Vzorec pro nalezení sinusu přes kosinus. Pravidla pro hledání goniometrických funkcí: sinus, kosinus, tangens a kotangens
Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie, odvětví matematiky, a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Zvládnutí této matematické vědy vyžaduje zapamatování a pochopení vzorců a teorémů, stejně jako rozvinuté prostorové myšlení. To je důvod, proč trigonometrické výpočty často způsobují potíže školákům a studentům. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.
Pojmy v trigonometrii
Abyste pochopili základní pojmy trigonometrie, musíte nejprve pochopit, co je pravoúhlý trojúhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém jeden z úhlů měří 90 stupňů, je obdélníkový. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění a astronomii. V souladu s tím, studiem a analýzou vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.
Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona je strana trojúhelníku protilehlá pravému úhlu. Nohy jsou zbývající dvě strany. Součet úhlů libovolných trojúhelníků je vždy 180 stupňů.
Sférická trigonometrie je úsek trigonometrie, který se ve škole nestuduje, ale v aplikovaných vědách, jako je astronomie a geodézie, ji vědci používají. Zvláštností trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.
Úhly trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměr sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy velikost menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.
Tangenta úhlu je hodnota rovna poměru protilehlé strany k sousední straně požadovaného úhlu nebo sinusu ke kosinusu. Kotangens je zase poměr přilehlé strany požadovaného úhlu k opačné straně. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jedničky hodnotou tečny.
Jednotkový kruh
Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s počátečním bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena podél kladného směru osy X (osa úsečky). Každý bod na kružnici má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Výběrem libovolného bodu na kružnici v rovině XX a puštěním kolmice z ní na osu úsečky získáme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označený písmenem C), kolmici nakreslenou k ose X (průsečík je označen písmenem G) a úsečka osou úsečky mezi počátkem (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný do kružnice, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG je definován jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukáže se, že cos α=AG. Stejně tak hřích α=CG.
Navíc, pokud znáte tato data, můžete určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α;sin α). Když víme, že tečna je rovna poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tan α = y/x a cot α = x/y. Zohledněním úhlů v záporném souřadnicovém systému můžete vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.
Výpočty a základní vzorce
Hodnoty goniometrické funkce
Po zvážení podstaty goniometrické funkce prostřednictvím jednotkové kružnice můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.
Nejjednodušší goniometrické identity
Rovnice, ve kterých je pod znaménkem goniometrické funkce neznámá hodnota, se nazývají goniometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k - libovolné celé číslo:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. hřích x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:
- postýlka x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Redukční vzorce
Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, pomocí kterých můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená snížit sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající ukazatele úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro větší pohodlí výpočtů.
Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Pro kosinus úhlu:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:
- od hříchu k cos;
- od cos k hříchu;
- od tg do ctg;
- z ctg do tg.
Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).
Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, zůstává. To samé s negativními funkcemi.
Sčítací vzorce
Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace prostřednictvím jejich goniometrických funkcí. Typicky jsou úhly označovány jako α a β.
Vzorce vypadají takto:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Tyto vzorce jsou platné pro libovolné úhly α a β.
Vzorce dvojitého a trojitého úhlu
Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Přechod od součtu k produktu
Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Přechod od produktu k součtu
Tyto vzorce vyplývají z identit přechodu součtu na součin:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Vzorce pro snížení stupně
V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinus a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 a = (1 + cos2a)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Univerzální substituce
Vzorce pro univerzální goniometrickou substituci vyjadřují goniometrické funkce pomocí tangens polovičního úhlu.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
- postýlka x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), přičemž x = π + 2πn.
Speciální případy
Speciální případy nejjednodušších goniometrických rovnic jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).
Podíl pro sinus:
| Hodnota hříchu x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk nebo 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk nebo -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk nebo 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk nebo -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk nebo 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk nebo -2π/3 + 2πk |
Podíl pro kosinus:
| hodnota cos x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Podíl pro tečnu:
| hodnota tg x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Podíl pro kotangens:
| hodnota ctg x | hodnota x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Věty
Věta o sinech
Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá sinová věta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.
Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.
Kosinová věta
Identita je zobrazena následovně: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel opačný ke straně a.
