Dievo skaičius, Fibonačio skaičiai, aukso santykis. "gimk pats, padėk kitam"

Apie gamtoje randamus skaičius ir formules. Na, keli žodžiai apie tuos pačius skaičius ir formules.

Skaičiai ir formulės gamtoje yra kliūtis tarp tų, kurie tiki kažkieno sukurtoje visatos kūrime, ir tų, kurie tiki, kad visata sukuriama pati. Klausimui: „Jei Visata būtų susikūrusi savaime, ar tikrai ne visi gyvi ir negyvi objektai būtų pastatyti pagal tą pačią schemą, pagal tas pačias formules?“

Na, mes neatsakysime į šį filosofinį klausimą (svetainės formatas nėra tas pats 🙂), bet mes išsakysime formules. Ir pradėkite nuo „Fibonacci“ numerių ir „Auksinės spiralės“.

Taigi, Fibonačio skaičiai yra skaitinės sekos elementai, kuriuose kiekvienas sekantis skaičius yra lygus dviejų ankstesnių skaičių sumai. Tai yra, 0 + 1 \u003d 1, 1 + 1 \u003d 2, 2 + 1 \u003d 3, 3 + 2 \u003d 5 ir pan.

Iš viso gaunama serija: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Kitas „Fibonacci“ serijos pavyzdys: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 ir pan. Galite eksperimentuoti patys 🙂

Kaip Fibonačio skaičiai pasireiškia gamtoje? Labai paprasta:

Lapų išdėstymą augaluose apibūdina Fibonačio seka. Saulėgrąžų sėklos, pušies spurgai, gėlių žiedlapiai, ananasų ląstelės taip pat yra išdėstytos pagal Fibonacci seką.
Žmogaus pirštų falangų ilgis yra maždaug toks pat kaip Fibonačio skaičių.
DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai surištų spiralių, kurių ilgis 34 angström ir 21 angstroms. Skaičiai 21 ir 34 seka vienas kitą Fibonačio seka.

Naudodamiesi „Fibonacci“ skaičiais, galite sukurti „Auksinę spiralę“. Taigi, nupieškime mažą kvadratą su šonu, tarkim, ties 1. Kitas, prisimink mokyklą. Kiek bus 1 2? Tai bus 1. Taigi, mes nupiešime kitą kvadratą šalia pirmojo, tiesiai šalia jo. Toliau kitas Fibonačio skaičius yra 2 (1 + 1). Kiek bus 2 2? Tai bus 4. Šalia pirmųjų dviejų kvadratų nubrėžkite dar vieną kvadratą, bet dabar pažymėkite 2 šoną ir 4 plotą. Kitas skaičius yra skaičius 3 (1 + 2). 3 skaičiaus kvadratas yra 9. Nubrėžkite kvadratą, kurio kraštinė 3 ir plotas 9 šalia jau nupieštų. Toliau turime kvadratą su 5 kraštinėmis ir 25 plotą, kvadratą su 8 kraštinėmis ir 64 plotą - ir taip toliau, iki begalybės.

Atėjo laikas auksinei spiralei. Tarp kvadratų prijunkite taško-ribos linijos sklandžią kreivę. Ir gausime pačią auksinę spiralę, kurios pagrindu pastatyta daugybė gyvų ir negyvų gamtos objektų.

Prieš pereidami prie aukso santykio, pagalvokime apie tai. Taigi mes pastatėme spiralę pagal Fibonačio sekos kvadratus (1, 1, 2, 3, 5, 8 ir 1, 1, 4, 9, 25, 64 kvadratai). Bet kas atsitiks, jei naudosime ne skaičių kvadratus, o jų kubus? Kubai iš centro atrodys taip:

O iš šitos pusės:

Na, o statant spiralę, paaiškės tūrinė auksinė spiralė:

Taip iš šono atrodo ši didžiulė auksinė spiralė:

O kas, jei imsime ne „Fibonačio“ skaičių kubus, o pereisime prie ketvirtosios dimensijos? .. Tai yra dėlionė, tiesa?

Tačiau aš neįsivaizduoju, kaip gamtoje pasireiškia tūrinis auksinis pjūvis, pagrįstas Fibonačio skaičių skaičiais, o juo labiau skaičiais iki ketvirtojo laipsnio. Todėl mes grįžtame prie aukso pjūvio plokštumoje. Taigi, dar kartą pažvelk į mūsų aikštes. Matematiškai paaiškėja, kad čia yra toks vaizdas:

Tai yra, mes gauname auksinį santykį - kai viena pusė yra padalinta į dvi dalis taip, kad mažesnioji dalis yra susijusi su didesniąja, kaip didžioji visos vertės atžvilgiu.

Tai yra, a: b \u003d b: c arba c: b \u003d b: a.

