코사인을 통해 사인을 찾는 공식입니다. 삼각 함수 찾기 규칙 : 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념은 삼각법의 주요 범주 (수학의 분기)이며 각도의 정의와 불가분의 관계가 있습니다. 이 수학적 과학을 습득하려면 공간 사고뿐만 아니라 공식과 이론의 암기 및 이해가 필요합니다. 이런 이유로, 학생과 학생들에게 삼각법 계산은 종종 어려움을 야기합니다. 이를 극복하려면 삼각 함수와 공식에 익숙해 져야합니다.

삼각법의 개념

삼각법의 기본 개념을 이해하려면 먼저 직각 삼각형의 정의와 원의 각도 및 모든 기본 삼각법 계산이 왜 연관되는지 결정해야합니다. 각 중 하나의 크기가 90 도인 삼각형은 직사각형입니다. 역사적으로이 수치는 건축, 항해, 예술, 천문학에서 사람들이 자주 사용했습니다. 따라서이 그림의 속성을 연구하고 분석함으로써 사람들은 매개 변수의 해당 비율을 계산했습니다.

직각 삼각형과 관련된 주요 범주는 빗변과 카테 티입니다. Hypotenuse-직각으로 누워있는 삼각형의 측면. 다리는 각각 다른 쪽입니다. 모든 삼각형의 각도의 합은 항상 180 도입니다.

구면 삼각법은 삼각법의 한 가지로 학교에서 연구되지는 않지만 천문학 및 측지학과 같은 응용 과학에서는 과학자들이 사용합니다. 구형 삼각법에서 삼각형의 특이성은 항상 180도 이상의 각도의 합을 갖는다는 것입니다.

삼각형 각도

직각 삼각형에서 각도의 사인은 삼각형의 빗변에 대한 원하는 각도의 반대쪽 다리의 비율입니다. 따라서 코사인은 인접한 카테 투스와 빗변의 비율입니다. 빗변이 항상 다리보다 길기 때문에이 두 값은 항상 단일보다 작은 값을 갖습니다.

각도의 탄젠트는 원하는 각도의 반대쪽 다리 대 인접한 다리 또는 사인 대 코사인의 비율과 동일한 값입니다. 코탄젠트는 원하는 각도의 인접한 레그 대 반대쪽 레그의 비율입니다. 단위를 탄젠트 값으로 나누어 각도의 코탄젠트를 얻을 수도 있습니다.

단위 원

형상의 단위 원은 반지름이 단일 인 원입니다. 이러한 원은 직교 좌표계로 구성되며 원의 중심은 원점과 일치하며 반지름 벡터의 초기 위치는 X 축의 양의 방향 (가로축)에 의해 결정됩니다. 원의 각 점에는 두 개의 좌표, 즉 XX 및 YY, 즉 가로 좌표 및 세로 좌표가 있습니다. XX 평면의 원에서 임의의 점을 선택하고 그로부터 수직 좌표를 가로 좌표 축으로 떨어 뜨리면 선택한 점에 대한 반지름 (문자 C로 표시), X 축에 그려진 직각 (교차점은 문자 G로 표시됨) 및 세그먼트에 의해 직각 삼각형이 생성됩니다 원점 (점은 문자 A로 표시됨)과 교차점 G 사이의 가로 좌표 축. 결과 ACG 삼각형은 원 안에 새겨진 직각 삼각형이며, 여기서 AG는 빗변이고 AC와 GC는 다리입니다. AC의 원의 반지름과 가로 좌표 축의 세그먼트 사이의 각도는 AG로 지정되며 α (알파)로 정의됩니다. 따라서 cos α \u003d AG / AC입니다. AS가 단위 원의 반지름이고 단위가 같다고 가정하면 cos α \u003d AG라는 것이 밝혀졌습니다. 마찬가지로 sin α \u003d CG입니다.

또한,이 데이터를 알면 cos α \u003d AG 및 sin α \u003d CG이므로 원에서 점 C의 좌표를 결정할 수 있습니다. 이는 점 C에 좌표 (cos α; sin α)가 주어 졌음을 의미합니다. 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율과 같다는 것을 알면 tan α \u003d y / x 및 ctan α \u003d x / y라고 결정할 수 있습니다. 음의 좌표 시스템에서 각도를 고려하면 일부 각도의 사인 및 코사인 값이 음수 일 수 있습니다.

계산 및 기본 공식

삼각 함수의 값

단위 원을 통해 삼각 함수의 본질을 조사한 후, 일부 각도에서 이러한 함수의 값을 도출 할 수 있습니다. 값은 아래 표에 나열되어 있습니다.

가장 간단한 삼각 정체성

삼각 함수의 부호로 알 수없는 값이있는 방정식을 삼각 함수라고합니다. sin x \u003d α, k 값을 가진 ID는 정수입니다.

1. sin x \u003d 0, x \u003d πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x \u003d a, | a | \u003e 1, 해결책 없음.
5. sin x \u003d a, | a | ≤ 1, x \u003d (-1) ^ k * arcsin α + πk.

cos x \u003d a 인 식별자 (여기서 k는 정수임)

1. cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. cos x \u003d 1, x \u003d 2πk입니다.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk입니다.
4. cos x \u003d a, | a | \u003e 1, 해결책 없음.
5. cos x \u003d a, | a | ≤ 1, x \u003d ± arccos α + 2πk.

tan x \u003d a 값을 가진 식별자. 여기서 k는 정수입니다.

