Fibonačio seka iliustruota gamta. Fibonačio skaičiai ir aukso santykis: santykis

Tačiau tai dar ne viskas, ką galima padaryti naudojant aukso santykį. Jei padalytume vienetą iš 0,618, tada pasirodytų, 1,618, jei jį kvadratuotume, tada gautume 2,618, jei kvadratuotume, gautume skaičių 4,236. Tai yra Fibonacci plėtimosi koeficientai. Trūksta Johno Murphy pasiūlyto numerio 3.236.


Ką specialistai galvoja apie seką?

Kažkas sakys, kad šie skaičiai jau yra pažįstami, nes jie naudojami techninės analizės programose, siekiant nustatyti pataisų ir išplėtimų kiekį. Be to, tos pačios serijos vaidina svarbų vaidmenį Elioto bangos teorijoje. Jie yra jo skaitinis pagrindas.

Mūsų ekspertas Nikolajus patikrintas investicinės bendrovės „Vostok“ portfelio valdytojas.

  • - Nikolajus, ar, jūsų manymu, atsitiktinumas yra tai, kad „Fibonačio“ numeriai ir jų dariniai atsirado įvairių instrumentų lentelėse? Ar galima sakyti: vyksta „Fibonacci serijos praktinis pritaikymas“?
  • - Aš blogai jaučiuosi dėl mistikos. Ir dar mainų lentelėse. Viskas turi savo priežastis. knygoje „Fibonačio lygiai“ jis gražiai papasakojo, kur atsiranda auksinis pjūvis, kad jis nepradėjo stebėtis, kad jis pasirodė akcijų kursų lentelėse. Bet veltui! Daugelyje jo nurodytų pavyzdžių dažnai pasirodo skaičius Pi. Bet dėl \u200b\u200btam tikrų priežasčių tai nėra kainų santykis.
  • „Taigi jūs netikite Elioto bangos principo galiojimu?“
  • „Ne, tai nėra esmė“. Bangos principas yra vienas dalykas. Skaitinis santykis yra skirtingas. O jų pasirodymo kainų lentelėse priežastys yra trečios
  • - Kokios, jūsų manymu, yra priežastys, dėl kurių aukso pjūvis atsirado akcijų grafikuose?
  • - Teisingas atsakymas į šį klausimą gali uždirbti Nobelio ekonomikos premiją. Kol kas galime atspėti tikrąsias priežastis. Jie aiškiai nesuderinami su gamta. Yra daugybė valiutų kainų nustatymo modelių. Jie nepaaiškina nurodyto reiškinio. Tačiau nesuprasdami reiškinio prigimties, neturėtumėte paneigti reiškinio kaip tokio.
  • - O jei šis įstatymas kada nors bus atviras, ar jis gali sunaikinti mainų procesą?
  • - Kaip rodo ta pati bangų teorija, kintančių akcijų kainų dėsnis yra gryna psichologija. Man atrodo, kad žinios apie šį įstatymą nieko nepakeis ir negali sunaikinti mainų.

Medžiaga pateikta tinklalapio valdytojo „Maxim“ tinklaraštyje.

Matematikos principų pagrindų sutapimas įvairiose teorijose atrodo neįtikėtinai. Gal tai fantazija ar tinkamas galutinis rezultatas. Palaukite ir pamatysite. Didžioji dalis to, kas anksčiau buvo laikoma neįprasta ar nebuvo įmanoma: pavyzdžiui, kosmoso tyrinėjimai tapo pažįstami ir niekuo nestebina. Taip pat bangų teorija, kuri gali būti nesuprantama, ilgainiui taps prieinamesnė ir suprantamesnė. Tai, kas anksčiau nebuvo būtina analitiko, turinčio patirtį, rankose, taps galingu įrankiu numatyti tolesnį elgesį.

Fibonačio skaičiai gamtoje.

Žiūrėti

O dabar pakalbėkime apie tai, kaip galite paneigti tai, kad skaitmeninės „Fibonacci“ serijos yra susijusios su bet kokiais gamtos modeliais.

Paimkite kitus du skaičius ir sudarykite seką pagal tą pačią logiką kaip ir Fibonačio skaičiai. Tai yra, kitas sekos narys yra lygus dviejų ankstesnių sumai. Pavyzdžiui, paimkime du skaičius: 6 ir 51. Dabar mes sukursime seką, kuri baigiasi dviem skaičiais 1860 ir 3009. Atminkite, kad padaliję šiuos skaičius gausime skaičių, artimą auksiniam santykiui.

Be to, skaičiai, gauti padalijus kitas poras, sumažėjo nuo pirmosios iki paskutinės, o tai rodo, kad jei ši serija tęsis neribotą laiką, gausime skaičių, lygų aukso santykiui.

Taigi, Fibonačio skaičiai niekuo neišsiskiria. Yra ir kitų skaičių sekų, iš kurių yra begalinis skaičius, kurios dėl tų pačių operacijų suteikia aukso skaičių phi.

Fibonačiukai nebuvo ezoterikai. Jis nenorėjo investuoti jokios mistikos į skaičius, jis paprasčiausiai išsprendė įprastą triušių problemą. Ir jis parašė skaičių seką, kuri kilo iš jo užduoties per pirmąjį, antrąjį ir kitus mėnesius, kiek triušių bus po veisimo. Per metus jis gavo tą pačią seką. Ir neužmezgė santykių. Jokios auksinės proporcijos, dieviškasis kalbų santykis nepraėjo. Visa tai buvo sugalvota po jo Renesanso laikais.

Prieš matematiką Fibonačio dorybės yra milžiniškos. Jis perėmė arabų skaičių sistemą ir įrodė jos teisingumą. Tai buvo sunki ir ilga kova. Iš romėniškos skaitmenų sistemos: sunki ir nepatogu skaičiuoti. Ji dingo po Prancūzijos revoliucijos. Tai neturi nieko bendra su „Fibonacci“ aukso santykiu.

Yra be galo daug spiralių, populiariausios: natūralaus logaritmo spiralė, Archimedo spiralė, hiperbolinė spiralė.

Dabar pažvelkime į Fibonačio spiralę. Šį kompozicinį vienetą sudaro keli ketvirčiai apskritimų. Ir tai nėra spiralė.

Išvada

Nesvarbu, kiek laiko mes ieškome patvirtinimo ar paneigimo apie „Fibonacci“ serijos pritaikymą mainuose, tokia praktika egzistuoja.

Didelė žmonių masė veikia pagal „Fibonacci“ liniją, kuri yra daugelyje vartotojų terminalų. Todėl norime ar nenorime: Fibonačio skaičiai daro įtaką, ir mes galime ja pasinaudoti.

Straipsnį perskaitėme nesėkmingai.

Kūrinio tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
   Pilną kūrinio versiją galite rasti skirtuke „Kūrinio failai“ PDF formatu

Įvadas

Aukščiausia matematikos užduotis yra rasti paslėptą tvarką chaose, kuris supa mus.

Wiener N.

Žmogus visą gyvenimą siekia žinių, stengiasi tyrinėti jį supantį pasaulį. Stebėjimo procese jis turi klausimų, į kuriuos reikia atsakyti. Atsakymai randami, tačiau kyla naujų klausimų. Archeologinių radinių, civilizacijos pėdsakų, nutolusių vienas nuo kito laike ir erdvėje, metu randamas vienas ir tas pats elementas - spiralės pavidalo modelis. Kai kurie ją laiko saulės simboliu ir sieja su legendine Atlantida, tačiau tikroji jo reikšmė nežinoma. Kas bendro tarp galaktikos formų ir atmosferos ciklono, lapų išdėstymo ant stiebo ir sėklų saulėgrąžose? Šie modeliai nugrimzta į vadinamąją „auksinę“ spiralę, nuostabią Fibonačio seką, kurią atrado puikus XIII amžiaus italų matematikas.

Fibonačio numerių istorija

Pirmą kartą apie Fibonačio skaičius išgirdau iš matematikos mokytojo. Bet be to, kaip formuojama šių skaičių seka, aš nežinojau. Štai kuo ši seka iš tiesų garsėja, kaip ji veikia žmogų, ir aš noriu jums pasakyti. Apie Leonardo Fibonacci mažai žinoma. Net nėra tikslios jo gimimo datos. Yra žinoma, kad jis gimė 1170 m. Pirklio šeimoje, Pizos mieste, Italijoje. Fibonacci tėvas verslo klausimais dažnai lankydavosi Alžyre, o Leonardo ten mokėsi matematikos iš arabų mokytojų. Vėliau jis parašė kelis matematinius darbus, iš kurių garsiausias yra „Abacus Book“, kuriame yra beveik visa to meto aritmetinė ir algebrinė informacija. 2

Fibonačio skaičiai yra skaičių seka, turinti daugybę savybių. Fibonacci šią skaitinę seką atrado atsitiktinai, kai 1202 m. Jis bandė išspręsti praktinę triušių problemą. Kažkas padėjo triušių porą į vietą, uždarytą iš sienos iš visų pusių iš visų pusių, kad sužinotų, kiek triušių porų gims per metus, jei triušių pobūdis toks, kad per mėnesį triušių poros pagimdo kitą porą, o triušiai pagimdo nuo antrosios. mėnesių po jo gimimo “. Spręsdamas problemą, jis atsižvelgė į tai, kad kiekviena triušių pora per gyvenimą sukuria dar dvi poras, o paskui miršta. Taigi atsirado skaičių seka: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Šioje seka kiekvienas sekantis skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai. Jis buvo vadinamas Fibonačio seka. Matematinės sekos savybės

Norėjau ištirti šią seką ir atskleidžiau kai kurias jos savybes. Šis modelis turi didelę reikšmę. Seka vis lėčiau artėja prie tam tikro pastovaus santykio, apytiksliai 1, 618, ir bet kurio skaičiaus santykis su kitu yra maždaug lygus 618.

