Uchburchaklar tengligini bildiruvchi 1 ta belgi nima? Uchburchaklar tengligining birinchi belgisi: shakllantirish va isbotlash (7-sinf). Uchburchaklar haqida oddiy haqiqatlar

3.1 teorema (uchburchak tenglik belgisi ikki tomonda va ular orasidagi burchakda).Agar ikki tomon va burchak Ularning orasidagi bitta uchburchakning ikki tomoniga va boshqa uchburchakning orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Isbot. ABC va A 1 B 1 C 1 A = A 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 uchburchaklar bo'lsin (44-rasm). Keling, buni isbotlaylik uchburchaklar teng.

A 1 B 2 C 2 ABC uchburchagiga teng uchburchak bo‘lsin, cho‘qqisi B 2 A 1 B 1 nurda va C 2 cho‘qqisi A 1 B 1 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan bir xil yarim tekislikda, bu yerda C 1 cho‘qqi joylashgan ( 45-rasm, a ).

A 1 B 1 = A 1 B 2 bo'lgani uchun B 2 cho'qqisi B 1 cho'qqisiga to'g'ri keladi (45.6-rasm). B 1 A 1 C 1 = B 2 A 1 C 2 ekan, u holda A 1 C 2 nur A 1 C 1 nuriga to'g'ri keladi (45-rasm, c). A 1 C 1 = A 1 C 2 ekan, u holda C 2 cho'qqisi C 1 cho'qqisiga to'g'ri keladi (45-rasm, d).

Demak, A 1 B 1 C 1 uchburchak A 1 B 2 C 2 uchburchak bilan mos tushadi, ya’ni u ABC uchburchakka teng. Teorema isbotlangan.

Muammo (1). AB va CD segmentlari O nuqtada kesishadi, bu ularning har birining o'rta nuqtasidir. Agar AC segmenti = 10 m bo'lsa, BD segmentining uzunligi qancha?

Yechim. AOC va BOD uchburchaklari birinchi belgiga ko'ra tengdir uchburchak mosligi(46-rasm).

Ularning AOC va BOD burchaklari vertikalga teng, OA=OB va OC=OD, chunki O nuqta AB va CD segmentlarining oʻrtasi. AOC va BOD uchburchaklarning tengligidan ularning AC va BD tomonlari teng ekanligi kelib chiqadi. Va chunki, masalaning shartlariga ko'ra, AC = 10 m, keyin BD = 10 m.

A. V. Pogorelov, 7-11-sinflar uchun geometriya, Ta'lim muassasalari uchun darslik

Dars xulosasi

"Uchburchaklar tengligining birinchi belgisi"

(1-dars, 7-sinf, L.S.Atanasyan darsligi bo'yicha)

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

Teorema tushunchasi va teoremaning isboti bilan tanishtirish;

Uchburchaklar tengligining birinchi belgisini isbotlang;

Uchburchaklar tengligining birinchi mezonidan foydalanib masalalar yechishni o'rganing.

Rivojlanish:

Taqqoslash, xulosalarni umumlashtirish, shartlarning natijaga ta'sirini baholash qobiliyatini rivojlantirish;

Talabalarning mantiqiy tafakkurini rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

Ma'lumotlarni tahlil qilish, berilgan binolardan mantiqiy natijalarni olish va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;

Diqqatni jamlash va diqqatni jamlash qobiliyatini rivojlantirish.

Uslubiy maqsad: sinab ko'ring yangi yondashuv teoremani shakllantirish uchun, shartlar etarli bo'lgan paytni o'quvchilar ushlaydimi yoki yo'qligini aniqlang.

Dars turi: birlashtirilgan.

Uskunalar: kompyuter, ekran, proyektor, taqdimot, o'lchagich, uchburchak,

rangli qalamlar.

Darslar davomida

Tashkiliy vaqt: (2 daqiqa)

Oldingi darsda biz "Uchburchaklar" bobini o'rganishni boshladik. Qaysi ikkita raqam, xususan, ikkita uchburchak teng deb atalishini bilib oldik. Bugun biz ikkita raqamning tengligini bir-birining ustiga qo'ymasdan, lekin bu raqamlarning faqat ba'zi elementlarini taqqoslash orqali, xususan, uchburchaklarni qanday solishtirish mumkinligini bilib olamiz.

