Limita funkce – definice, věty a vlastnosti. Limita posloupnosti a funkce. Limitní věty Určení limity funkce podle Heineho
Limita funkce v bodě a v
Limita funkce je hlavním aparátem matematické analýzy. S jeho pomocí se následně určí spojitost funkce, derivace, integrál a součet řady.
Nechť funkci y=F(X)definované v nějakém sousedství bodu 
, snad kromě samotného bodu 
.
Formulujme dvě ekvivalentní definice limity funkce v bodě.
Definice 1 (v „jazyku sekvencí“ nebo podle Heineho). Číslo b volal limit funkce
y=F(X)
na místě
(nebo kdy 
), pokud pro jakoukoli sekvenci platných hodnot argumentů 
konvergující k
(ti. 
), posloupnost odpovídajících funkčních hodnot 
konverguje k číslu b(ti. 
).
V tomto případě píšou 
nebo 
na 
. Geometrický význam limity funkce: 
znamená, že pro všechny body X, dostatečně blízko k bodu
, odpovídající hodnoty funkce se od čísla liší tak málo, jak je požadováno b.
Definice 2 (v „jazyce“, nebo podle Cauchyho). Číslo b volal limit funkce
y=F(X)
na místě
(nebo kdy 
), pokud pro libovolné kladné číslo existuje kladné číslo takové, že pro všechny 
uspokojení nerovnosti 
, nerovnost platí 
.
Zapsat 
.
Tuto definici lze stručně zapsat takto:
všimněte si, že 
dá se to napsat takto 
.
G 
geometrický význam limity funkce: 
, pokud pro nějaké okolí bodu b existuje takové sousedství bodu
to je pro všechny 
z tohoto okolí odpovídající hodnoty funkce F
(X) leží v okolí bodu b. Jinými slovy, body na grafu funkce y
=
F
(X) leží uvnitř pruhu šířky 2 ohraničeného přímkami na
= b + ,
na = b (obrázek 17). Je zřejmé, že hodnota závisí na volbě , takže píší = ().
Příklad Dokázat to 
Řešení
. Vezměme libovolné 0 a najdeme = () 0 takové, že pro všechny X 
, nerovnost platí 
. Od od 
těch. 
, pak brát 
, to vidíme u všech X, uspokojující nerovnost 
, nerovnost platí 
. Proto, 
Příklad Dokažte, že pokud F
(X) =
S, Že 
.
Řešení
. Pro 
můžeš si to vzít 
. Potom v 
my máme . Proto, 
.
Při definování limity funkce 
Věří se, že X usiluje o
jakýmkoliv způsobem: zbývající méně než
(nalevo od
), větší než
(napravo od
), nebo kolísání kolem bodu
.
Existují případy, kdy metoda aproximace argumentu X Na
významně ovlivňuje hodnotu limitu funkce. Proto se zavádějí pojmy jednostranné limity.
Definice. Číslo 
volal limit funkce
y=F(X)
vlevo, odjet
na místě
, jestliže pro libovolné číslo 0 existuje číslo = () 0 takové, že pro 
, nerovnost platí 
.
Limit vlevo je zapsán následovně 
nebo krátce 
(Dirichletův zápis) (Obrázek 18).
Definováno podobně limit funkce vpravo , zapišme to pomocí symbolů:
Krátce je označena hranice vpravo 
.
P 
Volají se limity funkce vlevo a vpravo jednosměrné limity
. Samozřejmě, pokud existuje 
, pak existují obě jednostranné limity a 
.
Platí to i obráceně: pokud existují obě limity 
A 
a jsou si rovni, pak existuje limit 
A .
Li 
, Že 
neexistuje.
Definice. Nechte funkci y=F(X) je definován v intervalu 
. Číslo b volal limit funkce
y=F(X)
na
X , pokud pro libovolné číslo 0 takové číslo existuje M
= M() 0, což pro všechny X, uspokojující nerovnost 
nerovnost platí 
. Stručně lze tuto definici zapsat takto:
E 
-li X +, pak napíšou 
, Pokud X , pak píšou 
, Pokud 
=
, pak se obvykle označuje jejich obecný význam 
.
