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정도와 그 속성. 철저한 가이드 (2019)

왜 학위가 필요한가요? 어디에서 유용하다고 생각하십니까? 왜 공부하는데 시간을 보내야합니까?

학위, 필요한 이유, 일상 생활에서 지식을 사용하는 방법에 대한 모든 내용을 보려면이 기사를 읽으십시오.

물론 학위를 알면 시험이나 시험에 합격하고 꿈의 대학에 진학 할 수 있습니다.

"가자 ... (가자!)

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거듭 제곱은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 또는 나눗셈과 같은 수학적 연산입니다.

이제 아주 간단한 예를 사용하여 인간 언어로 모든 것을 설명하겠습니다. 조심하십시오. 예는 기본이지만 중요한 사항을 설명합니다.

추가부터 시작하겠습니다.

설명 할 것이 없습니다. 당신은 이미 모든 것을 알고 있습니다. 우리 중 8 명이 있습니다. 각각에는 콜라 두 병이 있습니다. 총 콜라는 몇 개입니까? 맞습니다-16 병.

이제 곱셈.

콜라와 동일한 예를 다른 방법으로 작성할 수 있습니다. 수학자들은 교활하고 게으른 사람들입니다. 먼저, 그들은 몇 가지 패턴을 발견 한 다음 더 빨리“계산”할 수있는 방법을 고안했습니다. 우리의 경우, 그들은 8 명의 사람들 각각이 같은 수의 콜라 병을 가지고 있으며 곱셈이라는 기술을 생각해 냈습니다. 동의하는 것보다 쉽고 빠릅니다.

  따라서 더 빠르고 쉽게 오류없이 계산하려면 기억해야합니다. 곱셈표. 물론, 모든 것을 느리게, 더 힘들게, 실수로 할 수 있습니다! 그러나 ...

곱셈표는 다음과 같습니다. 반복하십시오.

그리고 또 다른 더 아름다운 :

게으른 수학자들은 어떤 까다로운 계산 기법을 생각해 냈습니까? 맞아- 지수화.

힘을 힘으로 올리기

수에 5를 곱해야하는 경우 수학자들은이 수를 5의 거듭 제곱으로 높여야한다고 말합니다. 예를 들어. 수학자들은 2도에서 5 도는이 점을 기억합니다. 그리고 그들은 빠르고, 쉽고, 오류가없는 마음으로 그러한 문제를 해결합니다.

이렇게하려면 숫자 표에서 강조 표시된 것을 기억하십시오.. 저를 믿으십시오. 이것은 당신의 삶을 크게 촉진시킬 것입니다.

그런데 왜 2 도라고 불리는가 제곱  숫자와 세 번째- 입방체? 이것은 무엇을 의미합니까? 아주 좋은 질문입니다. 이제 정사각형과 큐브가 있습니다.

생활 사례 No. 1

숫자의 제곱 또는 두 번째 거듭 제곱으로 시작합시다.

1 미터 x 1 미터 크기의 정사각형 수영장을 상상해보십시오. 수영장은 시골집에 있습니다. 더위하고 정말로 수영하고 싶다. 그러나 ... 수영장은 바닥이 없습니다! 수영장 바닥을 타일로 덮을 필요가 있습니다. 타일이 얼마나 필요합니까? 이를 확인하려면 풀의 아래쪽 영역을 찾아야합니다.

당신은 단지 손가락을 찌르고, 수영장의 바닥이 미터 당 미터 미터로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 미터 단위 타일 미터가 있으면 조각이 필요합니다. 쉬워요 ...하지만 그런 타일을 어디에서 보았습니까? 타일은 cm 당 보일 가능성이 높으며 "손가락으로 괴롭 힙니다". 그런 다음 곱해야합니다. 따라서 수영장 바닥의 한쪽에는 타일 (조각)과 다른 타일에도 맞습니다. 곱하면 타일 ()이됩니다.

수영장의 바닥 면적을 결정하기 위해 동일한 숫자를 자체적으로 곱한 것을 알았습니까? 이것은 무엇을 의미합니까? 같은 수를 곱하기 때문에 "지수"기술을 사용할 수 있습니다. (물론 두 개의 숫자 만 있으면 곱하기 또는 거듭 제곱하는 것이 모두 동일합니다. 그러나 숫자가 많으면 거듭 제곱이 훨씬 쉽고 계산에 오류가 적습니다. USE의 경우 매우 중요합니다).
  따라서 2도에서 30은 ()입니다. 또는 30이 제곱 될 것이라고 말할 수 있습니다. 다시 말해, 숫자의 제 2 거듭 제곱은 항상 정사각형으로 표현 될 수 있습니다. 그 반대의 경우에도 정사각형이 표시되면 항상 숫자의 2 도입니다. 정사각형은 숫자의 두 번째 거듭 제곱의 이미지입니다.

생활 사례 2

다음은 숫자의 제곱을 사용하여 체스 판에 몇 개의 정사각형이 있는지 계산하는 것입니다 ... 셀의 한쪽과 다른 쪽에도. 그들의 숫자를 계산하려면 8 곱하기 8이 필요합니다 ... 체스 판이 측면이있는 사각형임을 알면 8을 제곱 할 수 있습니다. 세포가 나옵니다. () 그래서?