Věta tečny
Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotangensová věta
Spojuje poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku s délkou jeho stran. Jsou-li a, b, c strany trojúhelníku a A, B, C úhly proti nim, r je poloměr vepsané kružnice a p je poloobvod trojúhelníku, platí následující identity jsou platné:
- postýlka A/2 = (p-a)/r;
- postýlka B/2 = (p-b)/r;
- postýlka C/2 = (p-c)/r.
aplikace
Trigonometrie není pouze teoretická věda spojená s matematickými vzorci. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá odvětví lidské činnosti – astronomie, letecká a námořní navigace, hudební nauka, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.
Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, s jejichž pomocí lze matematicky vyjádřit vztahy mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a najít požadované veličiny pomocí identit, vět a pravidel.
Jednou z oblastí matematiky, se kterou se studenti nejvíce potýkají, je trigonometrie. Není se čemu divit: pro svobodné zvládnutí této oblasti znalostí potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí. výpočty. Navíc při dokazování vět musíte umět používat trigonometrii, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.
Počátky trigonometrie
Seznámení s touto vědou by mělo začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte pochopit, co dělá trigonometrie obecně.
Historicky hlavním předmětem studia v tomto oboru matematické vědy byly pravoúhlé trojúhelníky. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů příslušného obrázku pomocí dvou stran a jednoho úhlu nebo dvou úhlů a jedné strany. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i v umění.
První etapa
Zpočátku lidé mluvili o vztahu mezi úhly a stranami výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v každodenním životě tohoto odvětví matematiky.
Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, po kterých studenti využívají nabyté znalosti z fyziky a řešení abstraktních goniometrických rovnic, které začínají na střední škole.
Sférická trigonometrie
Později, když věda dosáhla dalšího stupně vývoje, začaly se vzorce se sinusem, kosinusem, tangensem a kotangensem používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tato část se ve škole nestuduje, ale je nutné o její existenci vědět, přinejmenším proto, že zemský povrch a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli povrchové označení bude mít „obloukový tvar“. trojrozměrný prostor.
Vezměte zeměkouli a nit. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Pozor - nabylo tvaru oblouku. Takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se využívá v geodézii, astronomii a dalších teoretických i aplikovaných oborech.
Pravoúhlý trojuhelník
Poté, co jsme se trochu dozvěděli o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále pochopili, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.
Prvním krokem je pochopení pojmů souvisejících s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.
Pokud jsou například obě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.
Dvě zbývající strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadnicovém systému je roven 180 stupňům.
Definice
Konečně, s pevným pochopením geometrického základu, se můžeme obrátit na definici sinus, kosinus a tangens úhlu.
Sinus úhlu je poměr protilehlé větve (tj. strany protilehlé k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé strany k přeponě.
Pamatujte, že sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší, bez ohledu na to, jak dlouhá je přepona, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém získáte sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně nesprávná.
Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Vydělení sinus kosinus dá stejný výsledek. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, pak vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný vztah jako v definici tečny.
Kotangens je tedy poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jedničky tečnou.
Podívali jsme se tedy na definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme přejít ke vzorcům.
Nejjednodušší vzorce
V trigonometrii se bez vzorců neobejdete - jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? Ale to je přesně to, co je vyžadováno při řešení problémů.
První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud potřebujete znát velikost úhlu spíše než strany.
Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu je roven jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: jedná se o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace změní goniometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, transformačních pravidel a několika základních vzorců, můžete kdykoli odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.
Vzorce pro dvojité úhly a sčítání argumentů
Další dva vzorce, které se musíte naučit, souvisí s hodnotami sinus a kosinus pro součet a rozdíl úhlů. Jsou uvedeny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém se sčítá párový součin sinus a kosinus.
Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích – v praxi se je snažte získat sami tím, že vezmete úhel alfa rovný úhlu beta.
Nakonec si všimněte, že vzorce s dvojitým úhlem lze přeskupit, aby se snížila mocnina sinus, kosinus, tečna alfa.
Věty
Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinová věta a kosinová věta. Pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a tedy plochu obrázku a velikost každé strany atd.
Sinusová věta říká, že dělení délky každé strany trojúhelníku opačným úhlem vede ke stejnému číslu. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.
Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin vynásobený dvojitým kosinusem sousedního úhlu - výsledná hodnota se bude rovnat druhé mocnině třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.
Neopatrné chyby
I když víte, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se takovým chybám vyhnuli, pojďme se podívat na ty nejoblíbenější.
Za prvé, neměli byste převádět zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek – odpověď můžete ponechat jako zlomek, pokud není v podmínkách uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba mít na paměti, že v každé fázi problému se mohou objevit nové kořeny, které by podle autorovy myšlenky měly být redukovány. V tomto případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo odmocnina ze dvou, protože se vyskytují v problémech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.
Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.
Za třetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je zaměnit, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.
aplikace
Mnoho studentů se zahájením studia trigonometrie nespěchá, protože nechápou její praktický význam. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jedná se o koncepty, pomocí kterých můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu nebo poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné podobě se používá všude, od hudby po medicínu.
Konečně
Takže jste sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.
Celý smysl trigonometrie spočívá v tom, že pomocí známých parametrů trojúhelníku musíte vypočítat neznámé. Parametrů je celkem šest: délka tří stran a velikost tří úhlů. Jediný rozdíl v úlohách spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.
Nyní víte, jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavním cílem trigonometrie je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.
Instrukce
Využijte své znalosti planimetrie k vyjádření sinus prostřednictvím spol sinus. Podle definice, sinus ohmový úhel v pravoúhlém trojúhelníku o délce opačné k a sinus om – přilehlá noha k přeponě. I znalost Pythagorovy věty vám v některých případech umožní rychle získat požadovanou transformaci.
Vyjádřit sinus prostřednictvím spol sinus, pomocí nejjednodušší goniometrické identity, podle níž součet druhých mocnin těchto veličin dává jedničku. Vezměte prosím na vědomí, že úkol můžete splnit správně pouze tehdy, pokud víte, že požadovaný úhel je ve čtvrtině, jinak dostanete dva možné výsledky– s kladným a znaménkem.
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
Existuje trojúhelník se stranami a, b, c rovnými 3, 4, 5 mm.
Nalézt kosinusúhel mezi většími stranami.
Označme úhel opačný ke straně a ?, pak podle výše odvozeného vzorce máme:
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40 = 0,8
Odpověď: 0.8.
Pokud je trojúhelník pravoúhlý, pak k nalezení kosinus a pro úhel stačí znát délky libovolných dvou stran ( kosinus pravý úhel je 0).
Nechť existuje pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b, c, kde c je přepona.
Zvažme všechny možnosti:
Najděte cos?, jestliže jsou známy délky stran a a b (trojúhelníku).
Použijme navíc Pythagorovu větu:
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
Aby byl výsledný vzorec správný, dosadíme do něj z příkladu 1, tzn.
Po provedení několika základních výpočtů dostaneme:
Podobně zjištěno kosinus v obdélníkovém trojúhelník v ostatních případech:
Známé a a c (hypotenuse a opačná strana), najít cos?
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Dosazením hodnot a=3 a c=5 z příkladu dostaneme:
Známé b a c (hypotenuze a přilehlá noha).
Najít cos?
Provedením podobných transformací (uvedených v příkladech 2 a 3) získáme to v tomto případě kosinus PROTI trojúhelník vypočítat pomocí velmi jednoduchého vzorce:
Jednoduchost odvozeného vzorce lze vysvětlit jednoduše: ve skutečnosti sousedí s rohem? noha je průmětem přepony, její délka se rovná délce přepony vynásobené cos?.
Dosazením hodnot b=4 a c=5 z prvního příkladu dostaneme:
To znamená, že všechny naše vzorce jsou správné.
Chcete-li získat vzorec týkající se sinus a spol sinusúhlu, je nutné uvést nebo si zapamatovat některé definice. Tak, sinusúhel je poměr (podíl dělení) opačné strany pravoúhlého trojúhelníku k přeponě. spol. sinusúhel je poměr přilehlé nohy k přeponě.
Instrukce
Velikost sinusu a kosinu jakéhokoli úhlu nemůže být větší než 1.