Galima pastebėti keletą įdomių „Fibonacci“ skaičių savybių: du gretimi skaičiai yra slapti; kas trečias skaičius yra lygus; kas penkioliktas baigiasi nuliu; kas ketvirtas yra trijų kartotinis. Jei iš „Fibonacci“ sekos pasirinksite bet kurį 10 greta esančių skaičių ir sudėsite juos, visada gausite kartotinį iš 11. Bet tai dar ne viskas. Kiekviena suma yra lygi skaičiui, kuris 11 kartų yra septintasis sekos narys. Ir čia yra dar viena keista savybė. Bet kurio n atveju sekos pirmųjų n narių suma visada bus lygi skirtumui tarp (n + 2) ir pirmosios sekos narių. Šis faktas gali būti išreikštas formule: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + ... + an \u003d a n + 2 - 1. Dabar turime šį triuką: rasti visų terminų sumą.

seka tarp dviejų duotų narių, pakanka rasti atitinkamų (n + 2) -x narių skirtumą. Pvz., 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - 27. Dabar ieškokite ryšio tarp Fibonačio, Pitagoro ir Auksinio santykio. Garsiausias žmonijos matematinio genijaus įrodymas yra Pitagoro teorema: bet kuriame stačiakampyje trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus jos kojų kvadratų sumai: c 2 \u003d b 2 + a 2. Geometriniu požiūriu mes galime laikyti visas stačiakampio trikampio puses kaip ant jų pastatytų trijų kvadratų puses. Pitagoro teorema sako, kad bendras stačiakampio trikampio kojelėse pastatytų kvadratų plotas yra lygus kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, plotui. Jei dešiniojo trikampio kraštinių ilgis yra sveikasis skaičius, tada jie sudaro trijų skaičių grupę, vadinamą Pitagoro trigubaisiais. Naudojant Fibonačio seką, galima rasti tokius trigubus. Paimkite iš sekos bet kuriuos keturis skaičius iš eilės, pavyzdžiui, 2, 3, 5 ir 8, ir sukonstruokite dar tris skaičius taip: 1) dviejų kraštutinių skaičių sandauga: 2 * 8 \u003d 16; 2) dvigubas dviejų skaičių vidurys viduryje: 2 * (3 * 5) \u003d 30; 3) dviejų vidurkių kvadratų suma: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 \u003d 30 2 +16 2. Šis metodas tinka bet kokiems keturiems iš eilės Fibonačio skaičiams. Bet kurie trys iš eilės „Fibonacci“ skaičiai elgiasi nuspėjamai. Padauginus du kraštutinius ir palyginus rezultatą su vidurkiu, tada rezultatas visada skirsis viena. Pavyzdžiui, skaičiams 5, 8 ir 13 gauname: 5 * 13 \u003d 8 2 +1. Jei atsižvelgsite į šią savybę geometrijos požiūriu, pastebėsite ką nors keisto. Padalinkite kvadratą

8x8 dydžio (iš viso 64 maži kvadratai) į keturias dalis, kurių kraštų ilgis lygus Fibonačio skaičiams. Dabar iš šių dalių mes sukursime 5x13 stačiakampį. Jo plotas yra 65 maži kvadratai. Iš kur atsiranda papildoma aikštė? Reikalas tas, kad idealus stačiakampis nesusiformuoja, tačiau lieka mažų tarpų, kurie iš viso suteikia šį papildomą plotą. Paskalio trikampis taip pat turi ryšį su Fibonačio seka. Jums tiesiog reikia parašyti Paskalio trikampio linijas viena po kitos ir sukrauti elementus įstrižai. Rezultatas yra Fibonačio seka.

Dabar apsvarstykite „auksinį“ stačiakampį, kurio viena pusė yra 1,618 karto ilgesnė už kitą. Iš pirmo žvilgsnio mums tai gali atrodyti kaip paprastas stačiakampis. Tačiau padarykime paprastą eksperimentą su dviem įprastomis banko kortelėmis. Mes įdėjome vieną iš jų horizontaliai, o kitą vertikaliai, kad jų apatinės pusės būtų toje pačioje linijoje. Jei brėžkime įstrižą liniją horizontaliame žemėlapyje ir ją prailgintume, pamatytume, kad ji eina tiksliai per viršutinį dešinįjį vertikalaus žemėlapio kampą - maloni staigmena. Gal tai yra atsitiktinumas, o gal tokie stačiakampiai ir kitos geometrinės figūros, kurios naudoja „auksinį santykį“, ypač džiugina akis. Ar Leonardo da Vinci dirbdamas prie savo šedevro galvojo apie aukso santykį? Tai atrodo mažai tikėtina. Tačiau galima teigti, kad estetikos ir matematikos ryšiui jis skyrė didelę reikšmę.

Fibonačio skaičiai gamtoje

Auksinio santykio santykis su grožiu yra ne tik žmogaus suvokimo dalykas. Atrodo, kad pati gamta išskyrė ypatingą vaidmenį. Jei kvadratai iš eilės įvedami į „auksinį“ stačiakampį, tada kiekviename kvadrate nubraižomas lankas, gaunama elegantiška kreivė, vadinama logaritmine spirale. Tai visai nėra matematinis smalsumas. 5

Ši nuostabi linija, priešingai, dažnai sutinkama fiziniame pasaulyje: nuo nautilus apvalkalo iki galaktikų rankovių ir elegantiškoje žydinčių rožių žiedlapių spiralėje. Ryšiai tarp aukso santykio ir Fibonačio skaičių yra daugybė ir netikėtų. Apsvarstykite gėlę, kuri labai skiriasi nuo rožės - saulėgrąžą su sėklomis. Pirmas dalykas, kurį matome, yra tai, kad sėklos yra išdėstytos dviejų tipų spiralėmis: pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę. Jei suskaičiuosime valandos rankos spiralę, gausime du, atrodytų, paprastus skaičius: 21 ir 34. Tai nėra vienintelis pavyzdys, kai augalų struktūroje galite rasti Fibonacci skaičius.

Gamta pateikia daugybę vienarūšių objektų išdėstymo Fibonačio skaičiais pavyzdžių. Įvairiose spiralinėse mažų augalų dalių išdėstymo vietose paprastai galima pamatyti dvi spiralių šeimas. Vienoje iš šių šeimų spiralės sukasi pagal laikrodžio rodyklę, o kitoje - prieš laikrodžio rodyklę. Vieno ir kito tipo spiralių skaičiai dažnai paaiškėja kaip gretimi Fibonačio skaičiai. Taigi, paėmus jauną pušies šakelę, nesunku pastebėti, kad spygliai sudaro dvi spirales, einančias iš kairės į apačią į viršų. Ant daugelio kūgių sėklos yra išdėstytos trimis spiralėmis, tuščiaviduriai apvijos ant kūgio stiebo. Jie yra išdėstyti penkiomis spiralėmis, staigiai spiralėmis priešinga kryptimi. Dideliuose kūgiuose galima pastebėti 5 ir 8, ir net 8 ir 13 spiralę. Fibonacci spiralės taip pat aiškiai matomos ant ananasų: paprastai jų yra 8 ir 13.

Cikorijos šaudymas stipriai išsiskiria į kosmosą, sustoja, išleidžia lapą, bet jau yra trumpesnis už pirmąjį, vėl leidžiasi į kosmosą, tačiau mažesnio stiprumo, išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išleidžia. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėja proporcingai „auksiniam“ skyriui. Norėdami įvertinti didžiulį „Fibonačio“ skaičių vaidmenį, tiesiog pažvelkite į mus supančios gamtos grožį. Fibonačiukų skaičių galima rasti skaičiais

šakos ant kiekvieno augančio augalo stiebo ir tarp žiedlapių.

Papasakokime kai kurių gėlių žiedlapius - rainelę su 3 žiedlapiais, raktažolę su 5 žiedlapiais, ambroziją su 13 žiedlapių, nimbą su 34 žiedlapiais, asters su 55 žiedlapių ir kt. Ar tai atsitiktinumas, ar tai gamtos dėsnis? Pažvelkite į kraujažolės stiebus ir žiedus. Taigi, bendrą Fibonačio seką galima lengvai suprasti kaip gamtoje randamų „auksinių“ skaičių pasireiškimo šabloną. Šie įstatymai veikia nepriklausomai nuo mūsų sąmonės ir noro juos priimti ar ne. "Auksinės" simetrijos modeliai pasireiškia elementariųjų dalelių energijos perėjimais, tam tikrų cheminių junginių struktūroje, planetų ir kosminių sistemų struktūroje, gyvų organizmų genų struktūrose, atskirų žmogaus organų struktūroje ir visame kūne, taip pat pasireiškia bioritmais ir smegenų funkcionavimu. vizualinis suvokimas.

Fibonačio skaičiai architektūroje

„Auksinis pjūvis“ taip pat reiškiasi daugybe nuostabių architektūros kūrinių per visą žmonijos istoriją. Pasirodo, net senovės graikų ir senovės Egipto matematikai žinojo šiuos koeficientus dar ilgai prieš Fibonačius ir vadino juos „auksiniu santykiu“. Graikai statydami Parthenoną naudojo „aukso pjūvio“ principą, egiptiečiai - Didžiąją piramidę Gizoje. Pažanga statybinės įrangos srityje ir naujų medžiagų kūrimas atvėrė naujas galimybes XX amžiaus architektams. Amerikietis Frankas Lloydas Wrightas buvo vienas pagrindinių organinės architektūros šalininkų. Prieš pat mirtį jis Niujorke suprojektavo Saliamono Guggenheimo muziejų, kuris yra apverstos spiralės, o muziejaus interjeras primena nautiluso apvalkalą. Lenkijos ir Izraelio architektas Zvi Heckeris taip pat naudojo spiralinius dizainus 1995 m. Heinzo Galinsky mokyklos projekte Berlyne. Heckeris pradėjo nuo saulėgrąžų, turinčių centrinį ratą, idėjos, iš kur

visi architektūriniai elementai skiriasi. Pastatas yra derinys

ortogonalios ir koncentrinės spiralės, simbolizuojančios ribotų žmogaus žinių ir kontroliuojamo gamtos chaoso sąveiką. Jos architektūra imituoja augalą, kuris seka saulės judėjimą, todėl kabinetai yra apšviesti visą dieną.