생활 예 3

이제 큐브 또는 숫자의 세 번째 힘. 같은 수영장. 그러나 이제이 수영장에 얼마나 많은 물을 부을지 알아야합니다. 볼륨을 계산해야합니다. (음량과 액체는 입방 미터로 측정됩니다. 예기치 않게 맞습니까?) 수영장을 그립니다 : 바닥은 크기가 1 미터이고 깊이는 1 미터입니다.

똑바로 가리키고 세십시오! 하나, 둘, 셋, 넷 ... 스물 둘, 스물 셋 ... 얼마나 효과가 있었습니까? 잃어버린 손가락을 세는 것이 어렵습니까? 그게 다야! 수학자로부터 예를 들어 보자. 그들은 게 으르므로 수영장의 부피를 계산하려면 길이, 너비 및 높이를 서로 곱해야한다는 것을 알았습니다. 우리의 경우, 수영장의 부피는 큐브와 같습니다 ... 더 쉬울까요?

이제 수학자들이 이것을 단순화하면 어떻게 게으르고 교활한 지 상상해보십시오. 그들은 모든 것을 하나의 행동으로 줄였습니다. 그들은 길이, 너비 및 높이가 같고 동일한 숫자에 그 자체가 곱해진 것을 알았습니다 ... 그리고 그 의미는 무엇입니까? 이것은 학위를 이용할 수 있음을 의미합니다. 따라서 한 번 손가락으로 생각한 것은 한 번의 행동으로 이루어집니다. 입방체의 세 개는 같습니다. 다음과 같이 작성되었습니다.

그것은 단지 남아 학위 표를 기억. 물론 당신이 수학자처럼 게으르고 교활하다면. 열심히 일하고 실수를한다면 손가락으로 계속 계산할 수 있습니다.

글쎄, 마침내 당신에게 학위가 그들의 삶의 문제를 해결하기위한 로퍼와 트릭에 의해 발명되었다는 것을 확신시키기 위해, 그리고 당신을 위해 문제를 만들지 않기 위해, 여기 인생에서 몇 가지 더 많은 예가 있습니다.

생활 사례 No. 4

백만 루블이 있습니다. 매년 초에, 당신은 백만마다 백만을 더 벌고 있습니다. 즉, 매년 초에 백만 명 중 두 배가됩니다. 몇 년 동안 돈이 얼마나 될까요? 당신이 지금 앉아서“손가락으로 세고”있다면, 당신은 매우 열심히 일하는 사람이고 ... 바보입니다. 그러나 당신은 현명하기 때문에 몇 초 안에 대답 할 것입니다! 그래서 첫해-두 번 두 번 ... 두 번째 해에서-세 번째 해에 또 다른 두 번 일어난 일 ... 그만! 숫자가 한 번 곱하는 것을 알았습니다. 그래서 2에서 5도까지 – 백만! 이제 경쟁이 있고 더 빨리 경쟁하는 사람들이 수백만을 얻을 것이라고 상상해보십시오. 숫자의 정도를 기억할 가치가 있다고 생각하십니까?

생활 사례 No. 5

당신은 백만이 있습니다. 매년 초에, 당신은 백만마다 2 개를 더 벌게됩니다. 좋아요? 백만 트리플마다. 일년에 얼마의 돈을 벌게 될까요? 세어 보자. 첫해-곱한 다음 다른 결과를 곱하십시오 ... 이미 지루합니다. 이미 모든 것을 이해했기 때문입니다 : 세 번 곱하기. 따라서 4 도는 백만입니다. 당신은 단지 4도에서 3이 또는라는 것을 기억해야합니다.

이제 힘을 힘으로 높이면 인생이 더 쉬워 질 것입니다. 학위로 할 수있는 일과 그에 대해 알아야 할 사항을 자세히 살펴 보겠습니다.

용어와 개념 ...

우선, 개념을 정의 해 봅시다. 당신은 생각하십니까 지수는 무엇인가? 매우 간단합니다. 이것은 숫자의 거듭 제곱의 "맨 위"에있는 숫자입니다. 과학적으로는 아니지만 이해하기 쉽고 기억하기 쉬운 ...

글쎄, 동시에 정도의 기초? 밑면에있는 숫자가 더 간단합니다.

충실도를위한 그림입니다.

글쎄, 일반적으로, 일반화하고 더 잘 기억하기 위해 ... ""와 지표 ""를 가진 정도는 "도"로 읽히고 다음과 같이 쓰여집니다.

자연 지표가있는 수의 정도

지수는 자연수이므로 이미 추측했을 것입니다. 예, 그러나 무엇입니까 자연수? 초등학교! 자연수는 항목을 전송할 때 계정에서 사용되는 숫자입니다. 1, 2, 3 ... 그러나 항목을 고려할 때“마이너스 5”,“마이너스 6”,“마이너스 7”이라고 말하지 않습니다. 우리는 또한“1/3”또는“0 point 5/10”이라고 말하지 않습니다. 이들은 자연수가 아닙니다. 그리고 당신은 어떤 숫자를 생각하십니까?

"마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"과 같은 숫자는 정수.  일반적으로 정수에는 모든 자연수, 자연수와 반대되는 숫자 (마이너스 부호 사용) 및 숫자가 포함됩니다. 제로를 이해하는 것은 쉽습니다-이것은 아무것도 없을 때입니다. 그리고 음수 ( "빼기")는 무엇을 의미합니까? 그러나 그들은 주로 부채를 나타 내기 위해 발명되었습니다. 휴대 전화에 루블이 있으면 운영자에게 루블을 져야합니다.