Geometrický význam této definice je následující: pro 
, že v 
A 
odpovídající funkční hodnoty y=F(X) spadají do okolí bodu b, tj. body grafu leží v pruhu širokém 2 ohraničeném přímkami 
A 
(Obrázek 19).
Funkce y = f (X) je zákon (pravidlo), podle kterého je každý prvek x množiny X spojen s jedním a pouze jedním prvkem y množiny Y.
Prvek x ∈ X volal argument funkce nebo nezávislé proměnné.
Prvek y ∈ Y volal funkční hodnotu nebo závislá proměnná.
Množina X se nazývá doména funkce.
Sada prvků y ∈ Y, které mají předobrazy v množině X, se nazývá oblast nebo soubor funkčních hodnot.
Zavolá se skutečná funkce omezeno shora (zdola), pokud existuje číslo M takové, že nerovnost platí pro všechny:
.
Je volána funkce čísla omezený, pokud existuje číslo M takové, že pro všechny:
.
Horní okraj nebo přesná horní hranice Reálná funkce se nazývá nejmenší číslo, které omezuje její rozsah hodnot shora. To znamená, že toto je číslo s, pro které pro každého a pro libovolné existuje argument, jehož funkční hodnota přesahuje s′: .
Horní mez funkce lze označit takto:
.
Respektive spodní okraj nebo přesná spodní hranice Reálná funkce se nazývá největší číslo, které omezuje její rozsah hodnot zdola. To znamená, že toto je číslo i, pro které pro každého a pro libovolné existuje argument, jehož funkční hodnota je menší než i′: .
Infimum funkce lze označit takto:
.
Určení limity funkce
Určení limity funkce podle Cauchyho
Konečné limity funkce v koncových bodech
Nechť je funkce definována v nějakém sousedství koncového bodu, možná s výjimkou samotného bodu. v bodě if for any existuje taková věc, v závislosti na , že pro všechny x pro které platí nerovnost
.
Limita funkce je označena takto:
.
Nebo v .
Pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti lze definici limity funkce zapsat takto:
.
Jednostranné limity.
Levý limit v bodě (levý limit):
.
Pravý limit v bodě (pravý limit):
.
Levý a pravý limit jsou často označovány takto:
;
.
Konečné limity funkce v bodech v nekonečnu
Limity v bodech v nekonečnu se určují podobným způsobem.
.
.
.
Často jsou označovány jako:
;
;
.
Použití konceptu okolí bodu
Zavedeme-li koncept punktovaného okolí bodu, pak můžeme dát jednotnou definici konečné limity funkce v konečných a nekonečně vzdálených bodech:
.
Zde pro koncové body
;
;
.
Jakékoli okolí bodů v nekonečnu je proraženo:
;
;
.
Nekonečné funkční limity
Definice
Nechť je funkce definována v nějakém proraženém okolí bodu (konečném nebo v nekonečnu). Limita funkce f (X) jako x → x 0
rovná se nekonečnu, je-li pro libovolné libovolně velké číslo M > 0
, existuje číslo δ M > 0
, v závislosti na M, že pro všechna x patřící k proraženému δ M - okolí bodu: , platí následující nerovnost:
.
Nekonečná limita je označena takto:
.
Nebo v .
Pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti lze definici nekonečné limity funkce zapsat takto:
.
Můžete také zavést definice nekonečných limit určitých znaků rovných a :
.
.
Univerzální definice limity funkce
Pomocí konceptu okolí bodu můžeme dát univerzální definici konečné a nekonečné limity funkce, použitelnou jak pro konečné (oboustranné a jednostranné), tak pro nekonečně vzdálené body:
.
Určení limity funkce podle Heineho
Nechť je funkce definována na nějaké množině X:.
Číslo a se nazývá limita funkce v bodě:
,
jestliže pro jakoukoli posloupnost konvergující k x 0
:
,
jehož prvky patří do množiny X: ,
.
Napišme tuto definici pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti:
.
