Fibonacciho sekvence ilustrovaná přírodou. Fibonacciho čísla a zlatý poměr: vztah

To však není vše, co lze udělat se zlatým poměrem. Pokud jednotku vydělíme 0,618, pak se ukáže 1,618, pokud ji umocníme na druhou, dostaneme 2,618, pokud ji umocníme na druhé, dostaneme číslo 4.236. Toto jsou Fibonacciho expanzní koeficienty. Co chybí, je číslo 3.236 navržené Johnem Murphym.

Co si o sekvenci myslí odborníci?

Někdo řekne, že tato čísla jsou již známá, protože se používají v programech technické analýzy k určení rozsahu korekce a rozšíření. Kromě toho tyto stejné řady hrají důležitou roli v teorii vln Eliot. Jsou jeho numerickým základem.

Náš expert Nikolay Ověřený portfolio manažer investiční společnosti Vostok.

- Nikolay, myslíš si, že je náhodné, že se Fibonacciho čísla a jejich deriváty objevují na grafech různých nástrojů? A lze říci: „Probíhá praktická aplikace série Fibonacci“?
- Cítím se špatně z mystiky. A ještě více na burzovních grafech. Všechno má své vlastní důvody. v knize „Fibonacciho úrovně“ krásně řekl, kde se zlatá část objevuje, že ho nezačalo překvapit, že se objevil na burzovních grafech. Ale marně! V mnoha příkladech, které citoval, se často objevuje číslo Pi. Ale z nějakého důvodu to není v poměrech cen.
"Takže nevěříte v platnost principu eliotské vlny?"
"Ne, to není smysl." Princip vlny je jedna věc. Číselný poměr je jiný. A důvody pro jejich zobrazení v cenových grafech jsou třetí
- Jaké jsou podle vašeho názoru důvody pro zobrazení zlaté části na burzovních grafech?
- Správná odpověď na tuto otázku může být schopna získat Nobelovu cenu za ekonomii. Zatím můžeme hádat skutečné důvody. Zjevně nejsou v souladu s přírodou. Existuje mnoho modelů směnných cen. Nevysvětlují uvedený jev. Ale nerozumění povaze jevu by nemělo tento jev jako takový popírat.
- A pokud je tento zákon někdy otevřený, může zničit proces výměny?
- Jak ukazuje stejná teorie vln, zákonem změny cen akcií je čistě psychologie. Zdá se mi, že znalost tohoto zákona nic nezmění a nemůže zničit výměnu.

Materiál poskytnutý blogem webmastera Maxima.

Náhoda základů matematických principů v různých teoriích se zdá neuvěřitelná. Možná je to fantazie nebo přizpůsobení konečnému výsledku. Počkejte a uvidíte. Hodně z toho, co bylo dříve považováno za neobvyklé nebo nebylo možné: například průzkum vesmíru se stal známým a nikoho nepřekvapuje. Teorie vln, která může být nepochopitelná, se nakonec stane dostupnější a srozumitelnější. To, co dříve nebylo v rukou analytika se zkušenostmi zbytečné, se stane mocným nástrojem pro předpovídání dalšího chování.

Fibonacciho čísla v přírodě.

Hlídat

A teď pojďme mluvit o tom, jak můžete vyvrátit skutečnost, že digitální série Fibonacci je zapojena do jakýchkoli přírodních vzorců.

Vezměte si jakákoli další dvě čísla a vytvořte sekvenci se stejnou logikou jako čísla Fibonacci. To znamená, že další člen sekvence se rovná součtu předchozích dvou. Vezměme si například dvě čísla: 6 a 51. Nyní sestavíme sekvenci, která končí dvěma čísly 1860 a 3009. Všimněte si, že při dělení těchto čísel dostaneme číslo blízké zlatému poměru.

Navíc se čísla získaná dělením dalších párů snížila z první na poslední, což naznačuje, že pokud tato řada bude pokračovat donekonečna, dostaneme číslo rovné zlatému poměru.

Fibonacciho čísla tedy nic nevyčnívají. Existují i \u200b\u200bjiné posloupnosti čísel, z nichž existuje nekonečné číslo, které v důsledku stejných operací dává zlatému číslu phi.

Fibonacci nebyl ezoterický. Nechtěl do čísel investovat žádnou mystiku, jednoduše vyřešil běžný problém králíků. A napsal posloupnost čísel, která vyplynula z jeho úkolu, v prvním, druhém a dalších měsících, kolik by králíků bylo po chovu. Do roku dostal tu samou sekvenci. A nepřinesl žádný vztah. Žádný zlatý poměr, Boží vztah řeči nešel. To vše bylo vynalezeno po něm v renesanci.

Před matematikou jsou ctnosti Fibonacciho obrovské. Přijal systém čísel od Arabů a prokázal svou spravedlnost. Byl to těžký a dlouhý boj. Z římské číselné soustavy: těžké a nepohodlné pro počítání. Po francouzské revoluci zmizela. To nemá nic společného s Fibonacciho zlatým poměrem.

Existuje nekonečně mnoho spirál, nejoblíbenější: přirozená logaritmická spirála, Archimedesova spirála, hyperbolická spirála.

Nyní se podívejme na Fibonacciho spirálu. Tato kusově složená jednotka se skládá z několika čtvrtin kruhů. A není to spirála jako taková.

Závěr

Bez ohledu na to, jak dlouho hledáme potvrzení nebo vyvrácení použitelnosti série Fibonacci na burze, takový postup existuje.

Obrovské množství lidí pracuje podle linky Fibonacci, která je umístěna v mnoha uživatelských terminálech. Proto, zda chceme nebo ne: Fibonacciho čísla ovlivňují, a my můžeme tento vliv využít.

Celý článek jsme si přečetli.

Text práce je zveřejněn bez obrázků a vzorců.
Plná verze práce je k dispozici na kartě „Soubory práce“ ve formátu PDF

Úvod

Nejvyšším úkolem matematiky je najít skrytý řád v Chaosu, který nás obklopuje.

Wiener N.

Člověk usiluje o poznání celý svůj život a snaží se studovat svět kolem sebe. A v procesu pozorování má otázky, na které je třeba odpovědět. Odpovědi jsou nalezeny, ale vyvstávají nové otázky. V archeologických nálezech, ve stopách civilizace, vzdálených od sebe navzájem v čase a prostoru, se nachází jeden a tentýž prvek - vzor ve tvaru spirály. Někteří to považují za symbol slunce a spojují jej s legendární Atlantínou, ale její skutečný význam není znám. Co je společné mezi formami galaxie a atmosférickým cyklónem, uspořádáním listů na stonku a semen slunečnice? Tyto vzory sestupují k tzv. „Zlaté“ spirále, úžasné Fibonacciho sekvenci objevené velkým italským matematikem 13. století.

Historie čísel Fibonacci

Poprvé jsem slyšel o Fibonacciho číslech od učitele matematiky. Ale kromě toho, jak se vytváří posloupnost těchto čísel, jsem nevěděl. To je to, o čem je tato sekvence opravdu slavná, jak to ovlivňuje člověka, a chci vám to říct. O Leonardovi Fibonacciovi je málo známo. Neexistuje ani přesné datum jeho narození. Je známo, že se narodil v roce 1170 v rodině obchodníka ve městě Pisa v Itálii. Fibonacciho otec často navštěvoval Alžírsko v obchodních záležitostech a Leonardo tam studoval matematiku od arabských učitelů. Následně napsal několik matematických děl, z nichž nejznámější je Kniha Abacus, která obsahuje téměř všechny aritmetické a algebraické informace té doby. 2

Fibonacciho čísla jsou posloupnost čísel s řadou vlastností. Fibonacci objevil tuto číselnou sekvenci náhodou, když se v roce 1202 pokusil vyřešit praktický problém králíků. "Někdo umístil pár králíků na místo oplocené ze všech stran u zdi, aby zjistil, kolik párů králíků se narodí v průběhu roku, pokud je povaha králíků taková, že za měsíc porodí králíci jiný pár a králíci porodí od druhého měsíce po jeho narození. “ Při řešení problému vzal v úvahu, že každá dvojice králíků způsobí během života další dva páry a potom zemře. Objevila se tedy posloupnost čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V této posloupnosti se každé další číslo rovná součtu předchozích dvou. Říkalo se tomu Fibonacciho sekvence. Matematické vlastnosti posloupnosti

Chtěl jsem prozkoumat tuto sekvenci a odhalil jsem některé její vlastnosti. Tento vzorec má velký význam. Sekvence se přibližuje stále pomaleji do určitého konstantního poměru přibližně 1 618 a poměr libovolného čísla k dalšímu je přibližně roven 618.

