Fibonačio skaičiai: nenuobodūs matematiniai faktai. Dievo skaičius, fibonacci skaičiai, aukso santykis

„Fibonacci“ seka, kuri labiausiai tapo žinoma filmo ir knygos „Da Vinci kodas“ dėka, yra skaičių seka, išvesta italų matematiko Pisa Leonardo, geriau žinomo slapyvardžiu Fibonacci, XIII amžiuje. Mokslininko pasekėjai pastebėjo, kad formulė, kuriai pavaldi ši skaičių serija, suranda atspindį aplinkiniame pasaulyje ir kartojasi su kitais matematiniais atradimais ir taip atveria mums duris į visatos paslaptis. Šiame straipsnyje mes jums pasakysime, kas yra Fibonačio seka, panagrinėsime šio modelio atvaizdavimo gamtoje pavyzdžius ir palyginsime jį su kitomis matematinėmis teorijomis.

Sąvokos formuluotė ir apibrėžimas

Fibonačio serija yra matematinė seka, kurios kiekvienas elementas yra lygus ankstesnių dviejų sumai. Kai kurį sekos narį pažymėkite kaip x n. Taigi gauname formulę, galiojančią visai serijai: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Tokiu atveju sekų tvarka atrodys taip: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Kitas skaičius bus 55, nes 21 ir 34 suma yra 55. Ir taip toliau pagal tą patį principą.

Aplinkos pavyzdžiai

Jei pažvelgtume į augalą, ypač į lapų vainiką, pastebėtume, kad jie atsidaro spirale. Tarp gretimų lapų susidaro kampai, kurie, savo ruožtu, sudaro teisingą matematinę Fibonačio seką. Dėl šios savybės kiekvienas atskiras ant medžio augantis lapas gauna maksimalų saulės spindulių ir šilumos kiekį.

Fibonačio matematinė mįslė

Garsus matematikas savo teoriją pateikė kaip mįslę. Tai skamba taip. Norėdami sužinoti, kiek triušių porų gims per vienerius metus, galite įdėti triušių porą į uždarą vietą. Atsižvelgiant į šių gyvūnų prigimtį, tai, kad kiekvieną mėnesį pora sugeba užauginti naują porą ir jie yra pasirengę daugintis po dviejų mėnesių, dėl to jis gavo savo garsiąją skaičių seriją: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - kur parodytas naujų triušių porų skaičius kiekvieną mėnesį.

Fibonačio seka ir proporcinis santykis

Ši serija turi keletą matematinių niuansų, į kuriuos reikia atsižvelgti. Jis, artėdamas lėčiau ir lėčiau (asimptotiškai), linkęs į tam tikrą proporcingą santykį. Bet tai neracionalu. Kitaip tariant, tai yra skaičius su nenuspėjama ir begaline dešimtainių skaičių seka trupmeninėje dalyje. Pvz., Bet kurio serijos elemento santykis svyruoja ties skaičiumi 1,618, kartais pranoksta, tada pasiekia. Toliau pagal analogiją artėjama prie 0.618. Kas yra atvirkščiai proporcinga skaičiui 1.618. Jei padalijame elementus per vieną, gauname 2,618 ir 0,382. Kaip jūs jau supratote, jie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Gauti skaičiai vadinami Fibonacci santykiais. Dabar paaiškinkime, kodėl atlikome šiuos skaičiavimus.

Auksinis santykis

Visus mus supančius objektus mes išskiriame pagal tam tikrus kriterijus. Vienas iš jų yra forma. Kai kuriuos iš mūsų traukia daugiau, kai kuriuos mažiau, o kai kuriems visai nepatinka. Pastebėta, kad simetrišką ir proporcingą objektą žmogus daug lengviau suvokia ir sukelia harmonijos bei grožio pojūtį. Į integruotą vaizdą visada įeina įvairių dydžių dalys, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita. Taigi atsakymas į klausimą, kas vadinama auksiniu santykiu. Ši sąvoka reiškia visumos ir jos dalių santykių gamtoje, moksle, mene ir kt. Tobulinimą. Matematiškai žiūrime į šį pavyzdį. Paimkite bet kokio ilgio segmentą ir padalykite jį į dvi dalis taip, kad mažesnioji dalis būtų didesnė, nes suma (viso segmento ilgis) būtų didesnė. Taigi, paimkite segmentą su už vienos vertės. Dalis jo bet bus lygi 0,618, antra dalis b, pasirodo, lygus 0,382. Taigi mes laikomės Auksinio skyriaus sąlygų. Pjovimo santykis c į a lygus 1,618. Ir dalių santykis c ir b - 2,618. Gauname mums jau žinomus Fibonačio koeficientus. Auksinis trikampis, auksinis stačiakampis ir auksinis kuboidas yra pastatyti tuo pačiu principu. Taip pat verta paminėti, kad proporcingas žmogaus kūno dalių santykis yra artimas Auksiniam santykiui.

Fibonačio seka - visko pagrindas?

Pabandykime sujungti Aukso pjūvio teoriją ir garsiąją italų matematiko seriją. Pradėkime nuo dviejų pirmo dydžio kvadratų. Tada ant viršaus pridedame dar vieną antrojo dydžio kvadratą. Nubrėžkite tą patį paveikslą šalia jo, šono ilgis lygus dviejų ankstesnių pusių sumai. Panašiai nubrėžkite penktojo dydžio kvadratą. Taigi galite tęsti skelbimą be galo, kol jums nebus nuobodu. Svarbiausia, kad kiekvieno sekančio kvadrato kraštinės būtų lygios dviejų ankstesnių kraštų verčių sumai. Gauname daugybę daugiakampių, kurių kraštinės yra Fibonačio skaičiai. Šios figūros vadinamos Fibonacci stačiakampiais. Nubrėžkite lygią liniją per mūsų daugiakampių kampus ir gaukite ... Archimedo spiralę! Kaip žinote, šio skaičiaus padidėjimas visada yra vienodas. Jei įtraukiate fantaziją, tada gautas modelis gali būti susietas su moliusko apvalkalu. Iš to galime daryti išvadą, kad Fibonačio seka yra proporcingų, harmoningų pasaulio elementų santykio pagrindas.

Matematinė seka ir visata

Jei pažvelgsite įdėmiai, tada Archimedo spiralė (kažkur aiškiai ir kažkur paslėpta) ir todėl Fibonačio principą galima atsekti daugelyje pažįstamų gamtos elementų, supančių žmogų. Pavyzdžiui, tas pats moliusko apvalkalas, paprasto brokolio žiedynai, saulėgrąžų gėlė, spygliuočių augalo kūgis ir panašiai. Jei pažvelgsime tolyn, pamatysime Fibonačio seką begalinėse galaktikose. Net žmogus, įkvėptas gamtos ir priėmęs jos formas, kuria objektus, kuriuose galima atsekti minėtas serijas. Čia laikas prisiminti Aukso skyrių. Kartu su Fibonačio modeliu, atsekti šios teorijos principai. Yra versija, kad Fibonačio seka yra savotiškas gamtos išbandymas, norint prisitaikyti prie tobulesnės ir fundamentalesnės Auksinės pjūvio logaritminės sekos, kuri yra beveik identiška, tačiau neturi pradžios ir yra begalinė. Gamtos dėsningumas yra toks, kad ji turi turėti savo atskaitos tašką, nuo kurio galima remtis, norint sukurti ką nors naujo. Pirmųjų „Fibonacci“ serijos elementų santykis toli gražu neatitinka „Auksinio pjūvio“ principų. Tačiau kuo toliau mes tai tęsime, tuo šis neatitikimas bus išlygintas. Norėdami nustatyti seką, turite žinoti tris jos elementus, kurie seka vienas kitą. Auksinei sekai pakanka dviejų. Kadangi tai yra ir aritmetinė, ir geometrinė progresija.