Yopilgan materialni takrorlash: ( 6 daqiqa)

Oldingi dars materialini takrorlaymiz.

Quyidagi savollar bo'yicha nazariy so'rov:

qanday figura uchburchak deb atalishini tushuntiring;

uchburchak chizish va uning tomonlarini, uchlarini va burchaklarini ko'rsatish;

uchburchakning perimetri qancha?

Qaysi uchburchaklar konngruent deyiladi?

Har bir o'quvchiga 6-7 ta qog'ozli uchburchak solingan konvert beriladi; Talabalardan ular orasidan tenglarni topish so'raladi.

Qidiruv tugagach, talabalardan biridan bu juftlikni qanday topganini so'rang. Talaba bir uchburchakni ikkinchisining ustiga qanday qo'yganligini aytib beradi.

Og'zaki testdan so'ng amaliy topshiriqni bajarish:

No1: ∆DEK, ∆MNP doskada (yoki slaydda) chiziladi.

1-rasm

Burchaklarni nomlang:

a) EK tomoniga ulashgan ∆DEK;

b) MN tomoniga ulashgan ∆MNP.

Burchakka nom bering:

a) DE va DK taraflari o'rtasida tuzilgan ∆DEK;

b) ∆MNP, NP va RM tomonlari o'rtasida tuzilgan.

Qaysi tomonlar o'rtasida:

a) ∆DEK K burchakni qamrab oladi;

b) ∆MNP N burchakka kiritilgan?

2-rasm

Men talabani doskaga chaqiraman, u o'z javobini chizmalar va doskadagi yozuvlar bilan namoyish etadi.

3. Yangi materialni o'rganish: ( 16 daqiqa)

Ikkita uchburchakning tengligini o'rnatish uchun siz ularni birlashtirishingiz yoki tegishli tomonlar va mos burchaklarning tengligini tekshirishingiz kerak. Oltita tenglik! Ammo ba'zida oltita tenglikni birlashtirish yoki tekshirish mumkin emas. Ha, bu shart emas, ma'lum bo'lishicha, ulardan faqat ba'zilarini o'rnatish kifoya. Bizning maqsadimiz ushbu oltita tenglikning qaysi biri haqiqatan ham zarurligini aniqlashdir.

Demak, bizda muammo bor.

Keling, buni hal qilaylik.

3-rasm

Ma’lum bo‘lishicha, “Agar bir uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar mos keladi” degan gap to‘g‘ri ekan. Ushbu bayonot "Uchburchaklar teng bo'lgan birinchi belgi" deb ataladi.

Matematikada esa asosliligi mulohazalar bilan belgilanadigan har bir gap, teorema deb ataladi, va fikrlashning o'zi deyiladi teoremaning isboti.

Biz qanday teoremalarni bilamiz?

Mulk qo'shni burchaklar va vertikal burchaklar xossasi.

Nima uchun uchburchaklar tengligi haqidagi teorema mezon deb ataladi?

belgisi ( V. Dalga ko'ra) belgi, farq, hamma narsa, nima uchun ular nimanidir tan oladilar. Derazadagi sovuq naqshni ko'rganingizdan so'ng, siz uyingizdan chiqmasdan tashqarida sovuq ekanligini aytishingiz mumkin. 7859467 raqami 9 ga bo'linish yoki bo'linmasligini bilish uchun bo'linishni bajarish shart emas: siz bo'linish testidan foydalanishingiz mumkin.

Belgisi ikkita uchburchakning tengligini ulardan birini boshqasiga qo'ymasdan, balki uchburchaklarning faqat ba'zi elementlarini solishtirish orqali aniqlashga imkon beradi.

Har qanday teorema shart va xulosadan iborat. “Teorema sharti” iborasi nimani anglatishini va “teoremaning xulosasi” nimani anglatishini qanday tushunasiz?

Shart - bu teoremada muhokama qilinadigan allaqachon ma'lum bo'lgan faktlar va xulosa isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

“Uchburchaklar tengligining birinchi mezoni” teoremasining shartini ajratib ko‘rsating.

Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa.

Teoremaning xulosasini ajratib ko'rsating.

Keyin bunday uchburchaklar mos keladi.

