Kosinus 3x. Trigonometrické vzorce. Vzorce pro převod součtu nebo rozdílu goniometrických funkcí
|BD| - délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.
Tangenta ( opálení α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene |BC| na délku sousedního ramene |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku protější nohy |BC| .
Tečna
Kde n- Celý.
V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.
Graf funkce tangens, y = tan x
Kotangens
Kde n- Celý.
V západní literatuře, kotangens je označován takto:
.
Přijímají se také následující zápisy:
;
;
.
Graf funkce kotangens, y = ctg x
Vlastnosti tečny a kotangens
Periodicita
Funkce y = tg x a y = ctg x jsou periodické s periodou π.
Parita
Funkce tangens a kotangens jsou liché.
Oblasti vymezení a hodnot, rostoucí, klesající
Funkce tangens a kotangens jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- Celý).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnot | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzrůstající | - | |
| Klesající | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Průsečík bodů se souřadnicovou osou x = 0 | y = 0 | - |
Vzorce
Výrazy pomocí sinus a kosinus
;
;
;
;
;
Vzorce pro tečnu a kotangens ze součtu a rozdílu
Zbývající vzorce lze snadno získat například
Součin tečen
Vzorec pro součet a rozdíl tečen
Tato tabulka uvádí hodnoty tečen a kotangens pro určité hodnoty argumentu. 
Výrazy pomocí komplexních čísel
Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
;
;
Deriváty
; .
.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu > > > ; pro kotangens >> >
Integrály
Rozšíření řady
Chcete-li získat rozšíření tečny v mocninách x, musíte vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x A cos x a rozdělte tyto polynomy navzájem, . Tím se získají následující vzorce.
Na .
na .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce: 
Inverzní funkce
Inverzní funkce tangens a kotangens jsou arkustangens a arkustangens, v tomto pořadí.
Arktangens, arctg
, Kde n- Celý.
Arccotangens, arcctg
, Kde n- Celý.
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro vědce a inženýry, 2012.
Na této stránce najdete všechny základní trigonometrické vzorce, které vám pomohou vyřešit mnoho cvičení a značně zjednoduší samotný výraz.
Goniometrické vzorce - matematické rovnosti pro goniometrické funkce, které se provádějí pro všechny platné hodnoty argumentů.
Vzorce upřesňují vztahy mezi základními goniometrickými funkcemi - sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Sinus úhlu je y-ová souřadnice bodu (ordináta) na jednotkové kružnici. Kosinus úhlu je x souřadnice bodu (úsečka).
Tangenta a kotangensa jsou poměry sinusu ke kosinusu a naopak.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`
A dva, které se používají méně často – secant, cosecant. Představují poměry 1 ku kosinu a sinu.
`s \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Z definic goniometrických funkcí je zřejmé, jaká znaménka mají v jednotlivých kvadrantech. Znaménko funkce závisí pouze na tom, ve kterém kvadrantu se argument nachází.
Při změně znaménka argumentu z „+“ na „-“ nemění svou hodnotu pouze funkce kosinus. Říká se tomu dokonce. Jeho graf je symetrický podle pořadnicové osy.
Zbývající funkce (sinus, tangens, kotangens) jsou liché. Při změně znaménka argumentu z „+“ na „-“ se jejich hodnota také změní na zápornou. Jejich grafy jsou symetrické podle původu.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Základní goniometrické identity
Základní goniometrické identity jsou vzorce, které vytvářejí spojení mezi goniometrickými funkcemi jednoho úhlu (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) a které umožňují zjistit hodnotu každá z těchto funkcí prostřednictvím jakékoli známé jiné.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`
Vzorce pro součet a rozdíl úhlů goniometrických funkcí
Vzorce pro sčítání a odečítání argumentů vyjadřují goniometrické funkce součtu nebo rozdílu dvou úhlů pomocí goniometrických funkcí těchto úhlů.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Vzorce s dvojitým úhlem
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Vzorce trojitého úhlu
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Vzorce polovičního úhlu
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Vzorce pro poloviční, dvojité a trojité argumenty vyjadřují funkce `sin, \cos, \tg, \ctg` těchto argumentů (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) přes tyto funkce argument `\alpha`.
Jejich závěr lze získat z předchozí skupiny (sčítání a odečítání argumentů). Například identity dvojitého úhlu lze snadno získat nahrazením `\beta` za `\alpha`.
Vzorce pro snížení stupně
Vzorce čtverců (krychlí apod.) goniometrických funkcí umožňují pohybovat se od 2,3,... stupňů k goniometrickým funkcím prvního stupně, ale více úhlů (`\alpha, \3\alpha, \... ` nebo `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí
Vzorce jsou transformace součtu a rozdílu goniometrických funkcí různých argumentů na součin.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Zde dochází k transformaci sčítání a odčítání funkcí jednoho argumentu na součin.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Následující vzorce převádějí součet a rozdíl jedné a goniometrické funkce na součin.