모든 분수는 유리수입니다. 그들이 어떻게 생겼습니까? 매우 간단합니다. 수천 년 전, 우리 조상들은 길이, 무게, 면적 등을 측정하기위한 자연수가 부족하다는 것을 발견했습니다. 그리고 그들은 생각해 냈습니다 유리수... 흥미롭지 않나요?

비이성적 인 숫자도 있습니다. 이 숫자는 무엇입니까? 한마디로, 무한 소수점. 예를 들어, 원의 원주를 지름으로 나눈 경우 비합리적인 수를 얻습니다.

요약 :

우리는 지수의 개념을 정의하며, 지수는 자연수 (즉, 정수 및 양수)입니다.

1. 1 도의 숫자는 그 자체와 같습니다.
2. 숫자를 제곱한다는 것은 그 자체에 곱하는 것을 의미합니다.
3. 숫자를 큐브로 올리는 것은 그 자체에 세 번 곱하는 것을 의미합니다.

정의  자연의 거듭 제곱으로 숫자를 올리는 것은 숫자 자체를 한 번 곱하는 것을 의미합니다.
.

학위 속성

이 속성들은 어디에서 왔습니까? 지금 보여 드리겠습니다.

보자 : 무엇입니까   그리고 ?

정의에 따라 :

총 몇 가지 요소가 있습니까?

매우 간단합니다. 요인에 요인을 추가하여 요인을 얻었습니다.

그러나 정의상 이것은 지표가있는 숫자의 정도, 즉 증명되어야 할 것입니다.

예: 표현을 단순화합니다.

해결책 :

예를 들면 :  표현을 단순화하십시오.

해결책 :  우리 규칙에서 반드시  동일한 기초 여야합니다!
  따라서 우리는도를 밑과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.

정도의 결과에 대해서만!

어떤 경우에도 쓸 수 없습니다.

2. 저것은 수의 정도

이전 속성과 마찬가지로 우리는 정도의 정의로 돌아갑니다.

그 표현은 그 자체로 한 번 곱해진다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 제곱의 힘입니다.

실제로이를 "표시기를 괄호 안에두기"라고 할 수 있습니다. 그러나 당신은 이것을 완전히 할 수 없습니다 :

약식 곱셈의 공식을 생각해보십시오. 몇 번이나 쓰고 싶습니까?

그러나 이것은 사실이 아닙니다.

부정적인 기본 학위

지금까지 우리는 지수가 무엇인지에 대해서만 논의했습니다.

그러나 기초는 무엇입니까?

와도 물리적 지표  기지는 어떤 숫자. 실제로, 양수, 음수 또는 짝수의 숫자를 서로 곱할 수 있습니다.

어떤 부호 ( ""또는 "")에 양수와 음수의 숫자가 표시됩니까?

예를 들어 숫자가 양수 또는 음수입니까? 응? ? 첫 번째로, 모든 것이 명확합니다. 우리가 서로 얼마나 많은 양수를 곱하든 결과는 긍정적입니다.

그러나 부정적인 것은 조금 더 흥미 롭습니다. 우리는 6 학년 때부터“마이너스에서 마이너스로 더하기”라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 그러나 우리가 곱하면 문제가 해결됩니다.

다음 표현에 어떤 캐릭터가 등장할지 스스로 결정하십시오.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

했어요?

답은 다음과 같습니다. 처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 밑과 지수를보고 적절한 규칙을 적용하십시오.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

예 5)에서 모든 것이 보이는 것만 큼 두려운 것은 아닙니다. 기본이 무엇이든 상관 없습니다-정도가 고르기 때문에 결과는 항상 긍정적입니다.

베이스가 0 인 경우를 제외하고는 기초가 같지 않습니까? 분명하지 않기 때문입니다.

예 6)은 그렇게 간단하지 않습니다!

6 가지 훈련 예

6 개의 예제 파싱

8도에주의를 기울이지 않으면 여기에서 무엇을 볼 수 있습니까? 우리는 7 학년 프로그램을 기억합니다. 기억하세요? 이것은 약식 곱셈, 즉 제곱의 차이에 대한 공식입니다! 우리는 얻는다 :

우리는 조심스럽게 분모를 봅니다. 분자 요소 중 하나와 매우 유사하지만 무엇이 잘못 되었습니까? 그런 순서가 아닙니다. 교환하면 규칙을 적용 할 수 있습니다.

그러나 어떻게해야합니까? 그것은 매우 쉬운 것으로 판명되었습니다. 균등 한 분모가 우리를 도와줍니다.

용어는 마술처럼 바뀌었다. 이“현상”은 모든 표현에 균등하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 자유롭게 변경할 수 있습니다.

그러나 다음 사항을 기억해야합니다. 모든 표시가 동시에 변경됩니다!

예제로 돌아 가기 :

그리고 다시 공식 :

전체  우리는 그것들과 반대되는 자연수 (즉, 부호 ""로 찍힌)와 숫자를 부릅니다.

양의 정수자연과 다르지 않으며 모든 것이 이전 섹션과 똑같습니다.