Sinus A kosinus- jedná se o přímé goniometrické funkce, pro které existuje několik definic - přes kružnici v kartézském souřadnicovém systému, přes řešení diferenciální rovnice, přes ostré úhly v pravoúhlém trojúhelníku. Každá z těchto definic nám umožňuje odvodit vztah mezi těmito dvěma funkcemi. Níže je možná nejjednodušší způsob vyjádření kosinus přes sinus - přes jejich definice pro ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku.
Instrukce
Vyjádřete sinus ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku pomocí délek stran tohoto obrazce. Podle definice musí být sinus úhlu (α) poměrem délky strany (a) ležící naproti němu - nohy - k délce strany (c) protilehlé pravému úhlu - přeponě: sin(α) = a/c.
Najděte podobný vzorec pro kosinus ale stejný úhel. Podle definice by tato hodnota měla být vyjádřena jako poměr délky strany (b) přiléhající k tomuto úhlu (druhé rameno) k délce strany (c) ležící proti pravému úhlu: cos(a) = a /C.
Přepište rovnost vyplývající z Pythagorovy věty tak, aby zahrnovala vztahy mezi větvemi a přeponou odvozené v předchozích dvou krocích. Chcete-li to provést, nejprve vydělte obě původní věty (a² + b² = c²) druhou mocninou přepony (a²/c² + b²/c² = 1) a poté přepište výslednou rovnost do tohoto tvaru: (a/c )² + (b/c)² = 1.
Ve výsledném výrazu nahraďte poměr délek nohou a přepony goniometrickými funkcemi na základě vzorců prvního a druhého kroku: sin²(a) + cos²(a) = 1. Vyjádřete kosinus z výsledné rovnosti: cos(a) = √(1 - sin²(a)). S tímto lze problém vyřešit v obecný pohled.
Pokud potřebujete kromě obecného získat i číselný výsledek, použijte například kalkulačku zabudovanou v operačním sále systém Windows. Odkaz na jeho spuštění v podsekci „Standardní“ v části „Všechny programy“ nabídky OS. Tento odkaz je formulován stručně - „Kalkulačka“. Abyste mohli s tímto programem počítat goniometrické funkce, povolte jeho „inženýrské“ rozhraní – stiskněte kombinaci kláves Alt + 2.
Zadejte hodnotu sinusu úhlu do podmínek a klikněte na tlačítko rozhraní označené x² - tím dojde k odmocnění původní hodnoty. Poté na klávesnici napište *-1, stiskněte Enter, zadejte +1 a znovu stiskněte Enter – odečtete tak druhou mocninu sinusu od jedničky. Kliknutím na radikální klíč vyjmete čtverec a získáte konečný výsledek.
Jedním ze základních základů exaktních věd je koncept goniometrických funkcí. Definují jednoduché vztahy mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Tato rodina funkcí zahrnuje sinus. Můžete to najít, když znáte úhel, mnoha způsoby, včetně experimentálních, výpočetních metod a také pomocí referenční informace.
Budete potřebovat
- - kalkulačka;
- - počítač;
- - tabulky;
- - bradis stoly;
- - papír;
- - tužka.
Instrukce
Použijte s funkcí sinus k získání požadovaných hodnot na základě znalosti úhlu. I ty nejjednodušší mají dnes podobnou funkcionalitu. V tomto případě se výpočty provádějí s velmi vysoký stupeň přesnost (obvykle do osmi nebo více desetinných míst).
Používejte tabulkový procesor spuštěný na osobním počítači. Příklady takových aplikací jsou Microsoft Office Excel a OpenOffice.org Calc. Zadejte do libovolné buňky vzorec sestávající z volání funkce sinus s požadovaným argumentem. Stiskněte Enter. V buňce se zobrazí požadovaná hodnota. Výhodou tabulek je, že mohou rychle vypočítat funkční hodnoty pro velkou sadu argumentů.
Přibližnou hodnotu sinusu úhlu zjistěte z Bradisových tabulek, pokud jsou k dispozici. Jejich nevýhodou je přesnost hodnot, omezená na čtyři desetinná místa.