Shunday qilib, uchburchaklar tengligining birinchi belgisini isbotlaymiz:

Endi yana bir savolga qaraylik. Lekin birinchi navbatda formulani diqqat bilan tinglang: agar bir uchburchakning ikki tomoni va burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va burchagiga teng bo'lsa, unda bunday uchburchaklar mos keladi. Sizningcha, bu bayonot haqiqatmi?

∆ABC va ∆ADC ni ko'rib chiqamiz.

4-rasm

ABC uchburchakning AB tomoni ADC uchburchakning AD tomoniga teng, AC tomoni umumiy, C tomoni umumiy. Ammo uchburchaklar teng emas. Demak, bayonotning sharti qanoatlantirilgan, ammo xulosa emas. Bu bayonot haqiqat emasligini anglatadi. Iltimos, toʻlang Maxsus e'tibor, "ular orasida" sharti zarurligiga!

4. Yangi materialni birlashtirish: (10 daqiqa)

Keling, masalani yechishda teorema qanday qo‘llanilishini ko‘rib chiqaylik.

Doskaning orqa tomonida yoki slaydda oldindan tayyorlangan tayyor chizmalar yordamida masalalarni og'zaki hal qilish.

№2:

Har bir masalani yechish uchun men o‘quvchini doskaga chaqiraman, u yerda u chizmada aytib o‘tilgan elementlarni ko‘rsatib yechimini sharhlaydi. Qolgan talabalar javobni tinglaydilar, agar kerak bo'lsa, to'g'rilaydilar va to'ldiradilar.

Men o'quvchilar e'tiborini rasmiy "uchburchaklar birinchi belgida teng" emas, balki "uchburchaklar ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak" ma'lumotnomasining majburiy mazmuniga qarataman, hamma yechimni tushungan yoki tushunmaganligini aniqlayman va savollar tug'ilsa, o'zim javob beraman.

Agar muammo ikkita uchburchakning mos ekanligini isbotlashni talab qilsa, nimadan foydalanish kerak: ta'rif yoki teorema?

Albatta, bu teorema. Ta'rifga ko'ra, siz uchburchaklarni birlashtirishingiz kerak va teoremaga ko'ra, uchta tenglikni tekshirishingiz kerak.

Shaklda. AB = AC, 1 = 2.

a) ABD va ACD uchburchaklari konngruent ekanligini isbotlang;

b) AC = 15 sm, DC = 5 sm bo'lsa, BD va AB ni toping.

Berilgan: AB = AC, 1 = 2,

AC=15 sm, DC=5 sm.

Isbot qiling:

∆AVD = ∆ASD.

Toping: VD, AV.

Isbot: Yechimini doskaga yozishdan oldin o‘quvchilardan masalani og‘zaki yechishlarini so‘rayman. Bir talaba fikr bildiradidalil. Yana biri - segmentlarning uzunligini topish. Undan keyinMuammoning yechimini yozamiz: men doskadaman, o‘quvchilar daftarlarida.

Mumkin bo'lgan yechim kiritish:

Isbot:

∆AVD va ∆ASD ni ko'rib chiqamiz.

AB = AC (odat bo'yicha)

AD - umumiy tomon ∆AVD = ∆ASD (ikkiga ko'ra

1 = 2 (an'anaviy) tomonlar va ular orasidagi burchak)

Og'zaki izoh: ABD va ACD uchburchaklari ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak uchburchaklar tengligining birinchi belgisi bo'lib, unda shunday deyiladi: “Bir uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda ikki tomon va burchakka teng bo'lsa. ular orasida boshqa uchburchak bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi."

VD = DC = 5 sm, AB = AC = 15 sm (teng uchburchaklarning mos keladigan elementlari sifatida).

Javob: VD = 5 sm, AB = 15 sm.

Men hal qilish jarayonida biron bir savol tug'ilganligini bilaman.

5. Dars xulosasi:(4 daqiqa)

Shunday qilib, keling, takrorlaymiz:

Qaysi uchburchaklar teng deb ataladi?

Teorema nima deyiladi?

Teoremaning isboti deb nimaga aytiladi?

Bugun qaysi teoremani isbotladik? Uni shakllantirish.

Nima uchun teorema belgi deb ataladi?

Talabalar savollarga javob berishadi.

Sinfdagi ish uchun baholarni sharhlar bilan beraman.

6. Uy vazifasi: ( 2 daqiqa)

P 15. 3-4-savollar 49-50-betlar. № 93, 95.