Remiantis tokiu kiekių santykiu, be kita ko, yra pastatytas įprastas penkiakampis ir pentagrama:

Nuoroda: norėdami sukurti pentagramą, turite pastatyti įprastą penkiakampį. Jo konstravimo metodą sukūrė vokiečių tapytojas ir grafikas Albrechtas Dureris (1471 ... 1528). Tegul O yra apskritimo centras, A - apskritimo taškas, o E - segmento OA vidurys. Stačiakampis spinduliui OA, iškeltas taške O, kerta tašką D. apskritimu. Kompasu naudodamiesi kompasu, nustatykite skersmenį CE \u003d ED. Į apskritimą įrašyto taisyklingo penkiakampio kraštinės ilgis yra DC. Padėkite DC segmentus ant apskritimo ir gaukite penkis taškus, kad nubrėžtumėte įprastą penkiakampį. Mes sujungiame penkiakampio kampus per vieną įstrižainę ir gauname pentagramą. Visos penkiakampio įstrižainės padalijamos į segmentus, sujungtus aukso santykiu.

Apskritai tokie yra įstatymai. Be to, modelių įvairovė yra daug daugiau nei buvo aprašyta. O dabar, po visų šių nuobodžių skaičių - žadėtas vaizdo klipas, kuriame viskas paprasta ir aišku:

Kaip matai, matematika iš tikrųjų egzistuoja gamtoje. Ir ne tik vaizdo įraše išvardytuose objektuose, bet ir daugelyje kitų sričių. Pavyzdžiui, kai banga nubėga į krantą ir sukasi, tada ji sukasi auksine spirale. Na ir taip toliau 🙂

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonačio skaičiai ir aukso santykis sudaro pagrindą išspręsti mus supantį pasaulį, sukurti jo formą ir optimalų žmogaus regimąjį vaizdą, kurio pagalba jis gali jausti grožį ir harmoniją.

Aukso pjūvio matmenų nustatymo principas grindžiamas viso pasaulio ir jo dalių tobulumu savo struktūra ir funkcijomis, jo pasireiškimą galima įžvelgti gamtoje, mene ir technologijoje. Aukso santykio doktrina buvo išdėstyta senovės mokslininkų atlikus skaičių pobūdį.

Įrodymai apie senovės mąstytojų naudojimą aukso santykiu pateikiami Euklido knygoje „Pradžia“, parašytoje III a. BC, kuris pritaikė šią taisyklę statant įprastus 5-gonius. Tarp pitagoriečių šis paveikslas laikomas šventu, nes yra ir simetriškas, ir asimetriškas. Pentagrama simbolizavo gyvybę ir sveikatą.

Fibonačio skaičiai

Garsioji knyga Liber abaci matematikas iš Italijos Leonardo iš Pizos, vėliau išgarsėjusios kaip Fibonacci, buvo išleista 1202 m. Jame mokslininkas pirmą kartą pateikia skaičių modelį, tarp kurių kiekvienas skaičius yra 2 ankstesnių skaitmenų suma. Fibonačio skaičių seka yra tokia:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ir kt.

Mokslininkas taip pat paminėjo keletą modelių:

Bet kuris skaičius iš serijos, padalytas iš kito, bus lygus reikšmei, kuri siekia 0,618. Be to, pirmieji „Fibonacci“ skaičiai tokio skaičiaus nesuteikia, tačiau judant nuo sekos pradžios šis santykis bus tikslesnis.

Padalijus skaičių iš serijos į ankstesnį, rezultatas pakils iki 1,618.

Vienas skaičius, padalytas iš kito per vieną, parodys vertę, kuri bus 0,382.

Taikant santykius ir aukso santykio dėsnius, Fibonačio skaičių (0,618) galima rasti ne tik matematikoje, bet ir gamtoje, istorijoje, architektūroje ir statyboje bei daugelyje kitų mokslų.

Praktiniais tikslais jie apriboti iki apytikslės vertės of \u003d 1,618 arba Φ \u003d 1,62. Suapvalintos vertės procentais auksinis santykis yra bet kurios vertės padalijimas, palyginti su 62% ir 38%.

Istoriškai aukso pjūvis iš pradžių buvo vadinamas AB segmento padalijimu tašku C į dvi dalis (mažesnį segmentą AC ir didesnį segmentą BC), kad AC / BC \u003d BC / AB būtų teisinga segmentų ilgiams. Paprastais žodžiais tariant, aukso pjūvis išpjauna segmentą į dvi nelygias dalis taip, kad mažesnioji dalis nurodo didesnę, tuo didesnė kaip visą segmentą. Vėliau ši sąvoka buvo išplėsta į savavališkas vertybes.

Taip pat vadinamas skaičius Φ auksinis skaičius.

Aukso santykis turi daug nuostabių savybių, tačiau, be to, jam priskiriama ir daugybė fiktyvių savybių.

Dabar apie detales:

ZS apibrėžimas yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kad didelė dalis nurodo mažesnį, nes jų suma (visas segmentas) į didesnį.

