegishli: ,
.
Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, ushbu ta'rifni yozamiz:
.
Agar x nuqtaning chap qirrali qo'shnisini X to'plam sifatida olsak 0 , keyin chap chegaraning ta'rifini olamiz. Agar u o'ng qo'li bo'lsa, biz to'g'ri chegaraning ta'rifini olamiz. Agar cheksizlikdagi nuqtaning qo‘shniligini X to‘plam sifatida olsak, funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi ta’rifini olamiz.
Teorema
Funktsiya chegarasining Koshi va Geyn ta'riflari ekvivalentdir.
Isbot
Funksiya chegarasining xossalari va teoremalari
Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotgan funksiyalar nuqtaning tegishli qo'shnisida aniqlangan deb faraz qilamiz, bu chekli son yoki belgilardan biri: . Bundan tashqari, bir tomonlama chegara nuqtasi bo'lishi mumkin, ya'ni shakl yoki . Mahalla ikki tomonlama chegara uchun ikki tomonlama va bir tomonlama chegara uchun bir tomonlama.
Asosiy xususiyatlar
Agar funktsiyaning qiymatlari f (x) x nuqtalarning cheklangan sonini o'zgartiring (yoki aniqlanmagan qilib qo'ying). 1, x 2, x 3, ... x n, u holda bu o'zgarish ixtiyoriy x nuqtasida funktsiya chegarasining mavjudligi va qiymatiga ta'sir qilmaydi. 0 .
Agar chekli chegara mavjud bo'lsa, u holda x nuqtaning teshilgan qo'shnisi mavjud 0
, buning ustiga f funktsiya (x) cheklangan:
.
Funktsiya x nuqtada bo'lsin 0
chekli noldan farqli chegara:
.
Keyin, oraliqdan har qanday c soni uchun x nuqtasining shunday teshilgan qo'shnisi mavjud 0
, nima uchun ,
, Agar;
, Agar .
Agar nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida , doimiy bo'lsa, u holda .
Agar cheklangan chegaralar mavjud bo'lsa va x nuqtasining ba'zi teshilgan qo'shnilarida 0
,
Bu .
Agar , va nuqtaning ba'zi mahallalarida
,
Bu .
Xususan, bir nuqtaning ba'zi bir mahallasida bo'lsa
,
keyin agar , keyin va ;
agar , keyin va.
Agar x nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida bo'lsa 0
:
,
va chekli (yoki ma'lum bir belgining cheksiz) teng chegaralari mavjud:
, Bu
.
Asosiy xususiyatlarning dalillari sahifada keltirilgan
«Funksiya chegaralarining asosiy xossalari».
Funksiya chegarasining arifmetik xossalari
Vazifalar va nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida aniqlansin. Va chekli chegaralar bo'lsin:
Va .
Va C doimiy, ya'ni berilgan son bo'lsin. Keyin
;
;
;
, Agar .
Agar, keyin.
Arifmetik xususiyatlarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Funksiya chegaralarining arifmetik xossalari”.
Funksiya chegarasining mavjudligi uchun Koshi mezoni
Teorema
Cheklangan yoki cheksizlik x nuqtasining ba'zi bir teshilgan qo'shnisida aniqlangan funktsiya uchun 0
, bu nuqtada cheklangan chegarasi bor edi, bu har qanday e uchun zarur va etarli > 0
x nuqtaning shunday teshilgan mahallasi bor edi 0
, har qanday nuqta va bu qoʻshnilik uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Murakkab funktsiya chegarasi
Kompleks funktsiya chegarasi haqidagi teorema
Funktsiya chegaraga ega bo'lsin va nuqtaning teshilgan qo'shnisini nuqtaning teshilgan qo'shnisiga ko'rsating. Funktsiya shu mahallada aniqlansin va uning chegarasi bo'lsin.
Mana oxirgi yoki cheksiz uzoq nuqtalar: . Mahallalar va ularning tegishli chegaralari ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
U holda murakkab funksiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng:
.
Murakkab funktsiyaning chegara teoremasi funktsiya nuqtada aniqlanmagan yoki chegaradan farqli qiymatga ega bo'lganda qo'llaniladi. Ushbu teoremani qo'llash uchun funktsiya qiymatlari to'plamida nuqta bo'lmagan nuqtaning teshilgan qo'shnisi bo'lishi kerak:
.