Lze si všimnout řady zajímavých vlastností Fibonacciho čísel: dvě sousední čísla jsou coprime; každé třetí číslo je sudé; každých patnáctých konců v nule; každá čtvrtina je násobkem tří. Pokud vyberete libovolných 10 sousedních čísel ze sekvence Fibonacci a sčítáte je, dostanete vždy násobek 11. Ale to není vše. Každá suma se rovná počtu 11krát sedmému členu sekvence. A tady je další zvědavá funkce. Pro jakékoli n bude součet prvních n členů sekvence vždy roven rozdílu mezi (n + 2) a prvními členy sekvence. Tuto skutečnost lze vyjádřit vzorcem: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + ... + an \u003d a n + 2 - 1. Nyní máme následující trik: najít součet všech termínů

pořadí mezi dvěma danými členy stačí najít rozdíl odpovídajících (n + 2) -x členů. Například 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - a 27. Nyní hledejte spojení mezi Fibonacci, Pythagory a Zlatým poměrem. Nejznámějším důkazem matematického génia lidstva je Pythagorova věta: v jakémkoli pravoúhlém trojúhelníku je čtverec propony roven součtu čtverců jeho nohou: c 2 \u003d b 2 + a 2. Z geometrického hlediska můžeme považovat všechny strany pravoúhlého trojúhelníku za strany tří čtverců na nich postavených. Pythagorova věta říká, že celková plocha čtverců postavených na koncích pravého trojúhelníku se rovná ploše čtverce postaveného na přepážce. Pokud jsou délky stran pravého trojúhelníku celá čísla, pak tvoří skupinu tří čísel nazývaných Pythagorovské trojice. Pomocí Fibonacciho sekvence lze takové trojice najít. Vezměte libovolná čtyři po sobě jdoucí čísla ze sekvence, například 2, 3, 5 a 8, a vytvořte další tři čísla takto: 1) součin dvou extrémních čísel: 2 * 8 \u003d 16; 2) dvojitý součin dvou čísel uprostřed: 2 * (3 * 5) \u003d 30; 3) součet čtverců dvou průměrů: 3 2 + 5 2 \u003d 34; 34 2 \u003d 30 2 +16 2. Tato metoda funguje pro všechna čtyři po sobě jdoucí Fibonacciho čísla. Jakákoli tři po sobě jdoucí Fibonacciho čísla se chovají předvídatelným způsobem. Pokud vynásobíte dva extrémy a porovnáte výsledek s druhou mocninou průměru, výsledek se bude vždy lišit o jeden. Například pro čísla 5, 8 a 13 dostaneme: 5 * 13 \u003d 8 2 +1. Pokud tuto vlastnost považujete z hlediska geometrie, všimnete si něčeho zvláštního. Rozdělte náměstí

8x8 ve velikosti (celkem 64 malých čtverců) na čtyři části, jejichž délky stran se rovnají Fibonacciho číslům. Nyní z těchto částí postavíme obdélník 5x13. Jeho rozloha je 65 malých čtverců. Odkud pochází čtverec navíc? Jde o to, že se nevytvoří ideální obdélník, ale zůstanou malé mezery, což celkově dává této další jednotce plochy. Pascalův trojúhelník má také spojení s Fibonacciho sekvencí. Stačí napsat řádky pascalského trojúhelníku pod sebe a pak prvky založit diagonálně. Výsledkem je Fibonacciho sekvence.

Nyní zvažte „zlatý“ obdélník, jehož jedna strana je 1,618krát delší než druhá. Na první pohled se nám to může zdát jako obyčejný obdélník. Udělejme však jednoduchý experiment se dvěma běžnými bankovními kartami. Položili jsme jednu z nich vodorovně a druhou svisle tak, aby jejich spodní strany byly na stejné linii. Pokud nakreslíme diagonální čáru ve vodorovné mapě a prodloužíme ji, uvidíme, že přesně prochází přes pravý horní roh vertikální mapy - příjemné překvapení. Možná je to nehoda, nebo možná takové obdélníky a další geometrické tvary, které používají „zlatý poměr“, jsou pro oko obzvlášť příjemné. Přemýšlel Leonardo da Vinci o zlatém poměru při práci na svém mistrovském díle? Zdá se to nepravděpodobné. Lze však tvrdit, že spojení estetiky a matematiky přikládal velký význam.

Fibonacciho čísla v přírodě

Vztah zlatého poměru k kráse není jen otázkou lidského vnímání. Zdá se, že příroda sama si vybrala zvláštní roli. Pokud jsou do „zlatého“ obdélníku postupně zadávány čtverce, je v každém čtverci nakreslen oblouk, získá se elegantní křivka, která se nazývá logaritmická spirála. V žádném případě to není matematická zvědavost. 5

Naopak, tato nádherná linie se často vyskytuje ve fyzickém světě: od ulity nautilus po rukávy galaxií a v elegantní spirále kvetoucích růží. Spojení mezi zlatým poměrem a Fibonacciho čísly jsou četná a neočekávaná. Zvažte květ, který vypadá velmi odlišně od růže - slunečnice se semeny. První věc, kterou vidíme, je, že semena jsou uspořádána ve dvou typech spirál: ve směru a proti směru hodinových ručiček. Pokud počítáme spirály hodinové ruky, dostaneme dvě zdánlivě obyčejná čísla: 21 a 34. Toto není jediný příklad, když najdete Fibonacciho čísla ve struktuře rostlin.

Příroda nám poskytuje četné příklady uspořádání homogenních objektů popsaných Fibonacciho čísly. V různých spirálových uspořádáních malých částí rostlin lze obvykle vidět dvě rodiny spirál. V jedné z těchto rodin se spirály krouží ve směru hodinových ručiček a ve druhé proti směru hodinových ručiček. Počty spirál jednoho a druhého typu se často ukážou jako sousední Fibonacciho čísla. Takže, vezmeme-li mladou větvičku borovice, je snadné si všimnout, že jehly tvoří dvě spirály směřující zleva dolů vpravo nahoru. Na mnoha kuželích jsou semena umístěna ve třech spirálách, dutých vinutí na stonku kužele. Jsou umístěny v pěti spirálách, strmě spirálovitě v opačném směru. U velkých kuželů je možné pozorovat 5 a 8, a dokonce i 8 a 13 spirály. Na ananasu jsou jasně viditelné také spirály Fibonacci: obvykle jich je 8 a 13.

Střílení čekanky způsobí silné uvolnění do vesmíru, zastaví, uvolní list, ale je již kratší než první, opět vytvoří uvolnění do vesmíru, ale s menší silou, uvolní list ještě menší velikosti a opět uvolnění. Impulzy jeho růstu se postupně snižují úměrně „zlaté“ sekci. Chcete-li ocenit obrovskou roli Fibonacciho čísel, stačí se podívat na krásu přírody kolem nás. Fibonacciho čísla lze nalézt v číslech

větve na stonku každé rostoucí rostliny a mezi okvětními lístky.

Vezměme si lístky některých květů - iris se svými 3 okvětními lístky, prvosenka s 5 okvětními lístky, ambrózie se 13 okvětními lístky, nimbus s 34 okvětními lístky, astry s 55 okvětními lístky atd. Je to náhodné nebo je to zákon přírody? Podívejte se na stonky a květy řebříčku. Celkovou Fibonacciho sekvenci lze tedy snadno interpretovat jako vzor projevů „zlatých“ čísel nalezených v přírodě. Tyto zákony fungují bez ohledu na naše vědomí a touhu je přijmout nebo ne. Vzory „zlaté“ symetrie se projevují v energetických přechodech elementárních částic, ve struktuře určitých chemických sloučenin, v planetárních a kosmických systémech, v genových strukturách živých organismů, ve struktuře jednotlivých orgánů člověka a těla jako celku a projevují se také v biorytmech a fungování mozku a vizuální vnímání.