Išvada

Nepaisant to, remiantis tuo, kas išdėstyta, galima užduoti gana logiškus klausimus: "Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra tas viso pasaulio prietaiso autorius, kuris bandė padaryti jį tobulą? Ar viskas visada buvo taip, kaip jis norėjo? Jei taip, kodėl tai nepavyko?" Kas bus toliau? “ Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite šį. Spėjau - pasirodo dar du. Išsprendę juos, gausite dar tris. Susitvarkę su jais, gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, dvidešimt vienas, trisdešimt keturi, penkiasdešimt penki ...

Kūrinio tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną kūrinio versiją galite rasti PDF skirtuke „Darbo failai“

Įvadas

Aukščiausia matematikos užduotis yra rasti paslėptą tvarką chaose, kuris supa mus.

Wiener N.

Žmogus visą gyvenimą siekia žinių, stengiasi tyrinėti jį supantį pasaulį. Stebėjimo procese jis turi klausimų, į kuriuos reikia atsakyti. Atsakymai randami, tačiau kyla naujų klausimų. Archeologiniuose radiniuose, civilizacijos pėdsakuose, nutolusiuose nuo laiko ir erdvės, randamas vienas ir tas pats elementas - spiralės pavidalo modelis. Kai kurie ją laiko saulės simboliu ir sieja su legendine Atlantida, tačiau tikroji jo reikšmė nežinoma. Kas bendro tarp galaktikos formų ir atmosferos ciklono, lapų išdėstymo ant stiebo ir sėklų saulėgrąžose? Šie modeliai nugrimzta į vadinamąją „auksinę“ spiralę, nuostabią Fibonačio seką, kurią atrado puikus XIII amžiaus italų matematikas.

„Fibonačio“ numerių istorija

Pirmą kartą iš matematikos mokytojo išgirdau, kokie yra Fibonačio skaičiai. Bet, be to, kaip vystosi šių skaičių seka, aš nežinojau. Štai kuo ši seka iš tiesų garsėja, kaip ji veikia žmogų, noriu jums pasakyti. Apie Leonardo Fibonacci mažai žinoma. Net nėra tikslios jo gimimo datos. Yra žinoma, kad jis gimė 1170 m. Pirklio šeimoje, Pizos mieste, Italijoje. Fibonacci tėvas verslo klausimais dažnai lankydavosi Alžyre, o Leonardo ten mokėsi matematikos iš arabų mokytojų. Vėliau jis parašė keletą matematikos darbų, iš kurių garsiausias yra „Abacus Book“, kuriame yra beveik visa to meto aritmetinė ir algebrinė informacija. 2

Fibonačio skaičiai yra skaičių seka, turinti daugybę savybių. Fibonacci šią skaitinę seką atrado atsitiktinai, kai 1202 m. Jis bandė išspręsti praktinę triušių problemą. Kažkas padėjo triušių porą į vietą, iš visų pusių aptvertą siena, kad sužinotų, kiek triušių porų gims per metus, jei triušių pobūdis yra toks, kad per mėnesį triušių poros pagimdo kitą porą, o triušiai pagimdo iš antrosios. mėnesių po jo gimimo “. Spręsdamas problemą, jis atsižvelgė į tai, kad kiekviena triušių pora per gyvenimą sukuria dar dvi poras, o paskui miršta. Taigi atsirado skaičių seka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Šioje seka kiekvienas sekantis skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai. Jis buvo vadinamas Fibonačio seka. Matematinės sekos savybės

Norėjau ištirti šią seką ir atskleidžiau kai kurias jos savybes. Šis modelis turi didelę reikšmę. Seka vis lėčiau artėja prie tam tikro pastovaus santykio, apytiksliai 1 618, o bet kurio skaičiaus santykis su kitu yra maždaug lygus 618.

Galima pastebėti daugybę įdomių „Fibonacci“ skaičių savybių: du gretimi skaičiai yra slapti; kas trečias skaičius yra lygus; kas penkioliktas baigiasi nuliu; kas ketvirtas yra trijų kartotinis. Jei iš „Fibonacci“ sekos pasirinksite bet kurį 10 gretimų skaičių ir sudėsite juos, visada gausite skaičių 11. Tačiau tai dar ne viskas. Kiekviena suma yra lygi skaičiui, kuris yra 11 kartų septintas nario seka. Ir čia yra dar viena keista savybė. Bet kurio n atveju sekos pirmųjų n narių suma visada bus lygi skirtumui tarp (n + 2) ir pirmosios sekos narių. Šis faktas gali būti išreikštas formule: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + ... + an \u003d a n + 2 - 1. Dabar turime šį triuką: rasti visų terminų sumą.

seka tarp dviejų duotų narių, pakanka rasti atitinkamų (n + 2) -x narių skirtumą. Pavyzdžiui, 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - 27. Dabar ieškokite ryšio tarp Fibonačio, Pitagoro ir Auksinio santykio. Garsiausias žmonijos matematinio genijaus įrodymas yra Pitagoro teorema: bet kuriame stačiakampyje trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus jos kojų kvadratų sumai: c 2 \u003d b 2 + a 2. Geometriniu požiūriu mes galime laikyti visas stačiakampio trikampio puses kaip ant jų pastatytų trijų kvadratų puses. Pitagoro teorema sako, kad bendras stačiakampio trikampio kojelėse pastatytų kvadratų plotas yra lygus kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, plotui. Jei dešiniojo trikampio kraštinių ilgis yra sveikasis skaičius, tada jie sudaro trijų skaičių grupę, vadinamą Pitagoro trigubaisiais. Naudojant Fibonačio seką, galima rasti tokius trigubus. Iš sekos paimkite bet kuriuos keturis skaičius iš eilės, pavyzdžiui, 2, 3, 5 ir 8, ir sukonstruokite dar tris skaičius taip: 1) dviejų kraštutinių skaičių sandauga: 2 * 8 \u003d 16; 2) dvigubas dviejų skaičių vidurys: 2 * (3 * 5) \u003d 30; 3) dviejų vidurkių kvadratų suma: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 \u003d 30 2 +16 2. Šis metodas tinka bet kokiems keturiems iš eilės Fibonačio skaičiams. Bet kurie trys iš eilės „Fibonacci“ skaičiai elgiasi nuspėjamai. Padauginus du kraštutinius ir palyginus rezultatą su vidurkiu, rezultatas visada skirsis viena. Pavyzdžiui, skaičiams 5, 8 ir 13 gauname: 5 * 13 \u003d 8 2 +1. Jei atsižvelgsite į šią savybę geometrijos požiūriu, pastebėsite ką nors keisto. Padalinkite kvadratą

8x8 dydžio (iš viso 64 maži kvadratai) iš keturių dalių, kurių kraštų ilgis yra lygus Fibonačio skaičiams. Dabar iš šių dalių pastatysime 5x13 stačiakampį. Jo plotas yra 65 maži kvadratai. Iš kur atsiranda papildoma aikštė? Faktas yra tas, kad idealus stačiakampis nėra suformuotas, tačiau liko mažų tarpų, kurie iš viso suteikia šį papildomą ploto vienetą. Paskalio trikampis taip pat turi ryšį su Fibonačio seka. Jums tiesiog reikia parašyti Paskalio trikampio linijas viena po kitos ir sukrauti elementus įstrižai. Rezultatas yra Fibonačio seka.