1. tg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctan α + πk.

값이 ctg x \u003d a 인 ID (여기서 k는 정수임)

1. ctg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

캐스트 공식

이 상수 수식 범주는 양식의 삼각 함수에서 인수의 함수로 갈 수있는 방법을 나타냅니다. 즉, 계산의 편의를 위해 값의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 해당 간격 각도 표시기로 0에서 90 도로 가져옵니다.

각도 사인에 대한 함수 감소 공식은 다음과 같습니다.

• sin (900-α) \u003d α;
• sin (900 + α) \u003d cos α;
• sin (1800-α) \u003d sin α;
• sin (1800 + α) \u003d -sin α;
• sin (2700-α) \u003d -cos α;
• sin (2700 + α) \u003d -cos α;
• sin (3600-α) \u003d -sin α;
• sin (3600 + α) \u003d sin α.

각도의 코사인의 경우 :

• cos (900-α) \u003d sin α;
• cos (900 + α) \u003d -sin α;
• cos (1800-α) \u003d -cos α;
• cos (1800 + α) \u003d -cos α;
• cos (2700-α) \u003d -sin α;
• cos (2700 + α) \u003d sin α;
• cos (3600-α) \u003d cos α;
• cos (3600 + α) \u003d cos α입니다.

위 공식의 사용은 두 가지 규칙에 따라 가능합니다. 먼저 각도를 값 (π / 2 ± a) 또는 (3π / 2 ± a)로 나타낼 수 있으면 함수 값이 변경됩니다.

• 죄에서 세상으로;
• 왜냐하면 죄에서 죄로;
• tg에서 ctg로;
• ctg에서 tg로.

각도를 (π ± a) 또는 (2π ± a)로 표시 할 수있는 경우 함수 값은 변경되지 않습니다.

두 번째로, 주어진 함수의 부호는 변하지 않습니다. 처음에 양수이면 그대로 유지됩니다. 부정적인 기능과 비슷합니다.

추가 공식

이 공식은 삼각 함수를 통해 두 회전 각도의 합과 차이의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 나타냅니다. 일반적으로 각도는 α 및 β로 표시됩니다.

공식은 다음과 같습니다.

1. sin (α ± β) \u003d sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) \u003d cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg (α ± β) \u003d (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) \u003d (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

이 공식은 모든 각도 α 및 β에 유효합니다.

이중 및 삼중 각도 공식

이중 및 삼각의 삼각 공식은 각도 2α 및 3α의 기능을 각도 α의 삼각 함수와 각각 관련시키는 공식이다. 덧셈 공식에서 파생 됨 :

1. sin2α \u003d 2sinα * cosα.
2. cos2α \u003d 1-2sin ^ 2 α.
3. tg2α \u003d 2tgα / (1-tg ^ 2 α).
4. sin3α \u003d 3sinα-4sin ^ 3 α.
5. cos3α \u003d 4cos ^ 3 α-3cosα.
6. tg3α \u003d (3tgα-tg ^ 3 α) / (1-tg ^ 2 α).

수량에서 제품으로 전환

2sinx * cosy \u003d sin (x + y) + sin (x-y)을 고려 하여이 공식을 단순화하면 sinα + sinβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * cos (α-β) / 2라는 정체성을 얻습니다. 유사하게, sinα-sinβ \u003d 2sin (α-β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ \u003d 2cos (α + β) / 2 * cos (α-β) / 2; cosα-cosβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * sin (α-β) / 2; tanα + tanβ \u003d sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα-tgβ \u003d sin (α-β) / cosα * cosβ; cosα + sinα \u003d √2sin (π / 4 ∓ α) \u003d √2cos (π / 4 ± α).

작업에서 합계로 전환

이 공식은 합계가 제품으로 전환되는 정체성에서 따릅니다.

• sinα * sinβ \u003d 1/2 *;
• cosα * cosβ \u003d 1/2 *;
• sinα * cosβ \u003d 1/2 *.

다운 그레이드 공식

이러한 동일성에서, 사인 및 코사인의 제곱 및 입방도는 다중 각도의 제 1 도의 사인 및 코사인으로 표현 될 수 있습니다.

• sin ^ 2 α \u003d (1-cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α \u003d (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α \u003d (3 * sinα-sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α \u003d (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4α \u003d (3-4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α \u003d (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

범용 조회

범용 삼각법 대체 공식은 반각 탄젠트로 삼각 함수를 표현합니다.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
• cos x \u003d (1-tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), 여기서 x \u003d π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1-tg ^ 2 x / 2), 여기서 x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1-tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.

특별한 경우

가장 간단한 삼각 방정식의 특별한 경우가 아래에 나와 있습니다 (k는 정수).

사인 전용 :

Sin x 값	X 값
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk 또는 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk 또는 -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk 또는 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk 또는 -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk 또는 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk 또는 -2π / 3 + 2πk

코사인 전용 :

코스 x 값	X 값
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

접선 전용 :

Tg x 값	X 값
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

코탄젠트 전용 :

Ctg x 가치	X 값
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

정리

사인 정리

정리에는 단순과 확장의 두 가지 버전이 있습니다. 간단한 사인 정리 : a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ. 또한, a, b, c는 삼각형의 변이고, α, β, γ는 각각 반대 각도입니다.