Vezmeme-li levostranné okolí bodu x jako množinu X 0 , pak získáme definici levé limity. Pokud je pravotočivý, pak dostaneme definici pravé limity. Vezmeme-li okolí bodu v nekonečnu jako množinu X, dostaneme definici limity funkce v nekonečnu.
Teorém
Cauchyho a Heineho definice limity funkce jsou ekvivalentní.
Důkaz
Vlastnosti a věty limity funkce
Dále předpokládáme, že uvažované funkce jsou definovány v odpovídajícím okolí bodu, což je konečné číslo nebo jeden ze symbolů: . Může to být i jednostranný mezní bod, tedy mít tvar nebo . Okolí je oboustranné pro oboustranný limit a jednostranné pro jednostranný limit.
Základní vlastnosti
Pokud jsou hodnoty funkce f (X) změnit (nebo učinit nedefinovaným) konečný počet bodů x 1, x 2, x 3, ... x n, pak tato změna neovlivní existenci a hodnotu limity funkce v libovolném bodě x 0 .
Pokud existuje konečná limita, pak existuje proražené okolí bodu x 0
, na kterém je funkce f (X) omezený:
.
Nechť má funkce v bodě x 0
konečná nenulová mez:
.
Pak pro libovolné číslo c z intervalu existuje takové proražené okolí bodu x 0
, k čemu ,
, Pokud ;
, Pokud .
Jestliže na nějakém proraženém okolí bodu je , konstanta, pak .
Pokud existují konečné limity a na nějakém proraženém okolí bodu x 0
,
Že .
Pokud , a na nějakém okolí bodu
,
Že .
Zejména pokud v nějakém sousedství bodu
,
potom jestliže , pak a ;
pokud , pak a .
Pokud na nějakém proraženém okolí bodu x 0
:
,
a existují konečné (nebo nekonečno určitého znaménka) stejné limity:
, Že
.
Důkazy hlavních vlastností jsou uvedeny na stránce
"Základní vlastnosti limity funkce."
Aritmetické vlastnosti limity funkce
Nechť funkce a jsou definovány v nějakém propíchnutém okolí bodu. A nechť existují konečné limity:
A .
A nechť C je konstanta, tedy dané číslo. Pak
;
;
;
, Pokud .
Pokud, tak.
Důkazy aritmetických vlastností jsou uvedeny na stránce
„Aritmetické vlastnosti limit funkce“.
Cauchyho kritérium pro existenci limity funkce
Teorém
Aby funkce definovaná na nějakém proraženém okolí konečného nebo v nekonečnu bodu x 0
, měl v tomto bodě konečnou limitu, je nutné a postačující, aby pro jakékoli ε > 0
bylo tam takové proražené okolí bodu x 0
, že pro všechny body a z tohoto okolí platí následující nerovnost:
.
Limita komplexní funkce
Věta o limitě komplexní funkce
Nechte funkci mít limitu a mapujte děrované okolí bodu na děrované okolí bodu. Nechť je funkce definována na tomto okolí a má na něj limitu.
Zde jsou konečné nebo nekonečně vzdálené body: . Sousedství a jim odpovídající limity mohou být oboustranné nebo jednostranné.
Pak existuje limita komplexní funkce a je rovna:
.
Limitní teorém komplexní funkce se aplikuje, když funkce není definována v bodě nebo má hodnotu odlišnou od limity. Chcete-li použít tuto větu, musí existovat punktované okolí bodu, kde množina hodnot funkce neobsahuje bod:
.
Pokud je funkce spojitá v bodě , lze znaménko limity použít na argument spojité funkce:
.
Následuje věta odpovídající tomuto případu.
Věta o limitě spojité funkce funkce
Nechť existuje limita funkce g (t) jako t → t 0
a rovná se x 0
:
.
Zde je bod t 0
může být konečná nebo nekonečně vzdálená: .
A nechť funkci f (X) je spojitý v bodě x 0
.
Pak existuje limita komplexní funkce f (g(t)) a rovná se f (x0):
.
Důkazy teorémů jsou uvedeny na stránce
„Limita a kontinuita komplexní funkce“.
Infinitezimální a nekonečně velké funkce
Infinitezimální funkce
Definice
O funkci se říká, že je nekonečně malá, jestliže
.