Dabar apsvarstykite „auksinį“ stačiakampį, kurio viena pusė yra 1,618 karto ilgesnė už kitą. Iš pirmo žvilgsnio mums tai gali atrodyti kaip paprastas stačiakampis. Tačiau padarykime paprastą eksperimentą su dviem įprastomis banko kortelėmis. Mes įdėjome vieną iš jų horizontaliai, o kitą vertikaliai, kad jų apatinės pusės būtų toje pačioje linijoje. Jei brėžkime įstrižą liniją horizontaliame žemėlapyje ir ją prailgintume, pamatytume, kad ji eina tiksliai per viršutinį dešinįjį vertikalaus žemėlapio kampą - maloni staigmena. Gal tai yra atsitiktinumas, o gal tokie stačiakampiai ir kitos geometrinės figūros, kuriose naudojamas „auksinis santykis“, yra ypač malonūs akiai. Ar Leonardo da Vinci dirbdamas prie savo šedevro galvojo apie aukso santykį? Tai atrodo mažai tikėtina. Tačiau galima teigti, kad estetikos ir matematikos ryšiui jis teikė didelę reikšmę.

Fibonačio skaičiai gamtoje

Auksinio santykio santykis su grožiu yra ne tik žmogaus suvokimo dalykas. Atrodo, kad pati gamta išskyrė ypatingą vaidmenį. Jei nuosekliai įvedate kvadratus „auksiniame“ stačiakampyje, tada kiekviename kvadrate nubrėžkite lanką, gausite elegantišką kreivę, kuri vadinama logaritmine spirale. Tai visai nėra matematinis smalsumas. 5

Ši nuostabi linija, priešingai, dažnai sutinkama fiziniame pasaulyje: nuo nautilus apvalkalo iki galaktikų rankovių ir elegantiškoje žydinčių rožių žiedlapių spiralėje. Ryšiai tarp aukso santykio ir Fibonačio skaičių yra daugybė ir netikėtų. Apsvarstykite gėlę, kuri labai skiriasi nuo rožės - saulėgrąžą su sėklomis. Pirmas dalykas, kurį matome, yra tai, kad sėklos yra išdėstytos dviejų tipų spiralėmis: pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę. Jei suskaičiuosime valandos rankos spiralę, gausime du, atrodytų, paprastus skaičius: 21 ir 34. Tai nėra vienintelis pavyzdys, kai augalų struktūroje galite rasti Fibonacci skaičius.

Gamta pateikia daugybę vienarūšių objektų išdėstymo Fibonačio skaičiais pavyzdžių. Įvairiose spiralinėse mažų augalų dalių išdėstymo vietose paprastai galima pamatyti dvi spiralių šeimas. Vienoje iš šių šeimų spiralės sukasi pagal laikrodžio rodyklę, o kitoje - prieš laikrodžio rodyklę. Vieno ir kito tipo spiralių skaičiai dažnai paaiškėja kaip gretimi Fibonačio skaičiai. Taigi, paėmus jauną pušies šakelę, nesunku pastebėti, kad spygliai sudaro dvi spirales, einančias iš kairės į apačią į viršų. Ant daugelio kūgių sėklos yra išdėstytos trimis spiralėmis, tuščiaviduriai apvijos ant kūgio stiebo. Jie yra išdėstyti penkiomis spiralėmis, staigiai vingiuojančiomis priešinga kryptimi. Dideliuose kūgiuose galima pastebėti 5 ir 8, ir net 8 ir 13 spiralę. Fibonacci spiralės taip pat aiškiai matomos ant ananasų: paprastai jų yra 8 ir 13.

Cikorijos šaudymas stipriai išsiskiria į kosmosą, sustoja, išleidžia lapą, bet jau yra trumpesnis už pirmąjį, vėl leidžiasi į kosmosą, bet mažesnės jėgos, išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išleidžia. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėja proporcingai „auksiniam“ skyriui. Norėdami įvertinti didžiulį „Fibonačio“ skaičių vaidmenį, tiesiog pažvelkite į mus supančios gamtos grožį. Fibonačio skaičius gali būti rastas skaičiais

šakos ant kiekvieno augančio augalo stiebo ir tarp žiedlapių.

Papasakokime kai kurių gėlių žiedlapius - rainelę su 3 žiedlapiais, raktažolę su 5 žiedlapiais, ambroziją su 13 žiedlapių, nimbą su 34 žiedlapiais, asters su 55 žiedlapių ir kt. Ar tai atsitiktinumas, ar tai gamtos dėsnis? Pažvelkite į kraujažolės stiebus ir žiedus. Taigi bendrą Fibonačio seką galima lengvai suprasti kaip gamtoje randamų „auksinių“ skaičių pasireiškimo šabloną. Šie įstatymai veikia nepriklausomai nuo mūsų sąmonės ir noro juos priimti ar ne. "Auksinės" simetrijos modeliai pasireiškia elementariųjų dalelių energijos perėjimais, tam tikrų cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosminių sistemų, gyvų organizmų genų struktūrose, atskirų žmogaus organų ir viso kūno struktūroje, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų veikla. vizualinis suvokimas.

Fibonačio skaičiai architektūroje

„Auksinis pjūvis“ taip pat reiškiasi daugybe nuostabių architektūros kūrinių per visą žmonijos istoriją. Pasirodo, net senovės graikų ir senovės Egipto matematikai žinojo šiuos koeficientus dar ilgai prieš Fibonačius ir vadino juos „auksiniu santykiu“. Graikai statydami Parthenoną naudojo „aukso pjūvio“ principą, egiptiečiai - Didžiąją piramidę Gizoje. Pažanga statybinėje įrangoje ir naujų medžiagų kūrimas atvėrė naujas galimybes XX amžiaus architektams. Amerikietis Frankas Lloydas Wrightas buvo vienas pagrindinių organinės architektūros šalininkų. Prieš pat mirtį jis Niujorke suprojektavo Saliamono Guggenheimo muziejų, kuris yra apverstos spiralės, o muziejaus interjeras primena nautiluso apvalkalą. Lenkijos ir Izraelio architektas Zvi Hecker taip pat naudojo spiralės dizainus 1995 m. Heinzo Galinsky mokyklos projekte Berlyne. Heckeris pradėjo nuo saulėgrąžų, turinčių centrinį ratą, idėjos, iš kur

visi architektūriniai elementai skiriasi. Pastatas yra derinys

ortogonalios ir koncentrinės spiralės, simbolizuojančios ribotų žmogaus žinių ir kontroliuojamo gamtos chaoso sąveiką. Jos architektūra imituoja augalą, kuris seka saulės judėjimą, todėl kabinetai yra apšviesti visą dieną.

Quincy parke, esančiame Kembridže, Masačusetso valstijoje (JAV), dažnai galima rasti „auksinę“ spiralę. Parką 1997 m. Sukūrė dailininkas Davidas Phillipsas. Jis yra netoli Molio matematikos instituto. Ši įstaiga yra garsus matematinių tyrimų centras. Quincy parke galite pasivaikščioti tarp „auksinių“ spiralių ir metalinių kreivių, reljefų iš dviejų kriauklių ir uolos su kvadratinės šaknies simboliu. Lėkštėje užrašyta informacija apie „auksinę“ proporciją. Net dviračių stovėjimo aikštelė naudoja F.

Fibonačio skaičiai psichologijoje

Psichologijoje pastebimi posūkiai, krizės, perversmai, reiškiantys sielos struktūros ir funkcijų pasikeitimą žmogaus gyvenimo kelyje. Jei žmogus sėkmingai įveikė šias krizes, jis sugeba išspręsti naujos klasės užduotis, apie kurias anksčiau net negalvojo.