Tai yra, jei imsime visą segmentą c kaip 1, tada segmentas a bus 0,618, segmentas b - 0,382. Taigi, jei paimsime struktūrą, pavyzdžiui, šventyklą, pastatytą AP principu, tada, kai jos aukštis tarkime 10 metrų, būgno su kupolu aukštis bus 3,82 cm, o konstrukcijos pagrindo aukštis bus 6,18 cm. (Aišku, kad skaičiai imtasi aiškumo)

O koks ZS ryšys su Fibonačio skaičiais?

Fibonačio sekų numeriai yra šie:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Skaičių modelis yra toks, kad kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus dviejų ankstesnių skaičių sumai.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 \u003d 21 ir kt.

o gretimų skaičių santykis artėja prie ZS santykio.
Taigi, 21: 34 \u003d 0,617 ir 34: 55 \u003d 0,618.

Tai yra, ZS pagrindas yra Fibonačio sekos skaičiai.

Manoma, kad terminą „Auksinis pjūvis“ įvedė Leonardo Da Vinci, kuris sakė: „Tegul niekas, būdamas matematikas, neišdrįsta perskaityti mano darbų“ ir parodyti žmogaus kūno proporcijas savo garsiajame piešinyje „Vitruvian Man“. „Jei mes esame žmogaus figūra - tobuliausias Visatos kūrinys - mes susisiejame su diržu ir išmatuojame atstumą nuo diržo iki kojų, tada ši reikšmė nurodo atstumą nuo to paties diržo iki karūnos, kaip viso žmogaus augimas nuo diržo ilgio iki kojų.“

Fibonačio skaičių serija vizualiai modeliuojama (materializuojama) spiralės pavidalu.

O gamtoje ZS spiralė atrodo taip:

Be to, spiralė pastebima visur (gamtoje ir ne tik):

Daugelio augalų sėklos yra išdėstytos spirale
- Voras pynė tinklą spirale
- Uraganas sukasi spirale
- Išsigandusi elnių banda eina spirale.
- DNR molekulė susukta dviguba spiralė. DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai surištų spiralių, kurių ilgis 34 angström ir 21 angstroms. Skaičiai 21 ir 34 seka vienas kitą Fibonačio seka.
- Embrionas vystosi spiralės forma
- Spiralė "sraigės vidinėje ausyje"
- Vanduo į kanalizaciją patenka spirale
- Spiralinė dinamika parodo asmens asmenybės raidą ir jos vertybes spirale.
- Ir, žinoma, pati „Galaxy“ turi spiralės formą

Taigi galima teigti, kad pati gamta yra pastatyta pagal Aukso pjūvio principą, todėl ši proporcija harmoningiau suvokiama žmogaus akies. Tai nereikalauja „pataisyti“ ar papildyti gautą pasaulio vaizdą.

Filmas. Dievo skaičius. Neginčijami Dievo įrodymai; Dievo skaičius. Neginčijamas Dievo įrodymas.

Auksinės proporcijos DNR molekulės struktūroje

Visa informacija apie gyvų daiktų fiziologines savybes kaupiama mikroskopinėje DNR molekulėje, kurios struktūroje taip pat yra aukso santykio dėsnis. DNR molekulę sudaro dvi vertikaliai susipynusios spiralės. Kiekvienos iš šių spiralių ilgis yra 34 angstromai, plotis - 21 angstromas. (1 angstroma - šimtas milijoninės centimetrų).

21 ir 34 yra skaičiai, einantys vienas po kito pagal Fibonacci skaičių seką, tai yra, DNR molekulės logaritminės spiralės ilgio ir pločio santykis turi aukso santykio formulę 1: 1,618.

Aukso pjūvis mikro pasaulių struktūroje

Geometrinės figūros neapsiriboja vien trikampiu, kvadratu, penkiakampiu ar šešiakampiu. Jei mes sujungsime šias figūras skirtingais būdais tarpusavyje, tada gausime naujas trijų matmenų geometrines figūras. To pavyzdžiai yra figūros, tokios kaip kubas ar piramidė. Tačiau, be jų, yra ir kitos trimatės figūros, su kuriomis kasdieniame gyvenime neteko susidurti ir kurių vardus girdime galbūt pirmą kartą. Tarp tokių trijų matmenų figūrų galima įvardyti tetraedrą (taisyklingą keturių pusių figūrą), oktaedrą, dodekaedrą, ikozaedrą ir kt. Dodekaedrą sudaro 13 penkiakampių, o ikosaedrą - 20 trikampių. Matematikai pažymi, kad šie skaičiai yra matematiškai labai lengvai transformuojami, o jų transformacija vyksta pagal aukso santykio logaritminės spiralės formulę.

Mikro pasaulyje trimatės logaritminės formos, pastatytos aukso proporcijomis, yra visur paplitusios. Pavyzdžiui, daugelis virusų turi trimatę geodezinę ikosaedro formą. Turbūt pats garsiausias iš šių virusų yra Adeno virusas. Adeno viruso baltymų apvalkalas yra suformuotas iš 252 vienetų baltymų ląstelių, esančių tam tikroje seka. Kiekviename ikosaedro kampe yra 12 vienetų baltyminių ląstelių, sudarytų iš penkiakampės prizmės, ir iš šių kampų išsikiša smaigalys panašios struktūros.