`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \\alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \\alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(hřích \ \alfa \ hřích \ \beta)`
Vzorce pro převod součinů funkcí
Vzorce pro převod součinu goniometrických funkcí s argumenty `\alpha` a `\beta` na součet (rozdíl) těchto argumentů.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))“.
Univerzální trigonometrické substituce
Tyto vzorce vyjadřují goniometrické funkce v podmínkách tangens polovičního úhlu.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Redukční vzorce
Redukční vzorce lze získat pomocí takových vlastností goniometrických funkcí, jako je periodicita, symetrie a vlastnost posunutí o daný úhel. Umožňují převádět funkce libovolného úhlu na funkce, jejichž úhel je mezi 0 a 90 stupni.
Pro úhel (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) nebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pro úhel (`\pi \pm \alpha`) nebo (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=hřích \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pro úhel (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) nebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pro úhel (`2\pi \pm \alpha`) nebo (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Vyjádření některých goniometrických funkcí z hlediska jiných
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`
Trigonometrie se doslova překládá jako „měření trojúhelníků“. Začíná se studovat ve škole, pokračuje podrobněji na univerzitách. Proto jsou potřebné základní vzorce v trigonometrii počínaje 10. ročníkem a také pro složení jednotné státní zkoušky. Označují souvislosti mezi funkcemi, a protože těchto spojení je mnoho, existuje mnoho samotných vzorců. Není snadné si je všechny zapamatovat a není to ani nutné – v případě potřeby je lze všechny zobrazit.
Goniometrické vzorce se používají v integrálním počtu, stejně jako v goniometrických zjednodušeních, výpočtech a transformacích.
Sinusové hodnoty jsou obsaženy v intervalu [-1; 1], tzn. -1 ≤ sin α ≤ 1. Pokud tedy |a| > 1, pak rovnice sin x = a nemá kořeny. Například rovnice sin x = 2 nemá kořeny.
Podívejme se na některé problémy.
Vyřešte rovnici sin x = 1/2.
Řešení.
Všimněte si, že sin x je ordináta bodu na jednotkové kružnici, která se získá otočením bodu P (1; 0) o úhel x kolem počátku.
Ve dvou bodech kružnice M 1 a M 2 je ordináta rovna ½.
Protože 1/2 = sin π/6, pak bod M 1 získáme z bodu P (1; 0) otočením o úhel x 1 = π/6 a také o úhly x = π/6 + 2πk, kde k = +/-1, +/-2, …
Bod M 2 získáme z bodu P (1; 0) jako výsledek rotace o úhel x 2 = 5π/6 a také o úhly x = 5π/6 + 2πk, kde k = +/-1, + /-2, ... , tzn. v úhlech x = π – π/6 + 2πk, kde k = +/-1, +/-2, ….
Takže všechny kořeny rovnice sin x = 1/2 lze najít pomocí vzorců x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, kde k € Z.
Tyto vzorce lze spojit do jednoho: x = (-1) n π/6 + πn, kde n € Z (1).
Pokud je totiž n sudé číslo, tj. n = 2k, pak ze vzorce (1) získáme x = π/6 + 2πk, a je-li n liché číslo, tzn. n = 2k + 1, pak ze vzorce (1) získáme x = π – π/6 + 2πk.
Odpovědět. x = (-1) n π/6 + πn, kde n € Z.
Řešte rovnici sin x = -1/2.
Řešení.
Pořadnice -1/2 má dva body jednotkové kružnice M 1 a M 2, kde x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. V důsledku toho lze všechny kořeny rovnice sin x = -1/2 nalézt pomocí vzorců x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z.
Tyto vzorce můžeme spojit do jednoho: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).
Pokud n = 2k, pak pomocí vzorce (2) získáme x = -π/6 + 2πk, a pokud n = 2k – 1, pak pomocí vzorce (2) zjistíme x = -5π/6 + 2πk.
Odpovědět. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.
Každá z rovnic sin x = 1/2 a sin x = -1/2 má tedy nekonečný počet kořenů.
Na segmentu -π/2 ≤ x ≤ π/2 má každá z těchto rovnic pouze jeden kořen:
x 1 = π/6 je kořenem rovnice sin x = 1/2 a x 1 = -π/6 je kořenem rovnice sin x = -1/2.
Číslo π/6 se nazývá arkussinus čísla 1/2 a píše se: arkussin 1/2 = π/6; číslo -π/6 se nazývá arkussinus čísla -1/2 a píše se: arcsin (-1/2) = -π/6.