Esminių pokyčių buvimas suteikia pagrindą gyvenimo laiką laikyti lemiamu dvasinių savybių ugdymo veiksniu. Galų gale, gamta neišmatuoja mūsų laiko dosniai: „nesvarbu, kiek tai bus, tiek daug“, o tik tiek, kad vystymosi procesas materializuotųsi:

kūno struktūrose;

jausmuose, mąstyme ir psichomotorikoje - kol jie įgis harmonijabūtini mechanizmo atsiradimui ir paleidimui

kūrybiškumas

žmogaus energetinio potencialo struktūroje.

Kūno vystymasis negali būti sustabdytas: vaikas tampa suaugusiu. Kūrybos mechanizmas nėra toks paprastas. Jos plėtrą galima sustabdyti ir pakeisti jos kryptį.

Ar yra galimybė pasivyti laiką? Žinoma. Bet tam reikia padaryti daug darbo sau. Tai, kas vystosi laisvai, savaime suprantama, nereikalauja ypatingų pastangų: vaikas laisvai kuria ir nepastebi šio milžiniško darbo, nes laisvo vystymosi procesas sukuriamas be smurto prieš save.

Kaip suprantama gyvenimo kelio prasmė kasdieninėje sąmonėje? Laikas mato tai taip: papėdėje - gimimas, viršuje - jėgų žydėjimas, o paskui - viskas eina žemyn.

Šalavijas sakys: viskas daug sudėtingiau. Pakilimą jis dalija į etapus: vaikystė, paauglystė, jaunystė ... Kodėl taip? Nedaug žmonių sugeba atsakyti, nors visi tikri, kad tai uždari, neatsiejami gyvenimo etapai.

Norėdami sužinoti, kaip vystosi kūrybiškumo mechanizmas, V.V. Klimenko naudojo matematiką, būtent Fibonačio skaičių dėsnius ir „aukso pjūvio“ proporciją - gamtos ir žmogaus gyvenimo dėsnius.

Fibonačio skaičiai padalija mūsų gyvenimą į etapus pagal išgyventų metų skaičių: 0 - skaičiavimo pradžia - vaikas gimė. Jam vis dar trūksta ne tik psichomotorinių įgūdžių, mąstymo, jausmų, vaizduotės, bet ir darbinio energijos potencialo. Jis yra naujo gyvenimo, naujos harmonijos pradžia;

1 - vaikas įvaldė vaikščioti ir įsisavino artimiausią aplinką;

2 - supranta kalbą ir elgiasi naudodamas žodines instrukcijas;

3 - veikia per žodį, užduoda klausimus;

5 - „malonės amžius“ - psichomotorizmo, atminties, vaizduotės ir jausmų harmonija, jau leidžianti vaikui apimti visą pasaulį;

8 - jausmai iškyla į priekį. Vaizduotė jiems tarnauja, o kritiškumo jėgomis mąstymas nukreiptas į vidinės ir išorinės gyvenimo harmonijos palaikymą;

13 - pradeda veikti talentų mechanizmas, kuriuo siekiama paveldimo proceso metu įgytą medžiagą transformuoti, ugdyti savo talentą;

21 - kūrybiškumo mechanizmas priartėjo prie harmonijos būklės ir bandoma atlikti talentingą darbą;

34 - mąstymo, jausmų, vaizduotės ir psichomotorizmo harmonija: gimsta sugebėjimas puikiai dirbti;

55 m. - šiame amžiuje, išlaikydamas išsaugotą kūno ir sielos harmoniją, žmogus yra pasirengęs tapti kūrėju. Ir taip toliau ...

Kas yra „Fibonacci“ numerių serifai? Juos galima palyginti su užtvankomis gyvenimo kelyje. Šios užtvankos laukia kiekvieno iš mūsų. Visų pirma, reikia įveikti kiekvieną iš jų, o tada kantriai kelti savo išsivystymo lygį, kol vieną dieną jis subyrės, atverdamas kelią kitam laisvam tekėjimui.

Dabar, kai suprantame šių amžiaus taškų raidos taškų prasmę, pamėginsime išsiaiškinti, kaip visa tai vyksta.

Per 1 metus vaikas pasisavina vaikščiojimą. Prieš tai jis pažinojo pasaulį iš priekio. Dabar jis pažįsta pasaulį rankomis - išskirtinė žmogaus privilegija. Gyvūnas juda erdvėje, ir jis, žinodamas, užima erdvę ir plėtoja teritoriją, kurioje gyvena.

2 metai - supranta žodį ir elgiasi pagal jį. Tai reiškia, kad:

vaikas išmoksta minimalų žodžių skaičių - reikšmes ir veikimo būdus;

ji dar neišsiskiria iš aplinkos ir susijungia į vientisumą su aplinka,

todėl veikia kieno nors kito nurodymu. Šiame amžiuje jis yra paklusniausias ir maloniausias tėvams. Iš jausmingo žmogaus vaikas virsta pažintiniu asmeniu.

3 metai- veiksmas naudojant savo žodį. Šis žmogus jau atsiskyrė nuo aplinkos - ir jis mokosi būti savarankiškai veikiantis žmogus. Taigi jis:

sąmoningai susiduria su aplinka ir tėvais, darželių auklėtojais ir kt .;

pripažįsta savo suverenitetą ir siekia nepriklausomybės;

bando savo valia pavaldyti artimus ir žinomus žmones.

Dabar vaikui žodis yra veiksmas. Vaidinantis žmogus prasideda nuo to.

5 metai- „malonės amžius“. Jis yra harmonijos personifikacija. Žaidimai, šokiai, žvalūs judesiai - viskas prisotinta harmonijos, kurią žmogus bando įsisavinti pats. Harmoningas psichomotorinis režimas skatina atsistatyti į naują būseną. Todėl vaikas yra nukreiptas į psichomotorinę veiklą ir siekia kuo aktyvesnių veiksmų.

Jautrumo darbo produktus materializuoja:

sugebėjimas parodyti aplinką ir save kaip šio pasaulio dalį (girdime, matome, liečiame, užuodžiame ir pan. - šiame procese veikia visos juslės);

gebėjimas projektuoti išorinį pasaulį, įskaitant save

(antrosios prigimties sukūrimas, hipotezės - padaryti abu rytoj, pastatyti naują mašiną, išspręsti problemą), kritinio mąstymo, jausmų ir vaizduotės jėgomis;

galimybė sukurti antrą, žmogaus sukurtą prigimtį, veiklos produktus (plano įgyvendinimas, konkretūs psichiniai ar psichomotoriniai veiksmai su konkrečiais objektais ir procesais).

Po 5 metų vaizduotės mechanizmas pasislenka ir pradeda dominuoti likusiose dalyse. Vaikas atlieka milžinišką darbą, sukurdamas fantastiškus vaizdus, \u200b\u200bgyvena pasakų ir mitų pasaulyje. Vaiko vaizduotės hipertrofija suaugusius nustebina, nes vaizduotė neatitinka tikrovės.

8 metai - jausmai iškyla į priekį, o jausmai (pažintiniai, moraliniai, estetiniai) atsiranda, kai vaikas tiksliai:

vertina žinomą ir nežinomą;

skiria moralę nuo amoralumo, moralinę nuo amoralios;

gražu iš to, kas kelia grėsmę gyvenimui, harmonija iš chaoso.