Součet, rozdíl a součin z konečného počtu infinitezimálních funkcí v je nekonečně malá funkce v .
Součin funkce ohraničené na nějakém proraženém okolí bodu , k infinitesimálnímu at je nekonečně malá funkce v .
Aby funkce měla konečnou limitu, je to nutné a dostačující
,
kde je infinitezimální funkce v .
„Vlastnosti infinitezimálních funkcí“.
Nekonečně velké funkce
Definice
O funkci se říká, že je nekonečně velká, jestliže
.
Součet nebo rozdíl omezené funkce na nějakém propíchnutém okolí bodu , a nekonečně velké funkce v je nekonečně velká funkce v .
Pokud je funkce nekonečně velká pro a funkce je omezena na nějaké proražené okolí bodu , pak
.
Pokud funkce na nějakém proraženém okolí bodu vyhovuje nerovnosti:
,
a funkce je nekonečně malá při:
, a (na nějakém proraženém okolí bodu), pak
.
Důkazy vlastností jsou uvedeny v části
„Vlastnosti nekonečně velkých funkcí“.
Vztah mezi nekonečně velkými a nekonečně malými funkcemi
Z obou předchozích vlastností vyplývá souvislost mezi nekonečně velkými a nekonečně malými funkcemi.
Pokud je funkce nekonečně velká v , pak je funkce nekonečně malá v .
Pokud je funkce nekonečně malá pro , a , pak je funkce nekonečně velká pro .
Vztah mezi nekonečně malou a nekonečně velkou funkcí lze vyjádřit symbolicky:
,
.
Pokud má infinitezimální funkce určité znaménko v , to znamená, že je kladná (nebo záporná) na nějakém proraženém okolí bodu , pak lze tuto skutečnost vyjádřit následovně:
.
Stejným způsobem, pokud má nekonečně velká funkce určité znaménko v , pak píší:
.
Potom lze symbolickou souvislost mezi nekonečně malými a nekonečně velkými funkcemi doplnit o následující vztahy:
,
,
,
.
Další vzorce týkající se symbolů nekonečna naleznete na stránce
"Body v nekonečnu a jejich vlastnosti."
Limity monotónních funkcí
Definice
Zavolá se funkce definovaná na nějaké množině reálných čísel X přísně rostoucí, pokud pro všechny platí následující nerovnost:
.
V souladu s tím pro přísně klesající funkce platí následující nerovnost:
.
Pro neklesající:
.
Pro nerostoucí:
.
Z toho vyplývá, že přísně rostoucí funkce je také neklesající. Striktně klesající funkce je také nerostoucí.
Funkce je volána monotónní, pokud je neklesající nebo nerostoucí.
Teorém
Nechť funkce neklesá na intervalu kde .
Je-li výše omezena číslem M:, pak existuje konečná limita. Pokud není omezena shora, pak .
Pokud je zespodu omezena číslem m: pak existuje konečná limita. Pokud není omezena zdola, pak .
Jsou-li body a a b v nekonečnu, pak ve výrazech limitní znaménka znamenají, že .
Tato věta může být formulována kompaktněji.
Nechť funkce neklesá na intervalu kde . Pak jsou v bodech a a b jednostranné limity:
;
.
Podobná věta pro nerostoucí funkci.
Nechť se funkce nezvyšuje na intervalu kde . Pak existují jednostranné limity:
;
.
Důkaz věty je uveden na stránce
„Meze monotónních funkcí“.
Reference:
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematické analýzy. Svazek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematické analýzy. Svazek 1. Moskva, 1983.
Konstantní číslo A volal omezit sekvence(x n ), pokud pro libovolné libovolně malé kladné čísloε > 0 existuje číslo N, které má všechny hodnoty x n, pro které n>N splňují nerovnost
|x n - a|< ε. (6.1)
Zapište to následovně: nebo x n → A.
Nerovnice (6.1) je ekvivalentní dvojité nerovnosti
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
což znamená, že body x n, počínaje nějakým číslem n>N, leží uvnitř intervalu (a-ε, a+ ε ), tj. spadnout do jakékoli maléε - sousedství bodu A.