Pirmą kartą aukso santykis virusų struktūroje buvo atrastas šeštajame dešimtmetyje. Londono Birkbecko koledžo mokslininkai A. Klug ir D. Kaspar. 13 Pirmąją logaritminę formą savaime atskleidė Polyo virusas. Šio viruso forma buvo panaši į „Rhino 14“ viruso formą.

Iškyla klausimas, kaip virusai sudaro tokias sudėtingas trimates formas, kurių įrenginyje yra aukso pjūvis, kurį net mūsų žmogaus protui yra gana sunku sukonstruoti? Šių virusų formų pradininkas, virusologas A. Klug pateikia šį komentarą:

„Dr. Casparas ir aš parodėme, kad sferiniam viruso apvalkalui optimaliausia forma yra simetrija, kaip ir ikosaedro forma. Tokia tvarka sumažina jungiamųjų elementų skaičių ... Dauguma „Bookminster Fuller“ geodezinių pusrutulio formos kubelių yra sukonstruoti pagal panašų geometrinį principą. 14 Tokiems kubeliams sumontuoti reikalinga ypač tiksli ir išsami paaiškinimo schema. Tuo tarpu nesąmoningi virusai patys sukonstruoja tokį sudėtingą elastingų, lanksčių baltymų ląstelių paketą. “

Vertimas

Įvadas

„Fibonačio“ numerių programuotojai jau turėtų būti atsibodę. Jų skaičiavimo pavyzdžiai naudojami visur. Viskas priklauso nuo to, kad šie skaičiai yra paprasčiausias rekursijos pavyzdys. Jie taip pat yra geras dinaminio programavimo pavyzdys. Bet ar reikia juos taip apskaičiuoti realiame projekte? Nereikia. Nei rekursija, nei dinaminis programavimas nėra idealios galimybės. Ir ne uždaroji formulė, kurioje naudojami slankiojo kablelio skaičiai. Dabar aš jums pasakysiu, kaip tai padaryti teisingai. Bet pirmiausia pereikime prie visų žinomų sprendimų.

Kodas yra „Python 3“, nors jis turėtų būti ir „Python 2“.

Pirmiausia - primenu apibrėžimą:

F n \u003d F n-1 + F n-2

Ir F 1 \u003d F 2 \u003d 1.

Uždara formulė

Mes praleidžiame detales, tačiau norintys gali susipažinti su formulės išvada. Idėja yra manyti, kad yra tam tikras x, kuriam F n \u003d x n, ir tada rasti x.

Ką tai reiškia

Iškirpti x n-2

Mes išsprendžiame kvadratinę lygtį:

Čia auga „aukso pjūvis“ ϕ \u003d (1 + √5) / 2. Pakeitę pradines vertes ir atlikę kitą skaičiavimą, gauname:

Kurį mes naudojame apskaičiuodami F n.

Iš __future__ importo skyriaus importo matematikos def fib (n): SQRT5 \u003d math.sqrt (5) PHI \u003d (SQRT5 + 1) / 2 grąžinti int (PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Gerai:
Greitas ir lengvas mažiems n
Blogas:
Būtina atlikti kintamąjį tašką. Dideliam n reikalingas didesnis tikslumas.
Blogis:
Sudėtingų skaičių naudojimas apskaičiuojant F n yra gražus matematiniu požiūriu, bet negražus iš kompiuterio.

Rekursija

Akivaizdžiausias sprendimas, kurį jau matėte daug kartų, greičiausiai yra rekursijos pavyzdys. Aš tai dar kartą pakartosiu dėl išsamumo. Python'e jį galima parašyti vienoje eilutėje:

Fib \u003d lambda n: fib (n - 1) + fib (n - 2), jei n\u003e 2 dar 1

Gerai:
Labai paprastas įgyvendinimas, pakartojant matematinį apibrėžimą
Blogas:
Eksponentinis laiko trukmė. Dideliam n jis yra labai lėtas
Blogis:
Kamino perpildymas

Įsiminimas

Rekursyvus sprendimas turi didelę problemą: susikertančius skaičiavimus. Kai vadinamas fib (n), skaičiuojami fib (n-1) ir fib (n-2). Bet kai skaičiuojamas fib (n-1), tai vėlgi nepriklausomai skaičiuojamas fib (n-2) - tai yra, fib (n-2) skaičiuojamas du kartus. Jei tęsime diskusiją, pamatysime, kad fib (n-3) bus skaičiuojamas tris kartus ir pan. Per daug sankryžų.

Todėl jums tiesiog reikia atsiminti rezultatus, kad vėl jų neskaičiuotumėte. Šis sprendimas linijiškai eikvoja laiką ir atmintį. Sprendime naudoju žodyną, tačiau galima naudoti paprastą masyvą.