임의의 삼각형에 대한 확장 된 사인 정리 : a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ \u003d 2R. 이 식별에서, R은 주어진 삼각형이 새겨진 원의 반경을 나타낸다.

코사인 정리

동일성은 다음과 같이 표시됩니다 : a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2-2 * b * c * cos α. 화학식 a에서, b, c는 삼각형의 변이고, α는 변 a와 반대되는 각도이다.

탄젠트 정리

이 공식은 두 각도의 접선과 그 반대편의 길이 사이의 관계를 나타냅니다. 변은 a, b, c로 지정되며 해당 반대 각도는 α, β, γ입니다. 탄젠트 정리의 공식은 다음과 같습니다. (a-b) / (a \u200b\u200b+ b) \u003d tg ((α-β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

코탄젠트 정리

삼각형으로 새겨진 원의 반지름을 변의 길이와 연결합니다. a, b, c가 삼각형의 측면이고 A, B, C가 각각 반대 각도이며, r이 내접원의 반지름이고, p가 삼각형의 반 주변이면 다음 ID가 유효합니다.

• ctg A / 2 \u003d (p-a) / r;
• ctg B / 2 \u003d (p-b) / r;
• ctg C / 2 \u003d (p-c) / r.

신청

삼각법은 수학 공식과 관련된 이론적 인 과학이 아닙니다. 그 속성, 정리 및 규칙은 천문학, 공기 및 바다 탐색, 음악 이론, 측지학, 화학, 음향학, 광학, 전자 공학, 건축학, 경제학, 기계 공학, 측정 작업, 컴퓨터 그래픽,지도 제작, 해양학, 그리고 많은 다른 사람들.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 삼각법의 기본 개념이며, 수학적으로 삼각형의 변의 각도와 길이 사이의 관계를 표현하고 정체성, 정리 및 규칙을 통해 원하는 값을 찾을 수 있습니다.

학생들이 가장 어려운 문제에 대처하는 수학 분야 중 하나는 삼각법입니다. 놀랍지 않습니다.이 지식 영역을 자유롭게 마스터하기 위해서는 공간적 사고가 필요하며, 공식으로 코인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾고, 표현을 단순화하고, 숫자 pi를 계산에 사용할 수 있어야합니다. 또한, 이론 증명에 삼각법을 적용 할 수 있어야하며,이를 위해서는 개발 된 수학적 메모리 또는 복잡한 논리 체인을 도출 할 수 있어야합니다.

삼각법의 기원

이 과학에 대한 지식은 사인, 코사인 및 각도의 탄젠트의 정의로 시작해야하지만 먼저 삼각법이 무엇을하는지 알아야합니다.

역사적으로이 수학적 과학 섹션에서 주요 연구 대상은 직사각형 삼각형이었습니다. 90 도의 각도가 있으면 양측과 한쪽 모서리 또는 두 개의 각도와 한쪽에서 해당 그림의 모든 매개 변수 값을 결정할 수있는 다양한 작업을 수행 할 수 있습니다. 과거에는 사람들이이 패턴을 알아 차리고 건물 건설, 항법, 천문학, 심지어 예술에도 적극적으로 사용하기 시작했습니다.

초기 단계

처음에 사람들은 직사각형 삼각형의 예에서만 각도와 측면의 관계에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 일상 생활 에서이 수학 분기의 사용 범위를 확장 할 수있는 특별한 공식이 발견되었습니다.

오늘날 학교에서 삼각법에 대한 연구는 직사각형 삼각형으로 시작한 후 얻은 지식은 물리학 및 추상적 삼각법 방정식의 솔루션에서 학생들이 사용하며 고등학교에서 시작됩니다.

구면 삼각법

나중에 과학이 다음 단계의 발전에 도달했을 때 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가있는 공식은 구형 규칙에서 사용되기 시작했습니다. 여기서 다른 규칙이 적용되며 삼각형의 각도의 합은 항상 180도 이상입니다. 이 섹션은 학교에서 연구되지는 않지만 적어도 지구 표면과 다른 행성의 표면이 볼록한 모양이기 때문에 그 존재에 대해 알아야합니다. 즉, 표면의 표시가 3 차원 공간에서 "아치"로 표시됩니다.

지구와 실을 가져 가라. 팽팽하게되도록 지구의 두 지점에 실을 부착하십시오. 참고로 원호 모양입니다. 구형 기하학은 측지학, 천문학 및 기타 이론 및 응용 분야에서 사용되는 이러한 형식을 처리합니다.

직각 삼각형

삼각법을 사용하는 방법에 대해 조금 배웠으므로 사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지, 도움으로 계산을 수행 할 수있는 방법 및 사용되는 수식을 더 이해하기 위해 기본 삼각법으로 돌아갑니다.

첫 번째 단계는 직각 삼각형과 관련된 개념을 이해하는 것입니다. 첫째, 빗변은 90도 각도의 반대쪽입니다. 그녀는 가장 길다. 피타고라스의 정리에 따르면 그 수치는 다른 두 변의 제곱의 합의 근과 같습니다.