Zavolá se posloupnost, která má limitu konvergentní, v opačném případě - divergentní.
Pojem limity funkce je zobecněním konceptu limity posloupnosti, protože limitu posloupnosti lze považovat za limitu funkce x n = f(n) celočíselného argumentu. n.
Nechť je dána funkce f(x) a nechť A - limitní bod obor definice této funkce D(f), tzn. takový bod, jehož libovolné okolí obsahuje body množiny D(f) jiné než A. Tečka A může nebo nemusí patřit do množiny D(f).
Definice 1.Konstanta A se nazývá omezit funkcí f(x) na x→a, pokud pro libovolnou sekvenci (x n ) hodnot argumentů mající tendenci A, odpovídající posloupnosti (f(x n)) mají stejnou limitu A.
Tato definice se nazývá definováním limity funkce podle Heineho, nebo " v sekvenčním jazyce”.
Definice 2. Konstanta A se nazývá omezit funkcí f(x) na x→a, jestliže, zadáním libovolného libovolně malého kladného čísla ε, lze najít takové δ>0 (v závislosti na ε), který je pro každého X, ležící vε-okolí čísla A, tj. Pro X, uspokojující nerovnost
0 <
x-a< ε
, hodnoty funkce f(x) budou ležet vε-okolí čísla A, tzn.|f(x)-A|<
ε.
Tato definice se nazývá definováním limity funkce podle Cauchyho, nebo “v jazyce ε - δ “.
Definice 1 a 2 jsou ekvivalentní. Pokud funkce f(x) jako x →má omezit, rovno A, to je zapsáno ve tvaru
. (6.3)
V případě, že posloupnost (f(x n)) roste (nebo klesá) bez omezení pro jakoukoli metodu aproximace X na váš limit A, pak řekneme, že funkce f(x) má nekonečný limit, a napište to ve tvaru:
Zavolá se proměnná (tj. posloupnost nebo funkce), jejíž limita je nula nekonečně malý.
Zavolá se proměnná, jejíž limita je rovna nekonečnu nekonečně velký.
K nalezení limity v praxi se používají následující věty.
Věta 1 . Pokud existuje každý limit
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentář. Výrazy jako 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - jsou nejisté, například poměr dvou nekonečně malých nebo nekonečně velkých veličin, a nalezení limitu tohoto typu se nazývá „odhalení nejistot“.
Věta 2. (6.7)
těch. lze jít na limit založený na mocnině s konstantním exponentem, zejména 
;
(6.8)
(6.9)
Věta 3.
(6.10)
(6.11)
Kde E » 2.7 - základ přirozeného logaritmu. Vzorce (6.10) a (6.11) se nazývají první úžasný limit a druhý pozoruhodný limit.
V praxi se také používají důsledky vzorce (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
zejména limit,
Pokud x → a a zároveň x > a, pak napište x→a + 0. Pokud konkrétně a = 0, pak místo symbolu 0+0 napište +0. Podobně pokud x→a a zároveň x 
a podle toho se nazývají pravý limit A levý limit funkcí f(x) na místě A. Aby existovala limita funkce f(x) jako x→a je nutné a dostačující k tomu 
. Je volána funkce f(x). kontinuální na místě x 0 pokud limit
. (6.15)
Podmínku (6.15) lze přepsat jako:
,
to znamená, že přechod k limitě pod znaménkem funkce je možný, pokud je v daném bodě spojitá.
Pokud je porušena rovnost (6.15), pak to říkáme na x = xo funkce f(x) Má to mezera Uvažujme funkci y = 1/x. Definiční doménou této funkce je množina R, kromě x = 0. Bod x = 0 je limitním bodem množiny D(f), jelikož v libovolném jejím okolí, tzn. v libovolném otevřeném intervalu obsahujícím bod 0 jsou body z D(f), ale on sám do této množiny nepatří. Hodnota f(x o)= f(0) není definována, takže v bodě x o = 0 má funkce nespojitost.
Je volána funkce f(x). souvisle vpravo v bodě x o je-li limit
,
A kontinuální vlevo v bodě x o, je-li limit
.