№ 93. AE va DC segmentlari B nuqtasida kesishadi, bu ularning har birining o'rta nuqtasidir. A) ABC va EBD uchburchaklari konngruent ekanligini isbotlang; b) ABC uchburchakning A va C burchaklarini toping, agar BDE uchburchakda D = 470, E = 420.

№ 95. Shaklda. BC = AD, 1 = 2, a) ABC va CDA uchburchaklari konngruent ekanligini isbotlang; b) AD = 17 sm, DC = 14 sm bo'lsa, AB va BC ni toping.

Adabiyotlar ro'yxati:

Atanasyan L.S., Butuzov V.F. va boshqalar Geometriya 7-9 sinflar. 7-9-sinflar uchun darslik o'rta maktab. - M.: Ta'lim, 2006 yil.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F. va boshqalar.7-9-sinflarda geometriyani o'rganish. Ko'rsatmalar darslikka. - M.: Ta'lim, 2000 yil.

Kovaleva G.I., Mazurova N.I. Joriy va umumiy nazorat uchun testlar. "O'qituvchi" nashriyoti 2008 yil.

Amelkin V.V., Rabtsevich T.I. Chizmalar va formulalarda maktab geometriyasi. 2008 yil.

Ushbu maqolada biz sizga qanday shakllantirish va isbotlashni aytib beramiz uchburchaklar tengligining birinchi belgisi 7-sinfda bo'lib o'tadi.

Uchburchaklar tengligining birinchi belgisini shakllantirish

"Agar bir uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bu uchburchaklar mos keladi."

Bu qisqacha tenglik deb ataladi "ikki tomondan va ular orasidagi burchakda".

Davom etishdan oldin, uchburchak deb ataladigan narsani eslab qolish kerak va bu holda ikkita uchburchak teng deb aytish mumkin.

Uchburchak nima va ular qachon teng hisoblanadi?

Uchburchak uch nuqtani tutashtiruvchi uchta segmentdan iborat geometrik figuradir (agar ular bir to‘g‘ri chiziqda yotmasalar. Bu nuqtalar hisobga olinadi. cho'qqilari uchburchak. Va ularni bog'laydigan segmentlar partiyalar).

1-rasmda ABC uchburchagi ko'rsatilgan. Uning uchta uchi bor (A, B va C). Va tomonlari AB, AC va BC.

1-rasm

Uchburchaklar, agar ularning barcha tomonlari va burchaklari mos ravishda bir-biriga teng bo'lsa, teng deb hisoblanadi (agar faqat burchaklar teng va tomonlari proportsional bo'lsa, uchburchaklar deyiladi. o'xshash). Shunday qilib, teng uchburchaklarni bir-birining ustiga qo'yish mumkinligi aniq - va ular butunlay mos keladi.

Uchburchaklar tengligining birinchi belgisini isbotlash

Berilgan:

Ikkita uchburchak: ABC va DEF (2-rasm).

2-rasm

Teorema shartlariga ko'ra, bu uchburchaklarning ikkita juft segmenti bir-biriga teng (AC = FD va CB = EF). Segmentlar orasidagi burchaklar ham teng (ya'ni ∠ACV = ∠EFD).

isbotlash bu ABC uchburchagi DEF uchburchagiga teng.

Isbot:

Burchaklar tengligi (∠ACB = ∠EFD) bo'lganligi sababli, uchburchaklarni bir-birining ustiga qo'yish mumkin, shunda C uchi F cho'qqi bilan mos keladi.
Bunday holda, CA va CB segmentlari FE va FD segmentlarini qoplaydi.
Va ikkita uchburchakning segmentlari bir-biriga teng bo'lganligi sababli (shart bo'yicha AC = FD va CB = EF), u holda AB segmenti ham ED tomoni bilan mos keladi.
Bu o'z navbatida A va D, B va E cho'qqilarining kombinatsiyasiga olib keladi.
Shuning uchun, uchburchaklar to'liq mos keladi, ya'ni ular tengdir.

Teorema isbotlangan.

1) ikki tomonda va ular orasidagi burchakda

Isbot:

ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar A burchak A 1 ga, AB A 1 B 1 ga, AC A 1 C 1 ga teng bo‘lsin. Keling, uchburchaklar teng ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'yaylik (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga A burchak A 1 burchakka to'g'ri keladi. AB=A 1 B 1 va AC=A 1 C 1 ekan, u holda B B 1 bilan, C esa C 1 bilan mos keladi. Demak, A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchak bilan mos keladi va shuning uchun ABC uchburchagiga teng.