Agar funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda chegara belgisi uzluksiz funktsiya argumentiga qo'llanilishi mumkin:
.
Quyida ushbu holatga mos keladigan teorema keltirilgan.
Funksiyaning uzluksiz funksiya chegarasi haqidagi teorema
g funktsiyaning chegarasi bo'lsin (t) t → t sifatida 0
, va u x ga teng 0
:
.
Mana t nuqtasi 0
chekli yoki cheksiz masofali bo'lishi mumkin: .
Va f funktsiyasi bo'lsin (x) x nuqtada uzluksizdir 0
.
U holda f kompleks funksiyaning chegarasi mavjud (g(t)), va u f ga teng (x0):
.
Teoremalarning isbotlari sahifada keltirilgan
“Kompleks funksiyaning chegarasi va uzluksizligi”.
Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar
Cheksiz kichik funktsiyalar
Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz kichik deyiladi
.
Yig'indi, farq va mahsulot da chekli sonli cheksiz kichik funksiyalar da cheksiz kichik funksiyadir.
Chegaralangan funksiya mahsuloti nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bo'yicha cheksiz kichik funktsiya - da cheksiz kichik funktsiyadir.
Funktsiyaning chekli chegarasi bo'lishi uchun bu zarur va etarli
,
da cheksiz kichik funksiya qayerda.
“Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari”.
Cheksiz katta funksiyalar
Ta'rif
Agar funktsiya cheksiz katta deyiladi
.
Nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisidagi chegaralangan funktsiyaning yig'indisi yoki farqi va cheksiz katta funktsiya - da cheksiz katta funktsiyadir.
Agar funktsiya uchun cheksiz katta bo'lsa va funksiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bilan chegaralangan bo'lsa, u holda
.
Agar funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan qo'shnisida tengsizlikni qanoatlantirsa:
,
va funksiya quyidagi hollarda cheksiz kichikdir:
, va (nuqtaning ba'zi teshilgan mahallasida), keyin
.
Xususiyatlarning dalillari bo'limda keltirilgan
“Cheksiz katta funksiyalarning xossalari”.
Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik
Oldingi ikkita xususiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik kelib chiqadi.
Agar funktsiya da cheksiz katta bo'lsa, u holda funksiya cheksiz kichik bo'ladi.
Agar funktsiya va uchun cheksiz kichik bo'lsa, u holda funktsiya uchun cheksiz katta bo'ladi.
Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiya o'rtasidagi munosabat ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
,
.
Agar cheksiz kichik funktsiya ning ma'lum bir belgisiga ega bo'lsa, ya'ni nuqtaning biron bir teshilgan qo'shnisida ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, bu faktni quyidagicha ifodalash mumkin:
.
Xuddi shu tarzda, agar cheksiz katta funktsiyaning ma'lum bir belgisi bo'lsa, ular yozadilar:
.
Shunda cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar o‘rtasidagi ramziy bog‘lanishni quyidagi munosabatlar bilan to‘ldirish mumkin:
,
,
,
.
Cheksizlik belgilari bilan bog'liq qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
“Cheksizlikdagi nuqtalar va ularning xossalari”.
Monoton funksiyalarning chegaralari
Ta'rif
X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan funktsiya deyiladi qat'iy ortib bormoqda, agar hamma uchun quyidagi tengsizlik amal qilsa:
.
Shunga ko'ra, uchun qat'iy kamayadi funktsiya uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.
Uchun kamaymaydigan:
.
Uchun oshmaydigan:
.
Bundan kelib chiqadiki, qat'iy ortib boruvchi funktsiya ham kamaymaydi. Qattiq kamayuvchi funktsiya ham ortib bormaydi.
Funktsiya chaqiriladi monoton, agar u kamaymaydigan yoki o'smaydigan bo'lsa.
Teorema
Funktsiya oraliqda kamaymasin.
Agar u yuqorida M soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar yuqoridan cheklanmagan bo'lsa, unda .
Agar u pastdan m soni bilan chegaralangan bo'lsa: u holda chekli chegara mavjud. Agar pastdan cheklanmagan bo'lsa, unda .
Agar a va b nuqtalar cheksizlikda bo'lsa, u holda ifodalarda chegara belgilari shuni anglatadi.
Bu teoremani yanada ixchamroq shakllantirish mumkin.