Spojitost funkce v bodě xo je ekvivalentní jeho kontinuitě v tomto bodě vpravo i vlevo.
Aby funkce byla v bodě spojitá xo, např. vpravo, je nutné za prvé, aby existovala konečná limita, a za druhé, aby tato limita byla rovna f(x o). Pokud tedy není splněna alespoň jedna z těchto dvou podmínek, pak funkce bude mít diskontinuitu.
1. Pokud limita existuje a není rovna f(x o), pak to říkají funkce f(x) na místě x o má prasknutí prvního druhu, nebo skok.
2. Pokud je limit+∞ nebo -∞ nebo neexistuje, pak říkají, že v směřovat xo funkce má diskontinuitu druhý druh.
Například funkce y = postýlka x na x→ +0 má limit rovný +∞, což znamená, že v bodě x=0 má nespojitost druhého druhu. Funkce y = E(x) (celočíselná část X) v bodech s celou úsečkou má nespojitosti prvního druhu nebo skoky.
Zavolá se funkce, která je spojitá v každém bodě intervalu kontinuální V . Spojitá funkce je reprezentována plnou křivkou.
Mnoho problémů spojených s neustálým růstem nějaké veličiny vede k druhé pozoruhodné hranici. Mezi takové úkoly patří například: růst ložisek podle zákona složeného úročení, růst populace země, rozpad radioaktivních látek, množení bakterií atd.
Uvažujme příklad Ya I. Perelmana, poskytující výklad čísla E v problému složeného úroku. Číslo E existuje limit 
. Ve spořitelnách se k fixnímu kapitálu ročně přidávají úroky. Pokud se přistoupení provádí častěji, pak kapitál roste rychleji, protože větší množství se podílí na tvorbě úroků. Vezměme si čistě teoretický, velmi zjednodušený příklad. Ať je v bance uloženo 100 denierů. Jednotky na základě 100 % ročně. Pokud se úrokové peníze přidají k fixnímu kapitálu až po roce, pak do této doby 100 den. Jednotky se změní na 200 peněžních jednotek. Nyní se podívejme, v co se 100 denize promění. jednotek, pokud se k fixnímu kapitálu každých šest měsíců přidávají úroky. Po šesti měsících 100 den. Jednotky naroste na 100×
1,5 = 150 a po dalších šesti měsících - 150×
1,5 = 225 (den. jednotky). Pokud se přistoupení provádí každou 1/3 roku, pak po roce 100 den. Jednotky se změní na 100× (1 + 1/3) 3" 237 (den. jednotky). Zvýšíme podmínky pro přidání úrokových peněz na 0,1 roku, na 0,01 roku, na 0,001 roku atd. Pak ze 100 den. Jednotky po roce to bude:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jednotky),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jednotky),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jednotky).
Při neomezeném krácení podmínek pro přičítání úroků akumulovaný kapitál neroste donekonečna, ale blíží se určité hranici rovnající se přibližně 271. Kapitál uložený ve výši 100 % ročně nemůže vzrůst více než 2,71krát, i když naběhlý úrok byly přidány do hlavního města každou sekundu, protože limit
Příklad 3.1.Pomocí definice limity číselné řady dokažte, že posloupnost x n =(n-1)/n má limitu rovnou 1.
Řešení.Musíme to dokázat, ať se děje cokolivε > 0, ať vezmeme cokoli, pro to existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n N platí nerovnost|x n -1|< ε.
Vezměme libovolné e > 0. Protože ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pak k nalezení N stačí vyřešit nerovnost 1/n< E. Proto n>1/e a proto N lze brát jako celočíselnou část 1/ e, N = E(l/e ). Tím jsme dokázali, že limit .
Příklad 3.2
. Najděte limitu posloupnosti dané společným členem 
.
Řešení.Aplikujme limitu věty o součtu a najdeme limitu každého členu. Když n→ ∞ čitatel a jmenovatel každého členu směřuje k nekonečnu a nemůžeme přímo použít větu o kvocientové limitě. Proto nejprve transformujeme x n, dělící čitatel a jmenovatel prvního členu n 2, a druhý na n. Potom pomocí limity kvocientu a limity věty o součtu zjistíme:
.
