Z jakých čísel můžete extrahovat kořen? Výzkumný článek na téma: "Extrakce druhých odmocnin velkých čísel bez kalkulačky"

Při řešení různých úloh z matematicko-fyzikálního kurzu se žáci a studenti často potýkají s potřebou vyjmout kořeny druhého, třetího nebo n-tého stupně. Samozřejmě ve století informační technologie Vyřešit tento problém pomocí kalkulačky nebude těžké. Nastávají však situace, kdy není možné použít elektronického asistenta.

Mnoho zkoušek vám například nedovolí přinést elektroniku. Navíc možná nebudete mít po ruce kalkulačku. V takových případech je užitečné znát alespoň některé metody ručního výpočtu radikálů.

Jedním z nejjednodušších způsobů výpočtu kořenů je pomocí speciální tabulky. Co to je a jak to správně používat?

Pomocí tabulky můžete najít druhou mocninu libovolného čísla od 10 do 99. Řádky tabulky obsahují hodnoty desítek a sloupce obsahují hodnoty jednotek. Buňka na průsečíku řádku a sloupce obsahuje druhou mocninu dvouciferného čísla. Abyste mohli vypočítat druhou mocninu 63, musíte najít řádek s hodnotou 6 a sloupec s hodnotou 3. Na průsečíku najdeme buňku s číslem 3969.

Protože extrakce kořene je inverzní operací kvadratury, k provedení této akce musíte udělat opak: nejprve najděte buňku s číslem, jehož radikál chcete vypočítat, a poté použijte hodnoty sloupce a řádku k určení odpovědi. . Jako příklad zvažte výpočet druhé odmocniny ze 169.

V tabulce najdeme buňku s tímto číslem, vodorovně určíme desítky - 1, svisle najdeme jednotky - 3. Odpověď: √169 = 13.

Podobně můžete vypočítat krychli a n-tou odmocninu pomocí příslušných tabulek.

Výhodou metody je její jednoduchost a absence dalších výpočtů. Nevýhody jsou zřejmé: metodu lze použít pouze pro omezený rozsah čísel (číslo, pro které je nalezen kořen, musí být v rozsahu od 100 do 9801). Navíc to nepůjde, pokud dané číslo není v tabulce.

Prvočíselný rozklad

Pokud tabulka čtverců není po ruce nebo se ukázalo, že není možné s její pomocí najít kořen, můžete zkusit faktor čísla pod kořenem do prvočinitelů. Prvočísla jsou ty, které mohou být zcela (beze zbytku) dělitelné pouze samy sebou nebo jedním. Příklady mohou být 2, 3, 5, 7, 11, 13 atd.

Podívejme se na výpočet kořene pomocí √576 jako příkladu. Pojďme si to rozdělit na hlavní faktory. Dostaneme následující výsledek: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Pomocí základní vlastnosti kořenů √a² = a se zbavíme odmocnin a druhých mocnin a poté vypočítáme odpověď: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Co dělat, když žádný z násobičů nemá svůj pár? Zvažte například výpočet √54. Po faktorizaci získáme výsledek v následujícím tvaru: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Neodnímatelnou část lze ponechat pod kořenem. U většiny úloh z geometrie a algebry bude tato odpověď považována za konečnou. Ale pokud je potřeba vypočítat přibližné hodnoty, můžete použít metody, které budou popsány níže.

Heronova metoda

Co dělat, když potřebujete alespoň přibližně vědět, čemu se rovná extrahovaný kořen (pokud nelze získat celočíselnou hodnotu)? Rychlý a poměrně přesný výsledek se získá použitím metody Heron. Jeho podstatou je použít přibližný vzorec:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kde R je číslo, jehož kořen je třeba vypočítat, a je nejbližší číslo, jehož kořenová hodnota je známá.

Podívejme se, jak metoda funguje v praxi a zhodnoťme, jak je přesná. Spočítejme, čemu se rovná √111. Číslo nejbližší 111, jehož kořen je znám, je 121. Tedy R = 111, a = 121. Dosaďte hodnoty do vzorce:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Nyní zkontrolujeme správnost metody:

10,55² = 111,3025.

Chyba metody byla přibližně 0,3. Pokud je třeba zlepšit přesnost metody, můžete zopakovat výše popsané kroky:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Zkontrolujeme správnost výpočtu:

10,536² = 111,0073.

Po opětovné aplikaci vzorce se chyba stala zcela bezvýznamnou.