Funktsiya oraliqda kamaymasin. Keyin a va b nuqtalarida bir tomonlama chegaralar mavjud:
;
.
O'smaydigan funksiya uchun ham xuddi shunday teorema.
Funktsiya oraliqda ortmasin. Keyin bir tomonlama cheklovlar mavjud:
;
.
Teoremaning isboti sahifada keltirilgan
“Monotonik funksiyalarning chegaralari”.
Adabiyotlar:
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
Doimiy raqam A chaqirdi chegara ketma-ketliklar(x n ), agar har qanday ixtiyoriy kichik musbat son uchunε > 0 barcha qiymatlarga ega bo'lgan N soni mavjud x n, buning uchun n>N, tengsizlikni qanoatlantiring
|x n - a|< ε. (6.1)
Uni quyidagicha yozing: yoki x n → a.
Tengsizlik (6.1) qo'sh tengsizlikka ekvivalentdir
a- e< x n < a + ε, (6.2)
bu degani nuqtalar x n, ba'zi n>N sonidan boshlab, interval ichida yoting (a- e, a+ e ), ya'ni. har qanday kichikga tushingε - nuqta qo'shnisi A.
Limitga ega ketma-ketlik deyiladi konvergent, aks holda - turlicha.
Funksiya chegarasi tushunchasi ketma-ketlik chegarasi tushunchasini umumlashtirishdir, chunki ketma-ketlik chegarasi butun son argumentining x n = f(n) funksiyasining chegarasi sifatida qaralishi mumkin. n.
f(x) funksiya berilgan bo'lsin a - chegara nuqtasi bu funktsiyani aniqlash sohasi D(f), ya'ni. shunday nuqta, har qanday qo'shnisi D(f) to'plamining nuqtalarini o'z ichiga oladi a. Nuqta a D(f) to‘plamga tegishli bo‘lishi mumkin yoki bo‘lmasligi mumkin.
Ta'rif 1.A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→a, agar argument qiymatlarining har qanday ketma-ketligi (x n) uchun bo'lsa A, mos keladigan ketma-ketliklar (f(x n)) bir xil A chegarasiga ega.
Ushbu ta'rif deyiladi Geynega ko'ra funktsiya chegarasini belgilash orqali, yoki " ketma-ket tilda”.
Ta'rif 2. A doimiy soni deyiladi chegara funktsiyalari f(x) da x→a, agar, ixtiyoriy kichik musbat sonni ko'rsatish orqali e, bunday d ni topish mumkin>0 (e ga qarab), bu hamma uchun x, ichida yotgane-raqamning mahallalari A, ya'ni. Uchun x, tengsizlikni qondirish
0 <
x-a< ε
, f(x) funksiyaning qiymatlari yotadie-A sonining mahallasi, ya'ni.|f(x)-A|<
ε.
Ushbu ta'rif deyiladi Koshi bo'yicha funktsiya chegarasini aniqlash orqali, yoki “e - d tilida “.
1 va 2 ta'riflar ekvivalentdir. Agar f(x) funksiyasi x → bo'lsaa bor chegara, A ga teng, bu shaklda yoziladi
. (6.3)
Ketma-ketlik (f(x n)) har qanday yaqinlashish usuli uchun cheksiz ortib borayotgan (yoki kamaygan) taqdirda x chegarangizga A, u holda f(x) funksiyasi borligini aytamiz cheksiz chegara, va uni quyidagi shaklda yozing:
Chegarasi nolga teng bo'lgan o'zgaruvchi (ya'ni ketma-ketlik yoki funksiya) chaqiriladi cheksiz kichik.
Chegarasi cheksizlikka teng bo'lgan o'zgaruvchi deyiladi cheksiz katta.
Amalda chegarani topish uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi.
Teorema 1 . Agar har bir chegara mavjud bo'lsa
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Izoh. 0/0 kabi ifodalar, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - noaniq, masalan, ikkita cheksiz kichik yoki cheksiz katta miqdorlarning nisbati va bu turdagi chegarani topish "noaniqliklarni ochish" deb ataladi.
Teorema 2. (6.7)
bular. Doimiy ko'rsatkichli kuchga asoslangan chegaraga borish mumkin, xususan, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorema 3.
(6.10)
(6.11)
Qayerda e » 2.7 - natural logarifm asosi. (6.10) va (6.11) formulalar birinchi deb ataladi ajoyib chegara va ikkinchi ajoyib chegara.