이제 새로운 사례를 살펴 보겠습니다. 같은 표시기로 시작합시다.

0 도의 숫자는 1과 같습니다:

항상 그렇듯이 우리는 스스로에게 묻습니다. 왜 그렇습니까?

기초가 어느 정도 있다고 생각하십시오. 예를 들어 다음을 곱하십시오.

그래서 우리는 그 수를 곱한 것과 같았습니다. 그리고 아무것도 변하지 않도록 곱해야 할 숫자는 무엇입니까? 알았어 그것은 의미합니다.

임의의 숫자로 동일한 작업을 수행 할 수 있습니다.

규칙을 반복하십시오.

0 도의 숫자는 1과 같습니다.

그러나 많은 규칙에는 예외가 있습니다. 그리고 여기도 있습니다-이것은 숫자입니다 (기준).

한편으로, 그것은 0도에 몇 번 곱해도, 0을 얻습니다. 어쨌든 분명합니다. 그러나 다른 한편으로, 0 도의 숫자와 마찬가지로 동일해야합니다. 그래서 이것의 진실은 무엇입니까? 수학자들은 참여하지 않기로 결정하고 0에서 0으로 올리는 것을 거부했습니다. 즉, 이제 우리는 0으로 나눌 수있을뿐만 아니라 0도까지 올릴 수 있습니다.

더 나아가 봅시다. 자연수와 숫자 외에도 정수는 음수를 포함합니다. 음수 정도가 무엇인지 이해하려면 마지막으로 해봅시다. 보통 수에 음수를 곱하면 음수가됩니다.

여기에서 원하는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.

이제 결과 규칙을 임의의 정도로 확장합니다.

따라서 규칙을 공식화합니다.

숫자는 양수에서 같은 숫자와 음수의 역수입니다. 그러나 동시에 base는 null 일 수 없습니다 :  (분할이 불가능하기 때문에).

요약하면 다음과 같습니다.

I. 표현은 경우에 정의되어 있지 않습니다. 그렇다면.

II. 0 도의 숫자는 1과 같습니다.

III. 0이 아닌 숫자는 양수로 같은 숫자와 음수의 역수입니다.

독립적 인 솔루션을위한 작업 :

글쎄, 그리고 평소와 같이 독립적 인 솔루션의 예 :

독립적 인 솔루션을위한 작업 분석 :

나는 알고 있습니다. 숫자는 무섭지 만 시험에서 모든 것을 준비해야합니다! 이 예제를 해결하거나 해결할 수없는 경우 솔루션을 분석하면 시험에서 쉽게 대처하는 방법을 배울 수 있습니다!

우리는 지수로 "적합한"숫자의 원을 계속 확장합니다.

이제 고려 유리수.  합리적인 숫자는 무엇입니까?

답 : 정수로 표현 될 수있는 분수로 표현 될 수있는 모든 것 또한 정수입니다.

무엇인지 이해 분수 정도, 분수를 고려하십시오.

방정식의 양변을 제곱합니다.

이제에 대한 규칙을 기억 "도 정도":

힘을 얻으려면 몇 번을 치러야합니까?

이 공식은 n 도의 근의 정의입니다.

숫자 ()의 n 번째 거듭 제곱의 근은 거듭 제곱 할 때 같은 숫자입니다.

즉, n 도의 근은 정도까지 올리는 것과 반대의 연산입니다.

그것은 밝혀졌다. 분명히이 특별한 경우는 다음과 같이 확장 될 수 있습니다.

이제 분자를 추가하십시오. 답은 "도 (degree in degree)"규칙을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.

그러나 밑이 어떤 숫자 일 수 있습니까? 결국, 뿌리는 모든 숫자에서 추출 할 수 없습니다.

아무것도!

우리는 규칙을 기억합니다. 짝수의 거듭 제곱 된 숫자는 양수입니다. 즉, 음수에서 짝수의 뿌리를 추출하는 것은 불가능합니다!

그리고 이것은 짝수를 가진 분수를 분수로 올릴 수 없다는 것을 의미합니다. 즉, 표현이 의미가 없습니다.

표현은 어떻습니까?

그러나 문제가 있습니다.

숫자는 다른 환원 가능한 분수로 표시 될 수 있습니다.

그리고 그것은 존재하지만 존재하지 않는 것으로 판명되었지만, 이들은 동일한 숫자의 두 개의 다른 레코드 일뿐입니다.

또는 다른 예 : 한 번 적어 두십시오. 그러나 우리가 다른 방식으로 지표를 작성하면 다시 귀찮게됩니다. 즉, 완전히 다른 결과를 얻었습니다!

그러한 역설을 피하기 위해 우리는 고려합니다 분수 지수를 가진 긍정적 인 정도의 기초.

따라서 :

• -자연수;
• 정수입니다.

예 :

합리적인 지수를 가진 차수는 근을 사용하여 표현식을 변환하는 데 매우 유용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

훈련을위한 5 가지 예

훈련을위한 5 가지 예 분석

글쎄, 지금-가장 어려운. 이제 분석하겠습니다 비이성적 인 지표와 학위.

여기서 학위의 모든 규칙과 속성은 합리적인 지표가있는 학위와 정확히 동일합니다.