Příklad 3.3. 
. Najít .
Řešení. 
.
Zde jsme použili větu o limitě stupně: limita stupně se rovná stupni limity báze.
Příklad 3.4
. Najít ( 
).
Řešení.Je nemožné použít teorém limity diference, protože máme neurčitost tvaru ∞-∞ . Převedeme obecný termínový vzorec:
.
Příklad 3.5 . Je dána funkce f(x)=2 1/x. Dokažte, že neexistuje žádný limit.
Řešení.Použijme definici 1 limity funkce prostřednictvím posloupnosti. Vezměme posloupnost ( x n ) konvergující k 0, tzn. Ukažme, že hodnota f(x n)= se chová pro různé posloupnosti odlišně. Nechť x n = 1/n. Samozřejmě, pak limit 
Vyberme nyní jako x n posloupnost se společným členem x n = -1/n, rovněž směřující k nule. 
Proto neexistuje žádný limit.
Příklad 3.6 . Dokažte, že neexistuje žádný limit.
Řešení.Nechť x 1 , x 2 ,..., x n ,... je posloupnost, pro kterou
. Jak se chová posloupnost (f(x n)) = (sin x n) pro různá x n → ∞
Jestliže x n = p n, pak sin x n = sin p n = 0 pro všechny n a limit If
x n = 2 p n+ p /2, pak sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pro všechny n a tedy limit. Takže neexistuje.
Widget pro výpočet limitů on-line
V horním okně zadejte místo sin(x)/x funkci, jejíž limit chcete najít. Ve spodním okně zadejte číslo, ke kterému se x blíží a klikněte na tlačítko Výpočet, získejte požadovaný limit. A pokud ve výsledkovém okně kliknete na Zobrazit kroky v pravém horním rohu, získáte podrobné řešení.
Pravidla pro zadávání funkcí: sqrt(x) - druhá odmocnina, cbrt(x) - odmocnina, exp(x) - exponent, ln(x) - přirozený logaritmus, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangens, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arkkosinus, arctan(x) - arctangens. Znaky: * násobení, / dělení, ^ umocňování, místo toho nekonečno Nekonečno. Příklad: funkce je zadána jako sqrt(tan(x/2)).
Řešení limity online funkcí. Najděte mezní hodnotu funkce nebo funkční posloupnosti v bodě, vypočítejte Ultimátni hodnota funkce v nekonečnu. určení konvergence číselné řady a mnohem více lze provést díky naší online službě -. Umožňujeme vám rychle a přesně najít limity funkcí online. Sami zadáte funkční proměnnou a mez, ke které směřuje, a naše služba za vás provede všechny výpočty a dá přesnou a jednoduchou odpověď. A pro najít limit online můžete zadat jak číselné řady, tak analytické funkce obsahující konstanty v doslovném vyjádření. V tomto případě bude nalezená limita funkce obsahovat tyto konstanty jako konstantní argumenty ve výrazu. Naše služba řeší všechny složité problémy s hledáním limity online, stačí uvést funkci a bod, ve kterém je potřeba počítat mezní hodnota funkce. Počítání online limity, můžete použít různé metody a pravidla pro jejich řešení a přitom kontrolovat dosažený výsledek pomocí řešení limitů online na www.site, což povede k úspěšnému dokončení úkolu - vyhnete se vlastním chybám a administrativním chybám. Nebo nám můžete zcela důvěřovat a použít náš výsledek ve své práci, aniž byste museli vynakládat další úsilí a čas na samostatné počítání limitu funkce. Umožňujeme zadávání mezních hodnot, jako je nekonečno. Je nutné zadat společný člen číselné řady a www.stránka vypočítá hodnotu limit online do plus mínus nekonečna.
Jedním ze základních pojmů matematické analýzy je limit funkce A limit sekvence v bodě a v nekonečnu je důležité umět správně řešit limity. S naší službou to nebude těžké. Je učiněno rozhodnutí limity online během několika sekund je odpověď přesná a úplná. Studium matematické analýzy začíná přechod na limit, limity se používají téměř ve všech oblastech vyšší matematiky, takže je užitečné mít po ruce server online řešení limitů, což je web.