Fibonacciho čísla v architektuře

„Zlatá sekce“ se také projevuje v mnoha pozoruhodných architektonických dílech v celé historii lidstva. Ukazuje se, že i starověcí řeckí a staroegyptští matematici znali tyto koeficienty dlouho před Fibonacci a nazývali je „zlatým poměrem“. Řekové použili princip „zlaté sekce“ při stavbě Parthenonu, Egypťané - Velká pyramida v Gíze. Pokroky v oblasti stavebních zařízení a vývoj nových materiálů otevřely architektům dvacátého století nové příležitosti. Americký Frank Lloyd Wright byl jedním z hlavních zastánců ekologické architektury. Krátce před svou smrtí navrhl muzeum Solomon Guggenheim v New Yorku, které je převrácenou spirálou, a jeho interiér připomíná skořápku nautilus. Polsko-izraelský architekt Zvi Hecker také použil spirálové návrhy ve školním projektu Heinze Galinského v Berlíně z roku 1995. Hecker začal myšlenkou slunečnice s centrálním kruhem, odkud

všechny architektonické prvky se liší. Budova je kombinací

ortogonální a soustředné spirály, symbolizující interakci omezeného lidského poznání a kontrolovaného chaosu přírody. Jeho architektura napodobuje rostlinu, která sleduje pohyb slunce, takže učebny jsou osvětleny po celý den.

V Quincy Parku, který se nachází v Cambridge, Massachusetts (USA), lze často najít „zlatou“ spirálu. Park byl navržen v roce 1997 umělcem Davidem Phillipsem a nachází se v blízkosti Clay Institute of Mathematics. Tato instituce je slavným centrem matematického výzkumu. V Quincy Parku se můžete procházet mezi „zlatými“ spirály a kovovými křivkami, reliéfy ze dvou skořápek a skálou se symbolem druhé odmocniny. Na desce je zapsána informace o „zlatém“ poměru. Rovněž parkování kol používá symbol F.

Fibonacciho čísla v psychologii

V psychologii jsou zaznamenány zlomové body, krize, otřesy, které znamenají proměnu struktury a funkcí duše na životní dráze člověka. Pokud člověk tyto krize úspěšně překonal, je schopen řešit úkoly nové třídy, o které ani předtím neuvažoval.

Přítomnost zásadních změn dává důvod k tomu, aby byl život považován za rozhodující faktor ve vývoji duchovních kvalit. Konec konců příroda neměří náš čas velkoryse, „bez ohledu na to, kolik to bude, tak to bude“, ale jen natolik, aby se proces vývoje zhmotnil:

v tělesných strukturách;

v pocitech, myšlení a psychomotorice - dokud nezískají harmonienezbytné pro vznik a spuštění mechanismu

kreativita

ve struktuře lidského energetického potenciálu.

Vývoj těla nelze zastavit: dítě se stává dospělým. Mechanismus tvořivosti není tak jednoduchý. Jeho vývoj lze zastavit a změnit jeho směr.

Existuje šance dohnat čas? Samozřejmě. Ale za tímto účelem musíte udělat spoustu práce na sobě. To, co se rozvíjí svobodně, přirozeně nevyžaduje zvláštní úsilí: dítě volně vyvíjí a nevnímá tuto obrovskou práci, protože proces svobodného rozvoje se vytváří bez násilí proti sobě samému.

Jak je chápán smysl životní cesty v každodenním vědomí? Laik to vidí takto: na nohou - zrození, nahoře - na kvetení sil a pak - všechno jde dolů.

Mudrc řekne: všechno je mnohem složitější. Rozděluje výstup do etap: dětství, dospívání, mládí ... Proč? Jen málo lidí je schopno odpovědět, i když každý si je jistý, že se jedná o uzavřené, nedílné fáze života.

Chcete-li zjistit, jak se vyvíjí mechanismus tvořivosti, V.V. Klimenko používal matematiku, jmenovitě zákony Fibonacciho čísel a podíl „zlaté sekce“ - zákony přírody a lidského života.

Fibonacciho čísla dělí náš život do fází podle počtu žitých let: 0 - začátek hraběte - dítě se narodilo. Stále mu chybí nejen psychomotorické dovednosti, myšlení, pocity, představivost, ale také operační energetický potenciál. Je začátkem nového života, nové harmonie;

1 - dítě zvládlo chůzi a ovládlo bezprostřední prostředí;

2 - rozumí řeči a jednání pomocí verbálních pokynů;

3 - jedná slovem, klade otázky;

5 - „věk milosti“ - harmonie psychomotorismu, paměti, představivosti a pocitů, které již umožňují dítěti přijmout celý svět;

8 - pocity přicházejí do popředí. Představivost jim slouží a myšlení silou jeho kritičnosti je zaměřeno na podporu vnitřní a vnější harmonie života;

13 - mechanismus talentů začíná fungovat, jehož cílem je transformovat materiál získaný v procesu dědičnosti a rozvíjet jeho vlastní talent;

21 - mechanismus tvořivosti se přiblížil stavu harmonie a pokouší se provádět talentovanou práci;

34 - harmonie myšlení, pocitů, představivosti a psychomotorických dovedností: zrodila se schopnost pracovat skvěle;

55 - v tomto věku je člověk připravený stát se stvořitelem, s výhradou zachované harmonie těla a duše. A tak dále ...

Co jsou serify pro Fibonacciho čísla? Lze je srovnávat s přehradami na cestě života. Tyto přehrady čekají na každého z nás. Nejprve je nutné překonat každou z nich a pak trpělivě zvýšit vaši úroveň rozvoje, dokud se jednoho dne nerozpadne, čímž se otevře další cesta k volnému toku.

Nyní, když chápeme význam těchto uzlových bodů vývoje věku, pokusíme se dešifrovat, jak se to všechno děje.

Za 1 rok dítě se chopí chůze. Předtím znal svět před jeho hlavou. Nyní zná svět rukama - výlučnou výsadou člověka. Zvíře se pohybuje ve vesmíru a on, věděl, zmocňuje se vesmíru a rozvíjí území, na kterém žije.

2 roky - chápe slovo a jedná v souladu s ním. To znamená, že:

dítě se učí minimální počet slov - významy a způsoby jednání;

ještě se neoddělila od prostředí a sloučila se do integrity s prostředím,

jedná tedy podle pokynů někoho jiného. V tomto věku je pro rodiče nejposlušnější a nejpříjemnější. Z smyslné osoby se dítě stává kognitivní osobou.

3 roky- akce pomocí vlastního slova. Tato osoba již byla oddělena od prostředí - a učí se být nezávislou osobou. Proto:

vědomě čelí životnímu prostředí a rodičům, učitelům mateřských škol atd.;

uznává svou suverenitu a bojuje za nezávislost;

se snaží podřídit své vůli blízkým a známým lidem.

Nyní je pro dítě slovo. Jednající osoba začíná tím.

5 let- „věk milosti“. Je zosobněním harmonie. Hry, tance, obratové pohyby - vše je nasyceno harmonií, kterou se člověk snaží ovládnout sám. Harmonický psychomotorismus pomáhá vést k novému stavu. Proto je dítě zaměřeno na psychomotorickou činnost a usiluje o nejaktivnější jednání.

K materializaci pracovních produktů citlivosti dochází prostřednictvím:

schopnost zobrazovat životní prostředí a sebe jako součást tohoto světa (slyšíme, vidíme, dotýkáme se, cítíme atd. - všechny smysly pracují na tomto procesu);

schopnost navrhnout vnější svět, včetně mě

(vytvoření druhé povahy, hypotézy - udělat zítra, postavit nový stroj, vyřešit problém), silami kritického myšlení, pocitů a představivosti;

schopnost vytvářet druhou, člověkem vytvořenou povahu, produkty činnosti (implementace plánu, specifické mentální nebo psychomotorické akce se specifickými objekty a procesy).

Po 5 letech přichází mechanismus představivosti a začíná dominovat ostatním. Dítě vykonává gigantickou práci, vytváří fantastické obrazy a žije ve světě pohádek a mýtů. Hypertrofie představivosti dítěte je u dospělých překvapivá, protože představivost neodpovídá skutečnosti.

8 let - pocity přicházejí do popředí a vlastní měření pocitů (kognitivních, morálních, estetických) vznikají, když dítě přesně:

hodnotí známé a neznámé;

odlišuje morální od nemorální, morální od nemorální;

krásné z toho, co ohrožuje život, harmonii chaosu.

13 let - mechanismus tvořivosti začíná fungovat. To však neznamená, že to funguje na plnou kapacitu. Jeden z prvků mechanismu přichází do popředí a všechny ostatní přispívají k jeho práci. Pokud bude v tomto věkovém období vývoje, které téměř celou dobu restrukturalizuje strukturu, zachována harmonie, pak se bezbolestně dostane k další přehradě, tiše ji překoná a bude žít ve věku revolucionáře. Ve věku revolucionáře musí mládež udělat nový krok kupředu: oddělit se od nejbližší společnosti a žít v ní harmonickým životem a aktivitou. Ne každý může vyřešit tento problém, který vznikne před každým z nás.