Obecně platí, že rovnice sin x = a, kde -1 ≤ a ≤ 1, má pouze jeden kořen na segmentu -π/2 ≤ x ≤ π/2. Je-li a ≥ 0, pak je kořen obsažen v intervalu ; Pokud< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Arkussinus čísla a € [–1; 1] takové číslo se nazývá € [–π/2; π/2], jehož sinus je roven a.
аrcsin а = α, pokud sin α = а a -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Například аrcsin √2/2 = π/4, protože sin π/4 = √2/2 a – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, protože sin (-π/3) = -√3/2 a – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Stejným způsobem jako při řešení úloh 1 a 2 lze ukázat, že kořeny rovnice sin x = a, kde |a| ≤ 1, vyjádřeno vzorcem
x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).
Můžeme také dokázat, že pro jakékoli € [-1; 1] platí vzorec аrcsin (-а) = -аrcsin а.
Ze vzorce (4) vyplývá, že kořeny rovnice
sin x = a pro a = 0, a = 1, a = -1 lze najít pomocí jednodušších vzorců:
sin x = 0 x = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Cvičení.
Najděte hodnotu x v .
Řešení.
Nalezení hodnoty argumentu funkce, při které se rovná libovolné hodnotě, znamená určit, u kterých argumentů bude hodnota sinus přesně taková, jaká je uvedena v podmínce.
V tomto případě musíme zjistit, při jakých hodnotách bude sinusová hodnota rovna 1/2. To lze provést několika způsoby.
Například pomocí , pomocí kterého určíte, při jakých hodnotách x bude funkce sinus rovna 1/2.
Dalším způsobem je použití . Dovolte mi připomenout, že hodnoty sinů leží na ose Oy.
Nejběžnějším způsobem je použití , zejména při práci s hodnotami, které jsou pro tuto funkci standardní, jako je 1/2.
Ve všech případech by se nemělo zapomínat na jednu z nejdůležitějších vlastností sinu - jeho periodu.
Najdeme v tabulce hodnotu 1/2 pro sinus a uvidíme, jaké argumenty jí odpovídají. Argumenty, které nás zajímají, jsou Pi / 6 a 5Pi / 6.
Zapišme si všechny kořeny, které splňují danou rovnici. Za tímto účelem si zapíšeme neznámý argument x, který nás zajímá, a jednu z hodnot argumentu získaného z tabulky, tedy Pi / 6. Zapíšeme si to s přihlédnutím k periodě sinusu , všechny hodnoty argumentu:
Vezměme druhou hodnotu a proveďte stejné kroky jako v předchozím případě:
Kompletní řešení původní rovnice bude: 
A 
q může mít hodnotu libovolného celého čísla.
Nejjednodušší goniometrické identity
Podíl dělení sinu úhlu alfa kosinusem stejného úhlu je roven tangenci tohoto úhlu (vzorec 1). Viz také důkaz správnosti transformace nejjednodušších goniometrických identit.
Podíl dělení kosinusu úhlu alfa sinem stejného úhlu se rovná kotangensu stejného úhlu (vzorec 2)
Sečna úhlu se rovná jedné dělené kosinusem stejného úhlu (vzorec 3)
Součet druhých mocnin sinu a kosinu stejného úhlu je roven jedné (vzorec 4). viz také důkaz součtu druhých mocnin kosinu a sinu.
Součet jedné a tečny úhlu se rovná poměru jedné ke druhé mocnině kosinu tohoto úhlu (vzorec 5)
Jedna plus kotangens úhlu se rovná podílu jedné dělené sinusoidou tohoto úhlu (vzorec 6)
Součin tečny a kotangens stejného úhlu je roven jedné (vzorec 7).
Převod záporných úhlů goniometrických funkcí (sudé a liché)
Abyste se při výpočtu sinu, kosinu nebo tangens zbavili záporné hodnoty stupňové míry úhlu, můžete použít následující goniometrické transformace (identity) založené na principech sudých nebo lichých goniometrických funkcí.
Jak je vidět, kosinus a sekanta je dokonce funkci, sinus, tangens a kotangens jsou liché funkce.
Sinus záporného úhlu se rovná záporné hodnotě sinusu stejného kladného úhlu (minus sinus alfa).
Kosinus mínus alfa poskytne stejnou hodnotu jako kosinus úhlu alfa.
Tečna mínus alfa se rovná mínus tečna alfa.