13 metų - pradeda veikti kūrybiškumo mechanizmas. Bet tai nereiškia, kad jis veikia visu pajėgumu. Vienas iš mechanizmo elementų iškyla į priekį, o visi kiti prisideda prie jo darbo. Jei šiame amžiaus vystymosi laikotarpyje, kuris beveik visą laiką pertvarko savo struktūrą, bus išlaikyta harmonija, tada vaikinas neskausmingai pateks į kitą užtvanką, tyliai ją nugalės ir gyvens revoliucionieriaus amžiuje. Revoliucijos metais jaunimas turi žengti naują žingsnį į priekį: atsiskirti nuo artimiausios visuomenės ir joje gyventi harmoningą gyvenimą bei veiklą. Ne visi gali išspręsti šią problemą, kylančią prieš kiekvieną iš mūsų.

21 metai. Jei revoliucionierius sėkmingai įveikė pirmą harmoningą gyvenimo viršūnę, tada jo talento mechanizmas sugeba talentą išpildyti

darbas. Jausmai (pažintiniai, moraliniai ar estetiniai) kartais nustelbia mąstymą, tačiau iš esmės visi elementai veikia kartu: jausmai yra atviri pasauliui, o loginis mąstymas sugeba pavadinti ir rasti daiktų matmenis nuo šios viršūnės.

Kūrybiškumo mechanizmas, normaliai besivystantis, pasiekia būseną, leidžiančią gauti tam tikrus vaisius. Jis pradeda dirbti. Šiame amžiuje atsiranda jausmų mechanizmas. Kadangi vaizduotė ir jos produktai yra vertinami pagal jausmus ir mąstymą, tarp jų atsiranda priešiškumas. Vyrauja jausmai. Šis sugebėjimas pamažu įgauna galią, ir vaikinas pradeda tuo naudotis.

34 metai- pusiausvyra ir harmonija, produktyvus talentų efektyvumas. Gimsta mąstymo, jausmų ir vaizduotės harmonija, psichomotorizmas, kurį papildo optimalus energijos potencialas, ir visas mechanizmas - gebėjimas atlikti puikų darbą.

55 metai - žmogus gali tapti kūrėju. Trečioji harmoninga gyvenimo viršūnė: mąstymas pavergia jausmų galią.

Fibonačio skaičiai yra vadinami žmogaus vystymosi etapais. Ar žmogus eis šiuo keliu nesustodamas, priklauso nuo tėvų ir mokytojų, švietimo sistemos, tada nuo savęs ir to, kaip žmogus pažins ir įveikia save.

Gyvenimo kelyje žmogus atranda 7 santykių objektus:

Nuo gimtadienio iki 2 metų - fizinės ir objektyvios artimiausios aplinkos pasaulio atradimas.

Nuo 2 iki 3 metų - savęs atradimas: „Aš esu aš pats“.

Nuo 3 iki 5 metų - kalba, efektyvus žodžių pasaulis, harmonija ir „aš - tu“ sistema.

Nuo 5 iki 8 metų - kitų žmonių minčių, jausmų ir vaizdų pasaulio atradimas - „aš - mes“ sistema.

Nuo 8 iki 13 metų - žmonijos genijų ir talentų išspręstų užduočių ir problemų pasaulio - sistemos „Aš - dvasingumas“ atradimas.

Nuo 13 iki 21 metų - atradimas gebėjimo savarankiškai spręsti gerai žinomas užduotis, kai mintys, jausmai ir vaizduotė pradeda aktyviai veikti, atsiranda sistema „Aš - Noosfera“.

Nuo 21 iki 34 metų - sugebėjimo sukurti naują pasaulį ar jo fragmentus atradimas - supratimas apie „Aš esu Kūrėjas“ savikoncepciją.

Gyvenimo kelias turi laiko ir laiko struktūrą. Jį sudaro amžius ir individualios fazės, kurias lemia daugybė gyvenimo parametrų. Žmogus tam tikru mastu įsisavina savo gyvenimo aplinkybes, tampa savo istorijos kūrėju ir visuomenės istorijos kūrėju. Tikrai kūrybingas požiūris į gyvenimą išryškėja ne iškart ir net ne kiekviename žmoguje. Tarp gyvenimo kelio fazių yra genetiniai ryšiai, ir tai lemia reguliarų jo pobūdį. Iš to išplaukia, kad iš esmės būsimą raidą galima numatyti remiantis žiniomis apie jo ankstyvuosius etapus.

Fibonačio skaičiai astronomijoje

Iš astronomijos istorijos yra žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Titius, naudodamas „Fibonacci“ seriją, atrado modelį ir tvarką atstumuose tarp Saulės sistemos planetų. Bet, atrodo, vienas atvejis buvo prieš įstatymą: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Bet po Titijaus mirties XIX amžiaus pradžioje. koncentruotas šios dangaus dalies stebėjimas paskatino asteroido juostos atradimą.

Išvada

Tyrimo metu sužinojau, kad „Fibonacci“ skaičiai yra plačiai naudojami techninėje akcijų kainų analizėje. Vienas iš paprasčiausių būdų, kaip praktiškai pritaikyti „Fibonacci“ skaičius, yra nustatyti, per kiek laiko įvyks įvykis, pvz., Kainos pokytis. Analitikas suskaičiuoja tam tikrą skaičių Fibonacci dienų ar savaičių (13,21,34,55 ir kt.) Nuo ankstesnio panašaus įvykio ir pateikia prognozę. Bet man tai vis dar per sunku išsiaiškinti. Nors Fibonacci buvo didžiausias viduramžių matematikas, vieninteliai Fibonacci paminklai yra statula priešais Pizos pasvirusį bokštą ir dvi jo vardą turinčios gatvės: viena Pizoje, kita Florencijoje. Ir vis dėlto dėl visko, ką mačiau ir skaičiau, kyla gana logiškų klausimų. Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra tas Visatos architektas, bandantis padaryti jį tobulą? Kas bus toliau? Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite šį. Tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkysite su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, trylika ir t.t. Nepamirškite, kad ant dviejų rankų yra penki pirštai, du iš kurių susideda iš dviejų falangų, o aštuoni iš trijų.

Nuorodos:

Vološinovas A.V. „Matematika ir menas“, M., Apšvietimas, 1992 m.

Vorobjovas N.N. „Fibonačio skaičiai“, M., Mokslas, 1984 m.

Stahovas A.P. Da Vinčio kodas ir „Fibonacci“ serija, Peteris Formatas, 2006 m

F. Corvalanas „Auksinis santykis. Matematinė grožio kalba “, M., De Agostini, 2014 m

Maksimenko S.D. "Jautrūs gyvenimo laikotarpiai ir jų kodai".

Fibonačio skaičiai. Vikipedija

Fibonačio seka, visiems žinomas iš filmo „Da Vinčio kodas“, yra skaitmenų seka, kurią mįslės pavidalu apibūdino italų matematikas Leonardo Pisansky, geriau žinomas slapyvardžiu Fibonacci, XIII a. Trumpai tariant, dėlionės esmė:

Kažkas padėjo triušių porą tam tikroje uždaroje erdvėje, kad sužinotų, kiek triušių porų gims per metus, jei triušių pobūdis toks, kad kiekvieną mėnesį triušių pora pagimdo kitą porą, ir jie turi galimybę užauginti palikuonių, kai pasiekia dviejų mėnesių amžiaus.

Rezultatas yra skaičių seka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 kur kableliu parodomas triušių porų skaičius per dvylika mėnesių. Tai galima tęsti neribotą laiką. Jo esmė ta, kad kiekvienas sekantis skaičius yra dviejų ankstesnių skaičių suma.

Ši serija turi keletą matematinių ypatybių, kurias reikia paliesti. Asimptotiškai (judant arčiau ir lėčiau bei lėčiau) yra linkęs į tam tikrą pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra, tai yra skaičius su begaline, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka trupmeninėje dalyje. Neįmanoma tiksliai išreikšti.