Výpočet kořene dlouhým dělením

Tento způsob zjištění hodnoty druhé odmocniny je o něco složitější než předchozí. Je však nejpřesnější mezi ostatními výpočetními metodami bez kalkulačky.

Řekněme, že potřebujete najít druhou odmocninu s přesností na 4 desetinná místa. Analyzujme výpočetní algoritmus na příkladu libovolného čísla 1308.1912.

List papíru rozdělte svislou čárou na 2 části a poté z ní nakreslete další čáru vpravo, mírně pod horní okraj. Číslo napíšeme na levou stranu, rozdělíme ho do skupin po 2 číslicích, posuneme se doprava a levá strana od čárky. Úplně první číslice vlevo může být bez páru. Pokud na pravé straně čísla chybí znaménko, měli byste přidat 0. V našem případě bude výsledek 13 08.19 12.
Vyberme největší číslo, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna první skupině číslic. V našem případě je to 3. Napíšeme to vpravo nahoře; 3 je první číslice výsledku. Vpravo dole označujeme 3×3 = 9; to bude potřeba pro další výpočty. Od 13 ve sloupci odečteme 9, dostaneme zbytek 4.
Přiřaďme další dvojici čísel zbytku 4; dostaneme 408.
Vynásobte číslo vpravo nahoře 2 a zapište ho vpravo dole a přidejte k němu _ x _ =. Dostaneme 6_ x _ =.
Místo pomlček je třeba dosadit stejné číslo, menší nebo rovné 408. Dostaneme 66 × 6 = 396. Zapíšeme 6 zprava nahoře, protože se jedná o druhou číslici výsledku. Odečteme 396 od 408, dostaneme 12.
Opakujeme kroky 3-6. Vzhledem k tomu, že číslice posunuté dolů jsou ve zlomkové části čísla, je nutné za 6 umístit vpravo nahoře desetinnou čárku. Dvojitý výsledek zapišme pomlčkami: 72_ x _ =. Vhodné číslo by bylo 1: 721×1 = 721. Zapišme si to jako odpověď. Odečteme 1219 - 721 = 498.
Proveďme sekvenci akcí uvedenou v předchozím odstavci ještě třikrát, abychom získali požadovaný počet desetinných míst. Pokud není dostatek znaků pro další výpočty, je třeba k aktuálnímu číslu vlevo přidat dvě nuly.

V důsledku toho dostaneme odpověď: √1308.1912 ≈ 36.1689. Pokud zkontrolujete akci pomocí kalkulačky, můžete se ujistit, že všechny znaky byly identifikovány správně.

Výpočet bitové odmocniny

Metoda je vysoce přesná. Kromě toho je to zcela srozumitelné a nevyžaduje zapamatování vzorců nebo složitý algoritmus akcí, protože podstatou metody je vybrat správný výsledek.

Vyberme kořen čísla 781. Podívejme se na posloupnost akcí podrobně.

Pojďme zjistit, která číslice hodnoty druhé odmocniny bude nejvýznamnější. Chcete-li to provést, umocněme 0, 10, 100, 1000 atd. a zjistěte, mezi kterými z nich se nachází radikální číslo. Dostáváme těch 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Zvolme hodnotu desítek. Abychom to udělali, budeme střídavě zvyšovat na 10, 20, ..., 90, dokud nedostaneme číslo větší než 781. V našem případě dostaneme 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. hodnota výsledku n bude do 20< n <30.
Podobně jako v předchozím kroku se vybere hodnota číslice jednotek. Odmocnime 21,22, ..., 29 jeden po druhém: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 27² = 729, 2427,² = 7< n < 28.
Každá následující číslice (desetiny, setiny atd.) se počítá stejným způsobem, jak je uvedeno výše. Výpočty se provádějí, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Existuje několik metod pro výpočet druhé odmocniny bez kalkulačky.

Jak najít kořen čísla - 1 způsob

Jedna metoda je faktor čísla pod kořen. Tyto složky, když se znásobí, tvoří radikální hodnotu. Přesnost výsledku závisí na čísle pod odmocninou.
Vezmete-li například číslo 1 600 a začnete je faktorizovat, bude úvaha strukturována následovně: toto číslo je násobkem 100, což znamená, že jej lze dělit 25; protože se bere odmocnina z čísla 25, je číslo čtvercové a vhodné pro další výpočty; při dělení dostaneme další číslo - 64. Toto číslo je také čtvercové, takže odmocninu lze dobře extrahovat; Po těchto výpočtech můžete pod odmocninu napsat číslo 1600 jako součin 25 a 64.