(6.11) formulaning oqibatlari amalda ham qo'llaniladi:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
xususan chegara,
Agar x → a va bir vaqtning o'zida x > a, keyin x yozing→a + 0. Agar, xususan, a = 0 bo'lsa, 0+0 belgisi o'rniga +0 yozing. Xuddi shunday, agar x→a va bir vaqtning o'zida x 
va shunga mos ravishda chaqiriladi to'g'ri chegara Va chap chegara funktsiyalari f(x) nuqtada A. f(x) funksiyaning x→ sifatida chegarasi bo'lishi uchuna buning uchun zarur va yetarli 
. f(x) funksiya chaqiriladi davomiy nuqtada chegara bo'lsa x 0
. (6.15)
Shart (6.15) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:
,
ya'ni funksiya belgisi ostidagi chegaraga o'tish, agar u berilgan nuqtada uzluksiz bo'lsa, mumkin.
Agar (6.15) tenglik buzilgan bo'lsa, unda biz aytamiz da x = xo funktsiyasi f(x) Unda bor bo'shliq y = 1/x funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi to'plamdir R, x = 0 dan tashqari x = 0 nuqta D(f) to'plamining chegara nuqtasidir, chunki uning har qanday qo'shnisida, ya'ni. 0 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday ochiq oraliqda D(f) nuqtalari mavjud, lekin uning o'zi bu to'plamga tegishli emas. f(x o)= f(0) qiymati aniqlanmagan, shuning uchun x o = 0 nuqtada funksiya uzilishga ega.
f(x) funksiya chaqiriladi nuqtada o'ngda uzluksiz x o chegarasi bo'lsa
,
Va nuqtada chapda uzluksiz x o, chegara bo'lsa
.
Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi xo bu nuqtada ham o'ngga, ham chapga uning uzluksizligiga teng.
Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun xo, masalan, o'ng tomonda, birinchidan, chekli chegara bo'lishi kerak, ikkinchidan, bu chegara f(x o) ga teng bo'lishi kerak. Shuning uchun, agar bu ikki shartdan kamida bittasi bajarilmasa, u holda funktsiya uzilishga ega bo'ladi.
1. Agar chegara mavjud bo'lsa va f(x o ga teng bo'lmasa), ular shunday deyishadi funktsiyasi f(x) nuqtada x o bor birinchi turdagi yorilish, yoki sakrash.
2. Agar chegara bo'lsa+∞ yoki -∞ yoki mavjud emas, keyin ular buni aytadilar nuqta xo funktsiya uzilishga ega ikkinchi tur.
Masalan, y = krovat x at x→ +0 +∞ ga teng chegaraga ega, bu x=0 nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega ekanligini bildiradi. Funktsiya y = E(x) (ning butun qismi x) butun abstsissali nuqtalarda birinchi turdagi uzilishlar yoki sakrashlar mavjud.
Intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lgan funksiya chaqiriladi davomiy V . Uzluksiz funksiya qattiq egri chiziq bilan ifodalanadi.
Ba'zi bir miqdorning uzluksiz o'sishi bilan bog'liq ko'plab muammolar ikkinchi ajoyib chegaraga olib keladi. Bunday vazifalarga, masalan, quyidagilar kiradi: konlarning murakkab foiz qonuni bo'yicha o'sishi, mamlakat aholisining ko'payishi, radioaktiv moddalarning parchalanishi, bakteriyalarning ko'payishi va boshqalar.
Keling, ko'rib chiqaylik Ya. I. Perelmanning misoli, raqamning talqinini berish e Murakkab foizlar muammosida. Raqam e chegarasi bor 
. Jamg'arma kassalarida har yili asosiy kapitalga foizli pul qo'shiladi. Agar qo'shilish tez-tez amalga oshirilsa, kapital tezroq o'sib boradi, chunki foizlarni shakllantirishda katta miqdor ishtirok etadi. Keling, sof nazariy, juda soddalashtirilgan misolni olaylik. 100 denier bankka qo'yilsin. birliklar yillik 100% asosida. Agar foizli pul asosiy kapitalga faqat bir yildan so'ng qo'shilsa, bu muddatga kelib 100 den. birliklar 200 pul birligiga aylanadi. Keling, 100 dengizchi nimaga aylanishini ko'rib chiqaylik. birlik, agar foizli pul har olti oyda asosiy kapitalga qo'shilsa. Olti oydan keyin 100 den. birliklar 100 ga oshadi×
1,5 = 150, va yana olti oydan keyin - 150×
1,5 = 225 (den. birlik). Agar qo'shilish har 1/3 yilda amalga oshirilsa, bir yildan keyin 100 den. birliklar 100 ga aylanadi× (1 +1/3) 3" 237 (den. birlik). Biz foizli pulni 0,1 yilga, 0,01 yilga, 0,001 yilga va hokazolarni qo'shish shartlarini oshiramiz. Keyin 100 dendan. birliklar bir yildan keyin shunday bo'ladi:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. birlik),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. birlik),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. birlik).