M \u003d (0: 0, 1: 1) defib (n): jei n M: grįžkite M [n] M [n] \u003d fib (n - 1) + fib (n - 2) grįžkite M [n]

(„Python“ programoje tai taip pat galima padaryti naudojant dekoratorių, functools.lru_cache.)

Gerai:
Tiesiog paverskite rekursiją įsimentu sprendimu. Eksponentinio vykdymo laiką paverčia linijiniu, kuriam praleidžiama daugiau atminties.
Blogas:
Praleidžia daug atminties
Blogis:
Galimas kamino perpildymas, pavyzdžiui, rekursija

Dinaminis programavimas

Po sprendimo su įsiminimu tampa aišku, kad mums reikia ne visų ankstesnių rezultatų, o tik dviejų paskutinių. Be to, užuot pradėdami nuo fib (n) ir grįždami atgal, galite pradėti nuo fib (0) ir eiti pirmyn. Šis kodas turi linijinį vykdymo laiką, o atminties naudojimas yra fiksuotas. Praktiškai sprendimo greitis bus dar didesnis, nes nėra rekursinių funkcijų skambučių ir su tuo susijusių darbų. Ir kodas atrodo paprastesnis.

Šis sprendimas dažnai minimas kaip dinaminio programavimo pavyzdys.

Defib (n): a \u003d 0 b \u003d 1 __ (n) diapazone: a, b \u003d b, a + b grąžina a

Gerai:
Greitas mažam n, paprastas kodas
Blogas:
Vis tiek linijinis veikimo laikas
Blogis:
Taip, nieko ypatingo.

Matricos algebra

Ir, pagaliau, mažiausiai apšviestas, bet teisingiausias sprendimas, kompetentingai naudojantis ir laiką, ir atmintį. Jis taip pat gali būti išplėstas į bet kokią homogeninę linijinę seką. Matricų panaudojimo idėja. Tiesiog pamatyk tai

Tai apibendrina

Dvi x anksčiau gautos x vertės, iš kurių viena buvo aukso pjūvis, yra matricos savivaliosios vertės. Todėl kitas būdas išvesti uždarą formulę yra naudoti matricos lygtį ir tiesinę algebrą.

Taigi kuo ši formuluotė naudinga? Faktas, kad ekspansiją galima atlikti per logaritminį laiką. Tai atliekama kvadratu. Esmė ta

Kai pirmoji išraiška naudojama lygiai A, antroji - nelyginė. Lieka tik organizuoti matricų dauginimą ir viskas. Pasirodo toks kodas. Organizavau rekursinį Pow įgyvendinimą, nes tai lengviau suprasti. Čia galite pamatyti iteracinę versiją.

Def pow (x, n, I, mult): "" "Grąžina x į n galią. Tarkime, kad aš esu tapatybės matrica, kuri dauginasi su mult, o n yra teigiamas sveikasis skaičius" "", jei n \u003d\u003d 0: grąžina. I elif n \u003d\u003d 1: grįžtama x dar: y \u003d pow (x, n // 2, I, mult) y \u003d mult (y, y), jei n% 2: y \u003d mult (x, y) grąžina y def identiteto_matrica (n): "" "Pateikia tapatybės matricą n pagal n" "" r \u003d sąrašas (diapazonas (n)) grįžta [už j į r] def matricos_daugkartinis (A, B): BT \u003d sąrašas (zip (* B)) ) grąža [eilutei aa A] def fib (n): F \u003d pow ([,], n, tapatybės_matrica (2), matrica_padauginti) grąžinti F

Gerai:
Fiksuota atmintis, logaritminis laikas
Blogas:
Sudėtingesnis kodas
Blogis:
Aš turiu dirbti su matricomis, nors jos nėra tokios blogos

Našumo palyginimas

Verta lyginti tik dinaminio programavimo ir matricos variantą. Jei palyginsime juos su skaičiaus n simbolių skaičiumi, paaiškės, kad matricos sprendimas yra tiesinis, o sprendimas su dinaminiu programavimu yra eksponentinis. Praktinis pavyzdys yra skaičiuoti fib (10 ** 6) - skaičių, kurį sudaro daugiau nei du šimtai tūkstančių simbolių.

N \u003d 10 ** 6
Mes apskaičiuojame fib_matrix: fib (n) iš viso yra 208988 skaitmenys, skaičiavimas užtruko 0,24993 sekundes.
Mes apskaičiuojame fib_dynamic: fib (n) iš viso turi 208988 skaitmenis, skaičiavimas užtruko 1183377 sekundžių.

Teorinės pastabos

Šis komentaras vis dar šiek tiek neliečia aukščiau esančio kodo. Apsvarstykite šią schemą:

Mes suskaičiuojame n ilgio n kelią nuo A iki B. Pavyzdžiui, jei n \u003d 1 turime vieną kelią, 1. N \u003d 2 mes vėl turime vieną kelią, 01. Jei n \u003d 3, mes turime du kelius, 001 ir 101. Gana paprasta parodyti, kad n ilgio n kelias nuo A iki B yra tiksliai F n. Parašę grafiko gretimybių matricą, gauname tą pačią matricą, kuri buvo aprašyta aukščiau. Tai yra gerai žinomas grafiko teorijos rezultatas, pagal kurį tam tikroje gretimybių matricoje A įvykiai A n yra n ilgio n ilgio kelių skaičius grafike (viena iš problemų, paminėtų filme „Geros valios medžioklė“).