실제로, 정의에 따르면, 비이성 수는 분수로 표현 될 수없는 정수이며, 여기서 정수는 정수입니다 (즉, 비이성 수는 유리수를 제외한 모든 실수).

자연스럽고 통합적이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 일종의“이미지”,“분석”또는보다 친숙한 용어로 설명을 구성 할 때마다.

예를 들어, 자연 지표가있는 정도는 여러 번 곱해집니다.

...숫자를 0으로  -이것은 숫자처럼 한 번 곱해진 숫자, 즉 아직 곱하기 시작하지 않았기 때문에 숫자 자체는 아직 나타나지 않았 음을 의미합니다. 따라서 결과는 일종의 "숫자 공백", 즉 숫자입니다.

...음의 정수  -마치 어떤“역 과정”이 일어난 것처럼, 즉 그 숫자는 그 자체로 곱해지지 않고 나뉘어 진 것입니다.

그런데 과학에서 복잡한 지표가있는 정도가 종종 사용됩니다. 즉 지표는 실수가 아닙니다.

그러나 학교에서는 이러한 어려움에 대해 생각하지 않으며, 이러한 새로운 개념을 이해하기 위해 연구소에서 기회를 갖게 될 것입니다.

우리가가는 곳은 어디입니까! (이러한 예를 해결하는 법을 배우면 :)

예를 들면 다음과 같습니다.

스스로 결정하십시오 :

솔루션 분석 :

1.도를도 단위로 올리는 일반적인 규칙부터 시작하겠습니다.

이제 표시기를보십시오. 그는 당신에게 아무것도 생각 나게합니까? 우리는 제곱의 차이에 대한 약식 곱셈의 공식을 상기합니다.

이 경우

그것은 밝혀졌습니다 :

대답은 다음과 같습니다. .

2. 우리는 지수의 분수를 같은 형태로 가져옵니다 : 십진수 또는 보통. 예를 들면 다음과 같습니다.

답변 : 16

3. 특별한 것은 없으며 일반적인 학위 속성을 적용하십시오.

고급 레벨

정도 결정

학위는 다음과 같은 형식의 표현입니다.

• — 학위 기준;
• -지수.

자연 지표가있는 정도 (n \u003d 1, 2, 3, ...)

자연의 거듭 제곱으로 숫자를 올린다는 것은 숫자 자체에 한 번 곱하는 것을 의미합니다.

정수 지수가있는 차수 (0, ± 1, ± 2, ...)

지수가 전체 긍정적  번호 :

발기 0도까지:

한편으로는 표현은 무기한이며, 다른 한편으로는 n 도의 모든 숫자가 있기 때문입니다.

지수가 완전히 부정적인  번호 :

(분할이 불가능하기 때문에).

다시 한번 제로에 대해 : 식은 경우에 정의되지 않습니다. 그렇다면.

예 :

합리적인 지표가있는 정도

• -자연수;
• 정수입니다.

예 :

학위 속성

문제를보다 쉽게 \u200b\u200b해결하기 위해 다음과 같은 사항을 이해하려고합시다. 우리는 그들을 증명합니다.

보자 : 무엇이고?

정의에 따라 :

따라서이 표현의 오른쪽에는 다음과 같은 제품이 있습니다.

그러나 정의상 이것은 지표가있는 숫자의 정도입니다.

증명해야했습니다.

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : .

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : 우리 규칙에서 반드시동일한 기준이어야합니다. 따라서 우리는도를 밑과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.

또 다른 중요한 참고 사항 :이 규칙은- 정도의 곱에 대해서만!

어떤 경우에도 쓰지 말아야합니다.

이전 속성과 마찬가지로 우리는 정도의 정의로 돌아갑니다.

이 제품을 다음과 같이 재 배열합니다.

그 표현은 그 자체로 한 번 곱해진다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 제곱의 힘입니다.

실제로이를 "표시기를 괄호 안에두기"라고 할 수 있습니다. 그러나 당신은 이것을 완전히 할 수 없습니다 :!

약식 곱셈의 공식을 생각해보십시오. 몇 번이나 쓰고 싶습니까? 그러나 이것은 사실이 아닙니다.

마이너스 기반의 차수입니다.

그 순간까지 우리는 무엇이되어야하는지에 대해서만 논의했습니다. 지시자  도. 그러나 기초는 무엇입니까? 와도 자연스러운 지시자   기지는 어떤 숫자 .

실제로, 양수, 음수 또는 짝수의 숫자를 서로 곱할 수 있습니다. 어떤 부호 ( ""또는 "")에 양수와 음수의 숫자가 표시됩니까?

예를 들어 숫자가 양수 또는 음수입니까? 응? ?

첫 번째로, 모든 것이 명확합니다. 우리가 서로 얼마나 많은 양수를 곱하든 결과는 긍정적입니다.

그러나 부정적인 것은 조금 더 흥미 롭습니다. 우리는 6 학년 때부터“마이너스에서 마이너스로 더하기”라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 그러나 ()를 곱하면-가됩니다.

그리고 무한대로 : 이후의 곱셈마다 부호가 바뀝니다. 다음과 같은 간단한 규칙을 공식화 할 수 있습니다.

1. 짝수  정도,-수 긍정적.
2. 음수 홀수  정도,-수 부정적.
3. 어느 정도의 양수는 양수입니다.
4. 어느 정도까지 0은 0입니다.