Quincy parke, esančiame Kembridže, Masačusetso valstijoje (JAV), dažnai galima rasti „auksinę“ spiralę. Parką 1997 m. Sukūrė dailininkas Davidas Phillipsas. Jis yra netoli Molio matematikos instituto. Ši įstaiga yra garsus matematinių tyrimų centras. Quincy parke galite pasivaikščioti tarp „auksinių“ spiralių ir metalinių kreivių, reljefų iš dviejų kriauklių ir uolos su kvadratinės šaknies simboliu. Lėkštėje užrašyta informacija apie „auksinę“ proporciją. Net dviračių stovėjimo aikštelėje naudojamas simbolis F.

Fibonačio skaičiai psichologijoje

Psichologijoje pažymimi posūkiai, krizės, perversmai, reiškiantys sielos struktūros ir funkcijų pasikeitimą žmogaus gyvenimo kelyje. Jei žmogus sėkmingai įveikė šias krizes, jis tampa pajėgus spręsti naujos klasės užduotis, apie kurias anksčiau net negalvojo.

Esminių pokyčių buvimas suteikia pagrindą gyvenimo laiką laikyti lemiamu dvasinių savybių ugdymo veiksniu. Galų gale, gamta neišmatuoja mūsų laiko dosniai, „nesvarbu, kiek tai bus, tiek daug“, o tik tiek, kad vystymosi procesas materializuotųsi:

    kūno struktūrose;

    jausmuose, mąstyme ir psichomotorikoje - kol jie įgis harmonijabūtini mechanizmo atsiradimui ir paleidimui

    kūrybiškumas

    žmogaus energetinio potencialo struktūroje.

Kūno vystymasis negali būti sustabdytas: vaikas tampa suaugusiu. Kūrybos mechanizmas nėra toks paprastas. Jos plėtrą galima sustabdyti ir pakeisti jos kryptį.

Ar yra galimybė pasivyti laiką? Žinoma. Bet tam reikia padaryti daug darbo sau. Tai, kas vystosi laisvai, savaime suprantama, nereikalauja ypatingų pastangų: vaikas laisvai kuria ir nepastebi šio milžiniško darbo, nes laisvo vystymosi procesas sukuriamas be smurto prieš save.

Kaip suprantama gyvenimo kelio prasmė kasdieninėje sąmonėje? Laikas mato tai taip: papėdėje - gimimas, viršuje - jėgų žydėjimas, o paskui - viskas eina žemyn.

Šalavijas sakys: viskas yra daug sudėtingiau. Pakilimą jis dalija į etapus: vaikystė, paauglystė, jaunystė ... Kodėl taip? Nedaug žmonių sugeba atsakyti, nors visi tikri, kad tai uždari, neatsiejami gyvenimo etapai.

Norėdami sužinoti, kaip vystosi kūrybiškumo mechanizmas, V.V. Klimenko naudojo matematiką, būtent Fibonačio skaičių dėsnius ir „aukso pjūvio“ proporciją - gamtos ir žmogaus gyvenimo dėsnius.

Fibonačio skaičiai padalija mūsų gyvenimą į etapus pagal išgyventų metų skaičių: 0 - skaičiavimo pradžia - vaikas gimė. Jam vis dar trūksta ne tik psichomotorinių įgūdžių, mąstymo, jausmų, vaizduotės, bet ir darbinio energijos potencialo. Jis yra naujo gyvenimo, naujos harmonijos pradžia;

    1 - vaikas išmoko vaikščioti ir įsisavina artimiausią aplinką;

    2 - supranta kalbą ir elgiasi naudodamas žodines instrukcijas;

    3 - veikia per žodį, užduoda klausimus;

    5 - „malonės amžius“ - psichomotorizmo, atminties, vaizduotės ir jausmų harmonija, jau leidžianti vaikui apimti visą pasaulį;

    8 - jausmai iškyla į priekį. Vaizduotė jiems tarnauja, o mąstymas savo kritiškumo jėgomis yra skirtas palaikyti vidinę ir išorinę gyvenimo harmoniją;

    13 - pradeda veikti talentų mechanizmas, kuriuo siekiama paveldimo proceso metu įgytą medžiagą transformuoti, ugdyti savo talentą;

    21 - kūrybiškumo mechanizmas priartėjo prie harmonijos būklės ir bandoma atlikti talentingą darbą;

    34 - mąstymo, jausmų, vaizduotės ir psichomotorinių įgūdžių harmonija: gimsta sugebėjimas puikiai dirbti;

    55 m. - šiame amžiuje, išlaikydamas išsaugotą kūno ir sielos harmoniją, žmogus yra pasirengęs tapti kūrėju. Ir taip toliau ...

Kas yra „Fibonacci“ numerių serifai? Juos galima palyginti su užtvankomis gyvenimo kelyje. Šios užtvankos laukia kiekvieno iš mūsų. Visų pirma, reikia įveikti kiekvieną iš jų, o tada kantriai kelti savo išsivystymo lygį, kol vieną dieną jis subyrės, atverdamas kelią kitam laisvam tekėjimui.

Dabar, kai suprantame šių amžiaus taškų raidos taškų prasmę, bandysime išsiaiškinti, kaip visa tai vyksta.

Per 1 metus  vaikas pasisavina vaikščiojimą. Prieš tai jis pažinojo pasaulį iš priekio. Dabar jis pažįsta pasaulį rankomis - išskirtinė žmogaus privilegija. Gyvūnas juda erdvėje, ir jis, žinodamas, užima erdvę ir plėtoja teritoriją, kurioje gyvena.

2 metai  - supranta žodį ir elgiasi pagal jį. Tai reiškia, kad:

vaikas mokosi minimalaus žodžių skaičiaus - reikšmių ir veikimo būdų;

    jis dar neišsiskiria iš aplinkos ir susijungia į vientisumą su aplinka,

    todėl veikia kieno nors kito nurodymu. Šiame amžiuje jis yra paklusniausias ir maloniausias tėvams. Iš jausmingo žmogaus vaikas virsta pažintiniu asmeniu.

3 metai- veiksmas naudojant savo žodį. Šis žmogus jau atsiskyrė nuo aplinkos - ir jis mokosi būti savarankiškas žmogus. Taigi jis:

    sąmoningai susiduria su aplinka ir tėvais, darželių auklėtojais ir kt .;

    pripažįsta savo suverenitetą ir kovoja už nepriklausomybę;

    bando pavaldyti artimus ir žinomus žmones savo valiai.

Dabar vaikui žodis yra veiksmas. Vaidinantis žmogus prasideda nuo to.

5 metai- „malonės amžius“. Jis yra harmonijos personifikacija. Žaidimai, šokiai, siuvinėjami judesiai - viskas prisotinta harmonijos, kurią žmogus bando įsisavinti pats. Harmoningas psichomotorizmas padeda sukelti naują būseną. Todėl vaikas yra nukreiptas į psichomotorinę veiklą ir siekia kuo aktyvesnių veiksmų.

Jautrumo darbo produktai materializuojami:

    sugebėjimas parodyti aplinką ir save kaip šio pasaulio dalį (girdime, matome, liečiame, užuodžiame ir pan. - šiame procese veikia visos juslės);

    gebėjimas projektuoti išorinį pasaulį, įskaitant save

    (antros prigimties sukūrimas, hipotezės - daryti abu rytoj, pastatyti naują mašiną, išspręsti problemą), pasitelkiant kritinio mąstymo, jausmų ir vaizduotės jėgas;

    gebėjimas sukurti antrą, žmogaus sukurtą prigimtį, veiklos produktus (plano įgyvendinimas, konkretūs psichiniai ar psichomotoriniai veiksmai su konkrečiais objektais ir procesais).

Po 5 metų vaizduotės mechanizmas pasistumia į priekį ir pradeda dominuoti likusiose dalyse. Vaikas atlieka milžinišką darbą, sukurdamas fantastiškus vaizdus, \u200b\u200bgyvena pasakų ir mitų pasaulyje. Vaiko vaizduotės hipertrofija suaugusius nustebina, nes vaizduotė neatitinka tikrovės.

8 metai  - jausmai iškyla į priekį ir patys jausmai (pažintiniai, moraliniai, estetiniai) išmatuojami, kai vaikas tiksliai:

    vertina žinomą ir nežinomą;

    skiria moralę nuo amoralumo, moralinę nuo amoralios;

    gražus nuo to, kas kelia pavojų gyvybei, harmonija iš chaoso.

13 metų  - pradeda veikti kūrybiškumo mechanizmas. Bet tai nereiškia, kad jis veikia visu pajėgumu. Vienas iš mechanizmo elementų iškyla į priekį, o visi kiti prisideda prie jo darbo. Jei šiame amžiaus vystymosi laikotarpyje, kuris beveik visą laiką pertvarko savo struktūrą, bus išlaikyta harmonija, tada vaikinas neskausmingai pateks į kitą užtvanką, tyliai ją nugalės ir gyvens revoliucionieriaus amžiuje. Revoliucijos metais jaunimas turi žengti naują žingsnį į priekį: atsiskirti nuo artimiausios visuomenės ir joje gyventi harmoningą gyvenimą bei veiklą. Ne visi gali išspręsti šią problemą, kylančią prieš kiekvieną iš mūsų.

21 metai.  Jei revoliucionierius sėkmingai įveikė pirmą harmoningą gyvenimo viršūnę, tada jo talento mechanizmas sugeba talentą išpildyti

darbas. Jausmai (pažintiniai, moraliniai ar estetiniai) kartais nustelbia mąstymą, tačiau iš esmės visi elementai veikia kartu: jausmai yra atviri pasauliui, o loginis mąstymas sugeba iškviesti ir rasti daiktų matmenis nuo šios viršūnės.