Foizlarni qo'shish shartlarini cheksiz qisqartirish bilan to'plangan kapital cheksiz o'smaydi, lekin taxminan 271 ga teng bo'lgan ma'lum chegaraga yaqinlashadi. Yillik 100% stavkada qo'yilgan kapital, hatto hisoblangan foizlar bo'lsa ham, 2,71 baravardan ko'p o'sishi mumkin emas. chegarasi tufayli poytaxtga har soniya qo'shildi
3.1-misol.Sonlar ketma-ketligi chegarasining taʼrifidan foydalanib, x n =(n-1)/n ketma-ketlikning 1 ga teng chegarasi borligini isbotlang.
Yechim.Nima bo'lganda ham buni isbotlashimiz kerakε > 0, nima bo'lishidan qat'iy nazar, u uchun N natural soni borki, hamma n N uchun tengsizlik bajariladi.|x n -1|< ε.
Har qanday e > 0 ni olaylik. Chunki ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, u holda N ni topish uchun 1/n tengsizlikni yechish kifoya.< e. Demak, n>1/ e va shuning uchun N ni 1/ ning butun qismi sifatida qabul qilish mumkin. e , N = E (1/ e ). Shu bilan biz chegara ekanligini isbotladik.
3-misol.2
. Umumiy had bilan berilgan ketma-ketlikning chegarasini toping 
.
Yechim.Yig‘indi teoremasining chegarasini qo‘llaymiz va har bir hadning chegarasini topamiz. Qachon n→ ∞ har bir atamaning payi va maxraji cheksizlikka intiladi va biz qism chegarasi teoremasini bevosita qo'llay olmaymiz. Shuning uchun birinchi navbatda biz o'zgartiramiz x n, birinchi hadning sonini va maxrajini ga bo'lish n 2, ikkinchisi esa n. So'ngra, qismning chegarasi va yig'indi teoremasining chegarasini qo'llagan holda, biz topamiz:
.
3.3-misol. 
. Toping.
Yechim. 
.
Bu yerda biz daraja chegarasi teoremasidan foydalandik: daraja chegarasi asos chegarasining darajasiga teng.
3-misol.4
. toping ( 
).
Yechim.Farq teoremasining chegarasini qo'llash mumkin emas, chunki bizda shaklning noaniqligi bor ∞-∞ . Umumiy atama formulasini o'zgartiramiz:
.
3-misol.5 . f(x)=2 1/x funksiya berilgan. Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.
Yechim.Ketma-ket orqali funksiya chegarasining 1 ta’rifidan foydalanamiz. 0 ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ( x n ) olaylik, ya'ni. f(x n)= qiymati turli ketma-ketliklar uchun turlicha harakat qilishini ko'rsatamiz. x n = 1/n bo'lsin. Shubhasiz, keyin chegara 
Keling, shunday qilib tanlaylik x n umumiy atama x n = -1/n bo'lgan ketma-ketlik, shuningdek, nolga moyil. 
Shuning uchun hech qanday chegara yo'q.
3-misol.6 . Hech qanday chegara yo'qligini isbotlang.
Yechim.x 1 , x 2 ,..., x n ,... qaysi uchun ketma-ketlik boʻlsin
. (f(x n)) = (sin x n) ketma-ketligi turli x n → ∞ uchun qanday harakat qiladi
Agar x n = p n bo'lsa, sin x n = sin p hamma uchun n = 0 n va chegara Agar
x n =2 p n+ p /2, keyin sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hamma uchun 1 n va shuning uchun chegara. Demak, u mavjud emas.