Kodėl ant kraštų yra tokie ženklai? Pasirodo, kai pažvelgdami į begalinę simbolių seką grafiko kelio seka, kuri yra begalinė iš abiejų pusių, jūs gaunate tai, kas vadinama „baigtinio tipo poslinkiais“, tai yra simbolinės dinamikos sistemos tipu. Tiksliau, tas baigtinio tipo poslinkis yra žinomas kaip „auksinės pjūvio poslinkis“ ir yra apibrėžtas „draudžiamų žodžių“ rinkiniu (11). Kitaip tariant, mes gauname dvejetaines sekas, kurios yra begalinės abiem kryptimis ir nė viena jų pora nėra gretimos. Šios dinaminės sistemos topologinė entropija yra lygi aukso santykiui ϕ. Įdomu, kaip šis skaičius periodiškai pasirodo skirtingose \u200b\u200bmatematikos srityse.

Žymos: pridėkite žymas

(Fibonacci skaičiai, angliška Fibonacci seka, Fibonacci skaičiai) - skaičių seka, išvesta garsaus matematiko Fibonacci. Jis turi tokią formą: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 ir kt.

„Fibonačio“ serijos istorija

Leonardo iš Pizos (Fibonacci) atėjo į matematiką dėl praktinio poreikio užmegzti verslo kontaktus. Jaunystėje Fibonacci daug keliavo, lydėjo savo tėvą įvairiose verslo kelionėse, kurios leido jam susisiekti su vietos mokslininkais.

Dėl triušių problemos, kurią autorius apibūdino knygoje „Liber abacci“ (1202), buvo išskaičiuota daugybė skaičių, šiandien žymimų jo vardu, skaičiaus: vienas vyras padėjo porą triušių į korralą, iš visų pusių apsuptą siena. Klausimas: kiek triušių porų gali pagaminti ši pora per metus, jei žinoma, kad kiekvieną mėnesį, pradedant nuo antro mėnesio, kiekviena pora gamina kitą triušių porą.

Dėl to Fibonacci nustatė, kad triušių porų skaičius per ateinančius dvylika mėnesių bus atitinkamai:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Kur kiekvienas paskesnis skaičius yra ankstesnių dviejų suma. Tai „Fibonacci“ serija (numeriai). Ši seka turi daug savybių, kurios yra įdomios matematiniu požiūriu. Pavyzdžiui, padaliję liniją į 2 segmentus taip, kad santykis tarp mažesnio ir didesnio segmento būtų proporcingas santykiui tarp didelio segmento ir visos linijos, gausite proporcingumo koeficientą, vadinamą „auksiniu santykiu“. Tai yra maždaug 0,618. Renesanso mokslininkai manė, kad ši proporcija, pastebima architektūriniuose statiniuose, labiausiai sugeba patikti.

Fibonačio serijos naudojimas

„Fibonacci“ serija buvo plačiai pritaikyta įvairiose mokslo ir gyvenimo srityse. Pavyzdžiui, gamtoje: uraganų, kriauklių ir net galaktikų struktūroje. Ne išimtis buvo ir „Forex“ valiutų rinka, kur tendencijų prognozavimui pradėta naudoti skaičių seka. Pažymėtina, kad tarp šių skaičių yra pastovus ryšys. Pavyzdžiui, kaip minėta aukščiau, ankstesnio skaičiaus santykis su kitu asimptotiškai siekia 0,618 (auksinis santykis). Tam tikro skaičiaus ir ankstesnio skaičiaus santykis taip pat linkęs į 0,618 vertę.

Be prognozuojamų tendencijų, Fibonacci skaičiai Forex yra naudojami kainų judėjimo krypčiai numatyti. Pavyzdžiui, aukso santykio tendencija pasikeičia, kai maždaug 61,8% ankstesnio kainų pokyčio (žr. 1 pav.). Atitinkamai, pelningiausias pasirinkimas tokiu atveju būtų uždaryti poziciją šiek tiek žemiau šio lygio. Remdamiesi „Fibonacci“ serija, galite apskaičiuoti pelningiausius sandorių uždarymo ir atidarymo momentus.

Taip pat vienas iš būdų, kaip naudoti „Fibonacci“ serijos numerius Forex rinkoje, yra lankų statyba. Tokio lanko centras pasirenkamas svarbaus dugno ar lubų taške. Lankų spindulys apskaičiuojamas padauginus Fibonacci koeficientus iš ankstesnio reikšmingo kainų kilimo ar kritimo vertės.