예를 들어 양변이 각각 3 센티미터와 4 센티미터이면 빗변의 길이는 5 센티미터가됩니다. 그건 그렇고, 고대 이집트인들은 약 4 천 5 백 년 전에 이것에 대해 알고있었습니다.

직각을 이루는 나머지 두 변을 다리라고합니다. 또한 직사각형 좌표계에서 삼각형의 각도의 합은 180 도임을 기억해야합니다.

정의

마지막으로 기하베이스에 대한 확실한 이해를 통해 사인, 코사인 및 탄젠트 각도의 정의를 볼 수 있습니다.

각도의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리 (즉, 원하는 각도의 반대쪽)의 비율입니다. 각도의 코사인은 인접한 다리 대 빗변의 비율입니다.

사인도 코사인도 1보다 클 수 없습니다. 왜? 기본적으로 빗변이 가장 길기 때문에 다리의 길이에 관계없이 다리는 빗변보다 짧으므로 비율은 항상 1보다 작습니다. 따라서 문제에 대한 답에서 1보다 큰 사인 또는 코사인을 얻는 경우 계산 또는 추론에서 오류를 찾으십시오. 이 답변은 분명히 틀립니다.

마지막으로, 각도의 접선은 대향면 대 인접면의 비율입니다. 사인을 코사인으로 나눔으로써 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 봐 : 수식에 따라 변의 길이를 빗변으로 나눈 다음 두 번째 변의 길이로 나눈 다음 빗변을 곱합니다. 따라서 탄젠트 정의와 동일한 비율을 얻습니다.

코탄젠트는 각각 코너에 인접한 측면과 반대면의 비율입니다. 단위를 접선으로 나누어 동일한 결과를 얻습니다.

따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지에 대한 정의를 조사했으며 수식을 처리 할 수 \u200b\u200b있습니다.

가장 간단한 공식

삼각법에서는 공식 없이는 할 수 없습니다. 사인없이 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾는 방법은 무엇입니까? 그러나 이것이 바로 문제를 해결할 때 필요한 것입니다.

삼각법을 연구 할 때 알아야 할 첫 번째 공식은 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합이 1과 같다고 말합니다. 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 결과이지만 측면이 아닌 각도의 크기를 알아야하는 경우 시간을 절약합니다.

많은 학생들은 두 번째 공식을 기억할 수 없습니다.이 문제는 학교 문제 해결에 매우 인기가 있습니다. 단위의 합과 각도의 탄젠트의 제곱은 각도의 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다. 자세히 살펴보면, 결국 이것은 첫 번째 공식과 같은 문장이며, 정체성의 양쪽 만 코사인 제곱으로 나눕니다. 간단한 수학 연산으로 삼각법 공식을 완전히 인식 할 수 없습니다. 기억하십시오 : 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지 아는 경우 변환 규칙 및 몇 가지 기본 공식을 사용하면 언제든지 필요한 복잡한 공식을 종이에 직접 인쇄 할 수 있습니다.

이중 각도 공식 및 인수 추가

학습해야 할 두 가지 다른 공식은 사인 및 코사인 값과 각도의 합 및 차이와 관련이 있습니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 첫 번째 경우에는 사인과 코사인이 두 번 곱해지고 두 번째 경우에는 사인과 코사인의 쌍별 곱이 추가됩니다.

이중 각도 인수와 관련된 수식도 있습니다. 그것들은 이전의 것들에서 완전히 파생되었습니다. 운동으로, 각도 알파와 각도 베타를 가져 와서 스스로 가져 오십시오.

마지막으로, 이중 각 공식은 사인, 코사인, 탄젠트 알파의 정도를 낮추도록 변환 될 수 있습니다.

정리

기본 삼각법의 두 가지 주요 정리는 사인 정리와 코사인 정리입니다. 이 정리를 사용하면 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법과 그림의 영역 및 각면의 크기 등을 쉽게 이해할 수 있습니다.

사인 정리는 삼각형의 각 변의 길이를 반대 각도의 값으로 나눈 결과 같은 수를 얻습니다. 또한이 숫자는 외접원의 두 반지름, 즉 주어진 삼각형의 모든 점을 포함하는 원과 같습니다.

코사인 정리는 피타고라스 정리를 일반화하여 삼각형에 투영합니다. 인접한 각도의 이중 코사인을 곱한 곱에 양변의 제곱의 합에서 빼면 결과 값은 세 번째 변의 제곱과 같습니다. 따라서 피타고라스 정리는 코사인 정리의 특별한 경우로 밝혀졌습니다.

부주의 오류

사인, 코사인 및 탄젠트가 무엇인지 알더라도주의가 산만 해 지거나 가장 간단한 계산의 오류로 인해 실수를 저지르기가 쉽습니다. 이러한 오류를 피하기 위해 가장 인기있는 오류에 익숙해 질 것입니다.