Onlayn chegaralarni hisoblash uchun vidjet
Yuqori oynada sin(x)/x o'rniga limitini topmoqchi bo'lgan funksiyani kiriting. Pastki oynada x ga moyil bo'lgan raqamni kiriting va Hisoblash tugmasini bosing, kerakli chegarani oling. Va agar natija oynasida yuqori o'ng burchakdagi Qadamlarni ko'rsatish tugmachasini bossangiz, siz batafsil echimga ega bo'lasiz.
Funksiyalarni kiritish qoidalari: sqrt(x) - kvadrat ildiz, cbrt(x) - kub ildiz, exp(x) - ko'rsatkich, ln(x) - natural logarifm, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangens, kot(x) - kotangens, arksin(x) - arksinus, arccos(x) - arkkosin, arktan(x) - arktangens. Belgilari: * ko'paytirish, / bo'lish, ^ ko'rsatkich, o'rniga cheksizlik Cheksizlik. Misol: funksiya sqrt(tan(x/2)) sifatida kiritiladi.
Yechim onlayn funksiya cheklovlari. Nuqtadagi funksiya yoki funksional ketma-ketlikning chegaraviy qiymatini toping, hisoblang yakuniy funksiyaning cheksizlikdagi qiymati. raqamlar seriyasining yaqinlashuvini aniqlash va boshqa ko'p narsalarni bizning onlayn xizmatimiz tufayli amalga oshirish mumkin -. Biz sizga onlayn funksiya chegaralarini tez va aniq topish imkonini beramiz. Siz o'zingiz funktsiya o'zgaruvchisi va unga moyillik chegarasini kiritasiz va bizning xizmatimiz siz uchun barcha hisob-kitoblarni amalga oshiradi va aniq va oddiy javob beradi. Va uchun onlayn chegarani topish to'g'ridan-to'g'ri ifodada doimiylarni o'z ichiga olgan sonli qatorlarni ham, analitik funktsiyalarni ham kiritishingiz mumkin. Bunday holda, funksiyaning topilgan chegarasi ifodada doimiy argumentlar sifatida ushbu konstantalarni o'z ichiga oladi. Bizning xizmatimiz topishning har qanday murakkab muammolarini hal qiladi onlayn cheklovlar, funktsiyani va hisoblash uchun zarur bo'lgan nuqtani ko'rsatish kifoya funksiyaning chegaraviy qiymati. Hisoblash onlayn cheklovlar, bilan olingan natijani tekshirishda siz ularni hal qilish uchun turli usullar va qoidalardan foydalanishingiz mumkin onlayn cheklovlarni hal qilish www.saytda, bu vazifani muvaffaqiyatli bajarishga olib keladi - siz o'zingizning xatolaringiz va ish yuritish xatolaringizdan qochasiz. Yoki funksiya limitini mustaqil hisoblash uchun ortiqcha kuch va vaqt sarflamasdan, bizga to‘liq ishonishingiz va natijamizdan o‘z ishingizda foydalanishingiz mumkin. Biz cheksizlik kabi chegara qiymatlarini kiritishga ruxsat beramiz. Raqamlar qatorining umumiy a'zosini kiritish kerak va www.sayt qiymatini hisoblab chiqadi onlayn chegara ortiqcha yoki minus cheksizlikka.
Matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bu funktsiya chegarasi Va ketma-ketlik chegarasi bir nuqtada va cheksizda, to'g'ri hal qila olish muhimdir chegaralar. Bizning xizmatimiz bilan bu qiyin bo'lmaydi. Qaror qabul qilinadi onlayn cheklovlar bir necha soniya ichida javob aniq va to'liq bo'ladi. Matematik tahlilni o'rganish shundan boshlanadi chegaraga o'tish, chegaralar Oliy matematikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi, shuning uchun qo'lda server bo'lishi foydalidir onlayn chegara echimlari, bu sayt.
Funktsiya chegarasi- raqam a ba'zi o'zgaruvchan miqdorning chegarasi bo'ladi, agar uning o'zgarishi jarayonida bu o'zgaruvchan miqdor cheksiz yaqinlashsa. a.
Yoki boshqacha aytganda, raqam A funksiyaning chegarasi hisoblanadi y = f(x) nuqtada x 0, agar funktsiyani aniqlash sohasi nuqtalarining har qanday ketma-ketligi uchun , teng emas x 0, va qaysi bir nuqtaga yaqinlashadi x 0 (lim x n = x0), mos keladigan funktsiya qiymatlari ketma-ketligi raqamga yaqinlashadi A.