Jedno z pravidel pro extrakci odmocniny říká, že odmocnina součinu faktorů se rovná číslu, které se získá vynásobením kořenů každého faktoru. To znamená, že: √(25*64) = √25 * √64. Pokud vezmeme odmocniny z 25 a 64, dostaneme následující výraz: 5 * 8 = 40. To znamená, že druhá odmocnina z čísla 1600 je 40.
Stává se ale, že číslo pod odmocninou nelze rozložit na dva faktory, ze kterých se vyjme celý odmocninec. Obvykle to lze provést pouze pro jeden z multiplikátorů. V takové rovnici proto většinou není možné najít absolutně přesnou odpověď.
V tomto případě lze vypočítat pouze přibližnou hodnotu. Proto musíte vzít odmocninu z násobitele, což je druhé číslo. Tato hodnota se pak vynásobí odmocninou druhého čísla, které není druhou mocninou rovnice.
Vypadá to takto, vezměme si například číslo 320. Dá se rozložit na 64 a 5. Z 64 můžete extrahovat celý kořen, ale ne z 5. Výraz tedy bude vypadat takto: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
V případě potřeby lze přibližnou hodnotu tohoto výsledku zjistit výpočtem
√5 ≈ 2,236, tedy √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
Také číslo pod odmocninou lze rozložit na několik prvočinitelů a tytéž z nich lze vyjmout. Příklad: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Jak najít kořen čísla - metoda 2

Dalším způsobem je dlouhé dělení. Dělení probíhá podobným způsobem, ale stačí hledat čtvercová čísla, ze kterých pak můžete extrahovat odmocninu.
V tomto případě napíšeme druhé číslo nahoře a odečteme ho na levé straně a extrahovaný kořen zdola.
Nyní je potřeba druhou hodnotu zdvojnásobit a zapsat zprava dole ve tvaru: číslo_x_=. Mezery je nutné vyplnit číslem, které je menší nebo rovno požadované hodnotě vlevo – stejně jako při běžném dělení.
V případě potřeby se tento výsledek opět odečte zleva. Takové výpočty pokračují, dokud není dosaženo výsledku. Můžete také přidávat nuly, dokud nedosáhnete požadovaného počtu desetinných míst.

Extrahování kořene velkého čísla. Drazí přátelé!V tomto článku vám ukážeme, jak extrahovat odmocninu velkého čísla bez kalkulačky. To je nezbytné nejen pro řešení určitých typů úloh jednotné státní zkoušky (jsou i takové, které zahrnují pohyb), ale také pro obecný matematický rozvoj, je vhodné tuto analytickou techniku znát.

Zdálo by se, že vše je jednoduché: zahrňte to do faktorů a extrahujte to. Žádný problém. Například číslo 291600 po rozložení poskytne produkt:

Vypočítáme:

Je tu jedno ALE! Metoda je dobrá, pokud lze snadno určit dělitele 2, 3, 4 atd. Ale co když číslo, ze kterého extrahujeme odmocninu, je součinem prvočísel? Například 152881 je součin čísel 17, 17, 23, 23. Zkuste tyto dělitele hned najít.

Podstata metody, kterou zvažujeme- Toto je čistá analýza. S rozvinutou dovedností lze kořen rychle najít. Pokud dovednost nebyla nacvičena, ale přístup je jednoduše pochopen, pak je trochu pomalejší, ale stále odhodlaný.

Vezměme kořeny roku 190969.

Nejprve určíme, mezi kterými čísly (násobky sta) náš výsledek leží.

Je zřejmé, že výsledek odmocniny tohoto čísla leží v rozsahu od 400 do 500, protože

400 2 = 160 000 a 500 2 = 250 000

Opravdu:

uprostřed, blíž k 160 000 nebo 250 000?

Číslo 190969 je přibližně uprostřed, ale stále blíže k 160 000. Můžeme usoudit, že výsledek našeho odmocniny bude menší než 450. Zkontrolujeme:

Ve skutečnosti je to méně než 450, od 190 969< 202 500.

Nyní se podívejme na číslo 440:

To znamená, že náš výsledek je menší než 440, protože 190 969 < 193 600.

Kontrola čísla 430:

Zjistili jsme, že výsledek tohoto kořene leží v rozsahu od 430 do 440.