첫째, 일반 분수는 최종 결과를 얻을 때까지 10 진수로 변환해서는 안됩니다. 조건에 달리 지정되지 않는 한 정답은 일반 분수의 형태로 남겨 둘 수 있습니다. 이러한 변형을 실수라고 할 수는 없지만 작업의 각 단계에서 새로운 아이디어가 나타날 수 있으며 저자의 아이디어에 따라 줄어 듭니다. 이 경우 불필요한 수학 연산에 시간을 낭비하게됩니다. 이는 모든 단계의 작업에서 발견되기 때문에 루트 3 또는 2와 같은 값의 경우 특히 그렇습니다. 못생긴 숫자를 반올림하는 경우에도 마찬가지입니다.

또한 코사인 정리는 삼각형에 적용되지만 피타고라스 정리에는 적용되지 않습니다! 실수로 당사자의 이중 곱을 빼고 당사자 사이의 코사인을 곱한 것을 잊어 버린 경우 완전히 잘못된 결과를 얻을뿐만 아니라 주제에 대한 완전한 오해를 보여줍니다. 이것은 부주의로 인한 실수보다 더 나쁩니다.

셋째, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대해 30도 및 60도 각도의 값을 혼동하지 마십시오. 사인 값이 30 도인 경우 코사인 값은 60이며 그 반대도 마찬가지입니다. 그것들은 쉽게 혼동되어 결과적으로 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.

신청

많은 학생들이 적용되는 의미를 이해하지 못하기 때문에 삼각법을 배우기 시작하는 데 서두르지 않습니다. 엔지니어 또는 천문학 자에게 사인, 코사인, 탄젠트 란 무엇입니까? 이들은 먼 별까지의 거리를 계산하고, 운석의 낙하를 예측하고, 다른 행성으로 연구 조사를 보낼 수있는 개념입니다. 그것들이 없으면 건물을 짓거나, 자동차를 디자인하고, 물체의 표면이나 궤도에 가해지는 하중을 계산할 수 없습니다. 그리고 이것들은 가장 명백한 예입니다! 결국, 음악에서 의학에 이르기까지 어떤 형태로든 삼각법이 어느 곳에서나 사용됩니다.

결론적으로

그래서 당신은 사인, 코사인, 탄젠트입니다. 계산에 사용하고 학교 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.

삼각법의 본질은 삼각형의 알려진 매개 변수로 미지수를 계산해야한다는 사실에 기인합니다. 이 매개 변수 중 6 개가 있습니다 : 3 변의 길이와 3 각의 크기. 작업의 모든 차이점은 입력 데이터가 동일하지 않다는 것입니다.

알려진 다리 길이 또는 빗변을 기반으로 사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법을 알았습니다. 이러한 용어는 관계에 지나지 않으며 관계는 분수이므로 삼각법 문제의 주요 목표는 일반 방정식 또는 방정식 시스템의 근을 찾는 것입니다. 그리고 여기 일반 학교 수학이 도움이 될 것입니다.

사용 설명서

Planimetry 지식을 사용하여 표현 사인  까지 사인. 정의에 따라 사인반대편 k 길이의 직각 삼각형의 각도의 옴 사인om-빗장에 인접한 카테 투스. 피타고라스 정리에 대한 지식조차도 어떤 경우에는 신속하게 변화를 추구 할 수 있습니다.

표현하다 사인  까지 사인이 양의 제곱의 합이 단일성을 제공하는 가장 간단한 삼각법 아이덴티티를 사용합니다. 원하는 각도가 1/4에 있다는 것을 알고있는 경우에만 작업을 올바르게 완료 할 수 있습니다. 그렇지 않으면 양수와 부호가있는 두 가지 가능한 결과가 나타납니다.

cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c)

변 a, b, c가 각각 3, 4, 5 mm 인 삼각형이 있습니다.

찾기 코사인  큰 측면 사이의 각도.

우리는 측면 a와 반대 각도를 a로 표시하고 위의 공식에 따라 다음을 얻습니다.

cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) \u003d (16 + 25-9) / 40 \u003d 32/40 \u003d 0.8

답 : 0.8.

삼각형이 직사각형이면 코사인각도는 두 변의 길이를 알기에 충분합니다. 코사인  직각은 0)입니다.

변 a, b, c를 갖는 직각 삼각형이 있고, 여기서 c는 빗변입니다.

모든 옵션을 고려하십시오.

a와 b의 길이 (삼각형의 길이)를 알고 있다면

또한 피타고라스 정리를 사용합니다.

cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (b? + b? + a? -a?) / (2 * b * v (b? + a?)) \u003d (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) \u003d B / v (b? + A?)

얻어진 식의 정확성을 보장하기 위해, 실시 예 1, 즉

기초 계산을 수행하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

비슷하게 위치 코사인  직사각형으로 삼각형  다른 경우에는 :

알려진 a와 c (하이포 텐스와 반대쪽 다리).

cs? \u003d (b? + c? -a?) / (2 * b * c) \u003d (c? -a? + c? -a?) / (2 * c * v (c? -a?)) \u003d (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) \u003d V (s? -A?) / S.

예제에서 값 a \u003d 3 및 c \u003d 5를 대체하여 다음을 얻습니다.

B와 C는 알려져 있습니다 (하이포 텐세 및 인접 다리).

cos를 찾으십니까?

유사하게 만들었으므로 (예 2와 3의 변환에 표시됨)이 경우에는 코사인  안으로 삼각형  매우 간단한 공식으로 계산됩니다.