21 let. Pokud revolucionář úspěšně překonal první harmonický vrchol života, je jeho talentový mechanismus schopen naplnit talentované

práce. Pocity (kognitivní, morální nebo estetické) někdy zatínají myšlení, ale obecně všechny prvky spolupracují: pocity jsou otevřeny světu a logické myšlení je schopné volat a najít míry věcí z tohoto vrcholu.

Mechanismus tvořivosti, vyvíjející se normálně, dosahuje stavu, který vám umožní přijímat určité plody. Začal pracovat. V tomto věku přichází mechanismus pocitů vpřed. Protože představivost a její produkty jsou hodnoceny pocity a myšlení, mezi nimi vzniká antagonismus. Pocity převládají. Tato schopnost postupně získává sílu a chlapec ji začíná používat.

34 let- rovnováha a harmonie, produktivní účinnost talentu. Zrodila se harmonie myšlení, pocitů a imaginace, psychomotorika, která je doplněna optimálním energetickým potenciálem, a mechanismus jako celek - schopnost vykonávat brilantní práci.

55 let - člověk se může stát tvůrcem. Třetí harmonický vrchol života: myšlení podřizuje sílu pocitů.

Fibonacciho čísla nazývají stádia lidského vývoje. To, zda člověk projde touto cestou nepřetržitě, závisí na rodičích a učitelích, vzdělávacím systému a poté na sobě a na tom, jak bude osoba znát a překonat sebe.

Na cestě života objevuje člověk 7 objektů vztahů:

Od narozenin do 2 let - objev fyzického a objektivního světa bezprostředního prostředí.

Od 2 do 3 let - objevování sebe sama: "Já jsem sám."

Od 3 do 5 let - řeč, efektivní svět slov, harmonie a systém "já - ty".

Od 5 do 8 let - objevování světa myšlenek, pocitů a obrazů druhých lidí - systému „já - my“.

Od 8 do 13 let - objevování světa úkolů a problémů řešených géniové a talenty lidstva - systém „I - spiritualita“.

Od 13 do 21 let - objevení schopnosti samostatně řešit známé úkoly, když myšlenky, pocity a představivost začnou aktivně fungovat, vzniká systém „I - Noosphere“.

Od 21 do 34 let - objev schopnosti vytvořit nový svět nebo jeho fragmenty - vědomí sebepojetí „Já jsem Stvořitel“.

Životní cesta má časoprostorovou strukturu. Skládá se z věku a jednotlivých fází, určených mnoha parametry života. Člověk do určité míry ovládá okolnosti svého života, stává se tvůrcem své historie a tvůrcem historie společnosti. Skutečně kreativní přístup k životu se však neobjevuje okamžitě a ani u každého člověka. Mezi fázemi životní dráhy jsou genetické souvislosti, což určuje její pravidelnou povahu. Z toho vyplývá, že budoucí vývoj lze v zásadě předvídat na základě znalosti jeho raných fází.

Fibonacciho čísla v astronomii

Z historie astronomie je známo, že I. Titius, německý astronom 18. století, využívající Fibonacciho řadu, našel vzor a řád ve vzdálenosti mezi planetami sluneční soustavy. Zdá se však, že jeden případ byl v rozporu se zákonem: mezi Marsem a Jupiterem nebyla planeta. Ale po smrti Titia na začátku XIX. Století. soustředěné pozorování této části oblohy vedlo k objevu asteroidního pásu.

Závěr

V průběhu výzkumu jsem zjistil, že Fibonacciho čísla jsou široce používána v technické analýze cen na burze. Jedním z nejjednodušších způsobů, jak aplikovat Fibonacciho čísla v praxi, je určit dobu, po kterou událost nastane, například změnu ceny. Analytik počítá určitý počet Fibonacci dnů nebo týdnů (13,21,34,55 atd.) Z předchozí podobné události a činí předpověď. Ale to je pro mě stále příliš těžké na to přijít. Ačkoli Fibonacci byl největším matematikem středověku, jedinými památkami Fibonacci jsou socha před šikmou věží v Pise a dvě ulice nesoucí jeho jméno: jedna v Pise a druhá ve Florencii. A přesto ve spojení se vším, co jsem viděl a četl, vyvstávají docela logické otázky. Odkud tato čísla pocházejí? Kdo je tento architekt vesmíru, který se ho snažil vylepšit? Co se stane dál? Naleznete-li odpověď na jednu otázku, dostanete následující. Vyřešíte to, dostanete dvě nové. Budete se s nimi vypořádat, objeví se další tři. Po jejich vyřešení dostanete pět nevyřešených. Pak osm, třináct atd. Nezapomeňte, že na dvou rukou je pět prstů, z nichž dva se skládají ze dvou falang a osm ze tří.

Reference:

Voloshinov A.V. "Mathematics and Art", M., Enlightenment, 1992.

Vorobyov N.N. "Fibonacciho čísla", M., Science, 1984.

Stakhov A.P. Da Vinciho kód a řada Fibonacciho, Peter Format, 2006

F. Corvalan „Zlatý poměr. Matematický jazyk krásy “, M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. "Citlivá období života a jejich kódy."

Fibonacciho čísla. Wikipedia

Překlad

Úvod

Programátoři čísel Fibonacci by už měli být naštvaní. Příklady jejich výpočtu se používají všude. Všechno to souvisí s tím, že tato čísla poskytují nejjednodušší příklad rekurze. Jsou také dobrým příkladem dynamického programování. Je však nutné je vypočítat takto ve skutečném projektu? Není třeba. Ani rekurze, ani dynamické programování nejsou ideálními možnostmi. A ne uzavřený vzorec používající čísla s pohyblivou řádovou čárkou. Teď vám řeknu, jak to udělat správně. Nejdříve však projdeme všechna známá řešení.

Kód je pro Python 3, i když by měl platit i pro Python 2.

Nejprve - vzpomínám si na definici:

Fn \u003d Fn-1 + Fn-2

A Fl \u003d F2 \u003d 1.

Uzavřená formule

Přeskočíme podrobnosti, ale ti, kdo si přejí, se mohou seznámit se závěrem vzorce. Myšlenkou je předpokládat, že existuje určité x, pro které F n \u003d x n, a pak najít x.

Co to znamená

Vystřihněte x n-2

Řešíme kvadratickou rovnici:

Zde roste „zlatý řez“ ϕ \u003d (1 + √5) / 2. Nahrazením počátečních hodnot a provedením dalšího výpočtu dostaneme:

Které používáme pro výpočet F n.

Z __future__ import divize import math def fib (n): SQRT5 \u003d math.sqrt (5) PHI \u003d (SQRT5 + 1) / 2 návrat int (PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Dobré:
Rychlé a snadné pro malé n
Špatný:
Jsou vyžadovány operace s pohyblivou čárkou. Pro velké n je vyžadována větší přesnost.
Zlo:
Použití složitých čísel pro výpočet F n je krásné z matematického hlediska, ale ošklivé z počítače.

Rekurze

Nejviditelnějším řešením, které jste již mnohokrát viděli, je s největší pravděpodobností příklad toho, co je rekurze. Budu to opakovat znovu, pro úplnost. V Pythonu to lze napsat na jeden řádek:

Fib \u003d lambda n: fib (n - 1) + fib (n - 2), pokud n\u003e 2 else 1

Dobré:
Velmi jednoduchá implementace, opakování matematické definice
Špatný:
Exponenciální dodací čas. Pro velké n je to velmi pomalé
Zlo:
Přetečení zásobníku

Zapamatování

Rekurzivní řešení má velký problém: protínající se výpočty. Když se nazývá fib (n), spočítají se fib (n-1) a fib (n-2). Když se však počítá fib (n-1), opět nezávisle počítá fib (n-2) - to znamená, že fib (n-2) se počítá dvakrát. Pokud budeme pokračovat v diskusi, uvidíme, že fib (n-3) se bude počítat třikrát atd. Příliš mnoho křižovatek.

Proto si jen musíte zapamatovat výsledky, abyste je znovu nezapočítali. Toto řešení lineárně spotřebovává čas a paměť. V řešení používám slovník, ale bylo by možné použít jednoduché pole.

M \u003d (0: 0, 1: 1) def fib (n): pokud n v M: návrat M [n] M [n] \u003d fib (n - 1) + fib (n - 2) návrat M [n]

(V Pythonu to lze také provést pomocí dekoratérky functools.lru_cache.)