Taigi bet kurio serijos nario ir ankstesniojo santykis svyruoja aplink skaičių 1,618 , kartais pranokdami, tada jo nepasiekę. Santykis su kitu panašiai artėja prie skaičiaus 0,618 tai yra atvirkščiai proporcinga 1,618 . Jei padalijame elementus per vieną, gauname skaičius 2,618 ir 0,382 kurie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Tai yra vadinamieji Fibonači santykiai.

Kodėl visa tai? Taigi artėjame prie vieno paslaptingiausių gamtos reiškinių. Taupusis Leonardo iš tikrųjų nieko naujo neatrado, jis tiesiog priminė pasauliui apie tokį reiškinį kaip Auksinis santykis, kuri ne mažiau reikšminga Pitagoro teoremai.

Mes išskiriame visus mus supančius objektus, įskaitant formą. Kai kurie mums patinka daugiau, kai kurie mažiau, kai kurie visiškai atstumia žvilgsnį. Kartais susidomėjimą gali padiktuoti gyvenimo situacija, o kartais - stebimo objekto grožis. Simetriška ir proporcinga forma prisideda prie geriausio regėjimo suvokimo ir sukelia grožio bei harmonijos jausmą. Holistinis vaizdas visada susideda iš skirtingų dydžių dalių, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita ir visuma. Auksinis santykis - aukščiausias visumos ir jos dalių tobulumo pasireiškimas moksle, mene ir gamtoje.

Jei pateikiame paprastą pavyzdį, tada Auksinė sekcija yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kad dauguma yra susijusi su mažesniuoju, nes jų suma (visas segmentas) į didesnį.

Jei imtume visą segmentą c už 1 tada segmentas a bus lygus 0,618 , supjaustyti b - 0,382 , tik tokiu būdu bus įvykdyta Aukso pjūvio sąlyga (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Požiūris c į a lygus 1,618 ir su į b 2,618 . Tai visi tie patys „Fibonacci“ santykiai, kurie mums jau yra pažįstami.

Žinoma, yra auksinis stačiakampis, auksinis trikampis ir net auksinis kuboidas. Žmogaus kūno proporcijos daugeliu proporcijų yra artimos Auksiniam pjūviui.

Vaizdas: marcus-frings.de

Bet įdomiausia dalis prasideda tada, kai sujungiame įgytas žinias. Paveikslas aiškiai parodo ryšį tarp Fibonačio sekos ir Auksinio santykio. Mes pradedame nuo dviejų pirmo dydžio kvadratų. Ant viršaus pridėkite antro dydžio kvadratą. Mes nupiešiame šalia jo kvadratą, kurio kraštinė lygi dviejų ankstesnių, trečių dydžių šonų sumai. Pagal analogiją pasirodo penkto dydžio kvadratas. Ir taip toliau, kol nepavargsi, svarbiausia, kad kiekvieno kito kvadrato kraštinės būtų lygios dviejų ankstesnių kraštinių ilgių sumai. Mes matome daugybę stačiakampių, kurių ilgių šonai yra Fibonačio skaičiai, ir, keista), jie vadinami Fibonačio stačiakampiais.

Jei per kvadratų kampus nubrėžtume sklandžiai linijas, gautume ne daugiau kaip Archimedo spiralę, kurios žingsnio žingsnis visada yra vienodas.

Ar tai nieko nepanašus?

Nuotrauka: etanheinas ant Flickr

Ir ne tik moliusko apvalkale galima rasti Archimedo spiralių, bet daugelyje gėlių ir augalų jie tiesiog nėra tokie akivaizdūs.

Scarlet leafy:

Nuotrauka: alaus knygelės ant Flickr

Nuotrauka: beart.org.uk

Nuotrauka: esdraskalderanas ant Flickr

Nuotrauka: mandj98 ant Flickr

Ir tada laikas prisiminti Aukso skyrių! Ar šiose fotografijose nėra pavaizduota nė viena gražiausia ir harmoningiausia gamtos kūryba? Ir tai dar ne viskas. Atidžiai pažiūrėję, galite rasti įvairių formų panašius modelius.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra sukurti remiantis „Fibonačio“ seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija yra akivaizdi. Be to, ji pati toli gražu nėra tobula, kaip ir viskas šiame pasaulyje.

Yra prielaida, kad „Fibonacci“ serija yra gamtos bandymas prisitaikyti prie fundamentalesnės ir tobulesnės aukso spalvos logaritminės sekos, kuri yra beveik ta pati, tik pradedanti iš niekur ir niekur nekelianti. Tačiau gamtai būtinai reikia tam tikros ištakų, nuo kurios galima atsitraukti, ji nieko negali sukurti iš nieko. Pirmųjų „Fibonačio“ sekos narių santykiai nutolę nuo Aukso pjūvio. Tačiau kuo toliau judame, tuo labiau šie nukrypimai bus išlyginti. Norint nustatyti bet kurią seriją, pakanka žinoti tris jos narius, ateinančius vienas po kito. Bet ne tik auksinei sekai, jai reikia tik dviejų, ji yra geometrinė ir aritmetinė progresija tuo pačiu metu. Galite pamanyti, kad tai yra visų kitų sekų pagrindas.

Kiekvienas aukso logaritminės sekos narys yra Auksinės proporcijos laipsnis ( z) Dalis serijos atrodo maždaug taip: ... z -5; z yra 4; z yra 3; z yra -2; z yra -1; z yra 0; z1; z2; z3; z4; z 5 ... Jei suapvalinsime aukso santykį iki trijų skaitmenų, gausime z \u003d 1,618, tada serija atrodo taip: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą kadenciją galima gauti ne tik padauginus ankstesnę iš 1,618 , bet taip pat pridedant du ankstesnius. Taigi eksponentinį augimą užtikrina paprastas dviejų gretimų elementų pridėjimas. Tai serija be pradžios ir pabaigos ir būtent ant jos bandoma būti „Fibonačio“ seka. Turėdama neabejotiną pradžią, ji siekia idealo, niekada jo nepasiekdama. Tai yra gyvenimas.

Vis dėlto, atsižvelgiant į viską matytą ir perskaitytą, kyla gana logiškų klausimų:
Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra tas Visatos architektas, bandantis padaryti jį tobulą? Ar viskas kartą buvo tai, ko jis norėjo? Ir jei taip, kodėl tai suklydo? Mutacijos? Laisvas pasirinkimas? Kas bus toliau? Ar spiralė susukta, ar nesukryžiuota?

Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite šį. Tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkysite su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, 21, 34, 55 ...

Šaltiniai:; ; ;

Vertimas

Įvadas

„Fibonačio“ numerių programuotojai jau turėtų būti atsibodę. Jų skaičiavimo pavyzdžiai naudojami visur. Viskas priklauso nuo to, kad šie skaičiai yra paprasčiausias rekursijos pavyzdys. Jie taip pat yra geras dinaminio programavimo pavyzdys. Bet ar reikia juos taip apskaičiuoti realiame projekte? Nereikia. Nei rekursija, nei dinaminis programavimas nėra idealios galimybės. Ir ne uždara formulė, kurioje naudojami slankiojo kablelio skaičiai. Dabar aš jums pasakysiu, kaip tai padaryti teisingai. Bet pirmiausia pereikime prie visų žinomų sprendimų.

Kodas yra „Python 3“, nors jis turėtų būti ir „Python 2“.

Pirmiausia - primenu apibrėžimą:

F n \u003d F n-1 + F n-2

Ir F 1 \u003d F 2 \u003d 1.