파생 된 수식의 단순성은 기본적으로 설명됩니다. 실제로 모서리에 인접합니까? 다리는 빗변의 투영법이며, 길이는 빗변의 길이와 cos?의 길이와 같습니다.

첫 번째 예에서 b \u003d 4 및 c \u003d 5 값을 대체하여 다음을 얻습니다.

따라서 모든 공식이 정확합니다.

수식 바인딩을 얻으려면 사인  그리고 사인  각도를 정의하려면 일부 정의를 제공하거나 호출해야합니다. 그래서 사인  각도는 빗변 대 오른쪽 삼각형의 반대쪽의 비율 (분할 지수)입니다. 받는 사람 사인  각도는 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

사용 설명서

유용한 조언

모든 각도의 사인 및 코사인의 크기는 1보다 클 수 없습니다.

부비동  그리고 코사인  -직교 삼각 함수로 직교 좌표계의 원, 미분 방정식, 직각 삼각형의 예각을 통해 여러 가지 정의가 있습니다. 이러한 각 정의를 통해이 두 기능 간의 관계를 도출 할 수 있습니다. 다음은 아마도 가장 쉬운 표현 방법입니다. 코사인  사인을 통해-직각 삼각형의 예각에 대한 정의를 통해.

사용 설명서

이 그림의 변의 길이를 통해 직각 삼각형의 예각의 사인을 표현하십시오. 정의에 따르면, 각도의 사인 (α)은 측면의 길이 (a)가 다리의 반대쪽에 누워-다리-오른쪽의 반대쪽에 대한 길이 (c)-빗변 : sin (α) \u003d a / c이어야합니다.

비슷한 수식 찾기 코사인같은 각도. 정의에 따라이 값은이 모서리에 인접한 변 (b)의 길이 (두 번째 다리)와 직각의 반대쪽 변 (c)의 길이의 비율로 표현해야합니다. cos (a) \u003d a / c.

피타고라스 정리에서 뒤 따르는 평등을 이전 두 단계에서 도출 된 빗변과 다리 사이의 관계와 관련하여 다시 작성하십시오. 이렇게하려면 먼저이 정리의 두 이니셜 (a² + b² \u003d c²)을 빗변의 제곱 (a² / c² + b² / c² \u003d 1)으로 나눈 다음 결과 평등을 다음과 같이 다시 작성하십시오. (a / c) ² + (b / c ) ² \u003d 1.

첫 번째 및 두 번째 단계의 공식을 기반으로 결과 표현식에서 다리 길이와 빗변의 비율을 삼각 함수로 바꿉니다. sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Express 코사인  결과 평등에서 : cos (a) \u003d √ (1-sin² (a)). 이것에 대해, 일반적인 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다.

일반적으로 수치 결과를 얻으려면 Windows 운영 체제에 내장 된 계산기를 사용하십시오. OS 메뉴의 "모든 프로그램"섹션에있는 "표준"섹션에서 실행에 대한 링크. 이 링크는 간단히 말해서“계산기”입니다. 이 프로그램에서 삼각 함수를 계산하려면 "엔지니어링"인터페이스를 활성화하십시오. Alt + 2 키 조합을 누르십시오.

조건에 각도의 사인을 입력하고 x² 표시가있는 인터페이스 버튼을 클릭하면 원래 값이 제곱됩니다. 그런 다음 키보드에서 * -1을 입력하고 Enter 키를 누른 다음 +1을 입력하고 Enter 키를 다시 누릅니다. 이렇게하면 단위에서 사인의 제곱을 뺍니다. 사각형을 추출하고 최종 결과를 얻으려면 라디칼 아이콘을 클릭하십시오.

정확한 과학의 기본 토대 중 하나는 삼각 함수의 개념입니다. 직각 삼각형의 측면 사이에 간단한 관계를 정의합니다. 사인은 이러한 기능 군에 속합니다. 각도를 알고 실험 정보, 계산 방법, 참조 정보 사용 등 다양한 방법으로 찾을 수 있습니다.

당신은 필요합니다

• -계산기;
• -컴퓨터;
• -스프레드 시트;
• -브레이스 테이블;
• -종이;
• -연필.

사용 설명서

각도 정보를 기반으로 원하는 값을 얻기 위해 사인을 계산하는 함수와 함께 사용합니다. 오늘날에도 비슷한 기능이 가장 단순합니다. 이 경우 계산은 매우 높은 정확도 (일반적으로 소수점 이하 8 자리 이상)로 수행됩니다.

개인용 컴퓨터에서 실행되는 스프레드 시트 환경 인 소프트웨어를 사용하십시오. 이러한 응용 프로그램의 예로는 Microsoft Office Excel 및 OpenOffice.org Calc가 있습니다. 원하는 인수로 사인을 계산하기위한 함수를 호출하는 것으로 구성된 수식을 셀에 입력하십시오. Enter를 누르십시오. 원하는 값이 셀에 표시됩니다. 스프레드 시트의 장점은 많은 인수에 대한 함수 값을 빠르게 계산할 수 있다는 것입니다.

가능한 경우 Bradis 테이블에서 각도의 대략적인 사인을 찾습니다. 단점은 소수점 이하 네 자리로 제한되는 값의 정확성입니다.