다음 표현에 어떤 캐릭터가 등장할지 스스로 결정하십시오.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

했어요? 답은 다음과 같습니다.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 밑과 지수를보고 적절한 규칙을 적용하십시오.

예 5)에서 모든 것이 보이는 것만 큼 두려운 것은 아닙니다. 기본이 무엇이든 상관 없습니다-정도가 고르기 때문에 결과는 항상 긍정적입니다. 베이스가 0 인 경우를 제외하고는 기초가 같지 않습니까? 분명하지 않기 때문입니다.

예 6)은 그렇게 간단하지 않습니다. 다음 중 어느 것이 더 적은지 알아 내야합니다. 이를 기억한다면,베이스가 0보다 작다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 규칙 2를 적용합니다. 결과는 부정적입니다.

그리고 다시 우리는 정도의 정의를 사용합니다.

모든 것은 평소와 같습니다-우리는 학위의 정의를 작성하고 서로 나누고 쌍으로 나누고 얻습니다.

마지막 규칙을 분석하기 전에 몇 가지 예를 해결하겠습니다.

표현식의 값을 계산하십시오.

솔루션 :

8도에주의를 기울이지 않으면 여기에서 무엇을 볼 수 있습니까? 우리는 7 학년 프로그램을 기억합니다. 기억하세요? 이것은 약식 곱셈, 즉 제곱의 차이에 대한 공식입니다!

우리는 얻는다 :

우리는 조심스럽게 분모를 봅니다. 분자 요소 중 하나와 매우 유사하지만 무엇이 잘못 되었습니까? 그런 순서가 아닙니다. 서로 교환되면 규칙 3을 적용 할 수 있지만 어떻게해야합니까? 그것은 매우 쉬운 것으로 판명되었습니다. 균등 한 분모가 우리를 도와줍니다.

곱하면 아무것도 변하지 않습니다. 그러나 이제 다음과 같이 밝혀졌습니다.

용어는 마술처럼 바뀌었다. 이“현상”은 모든 표현에 균등하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 자유롭게 변경할 수 있습니다. 그러나 다음 사항을 기억해야합니다. 모든 표시가 동시에 변경됩니다!마음에 들지 않는 빼기 한 개만 바꾸면 바꿀 수 없습니다!

예제로 돌아 가기 :

그리고 다시 공식 :

이제 마지막 규칙 :

우리는 그것을 어떻게 증명할 것입니까? 물론 평소와 같이 : 우리는 정도의 개념을 밝히고 단순화합니다.

자 이제 괄호를 열겠습니다. 당신은 얼마나 많은 편지를 얻습니까? 요인에 의해 시간-이것은 무엇입니까? 이것은 조작의 정의에 지나지 않습니다. 곱셈: 모든 승수가있었습니다. 즉, 정의에 따라 지표가있는 숫자의 정도입니다.

예를 들면 :

비이성적 인 지표가있는 정도

중간 수준의 학위 정보 외에도 비이성적 인 지표로 학위를 분석합니다. 여기에서 학위의 모든 규칙과 속성은 합리적 인 지표가있는 학위의 경우와 정확히 동일합니다. 단, 비이성적 인 숫자는 분수로 표현할 수없는 숫자이며 정수는 어디에서나 정수입니다 (즉, 비이성적 인 숫자는 유리수를 제외한 모든 실수).

자연스럽고 통합적이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 일종의“이미지”,“분석”또는보다 친숙한 용어로 설명을 구성 할 때마다. 예를 들어, 자연 지표가있는 정도는 여러 번 곱해집니다. 0도까지의 숫자는 그 자체로 한 번 곱해진 숫자, 즉 아직 곱하기 시작하지 않았으므로 숫자 자체가 아직 나타나지 않았 음을 의미합니다. 따라서 결과는 일종의 "숫자 공백", 즉 숫자입니다. 전체 음수 지수를 갖는 정도는 특정 "역 과정"이 발생한 것처럼, 즉 그 수에 자체를 곱하지 않고 나눈 것입니다.

4 차원 공간을 상상하기 어려운 것처럼 비이성적 인 지표로 학위를 상상하는 것은 극히 어렵습니다. 오히려 수학자들이 학위의 개념을 숫자의 전체 공간으로 확장하기 위해 만든 순수한 수학적 대상입니다.

그런데 과학에서 복잡한 지표가있는 정도가 종종 사용됩니다. 즉 지표는 실수가 아닙니다. 그러나 학교에서는 이러한 어려움에 대해 생각하지 않으며, 이러한 새로운 개념을 이해하기 위해 연구소에서 기회를 갖게 될 것입니다.

비이성적 인 지수가 보이면 어떻게해야합니까? 우리는 모든 힘으로 그것을 없애려고 노력하고 있습니다! :)

예를 들면 다음과 같습니다.

스스로 결정하십시오 :

1)

2)

3)

답변 :

1. 우리는 제곱의 차이의 공식을 기억합니다. 답변 :.
2. 우리는 소수를 모두 같은 형식으로 줄입니다. 둘 다 또는 보통입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
3. 특별한 것은 없으며 일반적인 학위 속성을 적용하십시오.

섹션 및 기본 공식 요약

정도  양식의 표현은 다음과 같습니다.

정수도

지수가 양의 정수 (즉, 양의 정수) 인 거듭 제곱.