Kūrybiškumo mechanizmas, normaliai besivystantis, pasiekia būseną, leidžiančią gauti tam tikrus vaisius. Jis pradeda dirbti. Šiame amžiuje atsiranda jausmų mechanizmas. Kadangi vaizduotė ir jos produktai yra vertinami pagal jausmus ir mąstymą, tarp jų atsiranda priešiškumas. Vyrauja jausmai. Šis sugebėjimas pamažu įgauna galią, ir vaikinas pradeda tuo naudotis.

34 metai- pusiausvyra ir harmonija, produktyvus talentų efektyvumas. Gimsta mąstymo, jausmų ir vaizduotės harmonija, psichomotorizmas, kurį papildo optimalus energijos potencialas, ir visas mechanizmas - gebėjimas atlikti puikų darbą.

55 metai  - žmogus gali tapti kūrėju. Trečioji harmoninga gyvenimo viršūnė: mąstymas pavergia jausmų galią.

Fibonačio skaičiai vadina žmogaus vystymosi stadijas. Ar žmogus eis šį kelią nesustodamas, priklauso nuo tėvų ir mokytojų, švietimo sistemos, tada nuo savęs ir to, kaip žmogus pažins save ir įveikia jį.

Gyvenimo kelyje žmogus atranda 7 santykių objektus:

    Nuo gimtadienio iki 2 metų - fizinės ir objektyvios artimiausios aplinkos pasaulio atradimas.

    Nuo 2 iki 3 metų - savęs atradimas: „Aš esu aš pats“.

    Nuo 3 iki 5 metų - kalba, veiksmingas žodžių pasaulis, harmonija ir „aš - tu“ sistema.

    Nuo 5 iki 8 metų - kitų žmonių minčių, jausmų ir vaizdų pasaulio atradimas - sistema „aš - mes“.

    Nuo 8 iki 13 metų - žmonijos genijų ir talentų išspręstų užduočių ir problemų pasaulio - „aš - dvasingumo“ sistemos - atradimas.

    Nuo 13 iki 21 metų - atradimas gebėjimo savarankiškai spręsti žinomas užduotis, kai mintys, jausmai ir vaizduotė pradeda aktyviai veikti, atsiranda „aš - Noosfera“ sistema.

    Nuo 21 iki 34 metų - sugebėjimo sukurti naują pasaulį ar jo fragmentus atradimas - savimonės „Aš esu Kūrėjas“ suvokimas.

Gyvenimo kelias turi laiko ir laiko struktūrą. Jį sudaro amžius ir individualios fazės, kurias lemia daugybė gyvenimo parametrų. Žmogus tam tikru mastu įsisavina savo gyvenimo aplinkybes, tampa savo istorijos kūrėju ir visuomenės istorijos kūrėju. Tikrai kūrybingas požiūris į gyvenimą išryškėja ne iškart ir net ne kiekviename žmoguje. Tarp gyvenimo kelio fazių yra genetiniai ryšiai, ir tai lemia reguliarų jo pobūdį. Iš to išplaukia, kad iš esmės būsimą plėtrą galima numatyti remiantis žiniomis apie jo ankstyvuosius etapus.

Fibonačio skaičiai astronomijoje

Iš astronomijos istorijos yra žinoma, kad XVIII amžiaus vokiečių astronomas I. Titius, naudodamas „Fibonacci“ seriją, atrado modelį ir tvarką atstumuose tarp Saulės sistemos planetų. Bet vienas atvejis, atrodo, buvo prieš įstatymą: tarp Marso ir Jupiterio nebuvo planetos. Bet po Titijaus mirties XIX amžiaus pradžioje. koncentruotas šios dangaus dalies stebėjimas paskatino asteroido juostos atradimą.

Išvada

Tyrimo metu sužinojau, kad „Fibonacci“ skaičiai yra plačiai naudojami techninėje kainų biržoje analizėje. Vienas iš paprasčiausių būdų, kaip praktiškai pritaikyti „Fibonacci“ skaičius, yra nustatyti, per kiek laiko įvyks įvykis, pvz., Kainos pokytis. Analitikas suskaičiuoja tam tikrą skaičių Fibonacci dienų ar savaičių (13,21,34,55 ir kt.) Nuo ankstesnio panašaus įvykio ir pateikia prognozę. Bet man tai vis dar per sunku išsiaiškinti. Nors Fibonacci buvo didžiausias viduramžių matematikas, vieninteliai Fibonacci paminklai yra statula priešais Pizos pasvirusį bokštą ir dvi jo vardą turinčios gatvės: viena Pizoje, kita Florencijoje. Ir vis dėlto dėl visko, ką mačiau ir skaičiau, kyla gana logiškų klausimų. Iš kur atsirado šie skaičiai? Kas yra tas Visatos architektas, kuris bandė padaryti jį tobulą? Kas bus toliau? Suradę atsakymą į vieną klausimą, gausite šį. Tai išspręsite, gausite du naujus. Susitvarkysite su jais, atsiras dar trys. Jas išsprendę, gausite penkis neišspręstus. Tada aštuoni, trylika ir t.t. Nepamirškite, kad ant dviejų rankų yra penki pirštai, du iš kurių susideda iš dviejų falangų, o aštuoni iš trijų.

Nuorodos:

    Vološinovas A.V. „Matematika ir menas“, M., Apšvietimas, 1992 m.

    Vorobjovas N.N. „Fibonačio skaičiai“, M., Mokslas, 1984 m.

    Stahovas A.P. Da Vinčio kodas ir „Fibonacci“ serija, Peteris Formatas, 2006 m

    F. Corvalanas „Auksinis santykis. Matematinė grožio kalba “, M., De Agostini, 2014 m

    Maksimenko S.D. "Jautrūs gyvenimo laikotarpiai ir jų kodai".

    Fibonačio skaičiai. Vikipedija

  • Vertimas

Įvadas

  „Fibonačio“ numerių programuotojai jau turėtų būti atsibodę. Jų skaičiavimo pavyzdžiai naudojami visur. Viskas priklauso nuo to, kad šie skaičiai yra paprasčiausias rekursijos pavyzdys. Jie taip pat yra geras dinaminio programavimo pavyzdys. Bet ar reikia juos taip apskaičiuoti realiame projekte? Nereikia. Nei rekursija, nei dinaminis programavimas nėra idealios galimybės. Ir ne uždaroji formulė, kurioje naudojami slankiojo kablelio skaičiai. Dabar aš jums pasakysiu, kaip tai padaryti teisingai. Bet pirmiausia pereikime prie visų žinomų sprendimų.

Kodas yra „Python 3“, nors jis turėtų būti ir „Python 2“.

Pirmiausia - primenu apibrėžimą:

F n \u003d F n-1 + F n-2

Ir F 1 \u003d F 2 \u003d 1.

Uždara formulė

  Mes praleidžiame detales, tačiau norintys gali susipažinti su formulės išvada. Idėja yra manyti, kad yra tam tikras x, kuriam F n \u003d x n, ir tada rasti x.

Ką tai reiškia

Iškirpti x n-2

Mes išsprendžiame kvadratinę lygtį:

Čia auga „aukso pjūvis“ ϕ \u003d (1 + √5) / 2. Pakeitę pradines vertes ir atlikę kitą skaičiavimą, gauname:

Kurį mes naudojame apskaičiuodami F n.

Iš __future__ importo skyriaus importo matematikos def fib (n): SQRT5 \u003d math.sqrt (5) PHI \u003d (SQRT5 + 1) / 2 grąžinti int (PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Gerai:
  Greitas ir lengvas mažiems n
  Blogas:
  Būtina atlikti kintamąjį tašką. Dideliam n reikalingas didesnis tikslumas.
  Blogis:
  Sudėtingų skaičių naudojimas apskaičiuojant F n yra gražus matematiniu požiūriu, bet negražus iš kompiuterio.

Rekursija

  Akivaizdžiausias sprendimas, kurį jau matėte daug kartų, greičiausiai yra rekursijos pavyzdys. Aš tai dar kartą pakartosiu dėl išsamumo. Python'e jį galima parašyti vienoje eilutėje:

Fib \u003d lambda n: fib (n - 1) + fib (n - 2), jei n\u003e 2 dar 1

Gerai:
  Labai paprastas įgyvendinimas, pakartojant matematinį apibrėžimą
  Blogas:
  Eksponentinis laiko trukmė. Dideliam n jis yra labai lėtas
  Blogis:
  Kamino perpildymas

Įsiminimas

  Rekursyvus sprendimas turi didelę problemą: susikertančius skaičiavimus. Kai vadinamas fib (n), skaičiuojami fib (n-1) ir fib (n-2). Bet kai skaičiuojamas fib (n-1), tai vėlgi nepriklausomai skaičiuojamas fib (n-2) - tai yra, fib (n-2) skaičiuojamas du kartus. Jei tęsime diskusiją, pamatysime, kad fib (n-3) bus skaičiuojamas tris kartus ir pan. Per daug sankryžų.

Todėl jums tiesiog reikia atsiminti rezultatus, kad vėl jų neskaičiuotumėte. Šis sprendimas linijiškai eikvoja laiką ir atmintį. Sprendime naudoju žodyną, tačiau galima naudoti paprastą masyvą.

M \u003d (0: 0, 1: 1) defib (n): jei n M: grįžkite M [n] M [n] \u003d fib (n - 1) + fib (n - 2) grįžkite M [n]

  („Python“ programoje tai taip pat galima padaryti naudojant dekoratorių, functools.lru_cache.)