Dobré:
Stačí proměnit rekurzi v memorované řešení. Převádí exponenciální dobu provádění na lineární, za kterou tráví více paměti.
Špatný:
Tráví spoustu paměti
Zlo:
Je možné přetečení zásobníku, jako je rekurze

Dynamické programování

Po rozhodnutí se zapamatováním je zřejmé, že nepotřebujeme všechny předchozí výsledky, ale pouze poslední dva. Kromě toho, místo toho, abyste začínali s fib (n) a vraceli se, můžete začít s fib (0) a jít vpřed. Následující kód má lineární dobu provádění a využití paměti je pevné. V praxi bude rychlost řešení ještě vyšší, protože neexistují žádná rekurzivní volání funkcí a práce s tím spojená. A kód vypadá jednodušší.

Toto řešení je často uváděno jako příklad dynamického programování.

Def fib (n): a \u003d 0 b \u003d 1 pro __ v rozsahu (n): a, b \u003d b, a + b vrátí a

Dobré:
Rychle pro malé n, jednoduchý kód
Špatný:
Stále lineární runtime
Zlo:
Ano, nic zvláštního.

Maticová algebra

A konečně nejméně osvětlené, ale nejsprávnější řešení, kompetentně využívající čas i paměť. Může být také rozšířena na jakoukoli homogenní lineární sekvenci. Myšlenka použití matic. Jen to vidíš

Zevšeobecnění toho naznačuje

Dvě hodnoty pro x, které jsme získali dříve, z nichž jedna byla zlatým řezem, jsou vlastní hodnoty matice. Proto dalším způsobem, jak odvodit uzavřený vzorec, je použití maticové rovnice a lineární algebry.

Jak užitečná je tedy tato formulace? Skutečnost, že vytěsňování může být provedeno v logaritmickém čase. To se provádí porovnáváním. Pointa je, že

Kde je první výraz použit pro sudý A, druhý pro lichý. Zbývá jen zorganizovat multiplikaci matic a máte hotovo. Ukázalo se následující kód. Uspořádal jsem rekurzivní implementaci pow, protože je snáze pochopitelné. Podívejte se na iterační verzi zde.

Def pow (x, n, I, mult): "" "Vrátí x k síle n. Předpokládá, že I je matice identity, která se násobí s mult, a n je kladné celé číslo, pokud n \u003d\u003d 0: návrat I elif n \u003d\u003d 1: návrat x další: y \u003d pow (x, n // 2, I, mult) y \u003d mult (y, y), pokud n% 2: y \u003d mult (x, y) návrat y y def identity_matrix (n): "" "Vrátí matici identity n o n" "" r \u003d list (rozsah (n)) return [pro j in r] def matrix_multiply (A, B): BT \u003d list (zip (* B) ) return [pro row_a v A] def fib (n): F \u003d pow ([,], n, identity_matrix (2), matrix_multiply) návrat F

Dobré:
Opravená paměť, logaritmický čas
Špatný:
Složitější kód
Zlo:
Musím pracovat s maticemi, i když nejsou tak špatné

Porovnání výkonu

Porovnat lze pouze možnost dynamického programování a matice. Pokud je porovnáme podle počtu znaků v čísle n, ukáže se, že maticové řešení je lineární a řešení s dynamickým programováním je exponenciální. Praktickým příkladem je výpočet fib (10 ** 6), číslo, které má více než dvě stě tisíc znaků.

N \u003d 10 ** 6
Vypočítáme fib_matrix: fib (n) má celkem 208988 číslic, výpočet trval 0,24993 sekund.
Vypočítáme fib_dynamic: fib (n) má celkem 208988 číslic, výpočet trval 11,83377 sekund.

Teoretické poznámky

Tento komentář, který se přímo nedotýká výše uvedeného kódu, má stále nějaký zájem. Zvažte následující graf:

Počítáme počet cest délky n od A do B. Například pro n \u003d 1 máme jednu cestu, 1. Pro n \u003d 2 máme opět jednu cestu, 01. Pro n \u003d 3 máme dvě cesty, 001 a 101 Je docela jednoduché ukázat, že počet cest délky n od A do B je přesně F n. Po napsání matice sousednosti pro graf dostaneme stejnou matici, která byla popsána výše. Toto je dobře známý výsledek z teorie grafů, že pro danou sousední matici A jsou výskyty v A n počet cest délky délky n v grafu (jeden z problémů uvedených ve filmu „Good Will Hunting“).

Proč jsou na okrajích takové znaky? Ukázalo se, že když se podíváte na nekonečnou posloupnost znaků na posloupnosti cest v grafu, který je nekonečný na obou stranách, dostanete něco, co se nazývá „podsunutí konečného typu“, což je typ systému symbolické dynamiky. Konkrétně je tento dílčí posun konečného typu znám jako „posun zlaté části“ a je definován sadou „zakázaných slov“ (11). Jinými slovy, získáme binární sekvence, které jsou nekonečné v obou směrech a žádné dvojice z nich nesousedí. Topologická entropie tohoto dynamického systému se rovná zlatému poměru ϕ. Je zajímavé, jak se toto číslo pravidelně objevuje v různých oblastech matematiky.

Tagy: Přidejte tagy

Už jste někdy slyšeli, že se matematika nazývá „královnou všech věd“? Souhlasíte s tímto tvrzením? Dokud je matematika pro vás v učebnici soustavou nudných úkolů, těžko cítíte krásu, všestrannost a dokonce i humor této vědy.

Ale v matematice jsou taková témata, která pomáhají dělat zvědavá pozorování věcí a jevů, které jsou pro nás společné. A dokonce se pokuste proniknout za závoj tajemství při tvorbě našeho vesmíru. Ve světě jsou zvědavé vzorce, které lze popsat pomocí matematiky.

Představujeme vám Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla nazývané prvky číselné sekvence. V něm se každé další číslo v řadě získá sečtením dvou předchozích čísel.

Příklad sekvence: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Lze to psát takto:

F ° \u003d 0, Fl \u003d 1, Fn \u003d Fn-1 + Fn-2, n\u003e 2

Můžete zahájit sérii Fibonacciho čísel se zápornými hodnotami. n. Kromě toho je sekvence v tomto případě oboustranná (tj. Pokrývá záporná a kladná čísla) a má sklon k nekonečnu v obou směrech.

Příklad takové sekvence: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Vzorec v tomto případě vypadá takto:

Fn \u003d Fn + 1 - Fn + 2 jinak to můžete udělat: F-n \u003d (-1) n + 1 Fn.

To, co nyní víme pod názvem „Fibonacciho čísla“, bylo známo starověkým indickým matematikům dlouho předtím, než se začaly používat v Evropě. A s tímto názvem obecně jeden souvislý historický vtip. Nejprve sám Fibonacci se za svého života nikdy nenazval Fibonacci - toto jméno se na Leonarda z Pisy začalo uplatňovat teprve několik století po jeho smrti. Ale pojďme mluvit o všem v pořádku.

Leonardo z Pisy, aka Fibonacci

Syn obchodníka, který se stal matematikem, a následně dostal uznání potomků za prvního významného matematika v Evropě během středověku. V neposlední řadě díky Fibonacciho číslům (která pak, jak si vzpomínám, ještě nebyla nazývána). Což popsal na začátku 13. století ve své práci Liber abaci (Book of the Abacus, 1202).

Když Leonardo cestoval se svým otcem na východ, studoval matematiku u arabských učitelů (a tehdy byli v tomto oboru a v mnoha dalších vědách někteří z nejlepších odborníků). V arabských překladech četl díla matematiků starověku a starověké Indie.

Poté, co Fibonacci důkladně porozuměl všemu, co četl a spojil svou vlastní tázavou mysl, napsal několik vědeckých pojednání o matematice, včetně již zmíněné knihy Abacus. Kromě ní vytvořil:

Practica geometriae (Practice of Geometry, 1220);
Flos (Flower, 1225 - studium kubických rovnic);
Liber quadratorum (Kniha čtverců, 1225 - problémy na neurčitých kvadratických rovnicích).

Byl velkým fanouškem matematických turnajů, takže ve svých pojednáních věnoval velkou pozornost analýze různých matematických problémů.

O životě Leonarda zbývá velmi málo životopisných informací. Pokud jde o jméno Fibonacci, pod kterým vstoupil do dějin matematiky, bylo v něm zakořeněno až v 19. století.

Fibonacci a jeho úkoly

Po Fibonacci zůstalo velké množství problémů, které byly mezi matematiky v následujících stoletích velmi populární. Budeme se zabývat problémem králíků, při jejichž řešení se používají Fibonacciho čísla.