Pasirinkti koeficientai yra 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Lankų vieta lemia jų vaidmenį: atramą ar pasipriešinimą. Norint susidaryti vaizdą apie kainų pokyčių atsiradimo laiką, lankai dažniausiai naudojami kartu su greitaeigėmis ar ventiliatoriaus linijomis.

Jų konstrukcijos principas yra panašus: reikia pasirinkti praeities ekstremalumo taškus ir pastatyti horizontalią liniją nuo pirmojo iš jų viršaus ir vertikalios linijos nuo antrosios viršaus. Tuomet gautą vertikalų segmentą turėtumėte padalyti į dalis, atitinkančias koeficientus, nupiešti spindulius, einančius iš pirmo taško, per ką tik pasirinktus. Kai naudojami santykiai 2/3 ir 1/3, gaunamos greičio linijos, griežtesnės 0,618, 0,5 ir 0,382, ventiliatoriaus linijos. Visi jie yra atramos ar pasipriešinimo kainos tendencijai tendencijos (žr. 2 pav.).

Ventiliatorių lankų ir linijų sankirtos yra signalai nustatant tendencijos posūkius tiek laiko, tiek kainos atžvilgiu.

(2 pav. - Fibonacci serija, lankų konstrukcija)

Labiau nepastovioms valiutų poroms būdingas aukštesnis Fibonacci lygis, palyginti su mažiau nepastoviomis. Maksimalūs judesiai registruojami poromis doleriais / frankais ir svarais / doleriais, po to einant doleriais / jenomis ir eurais / doleriais.

„Fibonacci“ serijos naudojimas „Forex“ valiutų rinkoje turi vieną savybę - jas galima naudoti tik geram impulsų judėjimui.

Fibonačio seka, visiems žinomą pagal filmą „Da Vinčio kodas“ - skaičių seka, kurią mįslės pavidalu apibūdino italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas slapyvardžiu Fibonacci, XIII a. Trumpai tariant, dėlionės esmė:

Kažkas padėjo triušių porą tam tikroje uždaroje erdvėje, kad sužinotų, kiek triušių porų gims per metus, jei triušių pobūdis toks, kad kiekvieną mėnesį triušių poros pagimdo kitą porą, o jų sugebėjimas gimdyti palikuonių atsiranda pasiekus dviejų mėnesių amžiaus.

Rezultatas yra skaičių seka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 kur kableliu parodomas triušių porų skaičius per dvylika mėnesių. Tai galima tęsti neribotą laiką. Jo esmė ta, kad kiekvienas sekantis skaičius yra dviejų ankstesnių skaičių suma.

Ši serija turi keletą matematinių ypatybių, kurias reikia paliesti. Asimptotiškai (judant arčiau ir lėčiau bei lėčiau) yra linkęs į tam tikrą pastovų santykį. Tačiau šis santykis yra neracionalus, tai yra, tai yra skaičius su begaline, nenuspėjama dešimtainių skaitmenų seka trupmeninėje dalyje. Neįmanoma tiksliai išreikšti.

Taigi bet kurio serijos nario ir ankstesniojo santykis svyruoja aplink skaičių 1,618 , kartais pranokdami, tada jo nepasiekę. Santykis su kitu panašiai artėja prie skaičiaus 0,618 tai yra atvirkščiai proporcinga 1,618 . Jei padalijame elementus per vieną, gauname skaičius 2,618 ir 0,382 kurie taip pat yra atvirkščiai proporcingi. Tai yra vadinamieji Fibonači santykiai.

Kodėl visa tai? Taigi artėjame prie vieno paslaptingiausių gamtos reiškinių. Taupusis Leonardo iš tikrųjų nieko naujo neatrado, jis tiesiog priminė pasauliui tokį reiškinį kaip Auksinis santykis, kuri ne mažiau reikšminga Pitagoro teoremai.

Visi mus supantys objektai išsiskiria, įskaitant ir formą. Kai kurie mums patinka daugiau, kai kurie mažiau, kai kurie visiškai atstumia žvilgsnį. Kartais susidomėjimą gali padiktuoti gyvenimo situacija, o kartais - stebimo objekto grožis. Simetriška ir proporcinga forma prisideda prie geriausio regėjimo suvokimo ir sukelia grožio bei harmonijos jausmą. Holistinis vaizdas visada susideda iš skirtingų dydžių dalių, kurios yra tam tikrame santykyje viena su kita ir visuma. Auksinis santykis - aukščiausias visumos ir jos dalių tobulumo pasireiškimas moksle, mene ir gamtoje.

Jei pateiktume paprastą pavyzdį, tada aukso pjūvis yra segmento padalijimas į dvi dalis tokiu santykiu, kad dauguma nurodo mažesnes, nes jų suma (visas segmentas) į didesnį.

Jei imtume visą segmentą c už 1 tada segmentas a bus lygus 0,618 , supjaustyti b - 0,382 , tik tokiu būdu bus įvykdyta Aukso pjūvio sąlyga (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Požiūris c į a lygus 1,618 ir su į b 2,618 . Tai visi tie patys mums jau pažįstami Fibonačio santykiai.