Uždara formulė

Mes praleidžiame detales, tačiau norintys gali susipažinti su formulės išvada. Idėja yra manyti, kad yra tam tikras x, kuriam F n \u003d x n, tada rasti x.

Ką tai reiškia

Iškirpti x n-2

Mes išsprendžiame kvadratinę lygtį:

Čia auga „aukso pjūvis“ ϕ \u003d (1 + √5) / 2. Pakeitę pradines vertes ir atlikę kitą skaičiavimą, gauname:

Kurį mes naudojame apskaičiuodami F n.

Iš __future__ importo skyriaus importo matematikos def fib (n): SQRT5 \u003d math.sqrt (5) PHI \u003d (SQRT5 + 1) / 2 grąžinti int (PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Gerai:
Greitas ir lengvas mažiems n
Blogas:
Būtina atlikti kintamąjį tašką. Dideliam n reikalingas didesnis tikslumas.
Blogis:
Sudėtingų skaičių naudojimas apskaičiuojant F n yra gražus matematiniu požiūriu, bet negražus iš kompiuterio.

Rekursija

Akivaizdžiausias sprendimas, kurį jau matėte daug kartų, greičiausiai yra rekursijos pavyzdys. Aš tai dar kartą pakartosiu dėl išsamumo. Python'e jį galima parašyti vienoje eilutėje:

Fib \u003d lambda n: fib (n - 1) + fib (n - 2), jei n\u003e 2 dar 1

Gerai:
Labai paprastas įgyvendinimas, pakartojant matematinį apibrėžimą
Blogas:
Eksponentinis laiko trukmė. Dideliam n tai labai lėtai
Blogis:
Kamino perpildymas

Įsiminimas

Rekursyvus sprendimas turi didelę problemą: susikertančius skaičiavimus. Kai vadinamas fib (n), skaičiuojami fib (n-1) ir fib (n-2). Bet kai skaičiuojamas fib (n-1), tai vėl nepriklausomai skaičiuojamas fib (n-2) - tai yra, fib (n-2) skaičiuojamas du kartus. Jei tęsime diskusiją, pamatysime, kad fib (n-3) bus skaičiuojamas tris kartus ir pan. Per daug sankryžų.

Todėl jums tiesiog reikia įsiminti rezultatus, kad vėl jų neskaičiuotumėte. Šis sprendimas linijiškai eikvoja laiką ir atmintį. Sprendime naudoju žodyną, tačiau galima naudoti paprastą masyvą.

M \u003d (0: 0, 1: 1) defib (n): jei n M: grįžkite M [n] M [n] \u003d fib (n - 1) + fib (n - 2) grįžkite M [n]

(„Python“ programoje tai taip pat galima padaryti naudojant dekoratorių, functools.lru_cache.)

Gerai:
Tiesiog paverskite rekursiją įsimenamu sprendimu. Eksponentinio vykdymo laiką paverčia linijiniu, kuriam praleidžiama daugiau atminties.
Blogas:
Praleidžia daug atminties
Blogis:
Galimas kamino perpildymas, pavyzdžiui, rekursija

Dinaminis programavimas

Po sprendimo su įsiminimu tampa aišku, kad mums reikia ne visų ankstesnių rezultatų, o tik dviejų paskutinių. Be to, užuot pradėdami nuo fib (n) ir grįždami atgal, galite pradėti nuo fib (0) ir eiti pirmyn. Šis kodas turi linijinį vykdymo laiką, o atminties naudojimas yra fiksuotas. Praktiškai sprendimo greitis bus dar didesnis, nes nėra rekursinių funkcijų skambučių ir su tuo susijusių darbų. Ir kodas atrodo paprastesnis.

Šis sprendimas dažnai minimas kaip dinaminio programavimo pavyzdys.

Defib (n): a \u003d 0 b \u003d 1 __ (n) intervale: a, b \u003d b, a + b grąžina a

Gerai:
Greitas mažam n, paprastas kodas
Blogas:
Vis tiek linijinis veikimo laikas
Blogis:
Taip, nieko ypatingo.

Matricos algebra

Ir, pagaliau, mažiausiai apšviestas, bet teisingiausias sprendimas, kompetentingai naudojantis ir laiką, ir atmintį. Jis taip pat gali būti išplėstas iki bet kokios vienalytės tiesinės sekos. Matricų panaudojimo idėja. Tiesiog pamatyk tai

Tai apibendrina

Dvi x vertės, kurias mes gavome anksčiau, iš kurių viena buvo aukso pjūvis, yra matricos savybės. Todėl kitas būdas išvesti uždarą formulę yra naudoti matricos lygtį ir tiesinę algebrą.

Taigi kuo ši formuluotė naudinga? Faktas, kad ekspansiją galima atlikti per logaritminį laiką. Tai atliekama kvadratu. Esmė ta

Kai pirmoji išraiška naudojama lygiai A, antroji - nelyginė. Lieka tik organizuoti matricų dauginimą ir viskas. Pasirodo toks kodas. Organizavau rekursinį Pow įgyvendinimą, nes tai lengviau suprasti. Pakartokite iteracinę versiją čia.

Def pow (x, n, I, mult): "" "Grąžina x į n galią. Tarkime, kad aš esu tapatybės matrica, kuri dauginasi su mult, o n yra teigiamas sveikasis skaičius" "", jei n \u003d\u003d 0: grąžina. I elif n \u003d\u003d 1: grįžtama x dar: y \u003d pow (x, n // 2, I, mult) y \u003d mult (y, y), jei n% 2: y \u003d mult (x, y) grąžina y def identiteto_matrica (n): "" "Pateikia tapatybės matricą n pagal n" "" r \u003d sąrašas (diapazonas (n)) grąžina [už j į r] def matricos_daugkart (A, B): BT \u003d sąrašas (zip (* B)) ) grąža [eilutei aa A] def fib (n): F \u003d pow ([,], n, tapatybės_matrica (2), matrica_padauginti) grąžinti F

Gerai:
Fiksuota atmintis, logaritminis laikas
Blogas:
Sudėtingesnis kodas
Blogis:
Turime dirbti su matricomis, nors jos nėra tokios blogos

Našumo palyginimas

Verta lyginti tik dinaminio programavimo ir matricos variantą. Jei palyginsime juos su skaičiaus n simbolių skaičiumi, paaiškėja, kad matricos sprendimas yra tiesinis, o sprendimas su dinaminiu programavimu yra eksponentinis. Praktinis pavyzdys yra skaičiuoti fib (10 ** 6) - skaičių, kuris turės daugiau nei du šimtus tūkstančių simbolių.

N \u003d 10 ** 6
Mes apskaičiuojame fib_matrix: fib (n) iš viso yra 208988 skaitmenys, skaičiavimas užtruko 0,24993 sekundes.
Mes apskaičiuojame fib_dynamic: fib (n) iš viso turi 208988 skaitmenis, skaičiavimas užtruko 1183377 sekundžių.

Teorinės pastabos

Šis komentaras tiesiogiai neliestų aukščiau esančio kodo, tačiau jį vis dar domina. Apsvarstykite šią schemą:

Suskaičiuojame n ilgio n kelią nuo A iki B. Pvz., Jei n \u003d 1 turime vieną kelią, 1. N \u003d 2 mes vėl turime vieną kelią, 01. Jei n \u003d 3, mes turime du kelius, 001 ir 101. Gana paprasta parodyti, kad n ilgio n kelias nuo A iki B yra tiksliai F n. Parašę grafiko gretimybių matricą, gauname tą pačią matricą, kuri buvo aprašyta aukščiau. Tai yra gerai žinomas grafiko teorijos rezultatas, pagal kurį tam tikroje gretimybių matricoje A įvykiai A n yra n ilgio n ilgio kelių skaičius grafike (viena iš problemų, paminėtų filme „Geros valios medžioklė“).