Králíci nejsou jen cennou srstí

Fibonacci stanovily takové podmínky: existuje pár novorozených králíků (samců a samic) tak zajímavého plemene, že pravidelně (od druhého měsíce) produkují potomstvo - vždy jeden nový pár králíků. Také, jak byste asi hádali, muži i ženy.

Tito podmínění králíci jsou umístěni v uzavřeném prostoru a plemeno s nadšením. Rovněž se stanoví, že žádný králík nezemře na žádné záhadné onemocnění králíků.

Musíme spočítat, kolik králíků za rok dostaneme.

Na začátku 1 měsíce máme 1 pár králíků. Na konci měsíce se spojí.
Druhý měsíc - již máme 2 páry králíků (v páru - rodiče + 1 pár - jejich potomci).
Třetí měsíc: První pár porodí nový pár, druhý pár. Celkem - 3 páry králíků.
Čtvrtý měsíc: První pár porodí nový pár, druhý pár neztrácí čas a také způsobí vznik nového páru, zatímco třetí pár je pouze pářením. Celkem - 5 párů králíků.

Počet králíků v nmonth \u003d počet párů králíků z předchozího měsíce + počet novorozených párů (nyní je tolik jako pár králíků 2 měsíce dříve). A to vše je popsáno vzorcem, který jsme již uvedli výše: Fn \u003d Fn-1 + Fn-2.

Takto získáme opakování (vysvětlení rekurze - níže) číselná posloupnost. Ve kterém se každé následující číslo rovná součtu předchozích dvou:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Sekvence může pokračovat po dlouhou dobu: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ale protože jsme stanovili konkrétní termín - rok, zajímá nás výsledek dosažený na 12. „tahu“. I.e. 13. člen sekvence: 377.

Odpověď na problém: 377 králíků bude získáno za všech uvedených podmínek.

Jedna z vlastností posloupnosti Fibonacciho čísel je velmi zvědavá. Pokud vezmete dva po sobě jdoucí páry z řady a rozdělíte větší číslo na menší, výsledek se bude postupně přibližovat zlatý poměr (o tom se můžete dočíst více v článku).

V jazyce matematiky "Limit vztahů." a n + 1do a nrovná se zlatému poměru “.

Další problémy v teorii čísel

Najděte číslo, které lze dělit 7. Kromě toho, pokud je vydělíte 2, 3, 4, 5, 6, zbytek bude jedno.
Najděte číslo čtverce. O něm je známo, že pokud k němu přidáte 5 nebo odečtete 5, opět získáte čtvercové číslo.

Doporučujeme, abyste sami hledali odpovědi na tyto úkoly. Můžete nám nechat své možnosti v komentářích k tomuto článku. A pak vám řekneme, zda byly vaše výpočty správné.

Vysvětlení rekurze

Rekurze - definice, popis, obrázek objektu nebo procesu, ve kterém je tento objekt nebo proces obsažen. Ve skutečnosti jde o objekt nebo proces, který je sám o sobě součástí.

Rekurze je široce používána v matematice a informatice a dokonce i v umění a populární kultuře.

Fibonacciho čísla se stanoví pomocí relace opakování. Pro číslo n\u003e 2 n-e číslo je (n - 1) + (n - 2).

Vysvětlení zlatého řezu

Zlatý poměr - rozdělení celku (například segmentu) na takové části, které jsou korelovány podle následujícího principu: větší část se vztahuje na menší část a na celou část (například součet dvou segmentů) na větší část.

První zmínku o zlatém poměru lze nalézt v Euklidu v jeho pojednání „Začátky“ (asi 300 let před naším letopočtem). V souvislosti s vytvářením pravidelného obdélníku.

Termín známý nám byl představen v 1835 německým matematikem Martin Om.

Pokud přibližně popíšete zlatý poměr, jedná se o poměrné rozdělení na dvě nerovné části: přibližně 62% a 38%. Z číselného hlediska je zlatým poměrem číslo 1,6180339887 .

Golden Ratio nachází praktické uplatnění ve výtvarném umění (malby Leonarda da Vinciho a dalších renesančních malířů), architektury, kina („Battleship Potemkin“ S. Ezenshteina) a dalších oborů. Dlouho se věřilo, že zlatý poměr je nejvíce estetický poměr. Tento názor je dnes populární. Přestože podle výsledků výzkumu vizuálně většina lidí nevnímá takový podíl jako nejúspěšnější variantu, považuje ji za příliš prodlouženou (nepřiměřenou).

Délka řezu s = 1, ale = 0,618, b = 0,382.
Postoj s do ale = 1, 618.
Postoj sdo b = 2,618

Nyní zpět na Fibonacciho čísla. Vezměte dva po sobě jdoucí členy ze své sekvence. Vydělte větší číslo menším a získejte přibližně 1,618. A nyní používáme stejné větší číslo a dalšího člena řady (tj. Ještě větší číslo) - jejich poměr je brzy 0,618.

Zde je příklad: 144, 233, 377.

233/144 \u003d 1,618 a 233/377 \u003d 0,618

Mimochodem, pokud se pokusíte udělat stejný experiment s čísly od začátku sekvence (například 2, 3, 5), nic nebude fungovat. No, skoro. Pravidlo zlatého poměru není při zahájení sekvence téměř respektováno. Ale pak, když se pohybujete po řadě a zvyšujete počet, funguje to dobře.

A pro výpočet celé řady Fibonacciho čísel stačí znát tři členy sekvence, jeden po druhém. Můžete vidět sami!

Zlatý obdélník a Fibonacciho spirála

Další zvědavá rovnoběžka mezi Fibonacciho čísly a zlatým poměrem nám umožňuje nakreslit tzv. „Zlatý obdélník“: jeho strany odpovídají poměru 1,618 k 1. Ale už víme, co je číslo 1.618, že?

Například vezměte dva po sobě jdoucí členy řady Fibonacci - 8 a 13 - a vytvořte obdélník s následujícími parametry: width \u003d 8, length \u003d 13.

A pak rozdělte velký obdélník na menší. Předpoklad: délky stran obdélníků musí odpovídat číslům Fibonacciho. I.e. délka strany většího obdélníku by se měla rovnat součtu stran dvou menších obdélníků.

Tak, jak je to na tomto obrázku (pro lepší přehlednost jsou čísla podepsána latinkou).

Mimochodem, můžete vytvářet obdélníky v obráceném pořadí. I.e. zahájit stavbu čtverci se stranou 1. Ke které se podle výše uvedeného principu přidají číslice se stranami rovnými Fibonacciho číslům. Teoreticky to může pokračovat donekonečna - konec konců je řada Fibonacci formálně nekonečná.

Pokud spojíme rohy obdélníků získaných na obrázku hladkou čarou, dostaneme logaritmickou spirálu. Její zvláštní případ je spíš Fibonacciho spirála. Vyznačuje se zejména tím, že nemá žádné hranice a nemění tvar.

Podobná spirála se často vyskytuje v přírodě. Muškátové lastury jsou jedním z nejvýraznějších příkladů. Navíc některé galaxie, které lze vidět ze Země, mají spirálový tvar. Pokud dáváte pozor na předpovědi počasí v televizi, možná jste si všimli, že cyklóny mají při střelbě ze satelitů podobný tvar spirály.

Je zvláštní, že šroubovice DNA se také řídí zlatým pravidlem poměru - odpovídající obrazec je vidět v intervalech jeho ohybů.

Takové úžasné „náhody“ nemohou vzbudit mysl a nevytvářejí řeč o určitém sjednoceném algoritmu, kterému podléhají všechny jevy v životě vesmíru. Nyní chápete, proč se tento článek nazývá tímto způsobem? A dveře k tomu, co úžasné světy vám může matematika otevřít?

Fibonacciho čísla v divočině

Vztah mezi Fibonacciho čísly a Zlatým poměrem naznačuje myšlenky na zvědavé vzorce. Je tak zvláštní, že existuje pokušení pokusit se najít sekvence podobné Fibonacciho číslu v přírodě a dokonce i během historických událostí. A příroda takové předpoklady skutečně vede. Lze však všechno v našem životě vysvětlit a popsat pomocí matematiky?

Příklady volně žijících živočichů, které lze popsat pomocí sekvence Fibonacci:

uspořádání listů (a větví) v rostlinách - vzdálenosti mezi nimi jsou korelovány s Fibonacciho čísly (fylotaxis);

uspořádání slunečnicových semen (semena jsou umístěna ve dvou řadách spirál kroucených různými směry: jedna řada ve směru hodinových ručiček, druhá proti směru hodinových ručiček);

umístění šupin šišky;
okvětní lístky;
ananasové buňky;
poměr délek prstů prstů na lidské ruce (přibližně) atd.