Teorema isbotlangan.

2) yon va qo'shni burchaklar bo'ylab

Isbot:

ABC va A 1 B 1 C 1 ikkita uchburchak bo'lsin, ularda AB A 1 B 1 ga, A burchak A 1 burchakka, B burchak B 1 burchakka teng. Keling, ular teng ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'yaylik (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga, AB A 1 B 1 bilan mos tushadi. ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 va ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 boʻlgani uchun, AC nuri A 1 bilan mos tushadi. C 1 va BC B 1 C 1 bilan mos keladi. Bundan kelib chiqadiki, C cho'qqisi C 1 bilan to'g'ri keladi. Demak, A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchak bilan mos keladi va shuning uchun ABC uchburchakka teng.

Teorema isbotlangan.

3) uch tomondan

Isbot:

AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1 bo‘lgan ABC va A l B l C 1 uchburchaklarni ko‘rib chiqaylik. DAVS =DA 1 B 1 C 1 ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'llaymiz (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchakka A cho'qqisi A 1 cho'qqisi bilan, B cho'qqisi B 1 cho'qqisi bilan, C va C 1 cho'qqilari A 1 B 1 to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida bo'lishi uchun. Keling, 3 ta holatni ko'rib chiqaylik:

1) C 1 C nur A 1 C 1 B 1 burchak ichidan o‘tadi. Chunki teorema shartlariga ko'ra, AC va A 1 C 1, BC va B 1 C 1 tomonlari teng bo'lganligi sababli, A 1 C 1 C va B 1 C 1 C uchburchaklar teng yon tomonli bo'ladi. Teng yonli uchburchak burchaklarining xossasi haqidagi teoremaga ko‘ra, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, demak, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

2) C 1 C nuri bu burchakning bir tomoniga to'g'ri keladi. CC 1da yotadi. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - teng yon tomonli, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) C 1 C nur A 1 C 1 B 1 burchakdan tashqarida o'tadi. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, bu ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 degan ma’noni anglatadi.

Demak, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Demak, ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklari tengdir
uchburchaklar tengligining birinchi mezoni.

Teorema isbotlangan.

2. Segmentni n ta teng qismga bo'lish.

A orqali nur chizing, unga n ta teng segmentni yotqiz. B va A n orqali to'g'ri chiziq va unga A 1 - A n -1 nuqtalar orqali parallel chiziqlar o'tkazing. Ularning AB bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. Thales teoremasi bo'yicha teng bo'lgan n ta segmentni olamiz.

Thales teoremasi. Agar ikkita chiziqdan birida bir nechta teng segmentlar ketma-ket joylashtirilsa va ikkinchi chiziqni kesib o'tadigan uchlari orqali parallel chiziqlar o'tkazilsa, ular ikkinchi chiziqdagi teng segmentlarni kesib tashlaydilar.

Isbot. AB=CD

1. A va C nuqtalar orqali burchakning boshqa tomoniga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazing. Ikkita AB 2 B 1 A 1 va CD 2 D 1 C 1 parallelogrammalarni olamiz. Paralelogramma xossasiga ko'ra: AB 2 = A 1 B 1 va CD 2 = C 1 D 1.

2. DABB 2 =DCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 va uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga asosan teng:
teorema bo'yicha AB = CD,
mos keladiganlar sifatida, parallel BB 1 va DD 1 BD to'g'ri chiziq kesishmasida hosil bo'ladi.

3. Xuddi shunday, burchaklarning har biri sekantlarning kesishish nuqtasida cho'qqi bilan burchakka teng bo'lib chiqadi. AB 2 = CD 2 konngruent uchburchaklardagi mos elementlar sifatida.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Geometrik masalalarni yechishda bunday algoritmga amal qilish foydalidir. Muammoning shartlarini o'qiyotganda, bu zarur

Chizma qiling. Chizma muammoning shartlariga imkon qadar mos kelishi kerak, shuning uchun uning asosiy vazifasi yechim topishga yordam berishdir
Muammo bayonotidagi barcha ma'lumotlarni chizmaga qo'ying
Masalada uchraydigan barcha geometrik tushunchalarni yozing
Ushbu tushunchalar bilan bog'liq barcha teoremalarni eslang
Ushbu teoremalardan kelib chiqadigan geometrik figuraning elementlari orasidagi barcha munosabatlarni chizmaga chizing

Masalan, agar masalada uchburchak burchagining bissektrisa so'zlari mavjud bo'lsa, bissektrisaning ta'rifi va xossalarini eslab qolish va chizmada teng yoki proportsional segmentlar va burchaklarni ko'rsatish kerak.