Zjistěte přibližnou hodnotu sinu úhlu pomocí geometrických konstrukcí. Nakreslete úsečku na kus papíru. Pomocí úhloměru označte úhel, jehož sinus potřebujete najít. Nakreslete další úsečku, která v určitém bodě protíná první. Kolmo k prvnímu segmentu nakreslete přímku protínající dva existující segmenty. Vznikne vám pravoúhlý trojúhelník. Změřte pomocí úhloměru délku jeho přepony a nohy protilehlé k úhlu. Vydělte druhou hodnotu první. Toto bude požadovaná hodnota.
Vypočítejte sinus úhlu pomocí rozvoje Taylorovy řady. Pokud je úhel ve stupních, převeďte jej na radiány. Použijte vzorec jako: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Pro zvýšení rychlosti výpočtů si zapište aktuální hodnotu čitatele a jmenovatele posledního členu řady, přičemž další hodnotu vypočítejte na základě předchozí. Zvětšením délky řádku získáte přesnější měření.
Tak byly zavedeny pojmy sinus a kosinus. Sinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé strany k přeponě a kosinus je poměr strany sousedící s přeponou.
Věty o kosinech a sinech
Ale kosinus a sinus lze použít pro více než jen pravoúhlé trojúhelníky. Abychom našli hodnotu tupého nebo ostrého úhlu nebo strany jakéhokoli trojúhelníku, stačí použít větu o kosinech a sinech.
Kosinová věta je docela jednoduchá: „Čtverec strany trojúhelníku se rovná součtu čtverců ostatních dvou stran mínus dvojnásobek součinu těchto stran a kosinus úhlu mezi nimi.
Existují dva výklady sinusového teorému: malý a rozšířený. Podle vedlejšího: "V trojúhelníku jsou úhly úměrné protilehlým stranám." Tato věta je často rozšířena díky vlastnosti opsané kružnice trojúhelníku: „V trojúhelníku jsou úhly úměrné protilehlým stranám a jejich poměr se rovná průměru opsané kružnice.“
Deriváty
Derivace je matematický nástroj, který ukazuje, jak rychle se funkce mění vzhledem ke změně jejího argumentu. Derivace se používají v geometrii a v řadě technických disciplín.
Při řešení problémů potřebujete znát tabulkové hodnoty derivátů goniometrických funkcí: sinus a kosinus. Derivace sinu je kosinus a kosinus je sinus, ale se znaménkem mínus.
Aplikace v matematice
Sinus a kosinus se zvláště často používají při řešení pravoúhlých trojúhelníků a problémů s nimi souvisejících.
Pohodlí sinusů a kosinus se odráží i v technologii. Úhly a strany se daly snadno vyhodnotit pomocí kosinových a sinusových vět, které rozdělovaly složité tvary a objekty do „jednoduchých“ trojúhelníků. Inženýři, kteří se často zabývají výpočty poměrů stran a mírami stupňů, strávili spoustu času a úsilí výpočtem kosinů a sinů netabulkových úhlů.
Pak přišly na pomoc tabulky Bradis, které obsahovaly tisíce hodnot sinů, kosinus, tečen a kotangens různých úhlů. V Sovětský čas někteří učitelé nutili své studenty, aby si zapamatovali stránky Bradisových tabulek.
Radián je úhlová hodnota oblouku, jehož délka se rovná poloměru nebo 57,295779513° stupňů.
Stupeň (v geometrii) - 1/360 části kružnice nebo 1/90 části pravého úhlu.
π = 3,141592653589793238462… (přibližná hodnota Pi).
Kosinový stůl pro úhly: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Úhel x (ve stupních) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Úhel x (v radiánech) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Trigonometrické identity- jedná se o rovnosti, které zakládají vztah mezi sinusem, kosinusem, tangens a kotangens jednoho úhlu, což vám umožňuje najít kteroukoli z těchto funkcí, pokud je známa jakákoli jiná.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Tato identita říká, že součet druhé mocniny sinu jednoho úhlu a druhé mocniny kosinusu jednoho úhlu je roven jedné, což v praxi umožňuje vypočítat sinus jednoho úhlu, když je znám jeho kosinus a naopak. .
Při převodu goniometrických výrazů se velmi často používá tato identita, která umožňuje nahradit součet druhých mocnin kosinu a sinu jednoho úhlu jedničkou a také provést operaci nahrazení v opačném pořadí.