Kombinatorické úkoly

Fibonacciho čísla se široce používají při řešení kombinatorických problémů.

Kombinatorika - toto je odvětví matematiky, které studuje výběr určitého určitého počtu prvků z uvedeného souboru, seznamu atd.

Podívejme se na příklady kombinatorických problémů určených pro střední školu (zdroj - http://www.problems.ru/).

Úkol číslo 1:

Alex jde po schodech nahoru z 10 kroků. Najednou vyskočí jeden krok nebo dva kroky. Kolik způsobů může Lesha vyšplhat po schodech?

Počet způsobů, jakými může Lesha vylézt po schodech n kroky, které označujeme a n.Z toho vyplývá, že a 1 = 1, a 2 \u003d 2 (konec konců Lesha skočí buď o jeden nebo dva kroky).

Je také stanoveno, že Alex vyskočí ze schodů n\u003e 2 kroky. Předpokládejme, že poprvé skočil o dva kroky. Takže podle stavu problému musí skočit další n - 2 kroky. Potom je počet způsobů, jak dokončit stoupání, označen jako a n - 2. A pokud předpokládáme, že Lesha poprvé skočil jen o jeden krok, bude počet způsobů, jak dokončit stoupání, popsán jako a n - 1.

Proto dostáváme následující rovnost: a n \u003d a n - 1 + a n - 2 (vypadá povědomě, že?).

Jakmile to víme a 1a a 2a pamatujte na to, že kroky podle podmínek problému 10 jsou počítány v pořadí všech a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Odpověď: 89 způsobů.

Úkol číslo 2:

Je třeba najít počet slov dlouhých 10 písmen, která se skládají pouze z písmen „a“ a „b“ a neměla by obsahovat dvě písmena „b“ v řadě.

Označit a n počet slov na délku npísmena, která se skládají pouze z písmen „a“ a „b“ a neobsahují dvě písmena „b“ v řadě. Prostředky a 1= 2, a 2= 3.

Postupně a 1, a 2, <…>, a nvyjádříme každého dalšího člena prostřednictvím předchozích. Proto počet slov na délku npísmena, která rovněž neobsahují dvojité písmeno „b“ a začínají písmenem „a“, toto a n - 1. A pokud je slovo dlouhé npísmena začínají písmenem „b“, je logické, že další písmeno v takovém slově je „a“ (koneckonců, nemohou být dvě „b“ podle stavu problému). Proto počet slov na délku npísmena v tomto případě označujeme a n - 2. V prvním i druhém případě jakékoli slovo (délka n - 1a n - 2 písmena) bez dvojitého písmene „b“.

Dokázali jsme zdůvodnit proč a n \u003d a n - 1 + a n - 2.

Nyní počítáme a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8\u003d 144. A dostaneme známou Fibonacciho sekvenci.

Odpověď je 144.

Úkol číslo 3:

Představte si, že je páska rozdělena do buněk. Jde doprava a trvá věčně. Umístěte kobylku na první čtverec stuhy. Ať už je z kterékoli z buněk pásky, může se pohybovat pouze doprava: buď jedna buňka, nebo dvě. Kolik způsobů může kobylka skočit od začátku pásky na nbuňka?

Označme počet způsobů, jak se kobylka může pohybovat podél pásky njako buňka a n. V tom případě a 1 = a 2 \u003d 1. Také v n + 1-th buňka kobylka může dostat jeden z nbuňka nebo skákání přes ni. Odtud a n + 1 = a n - 1 + a n. Odkud a n = F n - 1.

Odpověď zní: F n - 1.

Tyto problémy si můžete sami sestavit a pokusit se je vyřešit v matematických třídách se spolužáky.

Fibonacciho čísla v populární kultuře

Samozřejmě, takový neobvyklý jev, jako jsou Fibonacciho čísla, nemůže jen upoutat pozornost. Nicméně v této přísně ověřené pravidelnosti je něco přitažlivého a dokonce tajemného. Není divu, že Fibonacciho sekvence nějak „svítí“ v mnoha dílech moderní masové kultury různých žánrů.

O některých z nich vám řekneme. A ještě se pokusíte hledat sami sebe. Pokud najdete, podělte se s námi v komentářích - jsme také zvědaví!

Fibonacciho čísla jsou uvedena v nejprodávanější knize Dana Browna The Da Vinci Code: Fibonacciho posloupnost slouží jako kód, kterým hlavní postavy knihy otevírají trezor.
V americkém filmu z roku 2009 „Nikdo“ v jedné epizodě je adresa domu součástí sekvence Fibonacci - 12358. V jiné epizodě musí protagonista také volat telefonní číslo, které je v podstatě stejné, ale mírně zdeformované (extra číslo) za číslem 5) sekvence: 123-581-1321.
V sérii 2012 „Komunikace“ je hrdina, chlapec s autismem, schopen rozlišit vzorce toho, co se děje ve světě. Včetně prostřednictvím Fibonacciho čísel. A tyto události spravujte také prostřednictvím čísel.
Vývojáři hry Doom RPG pro mobilní telefony umístili tajné dveře na jednu z úrovní. Kód, který jej otevírá, je Fibonacciho sekvence.
V roce 2012 ruská rocková skupina Spleen vydala koncepční album Optical Illusion. Osmá skladba se nazývá Fibonacci. Ve verších vůdce skupiny Alexandra Vasiljeva je posloupnost Fibonacciho čísel poražena. Pro každý z devíti po sobě jdoucích členů existuje odpovídající počet řádků (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Složení se vydalo

1 Uchopil jeden kloub

1 Trhl jeden rukáv

2 Získejte věci

Získejte věci

3 Žádost o vroucí vodu

Vlak jede k řece

Vlak jede v tajze<…>.

limerick (krátká báseň určité formy - obvykle pět řádků, s určitým rýmovacím schématem, komikem v obsahu, ve kterém se první a poslední řádky opakují nebo částečně duplikují) James Lindon také používá jako vtipný motiv odkaz na Fibonacciho sekvenci:

Husté manželky Fibonacciho

Prospělo jim to pouze, ne jinak.

Manželky vážily podle pověsti

Každý je jako předchozí dva.

Shrnout

Doufáme, že jsme vám dnes mohli říct spoustu zajímavých a užitečných věcí. Například nyní můžete hledat spirálu Fibonacci v přírodě kolem vás. Najednou jste to vy, kdo bude schopen odhalit „tajemství života, vesmír a obecně“.

Při řešení problémů kombinatoriky použijte vzorec pro Fibonacciho čísla. Můžete se spolehnout na příklady popsané v tomto článku.

s úplným nebo částečným kopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.

Italský matematik Leonardo Fibonacci žil ve 13. století a byl jedním z prvních v Evropě, který používal arabská (indická) čísla. Přišel s poněkud umělým problémem králíků chovaných na farmě, z nichž všichni jsou považováni za ženy, samci jsou ignorováni. Králíci se začnou rozmnožovat poté, co dosáhnou dvou měsíců věku, a potom každý měsíc porodí králíka. Králíci nikdy nezemřou.

Je nutné určit, kolik králíků bude na farmě n měsíce, pokud byl v počátečním období pouze jeden novorozený králík.

Je zřejmé, že zemědělec má jednoho králíka v prvním měsíci a jednoho králíka ve druhém měsíci. Ve třetím měsíci již budou dva králíci, ve čtvrtém - tři atd. Uveďte počet králíků v n měsíc jako. Tímto způsobem
,
,
,
,
, …

Můžete si vytvořit algoritmus, který vám umožní najít pro všechny n.

Podle stavu problému je celkový počet králíků
v n+1 měsíc se rozloží na tři složky:

jednodenní králíci neschopní chovu, ve výši

;

Takto získáme

. (8.1)

Vzorec (8.1) umožňuje vypočítat řadu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

Čísla v této posloupnosti se nazývají fibonacciho čísla .

Pokud přijmete
a
, pak pomocí vzorce (8.1) můžeme určit všechna další Fibonacciho čísla. Nazývá se vzorec (8.1) opakující se vzorec ( opakování - „návrat“ v latině).

Příklad 8.1.Předpokládejme, že je uvnitř schodiště n kroky. Můžeme to vyšplhat po krocích po jednom kroku, nebo - po krocích po dvou krocích. Kolik kombinací různých způsobů zvedání existuje?