합리적인 지표가있는 정도

정도, 지표는 음수 및 소수입니다.

비이성적 인 지표가있는 정도

지수가 무한 소수점 이하 자릿수 또는 근인 거듭 제곱입니다.

학위 속성

학위의 특징.

• 음수 짝수  정도,-수 긍정적.
• 음수 홀수  정도,-수 부정적.
• 어느 정도의 양수는 양수입니다.
• 0은 어느 정도 나 같습니다.
• 0 도의 숫자는 같습니다.

지금 당신은 단어 ...

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시험에 행운을 빕니다!

마지막 비디오 자습서에서 일부 기초의 정도를 정도 표시와 같은 양으로 취한 기초 자체의 표현 인 표현이라고합니다. 우리는 이제 학위의 가장 중요한 속성과 운영을 연구합니다.

예를 들어, 우리는 두 개의 다른 각도에 동일한 기준을 곱합니다.

우리는이 작업을 전체적으로 제시합니다.

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

이 표현식의 값을 계산 한 후 숫자 32를 얻습니다. 반면에, 동일한 예제에서 볼 수 있듯이 32는 5의 양으로 취한 동일한 기본 (2)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 그리고 정말로, 당신이 계산한다면,

따라서 다음과 같은 결론을 안전하게 내릴 수 있습니다.

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

유사한 규칙이 모든 지표 및 이유에 대해 성공적으로 작동합니다. 학위 곱셈의이 속성은 작업에서 변환하는 동안 표현식의 값을 보존하는 규칙에서 따릅니다. 모든 밑변 a의 경우 (a) x와 (a) y의 두 식의 곱은 (x + y)와 같습니다. 다시 말해서, 동일한 염기를 가진 표현을 생성 할 때, 생성 된 모노 미널은 제 1 및 제 2 표현의 차수를 더하여 형성된 총 차수를 갖습니다.

제시된 규칙은 여러 표현식을 곱할 때도 효과적입니다. 주요 조건은 모든 사람의 기지가 동일하다는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

학위를 추가하는 것은 불가능하며 실제로 그들의 기초가 다른 경우 표현의 두 요소로 힘법 합동 행동을 수행하는 것은 불가능합니다.
  비디오에서 알 수 있듯이 곱셈과 나눗셈 과정의 유사성으로 인해 제품에 학위를 추가하는 규칙이 나누기 절차로 완벽하게 전달됩니다. 이 예제를 고려하십시오.

우리는 표현을 전체 형태로 단어별로 변환하고 피제수와 제수에서 동일한 요소를 줄입니다.

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

이 예제의 최종 결과는 그다지 흥미롭지 않습니다. 이미 솔루션 과정에서 표현식의 값이 2의 제곱과 같다는 것이 분명하기 때문입니다. 그리고 정확하게 첫 번째 차수에서 두 번째 차수를 빼서 얻은 듀스입니다.

몫의 몫을 결정하기 위해, 나누기의 정도에서 나누기의 차수를 빼야합니다. 이 규칙은 모든 가치와 모든 자연 학위에 대해 동일한 기준으로 작동합니다. 추상화의 형태로

(a) x / (a) y \u003d (a) x-y

동일한 밑을 도로 나누는 규칙은도 0의 정의를 의미합니다. 분명히 다음 표현의 형식은 다음과 같습니다.

(a) x / (a) x \u003d (a) (x-x) \u003d (a) 0

다른 한편으로, 우리가보다 시각적으로 나누면, 우리는 다음을 얻습니다.

(a) 2 / (a) 2 \u003d (a) (a) / (a) (a) \u003d 1

분수의 모든 가시적 요소의 감소로, 표현 1/1, 즉 1이 항상 얻어진다. 따라서 일반적으로 0도까지 올린 모든 기준은 1과 같습니다.

a의 가치에 관계없이

그러나 0 (곱셈의 경우 0은 0)이 어떻게 든 1과 같으면 (0) 0 (0에서 0도)의 표현이 단순히 의미가없고 식 (a) 0 \u003d 1 인 경우에는 말이되지 않습니다. "a가 0이 아닌 경우"조건을 추가하십시오.

운동을 해결합시다. 표현식의 값을 찾으십시오.

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

기준은 모든 곳에서 동일하고 34와 같으므로 최종 값은 위의 규칙에 따라 정도가 같은 동일한 기준을 갖습니다.

다시 말해 :

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

답 : 식은 1과 같습니다.

분명히, 도수를 가진 숫자는 다른 양과 같이 요약 될 수 있습니다 표시와 함께 하나씩 추가하여.

따라서 a 3과 b 2의 합은 a 3 + b 2입니다.
  a 3-b n 및 h 5 -d 4의 합은 a 3-b n + h 5-d 4입니다.

승률 동일한 정도의 동일한 변수  더하거나 뺄 수 있습니다.

따라서 2a 2와 3a 2의 합은 5a 2입니다.

또한 두 개의 사각형 a, 또는 세 개의 사각형 a 또는 다섯 개의 사각형 a를 취하면 분명합니다.

그러나 정도 다양한 변수  그리고 다양한 정도 동일한 변수표시에 추가 한 것으로 구성되어야합니다.

따라서 2와 3의 합은 2 + a 3의 합입니다.