Gerai:
  Tiesiog paverskite rekursiją įsimentu sprendimu. Eksponentinio vykdymo laiką paverčia linijiniu, kuriam praleidžiama daugiau atminties.
  Blogas:
  Praleidžia daug atminties
  Blogis:
  Galimas kamino perpildymas, pavyzdžiui, rekursija

Dinaminis programavimas

  Po sprendimo su įsiminimu tampa aišku, kad mums reikia ne visų ankstesnių rezultatų, o tik dviejų paskutinių. Be to, užuot pradėdami nuo fib (n) ir grįždami atgal, galite pradėti nuo fib (0) ir eiti pirmyn. Šis kodas turi linijinį vykdymo laiką, o atminties naudojimas yra fiksuotas. Praktiškai sprendimo greitis bus dar didesnis, nes nėra rekursinių funkcijų skambučių ir su tuo susijusių darbų. Ir kodas atrodo paprastesnis.

Šis sprendimas dažnai minimas kaip dinaminio programavimo pavyzdys.

Defib (n): a \u003d 0 b \u003d 1 __ (n) intervale: a, b \u003d b, a + b grąžina a

Gerai:
  Greitas mažam n, paprastas kodas
  Blogas:
  Vis tiek linijinis veikimo laikas
  Blogis:
  Taip, nieko ypatingo.

Matricos algebra

  Ir, pagaliau, mažiausiai apšviestas, bet teisingiausias sprendimas, kompetentingai naudojantis ir laiką, ir atmintį. Jis taip pat gali būti išplėstas į bet kokią homogeninę linijinę seką. Matricų panaudojimo idėja. Tiesiog pamatyk tai

Tai apibendrina

Dvi x anksčiau gautos x vertės, iš kurių viena buvo aukso pjūvis, yra matricos savivaliosios vertės. Todėl kitas būdas išvesti uždarą formulę yra naudoti matricos lygtį ir tiesinę algebrą.

Taigi kuo ši formuluotė naudinga? Faktas, kad ekspansiją galima atlikti per logaritminį laiką. Tai atliekama kvadratu. Esmė ta

Kai pirmoji išraiška naudojama lygiai A, antroji - nelyginė. Lieka tik organizuoti matricų dauginimą ir viskas. Pasirodo toks kodas. Organizavau rekursinį Pow įgyvendinimą, nes tai lengviau suprasti. Čia galite pamatyti iteracinę versiją.

Def pow (x, n, I, mult): "" "Grąžina x į n galią. Tarkime, kad aš esu tapatybės matrica, kuri dauginasi su mult, o n yra teigiamas sveikasis skaičius" "", jei n \u003d\u003d 0: grąžina. I elif n \u003d\u003d 1: grįžtama x dar: y \u003d pow (x, n // 2, I, mult) y \u003d mult (y, y), jei n% 2: y \u003d mult (x, y) grąžina y def identiteto_matrica (n): "" "Pateikia tapatybės matricą n pagal n" "" r \u003d sąrašas (diapazonas (n)) grįžta [už j į r] def matricos_daugkartinis (A, B): BT \u003d sąrašas (zip (* B)) ) grąžinimas [eilutei Aa] def fib (n): F \u003d pow ([,], n, tapatybės_matrica (2), matrica_daugkartinė) grįžtama F

Gerai:
  Fiksuota atmintis, logaritminis laikas
  Blogas:
  Sudėtingesnis kodas
  Blogis:
  Aš turiu dirbti su matricomis, nors jos nėra tokios blogos

Našumo palyginimas

  Verta lyginti tik dinaminio programavimo ir matricos variantą. Jei palyginsime juos su skaičiaus n simbolių skaičiumi, paaiškės, kad matricos sprendimas yra tiesinis, o sprendimas su dinaminiu programavimu yra eksponentinis. Praktinis pavyzdys yra skaičiuoti fib (10 ** 6) - skaičių, kurį sudaro daugiau nei du šimtai tūkstančių simbolių.

N \u003d 10 ** 6
  Mes apskaičiuojame fib_matrix: fib (n) iš viso yra 208988 skaitmenys, skaičiavimas užtruko 0,24993 sekundes.
  Mes apskaičiuojame fib_dynamic: fib (n) iš viso yra 208988 skaitmenys, skaičiavimas užtruko 1183377 sekundžių.

Teorinės pastabos

Šis komentaras vis dar šiek tiek neliečia aukščiau esančio kodo. Apsvarstykite šią schemą:

Mes suskaičiuojame n ilgio n kelią nuo A iki B. Pavyzdžiui, jei n \u003d 1 turime vieną kelią, 1. N \u003d 2 mes vėl turime vieną kelią, 01. Jei n \u003d 3, mes turime du kelius, 001 ir 101. Gana paprasta parodyti, kad n ilgio n kelias nuo A iki B yra tiksliai F n. Parašę grafiko gretimybių matricą, gauname tą pačią matricą, kuri buvo aprašyta aukščiau. Tai yra gerai žinomas grafiko teorijos rezultatas, kad tam tikroje gretimybių matricoje A įvykiai A n yra n ilgio n ilgio kelių skaičius grafike (viena iš problemų, paminėtų filme „Geros valios medžioklė“).

Kodėl ant kraštų yra tokie ženklai? Pasirodo, kai pažvelgdami į begalinę simbolių seką grafiko takų sekoje, kuri yra begalinė iš abiejų pusių, jūs gaunate tai, kas vadinama „baigtinio tipo poslinkiais“, tai yra simbolinės dinamikos sistemos tipu. Tiksliau, tas baigtinio tipo poslinkis yra žinomas kaip „auksinės pjūvio poslinkis“ ir yra apibrėžtas „draudžiamų žodžių“ rinkiniu (11). Kitaip tariant, mes gauname dvejetaines sekas, kurios yra begalinės abiem kryptimis ir nė viena jų pora nėra gretimos. Šios dinaminės sistemos topologinė entropija yra lygi aukso santykiui ϕ. Įdomu, kaip šis skaičius periodiškai pasirodo skirtingose \u200b\u200bmatematikos srityse.

Žymos: pridėkite žymas

Ar kada girdėjai, kad matematika vadinama „visų mokslų karaliene“? Ar jūs sutinkate su šiuo teiginiu? Kol matematika išlieka jums nuobodžių užduočių rinkinyje vadove, vargu ar galite pajusti šio mokslo grožį, universalumą ir net humorą.

Tačiau matematikoje yra tokių temų, kurios padeda smalsiai pastebėti dalykus ir reiškinius, kurie mums būdingi. Ir net pabandykite įsiskverbti į paslapties šydą kurdami mūsų visatą. Pasaulyje yra keistų modelių, kuriuos galima apibūdinti naudojant matematiką.

Mes pateikiame jums „Fibonacci“ numerius

Fibonačio skaičiai  vadinami skaitinės sekos elementais. Jame kiekvienas kitas skaičius iš eilės gaunamas susumavus du ankstesnius skaičius.

Pavyzdžių seka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Tai galima parašyti taip:

F 0 \u003d 0, F 1 \u003d 1, F n \u003d F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Galite pradėti „Fibonači“ skaičių seriją su neigiamomis reikšmėmis. n. Be to, seka šiuo atveju yra dvipusė (t. Y. Apima neigiamus ir teigiamus skaičius) ir linkusi į begalybę abiem kryptimis.

Tokios sekos pavyzdys: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Šiuo atveju formulė atrodo taip:

F n \u003d F n + 1 - F n + 2  Arba galite tai padaryti: F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.

Tai, ką mes dabar žinome pavadinimu „Fibonačio skaičiai“, senovės Indijos matematikai žinojo dar ilgai, kol jie nebuvo pradėti naudoti Europoje. Ir su šiuo vardu apskritai vienas tęstinis istorinis pokštas. Pirmiausia, pats Fibonacci per savo gyvenimą niekada nevadino savęs Fibonacci - šis vardas buvo pradėtas vartoti Leonardo iš Pizos tik praėjus keliems šimtmečiams po jo mirties. Bet pakalbėkime apie viską tvarkingai.

Leonardo iš Pizos, dar žinomas kaip „Fibonacci“

Pirklio, kuris tapo matematiku, sūnus, vėliau gavęs pripažinimą, kad palikuonys buvo pirmieji pagrindiniai matematikai Europoje viduramžiais. Ne mažiau svarbu ir dėl „Fibonacci“ numerių (kurie, prisimenu, dar nebuvo tuo vadinami). Kurį jis aprašė XIII amžiaus pradžioje savo veikale „Liber abaci“ (Abako knyga, 1202).

Keliaudamas su tėvu į Rytus, Leonardo mokėsi matematikos pas arabų mokytojus (ir tuo metu jie buvo šiame versle, ir daugelyje kitų mokslų - vieni geriausių specialistų). Perskaitė antikos ir Senovės Indijos matematikų darbus arabiškais vertimais.

Puikiai supratęs viską, ką perskaitė, ir susiejęs savo klausiamąjį protą, Fibonacci parašė kelis mokslinius matematikos traktatus, įskaitant jau minėtą Abacuso knygą. Be jos, jis sukūrė:

  • „Practica geometriae“ (Geometrijos praktika, 1220);
  • Flosas (Gėlė, 1225 m. - kubinių lygčių tyrimas);
  • Libero kvadratorius (1225 kvadratų knyga - neribotų kvadratinių lygčių problemos).

Jis buvo didelis matematinių turnyrų gerbėjas, todėl traktatuose daug dėmesio skyrė įvairių matematinių problemų analizei.

Apie Leonardo gyvenimą liko labai mažai biografinės informacijos. Kalbant apie vardą Fibonacci, pagal kurį jis įstojo į matematikos istoriją, jis jame buvo įsitvirtinęs tik XIX a.

Fibonacci ir jo užduotys

Po Fibonačio išliko daugybė problemų, kurios vėlesniais amžiais buvo labai populiarios tarp matematikų. Mes apsvarstysime triušių problemą, kurios sprendime naudojami Fibonačio skaičiai.

Triušiai yra ne tik vertingi kailiai

Fibonacci nustato tokias sąlygas: yra tokios įdomios veislės naujagimių triušių (patinų ir patelių) pora, kurie reguliariai (pradedant nuo antro mėnesio) duoda palikuonių - visada po vieną naują triušių porą. Taip pat, kaip jūs galite atspėti, vyrai ir moterys.