Ushbu maqolada siz muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun bilishingiz kerak bo'lgan uchburchakning asosiy xususiyatlarini topasiz.

Uchburchak.

Uchburchakning maydoni.

1. ,

bu erda - uchburchakning ixtiyoriy tomoni, - bu tomonga tushirilgan balandlik.

2. ,

bu yerda va uchburchakning ixtiyoriy tomonlari va bu tomonlar orasidagi burchak:

3. Heron formulasi:

Mana uchburchak tomonlarining uzunliklari, bu uchburchakning yarim perimetri,

4. ,

bu erda uchburchakning yarim perimetri va chizilgan doira radiusi.

Tangens segmentlarining uzunliklari bo'lsin.

U holda Heron formulasini quyidagicha yozish mumkin:

6. ,

bu yerda - uchburchak tomonlarining uzunliklari, - aylana radiusi.

Agar uchburchakning yon tomonida bu tomonni m: n nisbatda ajratuvchi nuqta olinsa, u holda bu nuqtani qarama-qarshi burchakning uchi bilan tutashtiruvchi segment uchburchakni maydonlari nisbatda bo‘lgan ikkita uchburchakka ajratadi. m: n:

O'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.

Uchburchakning medianasi

Bu uchburchakning uchini qarama-qarshi tomonning o'rtasiga bog'laydigan segment.

Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va 2: 1 nisbatda kesishish nuqtasiga bo'linadi, cho'qqidan hisoblanadi.

Muntazam uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi medianani ikkita segmentga ajratadi, ularning kichigi chizilgan aylana radiusiga, kattasi esa aylana radiusiga teng.

Cheklangan aylana radiusi chizilgan aylana radiusidan ikki baravar katta: R=2r

O'rtacha uzunlik ixtiyoriy uchburchak

bu erda - yon tomonga tortilgan mediana - uchburchak tomonlarining uzunliklari.

Uchburchakning bissektrisasi

Bu uchburchakning har qanday burchagining bissektrisa segmenti, bu burchakning uchini qarama-qarshi tomoni bilan bog'laydi.

Uchburchakning bissektrisasi bir tomonni qo'shni tomonlarga proportsional segmentlarga ajratadi:

Uchburchakning bissektrisalari chizilgan doiraning markazi bo'lgan bir nuqtada kesishadi.

Burchak bissektrisasining barcha nuqtalari burchak tomonlaridan teng masofada joylashgan.

Uchburchak balandligi

Bu uchburchakning tepasidan qarama-qarshi tomonga tushirilgan perpendikulyar segment yoki uning davomi. O'tkir burchakli uchburchakda o'tkir burchakning tepasidan chizilgan balandlik uchburchakdan tashqarida yotadi.

Uchburchakning balandliklari bir nuqtada kesishadi, bu deyiladi uchburchakning ortomarkazi.

Uchburchakning balandligini topish uchun yon tomonga chizilgan, sizga har qanday kerak qulay tarzda uning maydonini toping va formuladan foydalaning:

Uchburchak aylanasining markazi, uchburchakning yon tomonlariga chizilgan perpendikulyar bissektrisalarning kesishish nuqtasida yotadi.

Uchburchakning aylana radiusi quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Bu erda uchburchak tomonlarining uzunliklari va uchburchakning maydoni.

bu yerda uchburchak tomonining uzunligi va qarama-qarshi burchak. (Bu formula sinus teoremasidan kelib chiqadi.)

Uchburchak tengsizligi

Uchburchakning har bir tomoni yig'indisidan kichik va qolgan ikkisining farqidan katta.

Har qanday ikki tomonning uzunliklari yig'indisi har doim uchinchi tomonning uzunligidan katta bo'ladi:

Kattaroq tomonning qarshisida katta burchak yotadi; Katta burchakka qarama-qarshi tomon kattaroq tomon yotadi:

Agar bo'lsa, aksincha.