숫자 a의 제곱과 숫자 a의 큐브는 a의 두 배 제곱과 같지 않지만 a의 두 배 큐브와 동일하다는 것은 명백합니다.

3 b n과 3a 5 b 6의 합은 3 b n + 3a 5 b 6입니다.

빼기  차감의 부호가 그에 따라 변경되어야한다는 점을 제외하고는 도는 덧셈과 같은 방식으로 수행됩니다.

또는 :
  2a 4-(-6a 4) \u003d 8a 4
  3h 2 b 6-4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
  5 (a-h) 6-2 (a-h) 6 \u003d 3 (a-h) 6

도 곱셈

다른 수량과 마찬가지로, 도가있는 숫자는 곱셈의 유무에 관계없이 하나씩 차례로 써서 곱할 수 있습니다.

따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 3 b 2 또는 aaabb입니다.

또는 :
  x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
  3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
  a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2b 3 y 2 a 3 b 2 y

마지막 예의 결과는 동일한 변수를 추가하여 주문할 수 있습니다.
  이 표현은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.

몇 개의 숫자 (변수)를 도와 비교하면, 두 숫자 중 하나를 곱하면 결과가 도와 같은 숫자 (변수)임을 알 수 있습니다 금액  용어의 정도.

따라서 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

여기에서 5는 곱셈 결과의 차수인 2 + 3과 항의 차수의 합입니다.

따라서, n .a m \u003d a m + n입니다.

n의 경우, a는 n의 거듭 제곱만큼 인자로 간주됩니다.

그리고 m은 m의 거듭 제곱만큼 인자로 간주됩니다.

따라서 학위 지수를 추가하여 동일한 기초를 가진 학위를 곱할 수 있습니다.

따라서 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

또는 :
  4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
  b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
  (b + h-y) n ⋅ (b + h-y) \u003d (b + h-y) n + 1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x-y)를 곱합니다.
  답 : x 4-y 4.
  (x 3 + x-5) ⋅ (2x 3 + x + 1)를 곱합니다.

이 규칙은 또한 지수가 부정적.

따라서 a -2 .a -3 \u003d a -5입니다. 이것은 (1 / aa)로 쓸 수 있습니다. (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.

2. y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. a -n .a m \u003d a m-n.

a + b에 a-b를 곱하면 결과는 a 2-b 2 :와 같습니다.

두 숫자의 합 또는 차이를 곱한 결과는 제곱의 합 또는 차이와 같습니다.

두 숫자의 합과 차이가 광장결과는이 숫자의 합 또는 차이와 같습니다. 넷째  도.

따라서 (a-y). (A + y) \u003d a 2-y 2.
  (a 2-y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4-y 4.
  (a 4-y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8-y 8.

학위 구분

도가있는 숫자는 다른 숫자와 같이 나누기 가능한 제수에서 빼거나 \u200b\u200b분수 형태로 배치하여 나눌 수 있습니다.

따라서 a 3 b 2를 b 2로 나눈 값은 a 3과 같습니다.

또는 :
  $ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (-3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
  $ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
  $ \\ frac (d \\ cdot (a-h + y) ^ 3) ((a-h + y) ^ 3) \u003d d $

a 5를 3으로 나눈 표기법은 $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $와 같습니다. 그러나 이것은 2와 같습니다. 많은 숫자로
  a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
  숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 같습니다 차이  나누기 쉬운 숫자의 지표.

동일한 기준으로 학위를 나누면 지표가 차감됩니다..

따라서 y 3 : y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1입니다. 즉, $ \\ frac (yyy) (yy) \u003d y $입니다.

그리고 n + 1 : a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. 즉, $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $입니다.

또는 :
  y 2m : y m \u003d y m
  8a n + m : 4a m \u003d 2a n
  12 (b + y) n : 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

규칙은 다음과 같은 숫자에도 적용됩니다. 부정적  정도 값.
  -5를 -3으로 나눈 결과는 -2입니다.
  또한 $ \\ frac (1) (aaaaa) : \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) $.

h 2 : h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 또는 $ h ^ 2 : \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $

그러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 학위의 곱셈과 나눗셈을 잘 숙달해야합니다.

거듭 제곱을 가진 숫자를 포함하는 분수로 예제를 푸는 예

1. $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ 답변 : $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $로 지수를 줄입니다.

2. $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $의 지수를 줄입니다. 답 : $ \\ frac (2x) (1) $ 또는 2x.

3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모를 만듭니다.
  a .a -4는 첫 번째 분자 인 -2입니다.
  a 3 .a -3은 두 번째 분자 인 0 \u003d 1입니다.
  3 .a -4는 일반 분자 인 -1입니다.
  단순화 후 : a -2 / a -1 및 1 / a -1.

4. 지수 2a 4 / 5a 3 및 2 / a 4를 줄이고 공통 분모로 이어집니다.
  답 : 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5 / 5a 2.

5. (a 3 + b) / b 4에 (a-b) / 3을 곱합니다.

6. (a 5 + 1) / x 2에 (b 2-1) / (x + a)를 곱하십시오.

7. b 4 / a -2에 h -3 / x 및 a n / y -3을 곱하십시오.

8. a 4 / y 3을 3 / y 2로 나눕니다. 답 : a / y.

9. (h 3-1) / d 4를 (d n + 1) / h로 나눕니다.