Šie kondicionuojami triušiai dedami į uždarą vietą ir veisiasi su entuziazmu. Taip pat nustatyta, kad nuo jokios paslaptingos triušio ligos nemiršta triušis.

Turime apskaičiuoti, kiek triušių priaugame per metus.

  • 1 mėnesio pradžioje mes turime 1 porą triušių. Mėnesio pabaigoje jie poruojasi.
  • Antras mėnuo - mes jau turime 2 poras triušių (poroje - tėvai + 1 pora - jų palikuonys).
  • Trečias mėnuo: pirmoji pora pagimdo naują porą, antroji pora poruojasi. Iš viso - 3 poros triušių.
  • Ketvirtasis mėnuo: pirmoji pora pagimdo naują porą, antroji pora nepraranda laiko ir taip pat sukuria naują porą, o trečioji pora tik poraujasi. Iš viso - 5 poros triušių.

Triušių skaičius nmėnuo \u003d praėjusio mėnesio triušių porų skaičius + naujagimio porų skaičius (prieš 2 mėnesius triušių porų yra daugiau). Ir visa tai apibūdinama pagal formulę, kurią mes jau pateikėme aukščiau: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Taigi gauname pasikartojimą ( rekursija  - žemiau) skaitinė seka. Kurie visi skaičiai yra lygūs dviejų ankstesnių sumai:

  1. 1 + 1 = 2
  2. 2 + 1 = 3
  3. 3 + 2 = 5
  4. 5 + 3 = 8
  5. 8 + 5 = 13
  6. 13 + 8 = 21
  7. 21 + 13 = 34
  8. 34 + 21 = 55
  9. 55 + 34 = 89
  10. 89 + 55 = 144
  11. 144 + 89 = 233
  12. 233+ 144 = 377 <…>

Seka gali būti tęsiama ilgą laiką: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Bet kadangi mes nustatėme konkretų terminą - metus, mus domina rezultatas, pasiektas dvyliktame „žingsnyje“. T. y. 13-osios sekos narys: 377.

Atsakymas į problemą: 377 triušiai bus gauti laikantis visų nurodytų sąlygų.

Viena iš Fibonačio skaičių sekos savybių yra labai įdomi. Jei paimsite dvi eiles iš eilės ir padalinsite didesnį skaičių į mažesnę, rezultatas pamažu artės aukso santykis  (daugiau apie tai galite perskaityti vėliau straipsnyje).

Matematikos kalba, „Santykių riba a n + 1į   a nlygus auksiniam santykiui “.

Daugiau skaičių teorijos problemų

  1. Raskite skaičių, kurį galima padalyti iš 7. Be to, jei padalinsite jį iš 2, 3, 4, 5, 6, likutis bus vienas.
  2. Raskite kvadrato numerį. Apie jį yra žinoma, kad jei prie jo pridėsite 5 arba atimsite 5, vėl gausite kvadratinį skaičių.

Siūlome patiems ieškoti atsakymų į šias užduotis. Savo pasirinkimą galite palikti šio straipsnio komentaruose. Tada mes jums pasakysime, ar jūsų skaičiavimai buvo teisingi.

Rekursijos paaiškinimas

Rekursija  objekto ar proceso, kuriame yra pats objektas ar procesas, apibrėžimas, aprašymas, vaizdas. Tai yra, objektas ar procesas yra dalis savęs.

Rekursija plačiai naudojama matematikoje ir informatikoje, netgi mene ir populiariojoje kultūroje.

Fibonačio skaičiai nustatomi pasikartojimo santykiu. Dėl skaičiaus n\u003e 2 n-e skaičius yra   (n - 1) + (n - 2).

Auksinio skyriaus paaiškinimas

Auksinis santykis  - visos (pvz., segmento) padalijimas į tokias dalis, kurios koreliuojamos pagal šį principą: didesnė dalis nurodo mažesnę, taip pat visą reikšmę (pavyzdžiui, dviejų segmentų suma) didesnei daliai.

Pirmąjį aukso santykio paminėjimą galima rasti Euklidą jo traktate „Pradžia“ (apie 300 m. Pr. Kr.). Taisyklingo stačiakampio pastatymo kontekste.

Mums pažįstamą terminą 1835 m. Įvedė vokiečių matematikas Martinas Om.

Jei apytiksliai apibūdintumėte aukso santykį, tai būtų proporcingas padalijimas į dvi nelygias dalis: maždaug 62% ir 38%. Skaitine prasme auksinis santykis yra skaičius 1,6180339887 .

Auksinis santykis yra praktinis pritaikymas vaizduojamojoje dailėje (Leonardo da Vinci ir kitų Renesanso tapytojų tapyba), architektūroje, kine (S. Ezenshteino „Battleship Potemkin“, S. Ezenshtein) ir kitose srityse. Ilgą laiką buvo manoma, kad aukso santykis yra estetiškiausia proporcija. Ši nuomonė populiari ir šiandien. Nors pagal tyrimų rezultatus vizualiai dauguma žmonių nesuvokia tokios proporcijos kaip sėkmingiausio varianto ir mano, kad ji yra pernelyg pailgi (neproporcinga).

  • Iškirpti ilgį su = 1, bet = 0,618, b = 0,382.
  • Požiūris su  į bet = 1, 618.
  • Požiūris suį b = 2,618

Dabar grįžkime į „Fibonačio“ numerius. Paimkite iš eilės du narius iš eilės. Padalinkite didesnį skaičių iš mažesnių ir gaukite maždaug 1,618. O dabar mes naudojame tą patį didesnį skaičių ir kitą serijos narį (t. Y. Dar didesnį skaičių) - jų santykis ankstyvasis 0,618.

Štai pavyzdys: 144, 233, 377.

233/144 \u003d 1,618 ir 233/377 \u003d 0,618

Beje, jei bandysite atlikti tą patį eksperimentą su skaičiais nuo sekos pradžios (pavyzdžiui, 2, 3, 5), niekas neveiks. Na, beveik. Norint pradėti seką, beveik nesilaikoma aukso santykio taisyklės. Bet tada, kai jūs judate iš eilės ir gausėjate skaičių, jis veikia gerai.

O norint apskaičiuoti visą Fibonačio skaičių seką, pakanka žinoti tris sekos narius vienas po kito. Galite pamatyti patys!

Auksinis stačiakampis ir Fibonacci spiralė

Dar viena įdomi Fibonačio skaičių ir aukso santykio paralelė leidžia nubrėžti vadinamąjį „auksinį stačiakampį“: jo kraštinės yra koreliuojamos proporcija nuo 1,618 iki 1. Bet mes jau žinome, koks yra skaičius 1,618, tiesa?

Pavyzdžiui, paimkite du iš eilės „Fibonacci“ serijos narius - 8 ir 13 - ir pastatykite stačiakampį su šiais parametrais: plotis \u003d 8, ilgis \u003d 13.

Ir tada suskaidykite didelį stačiakampį į mažesnius. Privaloma sąlyga: stačiakampių kraštų ilgis turi atitikti Fibonačio skaičius. T. y. didesnio stačiakampio šoninis ilgis turėtų būti lygus dviejų mažesnių stačiakampių kraštų sumai.

Taigi, kaip daroma šiame paveiksle (patogumo dėlei skaičiai pasirašomi lotyniškomis raidėmis).

Beje, stačiakampius galite statyti atvirkštine tvarka. T. y. pradėkite konstrukciją kvadratais su 1 šone. Prie kurių, vadovaujantis aukščiau nurodytu principu, pridedami skaičiai, kurių kraštinės yra lygios Fibonacci skaičiams. Teoriškai tai galima tęsti neribotą laiką - juk „Fibonačio“ serija formaliai yra begalinė.

Jei figūroje gautų stačiakampių kampus sujungsime lygia linija, gausime logaritminę spiralę. Jos ypatingas atvejis yra Fibonačio spiralė. Jis visų pirma apibūdinamas tuo, kad neturi ribų ir nekeičia formos.

Panaši spiralė dažnai randama gamtoje. Moliusko lukštai yra vienas ryškiausių pavyzdžių. Be to, kai kurios galaktikos, kurias galima pamatyti iš Žemės, yra spiralės formos. Jei atkreipsite dėmesį į orų prognozes per televiziją, galbūt pastebėjote, kad ciklonai turi panašią spiralės formą fotografuodami juos iš palydovų.

Įdomu, kad DNR spiralė taip pat laikosi aukso santykio taisyklės - jos posūkių intervaluose galima pamatyti atitinkamą modelį.

Tokie nuostabūs „sutapimai“ gali tik sujaudinti protus ir nesugeneruoti kalbų apie tam tikrą vieningą algoritmą, kuriam paklūsta visi Visatos gyvenimo reiškiniai. Dabar jūs suprantate, kodėl šis straipsnis vadinamas tokiu būdu? O duris į kokius nuostabius pasaulius jums gali atverti matematika?

Fibonačio skaičiai laukinėje gamtoje

Ryšys tarp Fibonačio skaičių ir Auksinio santykio verčia mintis apie keistus modelius. Taip smalsu, kad kyla pagunda gamtoje ir net istorinių įvykių metu ieškoti sekų, panašių į Fibonačio skaičius. O gamta iš tikrųjų sukelia tokias prielaidas. Bet ar viską mūsų gyvenime galima paaiškinti ir aprašyti naudojantis matematika?

Laukinės gamtos pavyzdžiai, kuriuos galima apibūdinti naudojant Fibonacci seką:

  • lapų (ir šakų) išsidėstymas augaluose - atstumai tarp jų yra koreliuojami su Fibonačio skaičiais (filotaksa);

  • saulėgrąžų sėklų išdėstymas (sėklos yra išdėstytos dviem skirtingomis kryptimis susuktų spiralių eilėmis: viena eilė pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš laikrodžio rodyklę);

  • pušies spurgų skalių vieta;
  • gėlių žiedlapiai;
  • ananasų ląstelės;
  • žmogaus rankos pirštų falangų ilgių santykis (apytiksliai) ir kt.