기하학적 구조를 완성하여 각도의 사인 값의 근사값을 찾으십시오. 한 장의 종이에 선을 그립니다. 각도기를 사용하여 찾을 각도와 따로 둡니다. 어떤 점에서 첫 번째를 교차하는 다른 선을 그립니다. 첫 번째 선분에 수직으로 두 개의 기존 선분을 교차하는 직선을 그립니다. 직각 삼각형이 나타납니다. 분도기로 지어진 모서리 반대편의 빗변과 다리의 길이를 측정하십시오. 두 번째 값을 첫 번째 값으로 나눕니다. 원하는 값이됩니다.

Taylor 시리즈 확장을 사용하여 각도의 사인을 계산합니다. 각도가도 단위이면 라디안으로 변환합니다. sin (x) \u003d x-(x ^ 3) / 3 형식의 공식을 사용하십시오! + (x ^ 5) / 5! -(x ^ 7) / 7! + (x ^ 9) / 9! -... 계산 속도를 높이려면 시리즈의 마지막 멤버의 분자 및 분모의 현재 값을 기록하고 이전 값을 기준으로 다음 값을 계산하십시오. 보다 정확한 값을 얻으려면 행 길이를 늘리십시오.

이것이 사인과 코사인의 개념이 소개 된 방식입니다. 직각 삼각형에서 예각의 사인은 빗변 대 대변과 빗변 대 코사인의 비율입니다.

코사인과 사인 정리

그러나 코사인과 사인은 직각 삼각형뿐만 아니라 사용할 수 있습니다. 둔각 또는 예각, 삼각형의 변의 값을 찾으려면 코사인 및 사인 정리를 적용하는 것으로 충분합니다.

코사인 정리는 매우 간단합니다. "삼각형의 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합에서 두 변의 코사인에 의해이 변의 이중 곱을 뺀 것입니다."

사인 정리에 대한 두 가지 해석이 있습니다. 작고 확장 된 것입니다. 작은 점에 따르면 "삼각형에서는 각도가 반대쪽에 비례합니다." 이 정리는 종종 삼각형 근처에 설명 된 원주의 특성으로 인해 확장됩니다.“삼각형에서는 각도가 반대편에 비례하며 그 비율은 외접원의 지름과 같습니다.

파생 상품

미분은 인수 변경과 관련하여 함수가 얼마나 빨리 변경되는지 보여주는 수학적 도구입니다. 파생물, 지오메트리 및 여러 기술 분야가 사용됩니다.

문제를 해결할 때는 삼각 함수의 미분 값 인 사인 및 코사인의 표 형식 값을 알아야합니다. 사인의 미분은 코사인이고 코사인은 사인이지만 마이너스 부호가 있습니다.

수학 응용

특히 사인 및 코사인은 직사각형 삼각형 및 이와 관련된 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

사인과 코사인의 편리함은 기술에 반영됩니다. 코사인 및 사인 이론에 따라 각도와 측면을 쉽게 평가할 수있어 복잡한 모양과 객체를 "간단한"삼각형으로 나눕니다. 엔지니어는 종종 종횡비 및 각도 측정을 처리하면서 비표 형 각도의 코사인과 사인을 계산하는 데 많은 시간과 노력을 들였습니다.

그런 다음 수천 가지의 사인, 코사인, 탄젠트 및 다른 각도의 코탄젠트 값을 포함하는 Bradis의 테이블이“도움”되었습니다. 소비에트 시대에 일부 교사들은 브래디 스 테이블의 와드 페이지를 마음에 새겼습니다.

반지름은 반지름 또는 57.295779513 ° 도와 같은 길이를 따른 호의 각도 값입니다.

도 (형상)-원의 1/360 부분 또는 직각의 1/90 부분.

π \u003d 3.141592653589793238462 ... (Pi 숫자의 대략적인 값).

각도에 대한 코사인 테이블 : 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.

각도 x (도)	0°	30도	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300도	315 °	330 °	360도
각도 x (라디안)	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π
왜냐하면 x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

삼각 식별  -이것은 한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 사이의 관계를 설정하는 평등으로, 다른 함수를 알고 있다면 이러한 함수를 찾을 수 있습니다.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

이 동일성은 한 코너의 사인의 제곱과 한 각도의 코사인의 제곱의 합이 1과 같다는 것을 제안하며, 실제로 코사인이 알려져있을 때 한 각도의 사인을 계산할 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다.

삼각 표현식을 변환 할 때이 ID가 매우 자주 사용되므로 한 모퉁이의 코사인과 사인의 제곱의 합을 단위로 바꾸고 역순으로 교체 작업을 수행 할 수 있습니다.

사인과 코사인을 통해 탄젠트와 코탄젠트 찾기

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ 공백

이러한 동일성은 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의에서 파생됩니다. 실제로 보면, 세로 좌표 y는 사인이고, 횡좌표는 코사인입니다. 그러면 탄젠트는 비율과 같습니다 \\ frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), 비율 \\ frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)  -코탄젠트가됩니다.

우리는 삼각 함수가 들어간 각도 α에 대해서만 정체성이 존재할 것이라고 덧붙입니다. ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).

예를 들면 다음과 같습니다. tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)  와 다른 각도 \\ 알파에 유효합니다 \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z, ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)  -\\ pi z 이외의 각도 \\ alpha의 경우 z-는 정수입니다.