Součin čísel s 1 nebo 9 na konci dává číslo s 1 na konci. Například 21 x 21 se rovná 441.
Součin čísel s 2 nebo 8 na konci dává číslo se 4 na konci. Například 18 x 18 se rovná 324.
Součin čísel s 5 na konci dává číslo s 5 na konci. Například 25 x 25 se rovná 625.
Součin čísel se 4 nebo 6 na konci dává číslo s 6 na konci. Například 26 x 26 se rovná 676.
Součin čísel s 3 nebo 7 na konci dává číslo s 9 na konci. Například 17 x 17 se rovná 289.

Protože číslo 190969 končí číslem 9, je součinem buď čísla 433 nebo 437.

*Pouze oni, když jsou na druhou, mohou dát na konci 9.

Kontrolujeme:

To znamená, že výsledek kořene bude 437.

To znamená, že jsme „našli“ správnou odpověď.

Jak vidíte, maximum, co je potřeba, je provést 5 akcí ve sloupci. Možná narazíte na značku hned, nebo uděláte jen tři kroky. Vše závisí na tom, jak přesně provedete svůj počáteční odhad počtu.

Extrahujte kořen 148996 sami

V problému se získá takový diskriminant:

Motorová loď urazí 336 km po řece do cíle a po zastavení se vrátí do výchozího místa. Zjistěte rychlost lodi ve stojaté vodě, pokud je aktuální rychlost 5 km/h, pobyt trvá 10 hodin a loď se vrátí do výchozího bodu 48 hodin po vyplutí. Uveďte svou odpověď v km/h.

Zobrazit řešení

Výsledek odmocniny je mezi čísly 300 a 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Opravdu 90 000<148996<160000.

Podstata dalšího uvažování spočívá v určení toho, jak je číslo 148996 umístěno (vzdáleno) vzhledem k těmto číslům.

Pojďme spočítat rozdíly 148996 - 90000=58996 a 160000 - 148996=11004.

Ukazuje se, že 148996 se blíží (mnohem blíže) 160000. Výsledek kořene tedy bude určitě větší než 350 a dokonce i 360.

Můžeme dojít k závěru, že náš výsledek je větší než 370. Dále je jasné: protože 148996 končí číslem 6, znamená to, že musíme odmocnit číslo končící buď 4 nebo 6. *Pouze tato čísla, když odmocníme, dávají konec 6 .

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste mi o webu řekli na sociálních sítích.

Extrakce kořene je obrácená operace zvyšování síly. To znamená, že když vezmeme odmocninu z čísla X, dostaneme číslo, jehož druhá mocnina dá stejné číslo X.

Extrakce kořene je poměrně jednoduchá operace. Práci s odsáváním může usnadnit tabulka čtverců. Protože je nemožné si zapamatovat všechny druhé mocniny a odmocniny, ale čísla mohou být velká.

Extrahování kořene čísla

Vzít druhou odmocninu z čísla je snadné. Navíc to nelze provést okamžitě, ale postupně. Vezměme například výraz √256. Zpočátku je pro neznalého člověka těžké dát hned odpověď. Pak to uděláme krok za krokem. Nejprve vydělíme právě číslem 4, ze kterého vezmeme vybraný čtverec jako odmocninu.

Představme: √(64 4), pak bude ekvivalentní 2√64. A jak víte, podle násobilky 64 = 8 8. Odpověď bude 2*8=16.

Přihlaste se do kurzu „Zrychlete mentální aritmetiku, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce extrahovat odmocniny. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Extrakce komplexního kořene

Odmocninu nelze vypočítat ze záporných čísel, protože každé druhé číslo je kladné číslo!

Komplexní číslo je číslo i, jehož druhá mocnina se rovná -1. To znamená, že i2=-1.

V matematice existuje číslo, které se získá odmocněním čísla -1.

To znamená, že je možné vypočítat odmocninu ze záporného čísla, ale to už platí pro vyšší matematiku, nikoli školní matematiku.

Uvažujme příklad takové extrakce kořene: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online root kalkulačka

Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat extrakci čísla z druhé odmocniny:

Převod výrazů obsahujících kořenovou operaci

Podstatou transformace radikálních výrazů je rozklad radikálního čísla na jednodušší, z nichž lze extrahovat kořen. Například 4, 9, 25 a tak dále.

Uveďme příklad, √625. Vydělme radikální výraz číslem 5. Dostaneme √(125 5), opakujte operaci √ (25 25), ale víme, že 25 je 52. Což znamená, že odpověď bude 5*5=25.

Jsou ale čísla, u kterých nelze pomocí této metody vypočítat odmocninu a stačí znát odpověď nebo mít po ruce tabulku čtverců.