Kombinatorikos užduotys

Fibonačio skaičiai yra plačiai naudojami sprendžiant kombinatorikos problemas.

Kombinatorika  - tai matematikos šaka, tirianti tam tikro nurodyto elementų skaičiaus parinkimą iš nurodyto rinkinio, sąrašą ir kt.

Pažvelkime į kombinatorikos problemų, skirtų vidurinės mokyklos lygiams, pavyzdžius (šaltinis - http://www.problems.ru/).

1 uždavinys:

Aleksas laiptais kyla nuo 10 laiptelių. Vienu metu jis šokinėja aukštyn arba vienu, arba dviem laipteliais. Kiek būdų Lesha gali lipti laiptais?

Kelių, kuriais Lesha gali lipti laiptais, skaičius n  žingsniai, mes žymime ir n.Iš to seka a 1 = 1, a 2  \u003d 2 (galų gale, Lesha šokinėja vienu arba dviem žingsniais).

Taip pat numatyta, kad Aleksas šokinėja laiptais iš n\u003e 2   žingsniai. Tarkime, pirmą kartą jis šoktelėjo dviem laipteliais. Taigi, atsižvelgiant į problemos būklę, jis turi peršokti kitą n - 2  žingsniai. Tada skaičius, kaip baigti lipimą, apibūdinamas kaip a n - 2. Ir jei darysime prielaidą, kad pirmą kartą Lesha šoktelėjo tik vienu laipteliu, tada kelių būdų, kaip baigti lipimą, skaičius bus apibūdinamas kaip a n - 1.

Taigi gauname tokią lygybę: a n \u003d a n - 1 + a n - 2  (atrodo pažįstamas, ar ne?).

Kai mes žinome a 1ir   a 2ir atsiminkite, kad veiksmai pagal 10 uždavinio sąlygas, apskaičiuoti visų tvarka ir n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Atsakymas: 89 būdai.

2 uždavinys:

Būtina surasti 10 raidžių ilgio žodžių skaičių, susidedantį tik iš „a“ ir „b“ raidžių ir neturinčių dviejų „b“ raidžių iš eilės.

Pažymėti pagal a n  ilgio žodžių skaičius nraidės, kurias sudaro tik raidės „a“ ir „b“ ir kuriose nėra dviejų „b“ raidžių iš eilės. Reiškia a 1= 2, a 2= 3.

Iš eilės a 1, a 2, <…>, a nmes išreikšime kiekvieną kitą narį per ankstesnius. Todėl žodžių skaičius ilgio nraidės, kuriose taip pat nėra dvigubos „b“ raidės ir prasideda raide „a“, tai a n - 1. O jei žodis ilgas nraidės prasideda raide „b“, logiška, kad kita tokio žodžio raidė yra „a“ (galų gale, atsižvelgiant į problemą, negali būti dviejų „b“). Todėl žodžių skaičius ilgio nraidės šiuo atveju mes žymime a n - 2. Pirmuoju ir antruoju atvejais bet kuris žodis (ilgio dydis) n - 1ir   n - 2  raidės, atitinkamai) be dvigubos „b“.

Mes sugebėjome pagrįsti kodėl a n \u003d a n - 1 + a n - 2.

Mes apskaičiuojame dabar a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8\u003d 144. Ir gauname pažįstamą Fibonačio seką.

Atsakymas yra 144.

3 uždavinys:

Įsivaizduokite, kad yra juosta, suskaidyta į ląsteles. Ji eina į dešinę ir trunka amžinai. Ant pirmojo juostelės kvadrato uždėkite žiogą. Nepriklausomai nuo juostos langelių, jis gali judėti tik į dešinę: vieną langelį, arba du. Kiek būdų žiogas gali šokinėti nuo juostos pradžios iki nth ląstelė?

Pažymėkime, kiek būdų žiogas gali judėti išilgai juostos nth ląstelė kaip a n. Tokiu atveju a 1 = a 2  \u003d 1. Taip pat į n + 1-ą ląstelę žiogas gali gauti bet iš nth ląstelę, arba šokinėja per ją. Iš čia a n + 1 = a n - 1 + a n. Iš kur a n = F n - 1.

Atsakymas yra: F n - 1.

Tokias problemas galite sudaryti patys ir pabandyti jas išspręsti matematikos pamokose su klasės draugais.

Fibonačio skaičiai populiariojoje kultūroje

Žinoma, toks neįprastas reiškinys kaip „Fibonacci“ skaičiai negali pritraukti dėmesio. Nepaisant to, šiame griežtai patikrintame tvarkingume yra kažkas patrauklaus ir net paslaptingo. Nenuostabu, kad Fibonačio seka kažkodėl „užsidegė“ daugelyje įvairių žanrų šiuolaikinės masinės kultūros kūrinių.

Mes jums pasakysime apie kai kuriuos iš jų. Ir dar bandai ieškoti savęs. Jei rasite, pasidalinkite su mumis komentaruose - mums taip pat įdomu!

  • „Fibonacci“ numeriai yra minimi geriausiai parduodamoje Dano Browno knygoje „Da Vinčio kodas“: „Fibonacci“ seka yra kodas, kuriuo pagrindiniai knygos veikėjai atidaro seifą.
  • 2009 m. Amerikiečių filme „Mr. Nobody“ vienoje serijoje namo adresas yra „Fibonacci“ sekos dalis - 12358. Be to, kitame epizode veikėjas turi paskambinti telefono numeriu, kuris iš esmės yra tas pats, bet šiek tiek iškraipytas (papildomas skaičius). po skaičiaus 5) seka: 123-581-1321.
  • 2012 m. Serijoje „Bendravimas“ pagrindinis veikėjas, berniukas, sergantis autizmu, sugeba atskirti, kas vyksta pasaulyje. Įskaitant per „Fibonacci“ numerius. Ir valdykite šiuos įvykius naudodamiesi skaičiais.
  • Mobiliųjų telefonų „Doom RPG“ žaidimų kūrėjai įdėjo slaptas duris viename iš jų. Jį atidarantis kodas yra „Fibonači“ seka.
  • 2012 m. Rusijos roko grupė „Spleen“ išleido koncepcinį albumą „Optical Illusion“. Aštuntas takelis vadinamas Fibonačiumi. Grupės lyderio Aleksandro Vasiljevo eilėraščiuose sumušta Fibonačio skaičių seka. Kiekvienai iš devynių kadencijų iš eilės yra atitinkamas eilučių skaičius (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Kompozicija išsirikiavo

1   Užspaudė vieną jungtį

1   Pašoko vieną rankovę

2   Gaukite tai

Gaukite tai

3   Prašymas užvirti vandenį

Traukinys eina prie upės

Traukinys eina taigoje<…>.

  • limerikas (trumpas tam tikros formos eilėraštis - paprastai penkios eilutės, su tam tikra rituavimo schema, komiška turinio, kuriame pirmosios ir paskutinės eilutės kartojamos arba dalinai dubliuojamos) Jamesas Lindonas kaip humoristinį motyvą taip pat naudoja nuorodą į Fibonacci seką:

Tankios Fibonačio žmonos

Tai buvo naudinga tik jiems, o ne kitaip.

Žmonos svėrė pagal gandą

Kiekvienas iš jų yra panašus į ankstesnius du.

Apibendrinant

Tikimės, kad šiandien sugebėjome jums papasakoti daug įdomių ir naudingų dalykų. Pvz., Dabar galite ieškoti „Fibonacci“ spiralės jus supančioje gamtoje. Staiga būtent jūs sugebėsite išaiškinti „gyvenimo, visatos ir apskritai paslaptį“.

Spręsdami kombinatorikos uždavinius, naudokite Fibonacci skaičių formulę. Galite pasikliauti šiame straipsnyje aprašytais pavyzdžiais.

svetainėje, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, reikalinga nuoroda į šaltinį.

Italų matematikas Leonardo Fibonacci gyveno XIII amžiuje ir vienas pirmųjų Europoje vartojo arabiškus (indiškus) numerius. Jis iškėlė šiek tiek dirbtinę problemą dėl triušių, auginamų ūkyje, kurie visi laikomi patelėmis, patinai yra ignoruojami. Triušiai pradeda veisti po to, kai jiems sukanka du mėnesiai, ir tada kiekvieną mėnesį pagimdo triušį. Triušiai niekada nemiršta.

Būtina nustatyti, kiek triušių bus ūkyje per n  mėnesių, jei iš pradžių buvo tik vienas naujagimis triušis.

Akivaizdu, kad ūkininkas pirmąjį mėnesį turi vieną triušį ir antrą mėnesį. Trečią mėnesį jau bus du triušiai, ketvirtą - trys ir t.t. Pažymėkite triušių skaičių n  mėnuo kaip. Tokiu būdu
,
,
,
,
, …

Galite sukurti algoritmą, kuris leidžia jums rasti bet kuriam n.

Atsižvelgiant į problemos būklę, bendras triušių skaičius
į n+1 mėnuo suskaidomas į tris dalis:

    vieno mėnesio triušiai, negalintys veistis, kurių kiekis yra

;


Taigi, mes gauname

. (8.1)

(8.1) formulė leidžia apskaičiuoti skaičių seką: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

Šios sekos skaičiai yra vadinami fibonačio skaičiai .

Jei sutiks
ir
, tada, naudodami formulę (8.1), galime nustatyti visus kitus Fibonacci skaičius. (8.1) formulė vadinama pasikartojantis   formulė ( pasikartojimas   - „grįžti“ lotynų kalba).

8.1 pavyzdys.Tarkime, kad ten yra laiptai n  žingsniai. Mes galime lipti juo per vieną žingsnį arba - per du žingsnius. Kiek yra skirtingų kėlimo būdų derinių?