Vzorce pro zmenšení dvojitých úhlů (sinus, kosinus, tangens a kotangens dvojitých úhlů)
Pokud potřebujete rozdělit úhel na polovinu nebo naopak, přejít z dvojitého úhlu na jeden úhel, můžete použít následující trigonometrické identity:
Převod dvojitého úhlu (sinus dvojitého úhlu, kosinus dvojitého úhlu a tangens dvojitého úhlu) v jediném se vyskytuje tím dodržování pravidel:
Sinus dvojitého úhlu rovna dvojnásobku součinu sinu a kosinu jediného úhlu
Kosinus dvojitého úhlu rovna rozdílu mezi druhou mocninou kosinusu jediného úhlu a druhou mocninou sinu tohoto úhlu
Kosinus dvojitého úhlu rovna dvojnásobku druhé mocniny kosinusu jediného úhlu mínus jedna
Kosinus dvojitého úhlu rovná jedné mínus dvojitý sinus na druhou mocninu jednoduchého úhlu
Tangenta dvojitého úhlu se rovná zlomku, jehož čitatel je dvojnásobkem tečny jednoho úhlu, a jmenovatel je roven jedné mínus tečna na druhou jediného úhlu.
Kotangens dvojitého úhlu se rovná zlomku, jehož čitatel je druhá mocnina kotangens jediného úhlu mínus jedna, a jmenovatel se rovná dvojnásobku kotangens jediného úhlu
Vzorce pro univerzální trigonometrické substituce
Níže uvedené převodní vzorce mohou být užitečné, když potřebujete vydělit argument goniometrické funkce (sin α, cos α, tan α) dvěma a zmenšit výraz na hodnotu poloviny úhlu. Z hodnoty α získáme α/2.Tyto vzorce se nazývají vzorce univerzální goniometrické substituce. Jejich hodnota spočívá v tom, že s jejich pomocí se trigonometrický výraz redukuje na vyjádření tangens poloviny úhlu, bez ohledu na to, jaké goniometrické funkce (sin cos tan ctg) byly původně ve výrazu. Poté je mnohem snazší řešit rovnici s tečnou polovičního úhlu.
Trigonometrické identity pro poloúhlové transformace
Následují vzorce pro trigonometrický převod poloviny úhlu na jeho celou hodnotu.Hodnota argumentu goniometrické funkce α/2 se redukuje na hodnotu argumentu goniometrické funkce α.
Goniometrické vzorce pro sčítání úhlů
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangenta a kotangens součtu úhlů Alfa a beta lze převést pomocí následujících pravidel pro převod goniometrických funkcí:
Tangenta součtu úhlů se rovná zlomku, jehož čitatel je součtem tangens prvního a tangens druhého úhlu a jmenovatel je jedna mínus součin tečny prvního úhlu a tangens druhého úhlu.
Tangenta rozdílu úhlu se rovná zlomku, jehož čitatel se rovná rozdílu mezi tangensem úhlu, který se zmenšuje, a tangensem úhlu, který se odečítá, a jmenovatel je jedna plus součin tečen těchto úhlů.
Kotangens součtu úhlů se rovná zlomku, jehož čitatel se rovná součinu kotangens těchto úhlů plus jedna, a jmenovatel se rovná rozdílu kotangens druhého úhlu a kotangens prvního úhlu.
Kotangens rozdílu úhlu se rovná zlomku, jehož čitatel je součin kotangens těchto úhlů mínus jedna, a jmenovatel se rovná součtu kotangens těchto úhlů.
Tyto trigonometrické identity jsou vhodné k použití, když potřebujete vypočítat například tečnu 105 stupňů (tg 105). Pokud si to představíte jako tg (45 + 60), pak můžete použít dané shodné transformace tečny součtu úhlů a pak jednoduše dosadit tabulkové hodnoty tečny 45 a tečny 60 stupňů.
Vzorce pro převod součtu nebo rozdílu goniometrických funkcí
Výrazy představující součet tvaru sin α + sin β lze transformovat pomocí následujících vzorců:
Vzorce s trojitým úhlem – převod sin3α cos3α tan3α na sinα cosα tanα
Někdy je nutné transformovat trojitou hodnotu úhlu tak, aby argumentem goniometrické funkce byl úhel α místo 3α.V tomto případě můžete použít vzorce (identity) transformace trojitého úhlu:
Vzorce pro převod součinů goniometrických funkcí
Pokud je potřeba transformovat součin sinusů různých úhlů, kosinus různých úhlů nebo dokonce součin sinus a kosinus, můžete použít následující trigonometrické identity:
V tomto případě bude součin funkcí sinus, kosinus nebo tangens různých úhlů převeden na součet nebo rozdíl.
Vzorce pro redukování goniometrických funkcí
Je třeba použít redukční tabulku následovně. V řádku vybereme funkci, která nás zajímá. Ve sloupci je úhel. Například sinus úhlu (α+90) v průsečíku prvního řádku a prvního sloupce zjistíme, že sin (α+90) = cos α.