Cheksizlikka intiluvchi argument berilganda chegarasi teng bo‘lgan funksiya grafigi L:
Ma'nosi A hisoblanadi funksiyaning chegarasi (chegara qiymati). f(x) nuqtada x 0 har qanday nuqtalar ketma-ketligi uchun 
ga yaqinlashadi x 0, lekin o'z ichiga olmaydi x 0 uning elementlaridan biri sifatida (ya'ni teshilgan yaqin joyda x 0), funksiya qiymatlari ketma-ketligi 
ga yaqinlashadi A.
Koshi funksiyasining chegarasi.
Ma'nosi A bo'ladi funksiya chegarasi f(x) nuqtada x 0 agar oldindan olingan har qanday salbiy bo'lmagan raqam uchun ε tegishli manfiy bo'lmagan son topiladi δ = δ(ε) har bir dalil uchun shunday x, shartni qondirish 0 < | x - x0 | < δ , tengsizlik qanoatlantiriladi | f(x)A |< ε .
Agar siz chegaraning mohiyatini va uni topishning asosiy qoidalarini tushunsangiz, bu juda oddiy bo'ladi. Funktsiyaning chegarasi nima f (x) da x uchun intilish a teng A, shunday yozilgan:
Bundan tashqari, o'zgaruvchi moyil bo'lgan qiymat x, nafaqat son, balki cheksizlik (∞), ba'zan +∞ yoki -∞ bo'lishi mumkin yoki umuman chegara bo'lmasligi mumkin.
Qanday qilib tushunish uchun funktsiya chegaralarini toping, yechimlar misollarini ko'rib chiqish yaxshidir.
Funktsiyaning chegaralarini topish kerak f (x) = 1/x da:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Keling, birinchi chegaraga yechim topaylik. Buning uchun siz shunchaki almashtirishingiz mumkin x u moyil bo'lgan raqam, ya'ni. 2, biz olamiz:
Funksiyaning ikkinchi chegarasini topamiz. Bu erda o'rniga sof 0 qo'ying x mumkin emas, chunki Siz 0 ga bo'la olmaysiz. Ammo biz nolga yaqin qiymatlarni olishimiz mumkin, masalan, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 va boshqalar va funksiya qiymati f (x) ortadi: 100; 1000; 10000; 100 000 va boshqalar. Shunday qilib, qachon ekanligini tushunish mumkin x→ 0 chegara belgisi ostida bo'lgan funksiyaning qiymati cheksiz ortadi, ya'ni. cheksizlik sari intiling. Bu degani:
Uchinchi chegara haqida. Oldingi holatda bo'lgani kabi bir xil vaziyatni almashtirish mumkin emas ∞ uning eng sof shaklida. Biz cheksiz o'sish holatini ko'rib chiqishimiz kerak x. Biz 1000 ni birma-bir almashtiramiz; 10000; 100000 va shunga o'xshash, biz funktsiyaning qiymatiga egamiz f (x) = 1/x kamayadi: 0,001; 0,0001; 0,00001; va hokazo, nolga moyil. Shunung uchun:
Funktsiyaning chegarasini hisoblash kerak 
Ikkinchi misolni hal qila boshlasak, biz noaniqlikni ko'ramiz. Bu erdan biz hisoblagich va maxrajning eng yuqori darajasini topamiz - bu x 3, biz uni pay va maxrajdagi qavslardan chiqaramiz va keyin uni quyidagicha qisqartiramiz:
Javob 
Birinchi qadam bu chegarani topish, o'rniga 1 qiymatini qo'ying x, natijada noaniqlik yuzaga keladi. Buni yechish uchun hisobni koeffitsientlarga ajratamiz va buni kvadrat tenglamaning ildizlarini topish usuli yordamida bajaramiz. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Shunday qilib, raqam quyidagicha bo'ladi:
Javob 
Bu uning o'ziga xos qiymatining ta'rifi yoki funktsiya tushadigan ma'lum bir hudud, chegara bilan cheklangan.
Cheklovlarni hal qilish uchun quyidagi qoidalarga amal qiling:
Mohiyatni va asosiyni tushunib, chegarani yechish qoidalari, siz ularni qanday hal qilish haqida asosiy tushunchaga ega bo'lasiz.