Jei n  \u003d 1, yra tik vienas problemos sprendimas. Už n  \u003d 2 yra 2 variantai: du vienas žingsniai arba vienas dvigubas. Už n  \u003d 3 yra 3 variantai: trijų vienetų žingsniai arba vienas vienetas ir vienas dvigubas, arba vienas dvigubas ir vienas vienetas.

Tokiu atveju n  \u003d 4, turime 5 galimybes (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Norint atsakyti į klausimą atsitiktinai n, pažymėkite variantų skaičių kaip ir pabandykite nustatyti
garsus ir
. Jei mes pradedame nuo vieno žingsnio, tada mes turime deriniai likusiems n  žingsniai. Jei pradedame nuo dvigubo žingsnio, tada mes turime
deriniai likusiems n–1 žingsnis. Bendras variantų skaičius n+1 žingsniai yra lygūs

. (8.2)

Gauta formulė kaip dvynys primena formulę (8.1). Tačiau tai neleidžia nustatyti derinių skaičiaus su Fibonačio skaičiais . Pavyzdžiui, mes matome
bet
. Tačiau šie santykiai atsiranda:

.

Tai tiesa n  \u003d 1, 2, taip pat galioja kiekvienam n. Fibonačio skaičiai ir derinių skaičius yra apskaičiuojami naudojant tą pačią formulę, tačiau pradinės vertės
,
ir
,
jie skiriasi.

8.2 pavyzdys.Šis pavyzdys yra praktiškai svarbus taisant kodavimo klaidas. Raskite visų dvejetainių ilgio žodžių skaičių nkuriame nėra kelių nulių iš eilės. Pažymėkite šį skaičių . Akivaizdu
, o 2 ilgio žodžiai, tenkinantys mūsų apribojimą, yra: 10, 01, 11, t.y.
. Leisk
- toks žodis iš n  veikėjai. Jei simbolis
tada
gali būti savavališkas (
) yra raidinis žodis, kuriame nėra kelių nulių iš eilės. Taigi žodžių skaičius su vienetu pabaigoje yra
.

Jei simbolis
tada būk tikras
, ir pirmasis
personažas
gali būti savavališkas, atsižvelgiant į svarstomus apribojimus. Todėl yra
ilgio žodžiai n  su nuliu gale. Taigi bendras mus dominančių žodžių skaičius yra lygus

.

Atsižvelgiant į tai, kad
ir
, gauta skaičių seka yra Fibonačio skaičiai.

8.3 pavyzdys7.6 pavyzdyje mes nustatėme, kad dvejetainių žodžių skaičius yra pastovus t  (ir ilgis k) yra lygus . Dabar raskite nuolatinio svorio dvejetainių žodžių skaičių tkuriame nėra kelių nulių iš eilės.

Galite pagrįsti taip. Leisk
nagrinėjamų žodžių nulių skaičius. Bet kuris žodis turi
tarpai tarp artimiausių nulių, kurių kiekviename yra vienas ar keli vienetai. Manoma, kad
. Priešingu atveju nėra nė vieno žodžio be gretimų nulių.

Jei iš kiekvieno tarpo pašaliname tiksliai vieną vienetą, gauname ilgio žodį
turinčios nuliai. Bet kurį tokį žodį galima gauti nurodytu būdu iš kai kurių (ir, be to, tik iš vieno) klaiškas su nulių, iš kurių nė vienas nestovi vienas šalia kito. Taigi, norimas skaičius sutampa su visų ilgio žodžių skaičiumi
turinčių tiksliai nuliai, t.y. lygus
.

8.4 pavyzdys.Įrodykime šią sumą
lygus bet kurio sveikojo skaičiaus Fibonačio skaičiams . Simbolis
žymi mažiausias sveikasis skaičius didesnis ar lygus . Pavyzdžiui, jei
tada
; ir jei
tada
ceilis  („Lubos“). Taip pat atsiranda simbolis.
kuris žymi didžiausias sveikasis skaičius mažesnis arba lygus . Anglų kalba ši operacija vadinama grindys („Lytis“).

Jei
tada
. Jei
tada
. Jei
tada
.

Taigi nagrinėjamais atvejais suma iš tikrųjų yra lygi Fibonačio skaičiams. Dabar pateikiame bendros bylos įrodymą. Kadangi Fibonačio skaičiai gali būti gauti naudojant pasikartojimo lygtį (8.1), tada lygybė

.

Ir tai tikrai daro:

Čia mes panaudojome anksčiau gautą formulę (4.4):
.

      Fibonačio skaičių suma

Mes nustatome pirmojo sumą n  Fibonačio skaičiai.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Nesunku pastebėti, kad pridėdami po vieną kiekvienos lygties dešinėje, vėl gauname Fibonačio skaičių. Bendroji formulė pirmosios sumos nustatymui n  „Fibonacci“ numeriai turi tokią formą:

Tai įrodom matematinės indukcijos metodu. Norėdami tai padaryti, mes rašome:

Ši suma turėtų būti lygi
.

Sumažinę kairę ir dešinę lygties puses -1, gausime lygtį (6.1).

      Fibonačio skaičių formulė

8.1 teorema. Fibonačio skaičius gali būti apskaičiuojamas pagal formulę

.

Įrodymas. Mes patikriname šios formulės pagrįstumą n  \u003d 0, 1, tada įrodome šios formulės pagrįstumą savavališkai n  indukcijos būdu. Mes apskaičiuojame dviejų artimiausių Fibonačio skaičių santykį:

Matome, kad šių skaičių santykis svyruoja apie 1,618 (jei nepaisysime kelių pirmųjų reikšmių). Pagal šią savybę geometrinės progresijos nariai primena Fibonačio skaičius. Priims
, (
) Tada išraiška

konvertuotas į

kuris po supaprastinimų atrodo taip

.

Gavome kvadratinę lygtį, kurios šaknys lygios:

Dabar galime rašyti:

(kur c  yra konstanta). Abu nariai   ir nepateikite, pavyzdžiui, Fibonačio numerių
kol
. Vis dėlto skirtumas
  tenkina pasikartojimo lygtį:

Už n\u003d 0, šis skirtumas duoda , t.y.
. Tačiau kada n\u003d 1 mes turime
. Norėdami gauti
, turite sutikti:
.

Dabar mes turime dvi sekas:   ir
kurie prasideda tais pačiais dviem skaičiais ir atitinka tą pačią pasikartojimo formulę. Jie turėtų būti lygūs:
. Teorema įrodyta.

Didėjant n  narys pasidaro labai didelis
, ir nario vaidmuo skirtumas sumažėja. Todėl dideliems n  maždaug galime rašyti

.

Mes nekreipiame dėmesio į 1/2 (nes Fibonacci skaičius augant didėja iki begalybės) n  ad infinitum).

Požiūris
  paskambino auksinis santykis, jis naudojamas ne matematikoje (pavyzdžiui, skulptūroje ir architektūroje). Auksinis santykis yra įstrižainės ir šono santykis taisyklingas penkiakampis  (8.1 pav.).

Fig. 8.1. Įprastas penkiakampis ir jo įstrižainės

Norint pažymėti aukso santykį, įprasta naudoti raidę
garsaus atėnų skulptoriaus Phidiaso garbei.

      Pagrindiniai skaičiai

Visi natūralieji skaičiai, dideli vienetai, skirstomi į dvi klases. Pirmasis apima skaičius, kurie turi lygiai du daliklius, vieną ir save, antrąjį - visus kitus. Pirmosios klasės numeriai vadinami paprastao antrasis - sudėtinis. Pagrindiniai skaičiai per pirmąsias tris dešimtis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Primų savybes ir jų ryšį su visais natūraliaisiais skaičiais tyrė Euklidas (3 a. Pr. Kr.). Jei užrašysite primus iš eilės, pastebėsite, kad jų santykinis tankis mažėja. Iš pirmo dešimties yra 4, t. Y. 40 proc., Iš šimto - 25, t. 25%, tūkstančiui - 168, t.y. mažiau nei 17%, milijonui - 78498, t. mažiau nei 8% ir tt .. Tačiau jų bendras skaičius yra begalinis.

Tarp primų yra poros tokių, kurių skirtumas yra lygus dviem (vadinamasis paprasti dvyniai), tačiau tokių porų baigtinumas ar begalybė nebuvo įrodyta.

Euklidas laikė akivaizdžiu, kad padauginus tik primus, galima gauti visus natūralius skaičius ir kiekvienas natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip primų sandauga vienareikšmiškai (atsižvelgiant į veiksnių eiliškumą). Taigi, primai sudaro daugybinį natūralių serijų pagrindą.

Studijavus primų pasiskirstymą, buvo sukurtas algoritmas, leidžiantis gauti primų lenteles. Toks algoritmas yra eratosthenų sietas  (3 a. Pr. Kr.). Šis metodas susideda iš tam tikros sekos sveikųjų skaičių atsijojimo (pavyzdžiui, perbraukiant)
kurie dalijami bent vienu iš primų mažesniais
.

Teorema 8 . 2 .   (Euklido teorema). Primų skaičius yra begalinis.

Įrodymas. Leonardo Eulerio (1707–1783) pasiūlytu metodu įrodyta Euklido teorema apie begalybę primų. Euleris peržiūrėjo gaminį pagal visus primusus p:

prie
. Šis produktas susilieja, ir jei jis paaiškėja, tada, kai natūralieji skaičiai suskaidomi į pirminius veiksnius, unikalumas paaiškėja, kad jis lygus serijos sumai. , iš kur seka Eulerio tapatybė:

.

Nuo kada
kadangi dešinėje esanti serija skiriasi (harmoninė seka), tada Euklido teorema išplaukia iš Eulerio tapatybės.

Rusijos matematikas P.L. Čebiševas (1821–1894) išvedė formulę, apibrėžiančią ribas, kuriose yra primų skaičius
neviršijantis X:

,

kur
,
.

mob_info