√289=√(17*17)=17

Sečteno a podtrženo

Podívali jsme se pouze na špičku ledovce, abychom lépe porozuměli matematice - přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlení mentální aritmetiky - NE mentální aritmetiky.

Z kurzu se nejen naučíte desítky technik pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení a počítání procent, ale také si je procvičíte ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální aritmetika také vyžaduje hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují při řešení zajímavých problémů.

Studenti se vždy ptají: „Proč nemohu u zkoušky z matematiky použít kalkulačku? Jak extrahovat druhou odmocninu čísla bez kalkulačky? Pokusme se na tuto otázku odpovědět.

Jak extrahovat druhou odmocninu z čísla bez pomoci kalkulačky?

Akce odmocnina inverzní k akci kvadratury.

√81= 9 9 2 =81

Pokud vezmete druhou odmocninu kladného čísla a výsledek odmocníte, dostanete stejné číslo.

Z malých čísel, která jsou přesnými druhými mocninami přirozených čísel, například 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lze odmocniny získat ústně. Obvykle se ve škole učí tabulku druhých mocnin přirozených čísel do dvaceti. Pokud znáte tuto tabulku, je snadné extrahovat odmocniny z čísel 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel větších než 400 je můžete extrahovat pomocí metody výběru pomocí několika tipů. Zkusme se na tuto metodu podívat na příkladu.

Příklad: Vytáhněte odmocninu čísla 676.

Všimli jsme si, že 20 2 = 400 a 30 2 = 900, což znamená 20< √676 < 900.

Přesné druhé mocniny přirozených čísel končí nulou; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dáno 4 2 a 6 2.
To znamená, že pokud je odmocnina převzata z 676, pak je buď 24, nebo 26.

Zbývá zkontrolovat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpovědět: √676 = 26 .

Více příklad: √6889 .

Protože 80 2 = 6400 a 90 2 = 8100, pak 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dáno 3 2 a 7 2, pak √6889 se rovná buď 83 nebo 87.

Zkontrolujeme: 83 2 = 6889.

Odpovědět: √6889 = 83 .

Pokud je pro vás obtížné vyřešit pomocí metody výběru, můžete zohlednit radikální výraz.

Například, najít √893025.

Vypočítejme číslo 893025, pamatujte, že jste to dělali v šesté třídě.

Dostaneme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Více příklad: √20736. Vyložme číslo 20736:

Dostaneme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktorizace samozřejmě vyžaduje znalost znamének dělitelnosti a schopnosti faktorizace.

A konečně existuje pravidlo pro extrakci odmocnin. Pojďme se s tímto pravidlem seznámit na příkladech.

Vypočítejte √279841.

Abychom extrahovali odmocninu vícemístného celého čísla, rozdělíme ho zprava doleva na plochy obsahující 2 číslice (levá hrana může obsahovat jednu číslici). Píšeme to takto: 27'98'41

Abychom získali první číslici odmocniny (5), vezmeme druhou odmocninu největšího dokonalého čtverce obsaženého v první ploše vlevo (27).
Potom se druhá mocnina první číslice odmocniny (25) odečte od první plochy a další plocha (98) se přičte k rozdílu (odečte).
Nalevo od výsledného čísla 298 napište dvojcifernou odmocninu (10), vydělte jím počet všech desítek dříve získaného čísla (29/2 ≈ 2), otestujte podíl (102 ∙ 2 = 204 by nemělo být větší než 298) a za první číslici kořene napište (2).
Potom se výsledný podíl 204 odečte od 298 a další hrana (41) se přičte k rozdílu (94).
Vlevo od výsledného čísla 9441 zapište dvojitý součin číslic odmocniny (52 ∙2 = 104), vydělte tímto součinem počet všech desítek čísla 9441 (944/104 ≈ 9), otestujte podíl (1049 ∙9 = 9441) by měl být 9441 a zapsat jej (9) za druhou číslici odmocniny.

Obdrželi jsme odpověď √279841 = 529.

Extrahujte podobně kořeny desetinných zlomků. Pouze radikální číslo musí být rozděleno na tváře tak, aby čárka byla mezi tvářemi.

Příklad. Najděte hodnotu √0,00956484.

Jen si pamatujte, že pokud má desetinný zlomek lichý počet desetinných míst, nelze z něj odmocnit.

Takže teď jste viděli tři způsoby, jak extrahovat kořen. Vyberte si ten, který vám nejlépe vyhovuje a cvičte. Abyste se naučili řešit problémy, musíte je řešit. A pokud máte nějaké dotazy, .

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.