Žinoma, yra auksinis stačiakampis, auksinis trikampis ir net auksinis kuboidas. Žmogaus kūno proporcijos daugeliu santykiu yra artimos Auksiniam pjūviui.

Vaizdas: marcus-frings.de

Bet įdomiausia dalis prasideda tada, kai sujungiame įgytas žinias. Paveikslas aiškiai parodo ryšį tarp Fibonačio sekos ir Auksinio santykio. Mes pradedame nuo dviejų pirmo dydžio kvadratų. Ant viršaus pridėkite antrojo dydžio kvadratą. Mes nupiešiame šalia jo kvadratą, kurio kraštinė lygi dviejų ankstesnių, trečių dydžių šonų sumai. Pagal analogiją pasirodo penkto dydžio kvadratas. Ir taip toliau, kol nenuobodžiausite, svarbiausia yra tai, kad kiekvieno kito kvadrato kraštinės būtų lygios dviejų ankstesnių kraštinių ilgių sumai. Mes matome daugybę stačiakampių, kurių kraštų ilgiai yra Fibonačio skaičiai, ir, kaip bebūtų keista, jie yra vadinami Fibonacci stačiakampiais.

Jei per kvadratų kampus nubrėžtume sklandžiai linijas, gautume ne daugiau kaip Archimedo spiralę, kurios žingsnio padidėjimas visada yra vienodas.

Ar tai nieko nepanašus?

Nuotrauka: etanheinas ant Flickr

Ir ne tik moliusko apvalkale galima rasti Archimedo spiralių, bet daugelyje gėlių ir augalų jie tiesiog nėra tokie akivaizdūs.

Scarlet leafy:

Nuotrauka: alaus knygas ant Flickr

Nuotrauka: beart.org.uk

Nuotrauka: esdraskalderanas ant Flickr

Nuotrauka: mandj98 ant Flickr

Ir tada laikas prisiminti Aukso skyrių! Ar šiose fotografijose nėra pavaizduota nė viena gražiausia ir harmoningiausia gamtos kūryba? Ir tai toli gražu ne viskas. Atidžiai pažiūrėję, galite rasti įvairių formų panašius modelius.

Žinoma, teiginys, kad visi šie reiškiniai yra sukurti remiantis „Fibonačio“ seka, skamba per garsiai, tačiau tendencija yra akivaizdi. Be to, ji pati toli gražu nėra tobula, kaip ir viskas šiame pasaulyje.

Yra prielaida, kad „Fibonacci“ serija yra gamtos bandymas prisitaikyti prie fundamentalesnės ir tobulesnės aukso spalvos kirpimo logaritminės sekos, kuri yra beveik ta pati, tik pradedanti iš niekur ir niekur nekelianti. Kita vertus, gamtai būtinai reikia kažkokio iš pradžių, nuo kurio galima atsitraukti, ji nieko negali sukurti iš nieko. Pirmųjų „Fibonačio“ sekos narių santykiai nutolę nuo Aukso pjūvio. Bet kuo toliau judame, tuo labiau šie nukrypimai bus išlyginti. Norint nustatyti bet kurią seriją, pakanka žinoti tris jos narius, einančius vienas po kito. Bet ne tik auksinei sekai, jai reikia tik dviejų, ji yra geometrinė ir aritmetinė progresija tuo pačiu metu. Galite pamanyti, kad tai yra visų kitų sekų pagrindas.

Kiekvienas aukso logaritminės sekos narys yra Auksinės proporcijos laipsnis ( z) Dalis serijos atrodo maždaug taip: ... z -5; z yra 4; z yra 3; z yra -2; z yra -1; z 0; z1; z2; z3; z4; z 5 ... Suapvalinę aukso santykį iki trijų simbolių, gauname z \u003d 1,618, tada serija atrodo taip: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Kiekvieną kitą kadenciją galima gauti ne tik padauginus ankstesnę iš 1,618 , bet taip pat pridedant du ankstesnius. Taigi eksponentinį augimą užtikrina paprastas dviejų gretimų elementų pridėjimas. Tai serija be pradžios ir pabaigos ir būtent ant jos bandoma būti „Fibonačio“ seka. Turėdama neabejotiną pradžią, ji siekia idealo, niekada jo nepasiekdama. Tai yra gyvenimas.

Vis dėlto, atsižvelgiant į viską matytą ir perskaitytą, kyla gana logiškų klausimų:
Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra tas Visatos architektas, kuris bandė padaryti jį tobulą? Ar viskas kartą buvo tai, ko jis norėjo? Ir jei taip, kodėl tai suklydo? Mutacijos? Laisvas pasirinkimas? Kas bus toliau? Ar spiralė susukta ar nesukryžiuota?

Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite šį. Tai išspręsite, gausite du naujus. Spręsk su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, tada trylika, 21, 34, 55 ...

Šaltiniai:; ; ;