Funkční limit- číslo A bude limitou nějaké proměnné veličiny, jestliže se v procesu její změny tato proměnná veličina neomezeně přiblíží A.
Nebo jinými slovy číslo A je limita funkce y = f(x) na místě x 0, pokud pro libovolnou posloupnost bodů z oboru definice funkce není rovno x 0, a který konverguje k věci x 0 (lim x n = x0), sekvence odpovídajících funkčních hodnot konverguje k číslu A.
Graf funkce, jejíž limita za předpokladu argumentu, který má tendenci k nekonečnu, je rovna L:
Význam A je limit (mezní hodnota) funkce f(x) na místě x 0 v případě jakékoli sekvence bodů 
, která konverguje k x 0, který však neobsahuje x 0 jako jeden z jeho prvků (tj. v proraženém okolí x 0), posloupnost funkčních hodnot 
konverguje k A.
Limita Cauchyho funkce.
Význam A bude limit funkce f(x) na místě x 0 pokud je pro jakékoli nezáporné číslo předem přijato ε bude nalezeno odpovídající nezáporné číslo δ = δ(ε) tak, že pro každý argument X, splňující podmínku 0 < | x - x0 | < δ , nerovnost bude uspokojena | f(x)A |< ε .
Bude to velmi jednoduché, pokud pochopíte podstatu limitu a základní pravidla pro jeho nalezení. Jaká je limita funkce f (X) na XÚsilí o A rovná se A, se píše takto:
Navíc hodnota, ke které proměnná tíhne X, může být nejen číslo, ale také nekonečno (∞), někdy +∞ nebo -∞, nebo nemusí být žádná limita.
Abyste pochopili jak najít limity funkce, nejlepší je podívat se na příklady řešení.
Je potřeba najít meze funkce f (x) = 1/X na:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Pojďme najít řešení pro první limit. Chcete-li to provést, můžete jednoduše nahradit Xčíslo, ke kterému inklinuje, tzn. 2, dostaneme:
Pojďme najít druhou limitu funkce. Zde místo toho nahraďte čistou 0 X je to nemožné, protože Nelze dělit 0. Ale můžeme vzít hodnoty blízké nule, například 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 a tak dále a hodnotu funkce f (X) zvýší se: 100; 1000; 10 000; 100 000 a tak dále. Dá se tedy chápat, že když X→ 0 hodnota funkce, která je pod limitním znaménkem, se bude zvyšovat bez limitu, tzn. směřovat k nekonečnu. Což znamená:
Ohledně třetího limitu. Stejnou situaci jako v předchozím případě nelze nahradit ∞ ve své nejčistší podobě. Musíme zvážit případ neomezeného navýšení X. Dosazujeme 1000 jeden po druhém; 10 000; 100 000 a tak dále, máme tu hodnotu funkce f (x) = 1/X bude klesat: 0,001; 0,0001; 0,00001; a tak dále, sklon k nule. Proto:
Je nutné vypočítat limitu funkce 
Když začínáme řešit druhý příklad, vidíme nejistotu. Odtud najdeme nejvyšší stupeň čitatele a jmenovatele - to je x 3, vyjmeme jej ze závorek v čitateli a jmenovateli a poté zmenšíme o:
Odpovědět 
První krok v najít tuto hranici, nahraďte místo toho hodnotu 1 X, což má za následek nejistotu. Abychom to vyřešili, rozložme čitatel na faktor a to pomocí metody hledání kořenů kvadratické rovnice x 2 + 2x - 3:
D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ xi = -3;x 2= 1.
Čitatel tedy bude:
Odpovědět 
Jedná se o definici jeho konkrétní hodnoty nebo určité oblasti, kam funkce spadá, která je limitou omezena.
Chcete-li vyřešit limity, postupujte podle pravidel:
Po pochopení podstaty a hlavního pravidla pro řešení limit, získáte základní představu o tom, jak je vyřešit.