Kodėl ant kraštų yra tokie ženklai? Pasirodo, kai pažvelgdami į begalinę simbolių seką takų seka grafike, kuris yra begalinis iš abiejų pusių, jūs gaunate tai, kas vadinama „baigtinio tipo poslinkiais“, tai yra simbolinės dinamikos sistemos tipu. Tiksliau, tas baigtinio tipo poslinkis yra žinomas kaip „auksinės pjūvio poslinkis“ ir yra apibrėžtas „draudžiamų žodžių“ rinkiniu (11). Kitaip tariant, mes gauname dvejetaines sekas, kurios yra begalinės abiem kryptimis ir nė viena jų pora nėra gretimos. Šios dinaminės sistemos topologinė entropija yra lygi aukso santykiui ϕ. Įdomu, kaip šis skaičius periodiškai atsiranda skirtingose \u200b\u200bmatematikos srityse.

Žymos: pridėkite žymas

Tačiau tai dar ne viskas, ką galima padaryti naudojant aukso santykį. Jei padalytume vienetą iš 0,618, paaiškėtų, kad 1,618, jei jį padalintume į kvadratą, gautume 2,618, jei jį padalintume kvadratu, gautume skaičių 4,236. Tai yra Fibonacci plėtimosi koeficientai. Trūksta Johno Murphy pasiūlyto numerio 3.236.

Ką ekspertai galvoja apie seką?

Kažkas sakys, kad šie skaičiai jau yra pažįstami, nes jie naudojami techninės analizės programose, siekiant nustatyti pataisų ir išplėtimų kiekį. Be to, tos pačios serijos vaidina svarbų vaidmenį Elioto bangos teorijoje. Jie yra jo skaitinis pagrindas.

Mūsų ekspertas Nikolajus patikrintas investicinės bendrovės „Vostok“ portfelio valdytojas.

- Nikolajus, ar, jūsų manymu, atsitiktinumas yra tai, kad „Fibonačio“ numeriai ir jų dariniai atsirado įvairių instrumentų lentelėse? Ar galima sakyti: vyksta „Fibonacci serijos praktinis pritaikymas“?
- Aš blogai jaučiuosi dėl mistikos. Ir dar mainų lentelėse. Viskas turi savo priežastis. knygoje „Fibonačio lygiai“ jis gražiai papasakojo, kur atsiranda aukso pjūvis, kad jis nepradėjo stebėtis, kad jis pasirodė akcijų kursų lentelėse. Bet veltui! Daugelyje jo nurodytų pavyzdžių dažnai pasirodo skaičius Pi. Bet dėl \u200b\u200btam tikrų priežasčių tai nėra kainų santykis.
- Taigi jūs netikite Elioto bangos principo veiksmingumu?
„Ne, tai nėra esmė“. Bangos principas yra vienas dalykas. Skaitinis santykis yra skirtingas. O jų pasirodymo kainų lentelėse priežastys yra trečios
- Kokios, jūsų manymu, yra priežastys, dėl kurių aukso pjūvis atsirado akcijų grafikuose?
- Teisingas atsakymas į šį klausimą gali uždirbti Nobelio ekonomikos premiją. Kol kas galime atspėti tikrąsias priežastis. Jie aiškiai nesuderinami su gamta. Yra daugybė biržos kainų nustatymo modelių. Jie nepaaiškina nurodyto reiškinio. Tačiau nesuprasdami reiškinio prigimties, neturėtumėte paneigti reiškinio kaip tokio.
- O jei šis įstatymas kada nors bus atviras, ar jis gali sunaikinti mainų procesą?
- Kaip rodo ta pati bangų teorija, kintančių akcijų kainų dėsnis yra gryna psichologija. Man atrodo, kad žinios apie šį įstatymą nieko nepakeis ir negali sunaikinti mainų.

Medžiagą pateikė tinklalapio valdytojo „Maxim“ tinklaraštis.

Matematikos principų pagrindų sutapimas įvairiose teorijose atrodo neįtikėtinai. Gal tai fantazija ar tinkamas galutinis rezultatas. Palaukite ir pamatysite. Didžioji dalis to, kas anksčiau buvo laikoma neįprasta ar nebuvo įmanoma: pavyzdžiui, kosmoso tyrinėjimai tapo pažįstami ir nieko nestebina. Taip pat bangų teorija, kuri gali būti nesuprantama, ilgainiui taps labiau prieinama ir suprantama. Tai, kas anksčiau nebuvo būtina analitiko, turinčio patirtį, rankose, taps galingu įrankiu numatyti būsimą elgesį.

Fibonačio skaičiai gamtoje.

Žiūrėti

O dabar pakalbėkime apie tai, kaip galite paneigti faktą, kad skaitmeninės „Fibonacci“ serijos yra susijusios su bet kokiais gamtos modeliais.

Paimkite kitus du skaičius ir sudarykite seką pagal tą pačią logiką kaip ir Fibonačio skaičiai. Tai yra, kitas sekos narys yra lygus dviejų ankstesnių sumai. Pavyzdžiui, paimkite du skaičius: 6 ir 51. Dabar mes sukursime seką, kuri baigiasi dviem skaičiais 1860 ir 3009. Atminkite, kad padaliję šiuos skaičius gausime skaičių, artimą auksiniam santykiui.

Be to, skaičiai, gauti padalijus kitas poras, sumažėjo nuo pirmosios iki paskutinės, o tai rodo, kad jei ši serija tęsis neribotą laiką, gausime skaičių, lygų aukso santykiui.

Taigi, „Fibonačio“ skaičiai niekuo neišsiskiria. Yra ir kitų skaičių sekų, iš kurių yra begalinis skaičius, kurios dėl tų pačių operacijų suteikia aukso skaičių phi.

Fibonačiukai nebuvo ezoterikai. Jis nenorėjo investuoti jokios mistikos į skaičius, jis paprasčiausiai išsprendė įprastą triušių problemą. Ir jis parašė skaičių seką, kuri kilo iš jo užduoties per pirmąjį, antrąjį ir kitus mėnesius, kiek triušių bus po veisimo. Per metus jis gavo tą pačią seką. Ir neužmezgė santykių. Jokios auksinės proporcijos, dieviškasis kalbų santykis nepraėjo. Visa tai buvo sugalvota po jo Renesanso laikais.

Prieš matematiką, Fibonačio dorybės yra milžiniškos. Jis pritaikė arabų skaičių sistemą ir įrodė jos teisingumą. Tai buvo sunki ir ilga kova. Iš romėniškos skaitmenų sistemos: sunki ir nepatogu skaičiuoti. Ji dingo po Prancūzijos revoliucijos. Tai neturi nieko bendra su „Fibonacci“ aukso santykiu.

Yra be galo daug spiralių, populiariausios: natūralaus logaritmo spiralė, Archimedo spiralė, hiperbolinė spiralė.

Dabar pažvelkime į Fibonačio spiralę. Šis gabalinis kompozicinis vienetas susideda iš kelių ketvirčių apskritimų. Ir tai nėra spiralė.

Išvada

Nesvarbu, kiek laiko mes ieškome patvirtinimo ar paneigimo apie „Fibonacci“ serijos pritaikymą mainuose, tokia praktika egzistuoja.

Didelė žmonių masė veikia pagal „Fibonacci“ liniją, kuri yra daugelyje vartotojų terminalų. Todėl norime ar nenorime: Fibonačio skaičiai daro įtaką, ir mes galime ja pasinaudoti.

Straipsnį perskaitėme nesėkmingai.