Sinuslar teoremasi:

Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir:

Kosinus teoremasi:

Uchburchakning bir tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki baravar ko'paytmasiga teng:

To'g'ri uchburchak

- Bu uchburchak bo'lib, uning burchaklaridan biri 90 °.

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° ga teng.

Gipotenuza 90° burchakka qarama-qarshi joylashgan tomondir. Gipotenuzaning eng uzun tomoni.

Pifagor teoremasi:

gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:

To'g'ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi teng

bu erda chizilgan doira radiusi - oyoqlar, - gipotenuza:

To'g'ri burchakli uchburchakning aylanasining markazi gipotenuzaning o'rtasida joylashgan:

Gipotenuzaga chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning medianasi, gipotenuzaning yarmiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensining ta'rifi qarang

To'g'ri burchakli uchburchakdagi elementlarning nisbati:

To'g'ri burchak uchidan chizilgan to'g'ri burchakli uchburchak balandligining kvadrati oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari ko'paytmasiga teng:

Oyoqning kvadrati gipotenuza va oyoqning gipotenuzaga proyeksiyasi mahsulotiga teng:

Oyoq burchakka qarama-qarshi yotadi gipotenuzaning yarmiga teng:

Izosceles uchburchagi.

Teng yonli uchburchakning asosiga chizilgan bissektrisasi mediana va balandlikdir.

Teng yonli uchburchakda asosiy burchaklar teng.

Apeks burchagi.

Va - tomonlar,

Va - taglikdagi burchaklar.

Balandlik, bissektrisa va mediana.

Diqqat! Yon tomonga chizilgan balandlik, bissektrisa va mediana mos kelmaydi.

Oddiy uchburchak

(yoki teng tomonli uchburchak ) barcha tomonlari va burchaklari bir-biriga teng boʻlgan uchburchakdir.

Muntazam uchburchakning maydoni ga teng

uchburchak tomonining uzunligi qayerda.

Doimiy uchburchak ichiga chizilgan doira markazi, muntazam uchburchak atrofida aylana markaziga to'g'ri keladi va medianalarning kesishish nuqtasida yotadi.

Muntazam uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi medianani ikkita bo'lakka ajratadi, ularning kichigi chizilgan aylana radiusiga, kattasi esa aylana radiusiga teng.

Agar teng yonli uchburchakning burchaklaridan biri 60° boʻlsa, u holda uchburchak muntazamdir.

Uchburchakning o'rta chizig'i

Bu ikki tomonning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

Rasmda DE - ABC uchburchakning o'rta chizig'i.

Uchburchakning oʻrta chizigʻi uchinchi tomoniga parallel va uning yarmiga teng: DE||AC, AC=2DE

Uchburchakning tashqi burchagi

Bu uchburchakning istalgan burchagiga ulashgan burchak.

Uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan ikki burchakning yigʻindisiga teng.

Tashqi burchak trigonometrik funktsiyalari:

Uchburchaklar tengligining belgilari:

1 . Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

2 . Agar bitta uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

3 Agar bitta uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Muhim: chunki to'g'ri burchakli uchburchakda ikkita burchak aniq teng, u holda ikkita to'g'ri burchakli uchburchakning tengligi faqat ikkita elementning tengligi talab qilinadi: ikki tomon yoki yon va o'tkir burchak.

Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

1 . Agar bir uchburchakning ikki tomoni boshqa uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo'lsa va bu tomonlar orasidagi burchaklar teng bo'lsa, bu uchburchaklar o'xshashdir.

2 . Agar bitta uchburchakning uchta tomoni boshqa uchburchakning uch tomoniga proporsional bo'lsa, u holda uchburchaklar o'xshashdir.

3 . Agar bitta uchburchakning ikkita burchagi boshqa uchburchakning ikkita burchagiga teng bo'lsa, u holda uchburchaklar o'xshashdir.

Muhim: O'xshash uchburchaklarda o'xshash tomonlar teng burchaklarga qarama-qarshi yotadi.

Menelaus teoremasi

Chiziq uchburchakni kesib o'tsin va uning tomoni bilan kesishgan nuqtasi, uning yon tomoni bilan kesishish nuqtasi va uning davomi bilan kesishish nuqtasi bo'lsin. Keyin