Pokud n \u003d 1, existuje pouze jedno řešení problému. Pro n \u003d 2 existují 2 možnosti: dva jednoduché kroky nebo jeden dvojitý. Pro n \u003d 3 existují 3 možnosti: tři jednotkové kroky, nebo jedna jednotka a jedna dvojitá nebo jedna dvojitá a jedna jednotka.

V následujícím případě n \u003d 4, máme 5 možností (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Abychom mohli odpovědět na otázku náhodně n, označte počet možností jako , a zkuste to určit
slavný a
. Začneme-li jediným krokem, pak máme kombinace pro zbývající n kroky. Začneme-li dvojitým krokem, pak máme
kombinace pro zbývající n–1 kroků. Celkový počet možností pro nKroky +1 se rovná

. (8.2)

Výsledný vzorec jako dvojče se podobá vzorci (8.1). To však neumožňuje určit počet kombinací s Fibonacciho čísly . Vidíme to například
ale
. Dochází však k následujícímu vztahu:

To je pravda n \u003d 1, 2 a platí také pro každého n. Fibonacciho čísla a počet kombinací jsou vypočteny pomocí stejného vzorce, ale počáteční hodnoty
,
a
,
liší se.

Příklad 8.2.Tento příklad má praktický význam pro problémy s opravou chyb při kódování. Najděte počet všech binárních slov délky nneobsahující více nul v řadě. Označte toto číslo uživatelem . Očividně
a slova délky 2 splňující naše omezení jsou: 10, 01, 11, tj.
. Nechat
- takové slovo od n postavy. Pokud symbol
pak
může být libovolný (
) je písmeno, které neobsahuje několik nul v řadě. Takže počet slov s jednotkou na konci je
.

Pokud je symbol
pak si být jistý
a první
charakter
může být libovolné s přihlédnutím k uváženým omezením. Proto existuje
slova délky n s nulou na konci. Celkový počet slov, která nás zajímají, se tedy rovná

Vzhledem k tomu, že
a
, výsledná posloupnost čísel jsou Fibonacciho čísla.

Příklad 8.3V příkladu 7.6 jsme zjistili, že počet binárních slov konstantní váhy t (a délka k) je stejný . Nyní najděte počet binárních slov konstantní váhy tneobsahující více nul v řadě.

Můžete takhle uvažovat. Nechat
počet nul v dotyčných slovech. Jakékoli slovo má
mezery mezi nejbližšími nulami, z nichž každá obsahuje jednu nebo více jednotek. Předpokládá se, že
. Jinak neexistuje jediné slovo bez sousedních nul.

Pokud z každé mezery odstraníme přesně jednu jednotku, dostaneme slovo délky
obsahující nuly. Každé takové slovo lze získat naznačeným způsobem od některých (a navíc pouze jednoho) kdopis obsahující nuly, žádné z nich nestojí bok po boku. Požadované číslo se tedy shoduje s počtem všech slov o délce
obsahující přesně nuly, tj. rovná se
.

Příklad 8.4.Dokážeme to
rovná se Fibonacciho číslům pro jakékoli celé číslo . Symbol
označuje nejmenší celé číslo větší nebo rovno . Například, pokud
pak
; a pokud
pak
strop („Strop“). Také je zde symbol
což označuje největší celé číslo menší nebo rovno . V angličtině se tato operace nazývá podlaha („Pohlaví“).

Pokud
pak
. Pokud
pak
. Pokud
pak
.

Pro uvažované případy se tedy součet skutečně rovná číslům Fibonacciho. Nyní dáváme důkaz pro obecný případ. Protože Fibonacciho čísla lze získat pomocí rekurenční rovnice (8.1), pak rovnost

A opravdu:

Zde jsme použili dříve získaný vzorec (4.4):
.

Součet Fibonacciho čísel

Určíme součet prvního n Fibonacciho čísla.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Je snadné vidět, že přidáním jedné na pravou stranu každé rovnice získáme znovu Fibonacciho číslo. Obecný vzorec pro určení součtu prvního n Fibonacciho čísla mají tvar:

Dokazujeme to pomocí metody matematické indukce. Za tímto účelem píšeme:

Tato částka by se měla rovnat
.

Snížením levé a pravé strany rovnice o –1 dostaneme rovnici (6.1).

Vzorec pro Fibonacciho čísla

Věta 8.1. Fibonacciho čísla lze vypočítat podle vzorce

Důkaz. Ověřujeme platnost tohoto vzorce pro n \u003d 0, 1, a potom dokážeme platnost tohoto vzorce pro libovolný n indukcí. Vypočítáme poměr dvou nejbližších čísel Fibonacciho:

Vidíme, že poměr těchto čísel kolísá kolem 1,618 (pokud ignorujete prvních několik hodnot). Podle této vlastnosti se členové geometrické progrese podobají Fibonacciho číslům. Přijme
, (
) Pak výraz

převedeno na

který po zjednodušení vypadá takto

Dostali jsme kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou stejné:

Nyní můžeme napsat:

(kde c je konstanta). Oba členové a například nedávejte Fibonacciho čísla
zatímco
. Nicméně rozdíl
splňuje opakující se rovnici:

Pro n\u003d 0, tento rozdíl dává , tj.
. Kdy ale n\u003d 1 máme
. Chcete-li získat
, musíte přijmout:
.

Nyní máme dvě sekvence: a
které začínají stejnými dvěma čísly a splňují stejný vzorec opakování. Měli by být rovni:
. Věta je prokázána.

S rostoucím n člen být velmi velký, zatímco
a role člena rozdíl je snížen. Proto pro velké n přibližně můžeme psát

Ignorujeme 1/2 (protože počet Fibonacci roste do nekonečna s růstem n ad infinitum).

Postoj
volal zlatý poměr, používá se mimo matematiku (například ve sochařství a architektuře). Zlatý poměr je poměr mezi úhlopříčkou a stranou pravidelný pětiúhelník (Obr. 8.1).

Obr. 8.1. Pravidelný pětiúhelník a jeho úhlopříčky

Pro označení zlatého poměru je obvyklé používat písmeno
na počest slavného aténského sochaře Phidiase.

Prvočísla

Všechna přirozená čísla, velké jednotky, spadají do dvou tříd. První zahrnuje čísla, která mají přesně dva přirozené dělitele, jeden a sebe, druhý - všechny ostatní. Jsou volána čísla první třídy jednoduchéa druhý - kompozitní. Počáteční čísla v prvních třech desítkách: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Vlastnosti prvočísel a jejich vztah ke všem přirozeným číslům studoval Euclid (3. století před naším letopočtem). Pokud zapíšete prvočísla v řadě, všimnete si, že jejich relativní hustota klesá. V prvních deseti, tj. 40%, ve stovkách - 25, tj. 25% na tisíc - 168, tj. méně než 17%, na milion - 78498, tj. méně než 8% atd. Jejich celkový počet je však nekonečný.

Mezi prvočísla existují dvojice takových, jejichž rozdíl je roven dvěma (tzv.) jednoduchá dvojčata), konečnost nebo nekonečno takových párů však nebylo prokázáno.

Euclid považoval za zřejmé, že vynásobením pouze prvočísel lze získat všechna přirozená čísla a každé přirozené číslo lze jedinečně reprezentovat jako produkt prvočísel (až do řádu faktorů). Prvočísla tak tvoří multiplikativní základ přirozené řady.

Studium distribuce prvočísel vedlo k vytvoření algoritmu, který vám umožní získat tabulky prvočísel. Takový algoritmus je síto eratosthenes (3. století před naším letopočtem). Tato metoda spočívá v prosévání (například proškrtnutím) těch celých čísel dané posloupnosti
které jsou dělitelné alespoň jedním z prvočísel
.

Věta 8 . 2 . (Euklidovská věta). Počet prvočísel je nekonečný.

Důkaz. Euklidovskou větu o nekonečnosti prvočísel prokazujeme metodou navrženou Leonardem Eulerem (1707–1783). Euler zkontroloval produkt u všech prvočísel str:

v
. Tento produkt se sbližuje, a pokud je odhalen, pak se díky jedinečnosti rozkladu přirozených čísel na hlavní faktory ukáže, že se rovná součtu řady , odkud následuje Eulerova identita:

Od kdy
protože série napravo se liší (harmonická řada), pak Eulcleanova věta vyplývá z Eulerovy identity.

Ruský matematik P.L. Chebyshev (1821–1894) odvodil vzorec definující limity, ve kterých leží počet prvočísel
nepřesahující X:

kde
,
.