Hledání tečny a kotangens pomocí sinus a kosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Tyto identity jsou tvořeny z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Koneckonců, když se na to podíváte, pak podle definice je pořadnice y sinus a osa x je kosinus. Pak se tečna bude rovnat poměru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a poměr \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.
Dodejme, že pouze pro takové úhly \alpha, při kterých dávají smysl v nich obsažené goniometrické funkce, budou identity platit, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Například: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pro úhly \alpha, které se liší od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pro úhel \alpha jiný než \pi z je z celé číslo.
Vztah mezi tečnou a kotangens
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Tato identita je platná pouze pro úhly \alpha, které se liší od \frac(\pi)(2) z. V opačném případě kotangens nebo tangens nebudou určeny.
Na základě výše uvedených bodů získáme to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Z toho vyplývá, že tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangenta a kotangens stejného úhlu, pod kterým dávají smysl, jsou tedy vzájemně inverzní čísla.
Vztahy mezi tangens a kosinus, kotangens a sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- součet druhé mocniny tečny úhlu \alpha a 1 je roven druhé mocnině kosinusu tohoto úhlu. Tato identita je platná pro všechny \alpha kromě \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- součet 1 a druhé mocniny kotangens úhlu \alpha je roven druhé mocnině sinu daného úhlu. Tato identita je platná pro jakékoli \alpha odlišné od \pi z.
Příklady s řešením problémů pomocí goniometrických identit
Příklad 1
Najděte \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 A \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Zobrazit řešení
Řešení
Funkce \sin \alpha a \cos \alpha spolu souvisí vzorcem \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Dosazení do tohoto vzorce \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Tato rovnice má 2 řešení:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Podle stavu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ve druhé čtvrtině je sinus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Abychom našli tan \alpha, použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Příklad 2
Najděte \cos \alpha a ctg \alpha pokud a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Zobrazit řešení
Řešení
Dosazení do vzorce \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dané číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Tato rovnice má dvě řešení \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Podle stavu \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ve druhém čtvrtletí je kosinus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Abychom našli ctg \alpha, použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Známe odpovídající hodnoty.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Nebudu se vás snažit přesvědčit, abyste nepsali cheaty. Napsat! Včetně cheatů na trigonometrii. Později plánuji vysvětlit, proč jsou cheaty potřeba a proč jsou cheaty užitečné. A zde jsou informace o tom, jak se neučit, ale zapamatovat si některé trigonometrické vzorce. Takže - trigonometrie bez cheat sheetu! Asociace používáme k zapamatování.
1. Sčítací vzorce:
Kosiny vždy „vycházejí v párech“: kosinus-kosinus, sinus-sinus.
A ještě jedna věc: kosiny jsou „neadekvátní“. „Všechno není v pořádku“ pro ně, a tak změní znaménka: „-“ na „+“ a naopak.
Sinusy - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Vzorce součtů a rozdílů:
kosiny vždy „přicházejí v párech“. Přidáním dvou kosinus - „koloboků“, získáme dvojici kosinus – „koloboků“. A odečtením rozhodně nezískáme žádné koloboky. Dostáváme pár sinů. Také s mínusem dopředu.
Sinusy - "mix" :
3. Vzorce pro převod součinu na součet a rozdíl.
Kdy získáme kosinusový pár? Když přidáme kosiny. Proto
Kdy dostaneme pár sinů? Při odečítání kosinů. Odtud:
„Míchání“ se získá jak při sčítání, tak při odečítání sinů. Co je zábavnější: sčítání nebo odečítání? Přesně tak, sklopte. A pro vzorec berou dodatek:
V prvním a třetím vzorci je součet v závorce. Přeskupení míst termínů nemění součet. Pořadí je důležité pouze u druhého vzorce. Ale abychom nebyli zmateni, pro snadné zapamatování ve všech třech vzorcích v prvních závorkách bereme rozdíl
a za druhé - částka
Cheat sheets v kapse vám dá klid: pokud zapomenete vzorec, můžete si ho zkopírovat. A dodají vám jistotu: pokud se vám nepodaří použít cheat sheet, můžete si vzorce snadno zapamatovat.