탄젠트와 코탄젠트의 관계

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

이 ID는 각도와 알파가 다른 경우에만 유효합니다. \\ frac (\\ pi) (2) z. 그렇지 않으면 코탄젠트 또는 탄젠트가 정의되지 않습니다.

위의 요점을 바탕으로 tg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x), ctg \\ 알파 \u003d \\ frac (x) (y). 그것은 다음과 같습니다 tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. 따라서 그들이 의미하는 동일한 각도의 탄젠트와 코탄젠트는 서로 역수입니다.

탄젠트와 코사인, 코탄젠트 및 사인 사이의 종속성

tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha)  -각도 \\ α와 1의 탄젠트의 제곱의 합은이 각도의 코사인의 역 제곱과 같습니다. 이 신원은 다른 모든 알파에 대해 \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.

1 + ctg ^ (2) \\ alpha \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha)  -1의 합과 각도 \\ 알파의 코탄젠트의 제곱은이 각도의 사인의 역 제곱과 같습니다. 이 ID는 \\ pi z 이외의 모든 알파에 유효합니다.

삼각 아이덴티티 사용 문제 해결의 예

실시 예 1

\\ sin \\ alpha 및 tg \\ alpha 인 경우 \\ cos \\ alpha \u003d-\\ frac12  그리고 \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

솔루션 표시

해결책

함수 \\ sin \\ alpha 및 \\ cos \\ alpha는 공식에 의해 구속됩니다 \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. 이 공식으로 대체 \\ cos \\ alpha \u003d-\\ frac12우리는 얻는다 :

\\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ left (-\\ frac12 \\ right) ^ 2 \u003d 1

이 방정식에는 두 가지 솔루션이 있습니다.

\\ sin \\ 알파 \u003d \\ 오후 \\ sqrt (1- \\ frac14) \u003d \\ 오후 \\ frac (\\ sqrt 3) (2)

조건에 따라 \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . 2 분기에는 사인이 양수이므로 \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).

tg \\ alpha를 찾기 위해 공식을 사용합니다 tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2) : \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3

실시 예 2

\\ cos \\ alpha 및 ctg \\ alpha 찾기 및 \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .

솔루션 표시

해결책

공식으로 대체 \\ sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1  조건부 번호 \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)우리는 얻는다 \\ 왼쪽 (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ 오른쪽) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. 이 방정식에는 두 가지 솔루션이 있습니다. \\ cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.

조건에 따라 \\ frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . 2 사분기에 코사인은 음수이므로 \\ cos \\ alpha \u003d-\\ sqrt \\ frac14 \u003d-\\ frac12.

ctg \\ alpha를 찾기 위해 공식을 사용합니다 ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). 해당 수량은 우리에게 알려져 있습니다.

ctg \\ alpha \u003d-\\ frac12 : \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d-\\ frac (1) (\\ sqrt 3).

치트 시트를 쓰지 않도록 설득하지 않습니다. 쓰세요! 삼각법에 시트를 포함하고 속임수를 씁니다. 나중에 치트 시트가 필요한 이유와 치트 시트가 어떻게 유용한 지 설명 할 계획입니다. 그리고 여기 가르치지 않는 방법에 대한 정보가 있지만 삼각법 공식을 기억하십시오. 치트 시트가없는 삼각법입니다!

1. 공식 첨가 :

코사인은 항상 "쌍으로 걷기": 코사인-코사인, 사인-사인. 그리고 한 가지 더 : 코사인은“부적절합니다”. 그것들은 "괜찮아"는 아니므로 "-"를 "+"로, 그 반대로 표지판을 바꾸십시오.

  부비동- "혼합": 사인 코사인, 코사인 사인.

2. 합과 차이의 공식 :

코사인은 항상 "쌍으로 걷습니다". "kolobok"이라는 두 개의 코사인을 추가하면 "koloboks"라는 한 쌍의 코사인을받습니다. 빼면, 우리는 확실히 콜로 복을 얻지 못할 것입니다. 우리는 몇 가지 죄를 얻습니다. 또한 마이너스 앞서 있습니다.

부비동- "혼합" :

3. 곱을 합계와 차이로 변환하는 공식.

우리는 언제 코사인 쌍을 얻습니까? 코사인을 추가 할 때 따라서

우리는 언제 한 쌍의 죄를 얻습니까? 코사인을 뺄 때. 여기에서 :

"혼합"은 죄를 더하고 뺄 때 얻을 수 있습니다. 더 좋은 방법 : 더하기 또는 빼기? 맞아, 접어 그리고 공식을 위해 다음을 추가하십시오.

괄호 안의 첫 번째와 세 번째 공식에는 합계가 있습니다. 용어의 장소를 재정렬해도 합계는 변하지 않습니다. 주요 순서는 두 번째 공식에만 해당됩니다. 그러나 혼동을 피하기 위해 기억하기 쉽도록 첫 번째 괄호에서 세 가지 수식의 차이점을 모두 취합니다.

둘째, 금액

주머니 속의 치트 시트는 마음의 평안을줍니다. 공식을 잊어 버리면 글씨를 쓸 수 있습니다. 치트 시트를 사용할 수 없으면 공식을 쉽게 기억할 수 있습니다.